2024年中考數學一輪復習提高講義：矩形

矩形

知識梳理

1.矩形的定義

有一個角是直角的平行四邊形叫作矩形.

2.矩形的性質

⑴矩形的四個角都是直角.

⑵矩形的對角線相等.

3.矩形的判定

(1)有三個角是直角的四邊形是矩形.

⑵對角線相等的平行四邊形是矩形.

典型例題

例1

如圖16-1所示，在||。夕加148。。中無下為BC邊上的兩點，且.BE=CF,AF=DE,

(1)求證：△ABF=△DCE;1------------------

(2)四邊形ABCD是矩形.

分析(1)根據平行四邊形的性質找出三角形全等的條件；

(2)有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

解⑴因為四邊形ABCD是平行四邊形BE

所以4B=DC圖16-1

因為BE=CF

所以.BF=CE

在AABF和ADCE中

AB=DC

BF=CE

.AF=DE

所以△ABF^ADCE

(2)因為△ABF^ADCE

所以NB=/C

所以NB=90。

所以四邊形ABCD是矩形.

例2

已知:如圖16-2所示在△ABC中,/BAC=9(F,DE,DF是4ABC的中位線，連接EF,AD.求證:EF=AD.

分析由DE,DF是△ABC的中位線，根據三角形中位線的性質，即可求得四邊形AEDF是平行四邊形，又/

BAC=90°,則可證得平行四邊形AEDF是矩形，根據矩形的對角線相等即可得EF=AD.

解因為DE,DF是^ABC的中位線，

所以DE〃AB,DF〃AC,

所以四邊形AEDF是平行四邊形,

又因為Z-BAC=90°,

所以平行四邊形AEDF是矩形，

所以EF=AD.

例3

如圖16-3所示，在△ABC中.AB=AC,D為邊BC上一點，以AB.BD為鄰邊作口ABDE,連接AD,EC.

⑴求證:△ADC^AECD;

⑵若BD=CD,求證:四邊形ADCE是矩形.

BD

圖16-3

分析(1)利用等邊對等角以及平行四邊形的性質可以證得/EDC=/ACB,則易證△ADC^AECD,利用全等

三角形的對應邊相等即可證得.

⑵根據平行四邊形性質推出AE=BD=CD,AE〃CD得出平行四邊形根據.4C=DE推出即可.

解⑴證明:因為AB=AC,

所以/B=/ACB,

又因為口ABDE中,AB=DE,AB〃DE,

所以/B=NEDC=NACB,AC=DE,

所以△ADC^AECD(SAS).

⑵因為四邊形ABDE是平行四邊形，

所以AE=BD,AE〃:BC,

因為D為邊長中點，

所以BD=CD,

所以AE=CD,AE〃CD,

所以四邊形ADCE是平行四邊形，

因為△ADC^AECD,

所以AC=DE,

所以四邊形ADCE是矩形，

即點D在BC的中點上時,四邊形ADCE是矩形.

例4

如圖16-4所示在四邊形ABCD,AD〃BC,AB〃DE,AF〃DC,E,F兩點在BC上，且四邊形AEFD是平行四邊形.

(1)AD與BC有何等量關系?請說明理由；友幺

(2)當AB=DC時,求證:四邊形AEFD是矩形.

BEFC

圖16-4

分析⑴由題中所給平行線，不難得出四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形，而四邊形AEFD也是

平行四邊形，三個平行四邊形都共有一條邊AD,所以可得出AD=(BC的結論.

(2)根據矩形的判定和定義，對角線相等的平行四邊形是矩形.只要證明.AF=DE即可得出結論.

解⑴力D=匏仁

理由如下：

因為AD〃BC,AB〃DE,AF〃DC,

所以四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形.

所以AD=BE,AD=FC,

又因為四邊形AEFD是平行四邊形，

所以AD=EF.

所以AD=BE=EF=FC.

所以4D=抑.

⑵證明：因為四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形，

所以DE=AB,AF=DC.

因為AB=DC,

所以DE=AF.

又因為四邊形AEFD是平行四邊形，

所以平行四邊形AEFD是矩形.

雙基訓練

1矩形ABCD的長為5,寬為3,點E,F將AC三等分廁△BEF的面積為().

355

A.-B.-C.-D.5

232

2.已知矩形ABCD的AB=2BC,在CD上取點E,使AE=EB,那么NEBC等于().

A.60°B.45°C.30°D.15°

3.一個矩形和一個平行四邊形的邊分別相等，若矩形面積為這個平行四邊形的面積的2倍，則平行四邊形的銳

角的度數為().

A.15°B.30°C.45°D.60°

4.過四邊形各頂點分別作對角線的平行線，若這四條平行線圍成一個矩形，則原四邊形一定是().

A.對角線相等的四邊形B.對角線互相垂直的四邊形

C.對角線互相平分且相等的四邊形D.對角線互相垂直且平分的四邊形

5.E為矩形ABCD的邊CD上的一點,AB=AE=4,BC=2,貝！J/BEC是().

A.15°B,30°C.60°D.75°

6如圖16-5所示,O為矩形ABCD的對角線交點,DF平分NADC交AC于E,交BC于F,NBDF=15oJI![|NCOF=_

A_________D

這

BFC

圖16-5

7.矩形ABCD的周長為40厘米Q是它的對角線交點,△AOB比^AOD周長多4厘米，則它的各邊長之比為一

8.如圖16-6所示，矩形ABCD中,AE_LBD于E,ZDAE=3NBAE,貝！|/BAE=,ZEAD=,ZEAC=

圖16-6

9.0為矩形ABCD的對角線交點..NAOB=2/B0C,對角線AC=12,貝CB=

10.如圖16-7所示,在矩形ABCD中,AB=2BC,在CD上取點E,使AE=4B廁NEAB=—,ZBEC=.

11.甲、乙、丙、丁四位同學到木工廠參觀時，一木工師傅拿尺子要他們幫助檢測一個窗框是不是矩形，他們

各自做了如下檢測，檢測后，他們都說窗框是矩形，你認為最有說服力的是().

A.甲量得窗框兩組對邊分別相等

B.乙量得窗框對角線相等

C.丙量得窗框的一組鄰邊相等

D.丁量得窗框的兩組對邊分別相等且兩條對角線也相等

12.矩形ABCD中,AE平分/BAD交BC于E,對角線AC,BD交于O,/CAE=15。,則下面的結論:①△ODC是等

邊三角形;②BC=2AB;?ZAOE=135°;④SAAOE=SACOE,其中正確的結論有().

A.1個B.2個C.3個D.4個

13.如圖16-8所示,在矩形ABCD中,E是AD的中點，且EBLEC.若矩形ABCD的周長為48厘米,則矩形ABCD

的面積為—平方厘米.

圖16-8

14矩形的兩條對角線的夾角為120°,矩形的寬為3,則矩形的面積為一.

15.已知:四邊形ABCD中,AB=CD,/A+ND=18(r,AC,BD相交于點AOB是等邊三角形.求證：四邊形ABC

D是矩形.

16.如圖16-9所示矩形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,CE_LBD于E,OF±AB于F,BE:DE=1:3,OF=2厘米

求AC的長.

圖16-9

17.如圖16-10所示，已知矩形ABCD中,E是AD上的一點,F是AB上的一點,EF1EC,且EF=EC,DE=4厘米

矩形ABCD的周長為32厘米.求AE的長.

圖16-10

18.如圖16-11所示Q是矩形ABCD的對角線AC與BD的交點,E,F,G,H分別是AO,BO,CO,DO上的一點，目AE

=BF=CG=DH.

求證:四邊形EFGH是矩形.

圖16-11

19.如圖16-12所示,在矩形ABCD中,BE平分乙ABC,交CD于點E,點F在邊BC上.

(1)如果FE14E,求證FE=AE.

(2)如果.FE=4E,,你能證明.FE14E嗎?

DEC

AB

圖16-12

20.已知：如圖16-13所示,平行四邊形ABCD的四個內角的平分線分別相交于點E,F,G,H.求證:四邊開鄉(xiāng)EF

GH是矩形.

D

G

圖16-13

能力提升

2L若矩形的兩條對角線的夾角為（60。,，一條邊為15厘米，則另一條邊長為一厘米.

22.過矩形ABCD的頂點D作DE14&垂足為E,若4E=8厘米，ED=2厘米，則矩形的周長是___.

23.矩形ABCD中，點E為邊AB上的一點，過點E作直線EF垂直對邊CD于F,若=2:1

四］2形AEFD四22形BCFE

，廁DF:FC=.

24.如圖16-14所示,在矩形ABCD中,BC=6厘米AE=1AD,Z.CBF=30。,,且點A與F關于BE對稱，則BE=_

_,AB=

25.如圖16-15所示,在矩形ABCD中.M,N分別是AD,DC邊的中點,AN,MC交于P點若乙MCB=乙NBC+33°?

求NMPA的大小.

圖16-15

26.如圖16-16所示矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,BE平分.乙4BC,交AD于E,交AC于F,且乙OBF

=15。,求證:OE=EF.

圖16-16

27.如圖16-17所示,在矩形ABCD中，從頂點C作對角線BD的垂線與乙4的平分線相交于點E.求證：BD=CE

圖16-17

28.如圖16-18所示,在矩形ABCD中,P是AD上任一點,PQ12C于點Q,PR1BD于點R,DT12C于點T,P

Q,PR,DT三條線段能否組成三角形?若能，請證明；否則，請說明理由.

圖16-18

29.如圖16-19所示，在△ABC中Q是AC上一個動點，過點O作直線.MN||BC,設MN交NBC4的角平分線于點

E,交ABC4的外角平分線于點F.

(1)求證:EO=F0-,

(2)當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形?并證明你的結論.

圖16-19

30.如圖16-20所示,在平行四邊形ABCD中以AC為斜邊作直角三角形ACE,NBED=90。,證明四邊形ABCD

是矩形.

B

圖16-20

拓展資源

s

31.如圖16-21所示點E,F分別是矩形ABCD的邊AB,BC的中點，連接AF,CE,設AF,CE交于點G,則產

加ZKABCD

等于.

32.如果將長方形紙片ABCD沿EF折疊，如圖16-22所示，延長CE交AD于H,連接GH,那么EF與GH互相垂

直平分嗎?

33.33如圖16-23所示，在△ABC中,AB=AC延長BC至D,使CD=BC.點E在邊AC上以CD,CE為鄰邊作CJCD

FE過點C作CG〃AB交EF于點G,連接BG,DE.

(l)ZACB與NDCG有怎樣的數量關系？請說明理由.

(2)求證:△BCG^ADCE.

圖16-23

34.如圖16-24所示，以^ABC的三邊為邊，在BC的同側分別作3個等邊三角形，即4ABD,ABCE,AACF.

請回答問題并說明理曲

(1)四邊形ADEF是什么四邊形？

(2)當4ABC滿足什么條件時.四邊形ADEF是矩形?

(3)當4ABC滿足什么條件時,四邊形ADEF不存在?

E

圖】6-24

35.矩形一邊長為5,另一邊長小于4,將矩形折疊，使兩對角頂點重合，如圖16-25所示，若折痕EF長為

V6,,求另一邊長.

圖16-25

第15講

第16講

1.C2.B3.B4.B5.D6.75°7.3:2:3:28.22.5°,67.5°,45°9.61O.ZEAB=3O°,ZBEC=75°

11.D12.C13.12814.9V3

15提示：由AB=CD且AB〃CD得到四邊形ABCD是平行四邊形，由4AOB是等邊三角形得對角線相等.對

角線相等的平行四邊形是矩形.

16.由題意可知OF為AACB和4BAD的中線，即AD=BC=2OF=4

因為/OBF=/BDC=/BCE,OF_LAB,CEJ_BD.所以△BFO^ACEB.^JTUZ—=些.又因為BE:DE=1:3,所以3BE

OFB0

=DE=2BO-BE,所以BO=2BE,所以—=—,2BE2=BC?OF=BE2=4,解得BE=2.

OF2BE

所以AC=BD=4BE=4x2=8.

17.解:在RtAAEF和RtADEC中,EF_LCE.

所以/FEC=90。.

所以/AEF+ZDEC=90°.

而/ECD+/DEC=90。.

所以NAEF=NECD.

在RtAAEF與RtADCE中，

(/-FAE=乙EDC=90°,

因為^AEF=/-ECD,

EF=EC,

所以RtAAEF義RtADCE(AAS).

所以AE=CD.

AD=AE+4.

因為矩形ABCD的周長為32厘米.

所以2(AE+ED+DC)=32,即2(2AE+4)=32,

整理得:2AE+4=16

解得:AE=6(厘米).

18.因為四邊形ABCD是矩形，

所以AC=BD;AO=BO=CO=DO

因為AE=BF=CG=DH,

所以OE=OF=OG=OH,

所以四邊形EFGH是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形).

因為OE+OG=FO+OH即EG=FH,

所以四邊形EFGH是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形).

19.(1)因FEXAE,

即NAEF=90。，

故/AED與NCEF互余，

又BE平分NABC

故AD=BC=EC

所以△ADE^AECF.

所以FE=AE

(2)因FE=AE,AD=EC,ZADE=ZECF=90°,

故4ADE^AECF全等，

則/AED與/CEF互余所以FEXAE

20.證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以NBAD+NABC=180o,/BAD+/ADC=180°

又因為AE平分/BAD,BF平分/ABC,

所以ZBAF+ZABF=90°,

所以4AFB=90°

同理可得/AED=90o,NBGC=90。，

所以四邊形EFGH是矩形.

21.15百或5百22.5V1723.2:124.BE=8,AB=4V325.33°

26.因為矩形ABCD,所以AO=BO,ZABC=ZBAD=90°

因為BE平分/ABC,所以/ABE=NCBE=45°

因為AD〃BC,所以/AEB=NCBE,所以NABE=NAEB=45。,所以AE=AB

因為NDBF=15。,所以NABD=NABE+/DBF=450+15°=60°

因為AO=BO,所以NBAC=60°

所以△AOB為等邊三角形

所以AO=AB,AO=AE

所以ZDAC=ZBAD-ZBAC=30°,AO=AE

所以.NAOE=(180°-乙DAC)12=75°

因為/-EFC=ADAC+/.AEB=75°

所以NAOE=/EFC

所以OE=EF

27.設EC與BD相交于F

ZOAD=ZODA

=AOAD=-A.BOA

2

XZBOA=ZCFB-ZACF=90°-ZACF

i

=^LOAD=45°--Z.FCA

2

i

=/-CAE=(DAE-Z-OAD=45°-^OAD=-/.FCA

2

根據外角定理NE=NFCA-ACAE=l^FCA

因此/E=/CAE

ACAE是等腰三角形，且CA=CE

CA=BD

所以BD=CE

28.不能，因為PQ+PR=DT.

29.(1)延長BC至G,因為MN〃BC,