二次函數(shù)?？汲Ｐ碌?8種命題方式

專題01二次函數(shù)中的動點問題1、如圖①，已知拋物線y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m為參數(shù)，且a＞0，m＞0）與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C．（1）求點B的坐標（結(jié)果可以含參數(shù)m）；（2）連接CA、CB，若C（0，3m），求tan∠ACB的值；（3）如圖②，在（2）的條件下，拋物線的對稱軸為直線l：x＝2，點P是拋物線上的一個動點，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P，使△POF成為以點P為直角頂點的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由．【解析】（1）令y＝0，則有ax2﹣4amx+3am2＝0，解得：x1＝m，x2＝3m，∵m＞0，A在B的左邊，∴B（3m，0）；（2）如圖1，過點A作AD⊥BC，垂足為點D，由（1）可知B（3m，0），則△BOC為等腰直角三角形，∵OC＝OB＝3m，∴BC＝3m，又∵∠ABC＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝2m，∴m，CD＝2m，∴tan∠ACB＝；（3）∵由題意知x＝2為對稱軸，∴2m＝2，即m＝1，∵在（2）的條件下有（0，3m），∴3m＝3am2，解得m＝，即a＝1，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3，①當P在對稱軸的左邊，如圖2，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），則﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝或，∴P的坐標為（，）或（）；②當P在對稱軸的右邊，如圖3，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，則﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：x＝或；P的坐標為（）或（）；綜上所述，點P的坐標是：（）或（）或（）或（）2、如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=?x?ax?4a<0與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（1）若D點坐標為32,25（2）若點M為拋物線對稱軸上一點，且點M的縱坐標為a，點N為拋物線在x軸上方一點，若以C、B、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形時，求a的值；（3）直線y=2x+b與（1）中的拋物線交于點D、E（如圖2），將（1）中的拋物線沿著該直線方向進行平移，平移后拋物線的頂點為D'，與直線的另一個交點為E，與x軸的交點為B'，在平移的過程中，求D'E'【解析】（1）依題意得：254=?32?a32?4,解得a=?1，∴（2）由題意可知Aa,0、B4,0、C0,?4①MN//BC，且MN則?3a=?a②當BC為對角線時，設(shè)Nx,y，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得a則?5a=?4?a2?a（3）聯(lián)立y=2x+134則DE=25，根據(jù)拋物線的平移規(guī)律，則平移后的線段D設(shè)平移后的D'm,2m則D'B'：y=?12拋物線y=?x?m2+2m∴B1'?1,0，B23、如圖，拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x﹣3交于，B兩點，其中點A在y軸上，點B坐標為（﹣4，﹣5），點P為y軸左側(cè)的拋物線上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交AB于點D．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）以O(shè)，A，P，D為頂點的平行四邊形是否存在若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．【分析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式，即可求解；（2）PD=|m2+4m|，∵PD∥AO，則當PD=OA=3時，存在以O(shè)，A，P，D為頂點的平行四邊形，即PD=|m2+4m|=3，即可求解．【解析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，故拋物線的表達式為：y＝x2+x﹣3；（2）存在，理由：同理直線AB的表達式為：y＝x﹣3，設(shè)點P（m，m2+m﹣3），點D（m，m﹣3）（m＜0），則PD＝|m2+4m|，∵PD∥AO，則當PD＝OA＝3時，存在以O(shè)，A，P，D為頂點的平行四邊形，即PD＝|m2+4m|＝3，①當m2+4m＝3時，解得：m＝﹣2±（舍去正值），即m2+m﹣3＝1﹣，故點P（﹣2﹣，﹣1﹣），②當m2+4m＝﹣3時，解得：m＝﹣1或﹣3，同理可得：點P（﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）；綜上，點P（﹣2﹣，﹣1﹣）或(﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）．【小結(jié)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形性質(zhì)等，要注意分類討論思想的運用．4、在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，3），頂點為G．（1）求拋物線和直線AC的解析式；（2）如圖1，設(shè)E（m，0）為x正半軸上的一個動點，若△CGE和△CGO的面積滿足S△CGE=S△CGO，求點E的坐標；（3）如圖2，設(shè)點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右運動，運動時間為ts，點M為射線AC上一動點，過點M作MN∥x軸交拋物線對稱軸右側(cè)部分于點N．試探究點P在運動過程中，是否存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法即能求出拋物線和直線AC解析式．（2）△CGE與△CGO雖然有公共底邊CG，但高不好求，故把△CGE構(gòu)造在比較好求的三角形內(nèi)計算．延長GC交x軸于點F，則△FGE與△FCE的差即為△CGE．（3）設(shè)M的坐標（e，3e＋3），分別以M、N、P為直角頂點作分類討論，利用等腰直角三角形的特殊線段長度關(guān)系，用e表示相關(guān)線段并列方程求解，再根據(jù)e與AP的關(guān)系求t的值．【解析】（1）將點A（-1，0），B（3，0），點C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c得，，解得，∴，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n，將點A（-1，0），點C（0，3）代入得：，解得：k=3，n=3，∴直線AC的解析式為：y=3x+3（2）延長GC交x軸于點F，過點G作GH⊥x軸于點H，∵，∴G（1,4），GH=4，∴，若S△CGE=S△CGO，則S△CGE=S△CGO=，①若點E在x軸的正半軸，設(shè)直線CG為，將G（1,4）代入得，∴，∴直線CG的解析式為y=x+3，∴當y=0時，x=-3，即F(-3,0)，又∵E（m,0），∴EF=m-(-3)=m+3∴====∴，解得：m=1，∴E的坐標為（1,0）②若點E在x軸的負半軸上，則點E到直線CG的距離與點（1,0）到直線CG的距離相等，即點E到點F的距離等于點（1,0）到點F的距離，∴EF=-3-m=1-(-3)=4，∴m=-7，即E（-7,0）綜上所述，點E的坐標為：（1,0）或（-7,0）（3）存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，設(shè)M（e,3e+3），e＞-1，則，①如圖2，若∠MPN=90°，PM=PN，過點M作MQ⊥x軸于點Q，過N作NR⊥x軸于點R，∵MN∥x軸，∴MQ＝NR＝3e＋3∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ＝PR，∠MPQ＝∠NPR＝45°∴MQ＝PQ＝PR＝NR＝3e＋3∴xN＝xM＋3e＋3＋3e＋3＝7e＋6，即N（7e＋6，3e＋3）∵N在拋物線上，∴?（7e＋6）2＋2（7e＋6）＋3＝3e＋3，解得：（舍去），∵AP＝t，OP＝t?1，OP＋OQ＝PQ，∴t?1?e＝3e＋3，∴t＝4e＋4＝，②如圖3，若∠PMN＝90°，PM＝MN，∴MN＝PM＝3e＋3∴xN＝xM＋3e＋3＝4e＋3，即N（4e＋3，3e＋3）∴?（4e＋3）2＋2（4e＋3）＋3＝3e＋3，解得：e1＝?1（舍去），e2＝，∴t＝AP＝e?（?1）＝，③如圖4，若∠PNM＝90°，PN＝MN，∴MN＝PN＝3e＋3，N（4e＋3，3e＋3），解得：e＝∴t＝AP＝OA＋OP＝1＋4e＋3＝綜上所述，存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，t的值為或或．【小結(jié)】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標系中三角形面積計算，等腰直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，考查了分類討論和方程思想．第（3）題根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找到相關(guān)線段長的關(guān)系是解題關(guān)鍵，靈活運用因式分解法解一元二次方程能簡便運算．

5、如圖，已知直線AB與拋物線C：y＝ax2+2x+c相交于點A(﹣1，0)和點B(2，3)兩點．(1)求拋物線C函數(shù)表達式；(2)若點M是位于直線AB上方拋物線上的一動點，當?shù)拿娣e最大時，求此時的面積S及點M的坐標．【解析】(1)由題意把點(﹣1，0)、(2，3)代入y＝ax2+2x+c，得，解得，∴此拋物線C函數(shù)表達式為：y＝﹣x2+2x+3；(2)如圖，過點M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，將點(﹣1，0)、(2，3)代入y＝kx+b中，得，解得，∴yAB＝x+1，設(shè)點M(x，﹣x2+2x+3)，則K(x，x+1)，則MK＝﹣x2+2x+3﹣(x+1)＝﹣x2+x+2，∴S△MAB＝S△AMK+S△BMK＝MK?(xM﹣xA)+MK?(xB﹣xM)＝MK?(xB﹣xA)＝×(-x2+x+2)×3＝，∵，當x＝時，S△MAB最大=，此時，∴△MAB的面積最大值是，M(，)．6、如圖，直線y＝34x+a與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，拋物線y＝34x2+bx+c經(jīng)過點A，B．點M（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線分別交直線AB及拋物線于點P，（1）填空：點B的坐標為，拋物線的解析式為；（2）當點M在線段OA上運動時（不與點O，A重合），①當m為何值時，線段PN最大值，并求出PN的最大值；②求出使△BPN為直角三角形時m的值；（3）若拋物線上有且只有三個點N到直線AB的距離是h，請直接寫出此時由點O，B，N，P構(gòu)成的四邊形的面積．【解析】（1）把點A坐標代入直線表達式y(tǒng)＝34x+a，解得：a＝﹣3，則：直線表達式為：y═34令x＝0，則：y＝﹣3，則點B坐標為（0，﹣3），將點B的坐標代入二次函數(shù)表達式得：c＝﹣3，把點A的坐標代入二次函數(shù)表達式得：34×16+4b解得：b＝﹣94，故拋物線的解析式為：y＝34x2﹣9（2）①∵M（m，0）在線段OA上，且MN⊥x軸，∴點P（m，34m﹣3），N（m，34m2﹣9∴PN＝34m﹣3﹣（34m2﹣94m﹣3）＝﹣3∵a＝﹣34＜0，∴拋物線開口向下，∴當m＝2時，PN②當∠BNP＝90°時，點N的縱坐標為﹣3，把y＝﹣3代入拋物線的表達式得：﹣3＝34m2﹣94m﹣3，解得：m＝3或0（舍去m＝0），∴當∠NBP＝90°時，∵BN⊥AB，兩直線垂直，其k值相乘為﹣1，設(shè)：直線BN的表達式為：y＝﹣43x+n把點B的坐標代入上式，解得：n＝﹣3，則：直線BN的表達式為：y＝﹣43x將上式與拋物線的表達式聯(lián)立并解得：m＝119或0（舍去m＝0），當∠BPN故：使△BPN為直角三角形時m的值為3或43（3）∵OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，tanα＝43，則：cosα＝35，sinα＝∵PM∥y軸，∴∠BPN＝∠ABO＝α，若拋物線上有且只有三個點N到直線AB的距離是h，則只能出現(xiàn)：在AB直線下方拋物線與過點N的直線與拋物線有一個交點N，在直線AB上方的交點有兩個．當過點N的直線與拋物線有一個交點N，點M的坐標為（m，0），設(shè)：點N坐標為：（m，n），則：n＝34m2﹣94m﹣3，過點N作則點N所在的直線表達式為：y＝34x+b，將點N坐標代入，解得：過N點直線表達式為：y＝34x+（n﹣3將拋物線的表達式與上式聯(lián)立并整理得：3x2﹣12x﹣12+3m﹣4n＝0，△＝144﹣3×4×（﹣12+3m﹣4n）＝0，將n＝34m2﹣94m﹣3代入上式并整理得：m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2，則點N的坐標為（2，﹣則：點P坐標為（2，﹣32），則：PN∵OB＝3，PN∥OB，∴四邊形OBNP為平行四邊形，則點O到直線AB的距離等于點N到直線AB的距離，即：過點O與AB平行的直線與拋物線的交點為另外兩個N點，即：N′、N″，直線ON的表達式為：y＝34xx2﹣4x﹣4＝0，解得：x＝2±22，則點N′、N″的橫坐標分別為2+22，2﹣22，作NH⊥AB交直線AB于點H，則h＝NH＝NPsinα＝125作N′P′⊥x軸，交x軸于點P′，則：∠ON′P′＝α，ON′＝OP'sinα＝S四邊形OBPN＝BP?h＝52×125＝6，則：S四邊形OBP′N′＝S△OP′N′+S△O同理：S四邊形OBN″P″＝62﹣6，故：點O，B，N，P構(gòu)成的四邊形的面積為：6或6+62或627、在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點，與y軸交于點B，與拋物線的對稱軸交于點．（1）求m的值；（2）求拋物線的頂點坐標；（3）是線段AB上一動點，過點N作垂直于y軸的直線與拋物線交于點，（點P在點Q的左側(cè)）．若恒成立，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．【解析】（1）∵經(jīng)過點，∴將點的坐標代入，即，得．∵直線與拋物線的對稱軸交于點，∴將點代入，得．(2)∵拋物線的對稱軸為，∴，即．∴∴拋物線的頂點坐標為．(3)當時，如圖，若拋物線過點，則．結(jié)合函數(shù)圖象可得．當時，不符合題意．綜上所述，的取值范圍是．

8、如圖①，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與坐標軸交于A，B，C三點，其中點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（4，0），連接AC，BC．動點P從點A出發(fā)，在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C作勻速運動；同時，動點Q從點O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B作勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒．連接PQ．（1）填空：b＝，c＝；（2）在點P，Q運動過程中，△APQ可能是直角三角形嗎？請說明理由；（3）點M在拋物線上，且△AOM的面積與△AOC的面積相等，求出點M的坐標。【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x-4）．將a=-代入可得到拋物線解析式，從而確定出b、c值；（2）先求得點C的坐標，依據(jù)勾股定理可求得AC=5，則PC=5-t，AQ=3+t,再判斷當△APQ是直角三角形時，則∠APQ＝90°，從而得出△AOC∽△APQ，得到比例式列方程求解即可；(3)根據(jù)點M在拋物線上，設(shè)出點M的坐標為（m，﹣m2+m+4），再根據(jù)△AOM的面積與△AOC的面積相等，從而得出﹣m2+m+4=，解方程即可．【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣4）．將a＝﹣代入得：y＝﹣x2+x+4，∴b＝，c＝4．（2）在點P、Q運動過程中，△APQ不可能是直角三角形．理由如下：∵在點P、Q運動過程中，∠PAQ、∠PQA始終為銳角，∴當△APQ是直角三角形時，則∠APQ＝90°．將x＝0代入拋物線的解析式得：y＝4，∴C（0，4）．∵點A的坐標為（﹣3，0），∴在Rt△AOC中，依據(jù)勾股定理得：AC＝5，∵AP＝OQ＝t，∴AQ=3+t，∵∠OAC＝∠PAQ，∠APQ＝∠AOC∴△AOC∽△APQ，∴AP:AO=AQ:AC，∴=∴t=4.5．∵由題意可知：0≤t≤4，∴t＝4.5不合題意，即△APQ不可能是直角三角形．(3)設(shè)點M的坐標為（m，﹣m2+m+4）∵△AOM的面積與△AOC的面積相等，且底都為AO，C（0，4）．∴﹣m2+m+4=當﹣m2+m+4=-4時，解得：m=或,當﹣m2+m+4=4時，解得：m=1或0∵當m=0時，與C重合，∴m=或或1∴M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）【小結(jié)】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定，靈活運用相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵．9、如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標；（3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．【解析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點P在y軸上，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1，①當CP=CB時，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當PB=PC時，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③當BP=BC時，∵OC=OB=3∴此時P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點P的坐標為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當點M出發(fā)1秒到達D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處10、如圖，二次函數(shù)（）的圖象與軸交于兩點，與軸相交于點．連結(jié)兩點的坐標分別為、，且當和時二次函數(shù)函數(shù)值相等．（1）求實數(shù)的值；（2）若點同時從點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．當運動時間為秒時，連結(jié)，將沿翻折，點恰好落在邊上的處，求的值及點的坐標；（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點，使得以為項點的三角形與相似？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．【解析】（1）在拋物線上，∴代入得c=∵x=-4和x=2時二次函數(shù)的函數(shù)值y相等，∴頂點橫坐標,,又∵A（-3，0）在拋物線上，∴9a?3b+=0由以上二式得;（2）由（1）,∴B（1，0），連接BP交MN于點O1，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：O1也為PB中點．設(shè)t秒后有,設(shè)P（x，y），B（1，0）∵O1為P、B的中點可得，即,∵A，C點坐標知AC：，P點也在直線AC上代入得t=,即；（3）假設(shè)成立；①若有△ACB∽△QNB，則有∠ABC=∠QBN，∴Q點在x軸上，AC∥QN但由題中A，C，Q，N坐標知直線的一次項系數(shù)為：，則△ACB不與△QNB相似．②若有△ACB∽△QBN，則有設(shè)，則，代入（1）得，或，當時有Q（-1，）則不滿足相似舍去；當y=有Q（-1，）則，∴存在點Q（-1，）使△ACB∽△QBN．綜上可得：Q（-1，）.

11、已知，如圖1，二次函數(shù)y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）圖象的頂點為C與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），點C、B關(guān)于過點A的直線l：y＝kx+3對稱．（1）求A、B兩點坐標及直線l的解析式；（2）求二次函數(shù)解析式；（3）如圖2，過點B作直線BD∥AC交直線l于D點，M、N分別為直線AC和直線l上的兩個動點，連接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．【解析】（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，則x＝﹣1或3，即點A、B的坐標分別為（﹣3，0）、（1，0），點A坐標代入y＝kx+3得：0＝﹣3k+3，解得：k=33,即直線同理可得直線AC的表達式為：y=3x+33.聯(lián)立①②并解得：x＝3，在點D的坐標為（3，23）；（2）設(shè)點C的坐標為（﹣1，m），點C、B關(guān)于過點A的直線l：y＝kx+3對稱得AC2＝AB2，即：（﹣3+1）2+m2＝16，解得：m=±23（舍去負值），點C（1，2將點C的坐標代入二次函數(shù)并解得：a=?故二次函數(shù)解析式為：y=?（3）連接BC，則CN+MN的最小值為MB（即：M、N、B三點共線），作D點關(guān)于直線AC的對稱點Q交y軸于點E，則MB+MD的最小值為BQ（即：B、M、Q三點共線），則CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，∵DQ⊥AC，AC∥BD，∴∠QDB＝90°，作DF⊥x軸交于點F，DF＝ADsin∠DAF=43∵B、C關(guān)于直線l對稱，即直線l是∠EAF的平分線，∴ED＝FD＝23，則QD＝43，BD＝4，∴BQ=432+42=8.12、點A、C分別是一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與y軸、x軸的交點，點B與點C關(guān)于原點對稱，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點B，且該二次函數(shù)圖象上存在一點D，使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）動點P從點A到點D，同時動點Q從點C到點A都以每秒1個單位的速度運動，設(shè)運動時間為t秒．①當t為何值時，有PQ丄AC？②當t為何值時，四邊形PDCQ的面積最小？此時四邊形PDCQ的面積是多少？【解析】（1）當x＝0，y＝﹣x+3＝3，則點A（0，3），當y＝0，﹣x+3＝0，解得x＝4，則點C（4，0），∵點B與點C關(guān)于原點對稱，∴點B（﹣4，0），BC＝8，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥x軸，AD＝BC＝8，∴D（8，3），將點B（﹣4，0），點D（8，3）代入二次函數(shù)y＝x2+bx+c得，解得，∴二次函數(shù)表達式y(tǒng)＝x2﹣x﹣3；（2）①∵A（0，3），C（4，0），∴AC＝＝5，當點P運動了t秒時，則AP＝t，CQ②作QH⊥AD于H，如圖，∵∠HAQ＝∠OCA，∴△AQH∽△CAO，∴，即，解得QH＝（5﹣t），∴S四邊形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP＝?3?8﹣t?（5﹣t）＝t2﹣t+12＝（t﹣）2+，∴當t＝時，四邊形PDCQ的面積最小，最小面積為．13、如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、C；拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點，并與x軸交于另一點A．（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)P（x，y）是（1）所得拋物線上的一個動點，過點P作直線l⊥x軸于點M，交直線BC于點N．①若點P在第一象限內(nèi)．試問：線段PN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由；②求以BC為底邊的等腰△BPC的面積．【解析】（1）由于直線y=﹣x+3經(jīng)過B、C兩點，令y=0得x=3；令x=0，得y=3，∴B（3，0），C（0，3），∵點B、C在拋物線y=﹣x2+bx+c上，于是得，解得b=2，c=3，∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+2x+3；（2）①∵點P（x，y）在拋物線y=﹣x2+2x+3上，且PN⊥x軸，∴設(shè)點P的坐標為（x，﹣x2+2x+3），同理可設(shè)點N的坐標為（x，﹣x+3），又點P在第一象限，∴PN=PM﹣NM=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x=-∴當時，線段PN的長度的最大值為．②由題意知，點P在線段BC的垂直平分線上，又由①知，OB=OC，∴BC的中垂線同時也是∠BOC的平分線，∴設(shè)點P的坐標為（a，a），又點P在拋物線y=﹣x2+2x+3上，于是有a=﹣a2+2a+3，∴a2﹣a﹣3=0，解得，，∴點P的坐標為：或，若點P的坐標為，此時點P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP=OM=，OB=OC=3，S△BPC=S四邊形BOCP﹣S△BOC=2S△BOP﹣S△BOC=，若點P的坐標為，此時點P在第三象限，則S△BPC=S△BOP+S△COP+S△BOC==14、如圖1，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，AB＝4，矩形OBDC的邊CD＝1，延長DC交拋物線于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，點P是直線EO上方拋物線上的一個動點，過點P作y軸的平行線交直線EO于點G，作PH⊥EO，垂足為H．設(shè)PH的長為l，點P的橫坐標為m，求l與m的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出m的取值范圍），并求出l的最大值．【解析】（1）∵矩形OBDC的邊CD＝1，∴OB＝1，由AB＝4，得OA＝3，∴A（﹣3，0），B（1，0），∵拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點，∴a+b+2=0，9a－3b+2=0，解得：a=，b=，∴拋物線解析式為y＝x2x+2；（2）在y＝x2x+2中，當y＝2時，x＝0或x＝﹣2，∴E（﹣2，2），∴直線OE解析式為y＝﹣x，∠PGH＝∠COE＝45°，∵P（m，m2m+2），PG∥y軸，∴G（m，﹣m），∴PG＝m2m+2﹣（﹣m）＝+∵∠PGH＝∠COE＝45°，∴l(xiāng)＝PG＝+∴當m＝時，l有最大值，最大值為

專題02二次函數(shù)中的線段長度問題1、如圖拋物線y＝ax2+bx+c的圖象過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式，并指出拋物線的頂點坐標．（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△PAC的周長最小，若存在，請求出點P的坐標及△PAC的周長；若不存在，請說明理由．（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點M（不與C點重合），使得S△PAM＝S△PAC，若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c的圖象過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴，得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴該拋物線的頂點坐標為（1，4）即該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，頂點坐標為（1，4）；（2）點A關(guān)于對稱軸的對稱點是點B，連接CB與對稱軸的交點為P，此時點P即為所求，如圖所示：設(shè)過點B（3，0），點C（0，3）的直線解析式為y＝kx+m，，得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，當x＝1時，y＝﹣1+3＝2，∴點P的坐標為（1，2），∵點A（﹣1，0），點C（0，3），點B（3，0），∴AC＝，BC＝3，∴△PAC的周長是：AC+CP+PA＝AC+CB＝，即點P的坐標為（1，2），△PAC的周長是；（3）存在點M（不與C點重合），使得S△PAM＝S△PAC，∵S△PAM＝S△PAC，∴當以PA為底邊時，只要兩個三角形等高即可，即點M和點C到PA的距離相等，當點M在點C的上方時，則CM∥PA時，點M和點C到PA的距離相等，設(shè)過點A（﹣1，0），點P（1，2）的直線l1解析式為：y＝kx+m，，得，∴直線AP的解析式為y＝x+1，∴直線CM的解析式為y＝x+3，由得，，，∴點M的坐標為（1，4）；當點M在點C的下方時，則點M所在的直線l2與AP平行，且直線l2與直線AP之間的距離與直線l1與直線AP之間的距離相等，∴直線l2的的解析式為y＝x﹣1，由得，，，∴M的坐標為（，）或（，）；由上可得，點M的坐標為（1，4），（，）或（，）2、如圖，拋物線y=ax2﹣x+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣2），已知B點坐標為（4，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，記點M到線段BC的距離為d，當d取最大值時，求出此時M點的坐標；（3）若點P是拋物線上一點，點E是直線y=﹣x上的動點，是否存在點P、E，使以點A，點B，點P，點E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由題意得c=-2，0=a×42-×4-2，解得a=，∴拋物線的解析式為：y=x2-x-2.（2）作MN∥y軸交BC于點N，∵的面積==2MN=，∴當MN最大時，的面積也最大，此時M到線段BC的距離d也最大，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,∴,解得,∴y=x-2，∴MN=x-2-(x2

-

x-2)=-x2+2x=-(x-2)2+2，∴當x=2時，MN有最大值2，∴M（2，-3）.∴當d取最大值時，M點的坐標是（2，-3）；（3）存在，理由如下：設(shè)點E的坐標為(n,?n),

以點A,點B,點P,點E為頂點的平行四邊形分兩種情況，如圖，①以線段AB為邊，點E在點P的左邊時，∵A(?1,0),B(4,0),E(n,?n)，∴P(5+n,?n)，∵點P(5+n,?n)在拋物線y=x2

-

x-2上，∴?n=(5+n)2?(5+n)?2,，解得：n1=,n2=，此時點E的坐標為(,)或(,)；以線段AB為邊，點E在點P的右邊時，∵A(?1,0),B(4,0),E(n,?n)，∴P(n?5,?n)，∵點P(n?5,?n)在拋物線y=x2?x?2上，∴?n=(n?5)2?(n?5)?2,即n2?11n+36=0，此時△=(?11)2?4×36=?23<0，∴方程無解；②以線段AB為對角線時，∵A(?1,0),B(4,0),E(n,?n)，∴P(3?n,n)，∵點P(3?n,n)在拋物線y=x2?x?2上，∴n=(3?n)2?(3?n)?2,，解得：n3=,n4=，此時點E的坐標為（,)或(,).綜上可知：存在點P、E,使以A、B、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形，點E坐標為(,)、(,)、（,)或(,).

3、如圖，拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A，B兩點（A點在B點左側(cè)），A(-1,0)，B(3,0)，直線l與拋物線交于A，C兩點，其中C點的橫坐標為2。（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；（3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A，C，F(xiàn)，G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由?！窘馕觥浚?）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，得：a=1，b=﹣2，∴y=x2﹣2x﹣3．（2）將C點的橫坐標x=2代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（2，﹣3），∴直線AC的函數(shù)解析式是y=﹣x﹣1．設(shè)P點的橫坐標為x（﹣1≤x≤2），則P、E的坐標分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）．∵P點在E點的上方，∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2，∴當x=12時，PE的最大值=9（3）存在．討論如下：①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點．∵C（2，﹣3），G（0，﹣3），∴CG∥x軸，此時AF=CG=2，∴F點的坐標是（﹣3，0）；②如圖，AF=CG=2，A點的坐標為（﹣1，0），因此F點的坐標為（1，0）；③如圖，設(shè)F（x，0）．∵ACFG是平行四邊形，∴AF的中點與CG的中點重合．∵AF的中點的縱坐標為0，∴C，G兩點的縱坐標互為相反數(shù)，∴G點的縱坐標為3，∴x2﹣2x﹣3=3，解得：x=1±7，∴G點的坐標為（1±7，3），∴AF的中點的橫坐標=CG的中點的橫坐標，∴2+1±72=?1+x2，解得：x=綜上所述：存在4個符合條件的F點，分別為F（﹣3，0），（1，0），（4+7，0），（4﹣7，0）．

4、在如圖的平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2amx+am2+1（a＜0）與x軸交于點A和點B，點A在點B的左側(cè)，與y軸交于點C，頂點是D，且∠DAB＝45°．（1）填空：點C的縱坐標是（用含a、m的式子表示）；（2）求a的值；（3）點C繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點C′，當﹣12≤m≤52時，求【解析】（1）當x＝0時，y＝ax2﹣2amx+am2+1＝am2+1，∴點C的縱坐標為am2+1．（2）設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點E，如圖1所示．∵DA＝DB，∠DAB＝45°，∴△ABD為等腰直角三角形，∴AB＝2DE．∵y＝ax2﹣2amx+am2+1＝a（x﹣m）2+1，∴點D的坐標為（m，1）．當y＝0時，ax2﹣2amx+am2+1＝0，即a（x﹣m）2＝﹣1，解得：x1＝m﹣?1a，x2＝m+∴AB＝2?1a＝2，解得：（3）由（1）（2）可知：點C的坐標為（0，1﹣m2），點B的坐標為（m+1，0）．∵點C繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點C′，∴點C′的坐標為（m2﹣1，0），∴BC′＝|m+1﹣（m2﹣1）|＝|﹣m2+m+2|．∵﹣m2+m+2＝﹣（m﹣12）2+94，﹣12≤m∴當m＝52時，﹣m2+m+2取得最小值，最小值為﹣7當m＝12時，﹣m2+m+2取得最大值，最大值為9∴當﹣12≤m≤52時，﹣74≤﹣m2+m∴當﹣12≤m≤52時，0≤BC′≤5、如圖，直線y＝﹣x+5與x軸交于點B，與y軸交于點D，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝﹣x+5交于B，D兩點，點C是拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）點M是直線BD上方拋物線上的一個動點，其橫坐標為m，過點M作x軸的垂線，交直線BD于點P，當線段PM的長度最大時，求m的值及PM的最大值；（3）在拋物線上是否存在異于B、D的點Q，使△BDQ中BD邊上的高為3，若存在求出點Q的坐標；若不存在請說明理由．【分析】（1）y=-x+5，令x=0，則y=5，令y=0，則x=5，故點B、D的坐標分別為（5，0）、（0，5），利用待定系數(shù)法即可求解；（2）由題意可得M點坐標為（m，﹣m2+4m+5），則則P點坐標為（m，﹣m+5），表示出PM的長度：PM=-m2+4m+5-（-m+5）=-m2+5m=-（m-）2+，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）過Q作QG∥y軸交BD于點G，交x軸于點E，作QH⊥BD于H，設(shè)出Q點坐標Q（x，﹣x2+4x+5），則G（x，﹣x+5），表示出QG的長度QG=|-x2+4x+5-（-x+5）|=|-x2+5x|，由條件可得△BOD是等腰直角三角形，，可證得△QHG為等腰直角三角形，則當△BDQ中BD邊上的高為3時，即QH=HG=3，QG=×3=6，|-x2+5x|=6，即可求解．【解析】（1）y＝﹣x+5，令x＝0，則y＝5，令y＝0，則x＝5，故點B、D的坐標分別為（5，0）、（0，5），則二次函數(shù)表達式為：y＝﹣x2+bx+5，將點B坐標代入上式并解得：b＝4，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+4x+5；（2）設(shè)M點橫坐標為m（m＞0），則P（m，﹣m+5），M（m，﹣m2+4m+5），∴PM＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m-）2+，∴當m＝時，PM有最大值；（3）如圖，過Q作QG∥y軸交BD于點G，交x軸于點E，作QH⊥BD于H，設(shè)Q（x，﹣x2+4x+5），則G（x，﹣x+5），∴QG＝|﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）|＝|﹣x2+5x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，∴△QHG是等腰直角三角形，當△BDQ中BD邊上的高為3時，即QH＝HG＝3，∴QG＝×3＝6，∴|﹣x2+5x|＝6，當﹣x2+5x＝6時，解得x＝2或x＝3，∴Q（2，9）或（3，8），當﹣x2+5x＝﹣6時，解得x＝﹣1或x＝6，∴Q（﹣1，0）或（6，﹣7），綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標為Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（6，﹣7）．【小結(jié)】本題考查二次函數(shù)綜合運用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)及方程思想等知識，要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．在（1）中主要是待定系數(shù)法的考查，在（2）中用P點坐標表示出PM的長是解題的關(guān)鍵，在（3）中構(gòu)造等腰直角三角形求得QG的長是解題的關(guān)鍵．

6、如圖1，拋物線y＝﹣x2+mx+n交x軸于點A(﹣2，0)和點B，交y軸于點C(0，2)．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)若點M在拋物線上，且S△AOM＝2S△BOC，求點M的坐標；(3)如圖2，設(shè)點N是線段AC上的一動點，作DN⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DN長度的最大值．【解析】（1）A（﹣2，0），C（0，2）代入拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2+mx+n，得，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2．（2）由（1）知，該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2，則易得B（1，0），設(shè)M（m，n）然后依據(jù)S△AOM=2S△BOC列方程可得：?AO×|n|=2××OB×OC，∴×2×|﹣m2﹣m+2|=2，∴m2+m=0或m2+m﹣4=0，解得m=0或﹣1或，∴符合條件的點M的坐標為：（0，2）或（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A（﹣2，0），C（0，2）代入得，解得，∴直線AC的解析式為y=x+2，設(shè)N（x，x+2）（﹣2≤x≤0），則D（x，﹣x2﹣x+2），ND=（﹣x2﹣x+2）﹣（x+2）=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，∵﹣1＜0，∴x=﹣1時，ND有最大值1．∴ND的最大值為1．7、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x（x﹣b）﹣12與y軸相交于A點，與x軸相交于B、C兩點，且點C在點B的右側(cè)，設(shè)拋物線的頂點為P（1）若點B與點C關(guān)于直線x＝1對稱，求b的值；（2）若OB＝OA，求△BCP的面積；（3）當﹣1≤x≤1時，該拋物線上最高點與最低點縱坐標的差為h，求出h與b的關(guān)系；若h有最大值或最小值，直接寫出這個最大值或最小值．【解析】（1）∵點B與點C關(guān)于直線x＝1對稱，y＝x（x﹣b）﹣12＝x2﹣bx﹣1∴﹣?b2＝1，解得：b（2）當x＝0時，y＝x2﹣bx﹣12＝﹣1∴點A的坐標為（0，﹣12又∵OB＝OA，∴點B的坐標為（﹣12將B（﹣12，0）代入y＝x2﹣bx﹣12，得：0＝14+12b﹣12∴拋物線的解析式為y＝x2﹣12x﹣1∵y＝x2﹣12x﹣12＝（x﹣14）2∴點P的坐標為（14，﹣9當y＝0時，x2﹣12x﹣12＝0，解得：x1＝﹣12，∴點C的坐標為（1，0）．∴S△BCP＝12×[1﹣（﹣12）]×|﹣916（3）y＝x2﹣bx﹣12＝（x﹣b2）2﹣12當b2≥1，即by最大＝b+12，y最?。僵乥+1∴h＝2b；當0≤b2＜1，即0≤by最大＝b+12，y最?。僵?2﹣∴h＝1+b+b24＝（1+b2當﹣1＜b2＜0，﹣2＜by最大＝12﹣b，y最?。僵?2﹣∴h＝1﹣b+b24＝（1﹣b2當b2≤﹣1，即by最大＝﹣b+12，y最?。絙+1h＝﹣2b．綜上所述：h＝2b(b?2)1+b28、如圖，拋物線交x軸于點A（﹣3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點P在拋物線上，且，求點P的坐標；（3）如圖b，設(shè)點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值．【解析】（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，故該拋物線的解析式為：；（2）由（1）知，該拋物線的解析式為，則易得B（1，0），設(shè)P點坐標為（x，），∵，∴，整理，得或，解得x=﹣1或x=，則符合條件的點P的坐標為：（﹣1，4），，；（3）設(shè)直線AC的解析式為，將A（﹣3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，即直線AC的解析式為．設(shè)Q點坐標為（x，x+3），（﹣3≤x≤0），則D點坐標為（x，），QD===，∴當x=時，QD有最大值．9、如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，．點在函數(shù)圖像上，軸，且，直線是拋物線的對稱軸，是拋物線的頂點．（1）求、的值；（2）如圖①，連接，線段上的點關(guān)于直線的對稱點恰好在線段上，求點的坐標；（3）如圖②，動點在線段上，過點作軸的垂線分別與交于點，與拋物線交于點．試問：拋物線上是否存在點，使得與的面積相等，且線段的長度最??？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由．【解析】（1）軸，，拋物線對稱軸為直線，點的坐標為解得或（舍去），（2）設(shè)點的坐標為對稱軸為直線點關(guān)于直線的對稱點的坐標為.直線經(jīng)過點利用待定系數(shù)法可得直線的表達式為.因為點在上，即點的坐標為（3）存在點滿足題意.設(shè)點坐標為，則作垂足為①點在直線的左側(cè)時，點的坐標為點的坐標為點的坐標為在中，時，取最小值.此時點②點在直線的右側(cè)時，點的坐標為同理，時，取最小值.此時點的坐標為綜上所述：滿足題意得點的坐標為和

10、函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，OB=OC．點D在函數(shù)圖像上，CD//x軸，且CD=2，直線l是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點．（1）求b、c的值；（2）如圖①，連接BE，線段OC上的點F關(guān)于直線l的對稱點F′恰好在線段BE上，求點F的坐標；（3）如圖②，動點P在線段OB上，過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M，與拋物線交于點N．試問：拋物線上是否存在點Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長度最?。咳绻嬖?，求出點Q的坐標；如果不存在，說明理由．圖①圖②【解析】（1）∵CD∥x軸，CD=2，∴拋物線對稱軸為x=1，∴?b∵OB=OC，C（0，c），∴B點的坐標為（﹣c，0），∴0=c2+2c+c，解得：c=﹣3或c=0（舍去），∴c=﹣3；（2）設(shè)點F的坐標為（0，m）．∵對稱軸為直線x=1，∴點F關(guān)于直線l的對稱點F的坐標為（2，m）．由（1）可知拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4）．∵直線BE經(jīng)過點B（3，0），E（1，﹣4），∴利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達式為y=2x﹣6．∵點F在BE上，∴m=2×2﹣6=﹣2，即點F的坐標為（0，﹣2）；（3）存在點Q滿足題意．設(shè)點P坐標為（n，0），則PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3．作QR⊥PN，垂足為R．∵S△PQN=S△APM，∴12（n分兩種情況討論：①點Q在直線PN的左側(cè)時，Q點的坐標為（n﹣1，n2﹣4n），R點的坐標為（n，n2﹣4n），N點的坐標為（n，n2﹣2n﹣3），∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2，∴n=32時，NQ取最小值1．此時Q②點Q在直線PN的右側(cè)時，Q點的坐標為（n+1，n2﹣4）．同理，NQ2=1+（2n﹣1）2，∴n=12時，NQ取最小值1．此時Q綜上可知存在滿足題意的點Q，其坐標為（12，?11、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)a≠0）與x軸，y軸分別交于A，B，C三點，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），動點E從拋物線的頂點點D出發(fā)沿線段DB向終點B運動．（1）直接寫出拋物線解析式和頂點D的坐標；（2）過點E作EF⊥y軸于點F，交拋物線對稱軸左側(cè)的部分于點G，交直線BC于點H，過點H作HP⊥x軸于點P，連接PF，求當線段PF最短時G點的坐標；（3）在點E運動的同時，另一個動點Q從點B出發(fā)沿直線x=3向上運動，點E的速度為每秒個單位長度，點Q速度均為每秒1個單位長度，當點E到達終點B時點Q也隨之停止運動，設(shè)點E的運動時間為t秒，試問存在幾個t值能使△BEQ為等腰三角形？并直接寫出相應(yīng)t值．【解析】(1)由題意得，解得，∴拋物線y=?x2+2x+3，頂點D為(1,4)；(2)如圖，連接OH，∵EF⊥y軸，HP⊥x軸，x軸⊥y軸，∴四邊形HPOF是矩形，∴PF=OH，∴當OH最短時，PF最短，∴OH⊥BC時，PF最短，可得H的縱坐標為，把y=代入y=?x2+2x+3中，則=?x2+2x+3，得x1=,x2=(舍)，∴G點坐標(，)（3）如圖，DB=2，yBD=-2x+6，即，點E坐標為（，）,Q(3，t)當BE=BQ時，2-t=tt=；當BE=EQ時(2-t)2=(+(,當BQ=EQ時t2=(+(,所以存在3個t值：t=．，

12、如圖（1），二次函數(shù)y＝ax2﹣bx（a≠0）的圖象與x軸、直線y＝x的交點分別為點A(4，0)、B(5，5)．（1）a＝，b＝，∠AOB＝°；（2）連接AB，點P是拋物線上一點（異于點A），且∠PBO＝∠OBA，求點P的坐標；（3）如圖（2），點C、D是線段OB上的動點，且CD＝2．設(shè)點C的橫坐標為m．①過點C、D分別作x軸的垂線，與拋物線相交于點F、E，連接EF．當CF+DE取得最大值時，求m的值并判斷四邊形CDEF的形狀；②連接AC、AD，求m為何值時，AC+AD取得最小值，并求出這個最小值．【分析】（1）將點A、B的坐標代入二次函數(shù)表達式，即可求解；（2）證明△HOB≌△AOB（AAS），得OA＝OH＝4，即點H（0，4），即可求解；（3）①則CF+DE＝m﹣m2+4m+（m+2）﹣[（m+2）2﹣4（m+2）]＝﹣2m2+6m+6，即可求解；②如圖所示，過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，交于點G，則四邊形ACDG是平行四邊形，當A'、D、G三點共線時，A'D+DG＝A'G最短，即可求解．【解析】（1）將點A、B的坐標代入二次函數(shù)表達式得：，解得：，故二次函數(shù)表達式為：y＝x2+4x，∵點O，B在直線y=x上，∴OB平分∠xOy，∴∠AOB=45?；（2）設(shè)直線BP交y軸于點H，∵∠HOB＝∠AOB＝45°，∠PBO＝∠OBA，BO＝BO，∴△HOB≌△AOB（AAS），∴OA＝OH＝4，即點H（0，4），則直線PB的表達式為：y＝kx+4，將點B坐標代入上式并解得：直線PB的表達式為：y＝x+4，將上式與二次函數(shù)表達式聯(lián)立并解得：x＝5或﹣（舍去正值），則點P（﹣，）；（3）①由題意得：直線OB的表達式為：y＝x，設(shè)點C（m，m），CD＝2，直線OB的傾斜角為45度，則點D（m+2，m+2），則點F（m，m2﹣4m），點E[（m+2），（m+2）2﹣4（m+2）]，則CF+DE＝m﹣m2+4m+（m+2）﹣[（m+2）2﹣4（m+2）]＝﹣2m2+6m+6，∵﹣2＜0，故CF+DE有最大值，此時，m＝，則點C、F、D、E的坐標分別為（，）、（，﹣）、（，）、（，﹣），則CF＝DE＝，CF∥ED，故四邊形CDEF為平行四邊形；②如圖所示，過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，交于點G，則四邊形ACDG是平行四邊形，∴AC＝DG，作點A關(guān)于直線OB的對稱點A'（0，4），連接A'D，則A'D＝AD，∴當A'、D、G三點共線時，A'D+DG＝A'G最短，此時AC+AD最短，∵A（4，0），AG＝CD＝2，則點G（6，2），則AC+AD最小值＝A'G＝＝2；【小結(jié)】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．

專題03二次函數(shù)中的寬高模型解決面積問題面積中的寬高模型如圖，試探究△ABC面積【解法】一：如圖1，過點C（定點）作CD⊥x軸交AB于點D，則S△ABC=S△ACD+S△BCD圖1圖2如圖2，過點B作BF⊥CD于點F，過點A作AE⊥CD于點E，過點A作AG⊥x軸于點G，則S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·（AE+BF）=CD·OG說明：其中OG表示A、B兩點之間在水平方向上的距離，可稱為△ABC的水平寬，CD可稱為△ABC的鉛垂高，即S△ABC=×水平寬×鉛垂高，可稱為“寬高公式”【解法】二：如圖3，過點 A作AD⊥x軸交BC的延長線于點D，則S△ABC=S△ABD-S△ACD圖3圖4如圖4，過點B作BH⊥AD交于點H，則S△ABC=S△ABD-S△ACD=AD·BH-AD·CG=AD·（BH-CG）=AD·OC說明：OC是△ABC的水平寬，AD是△ABC的鉛垂高.【解法】三：如圖5，過點B作BD⊥y軸交AC于點D，則S△ABC=S△ABD+S△BCD圖5圖6如圖6，過點C作CH⊥BD于點H，過點A作AG⊥x軸于點G，交BD的延長線于點E，則S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·AE+BD·CH=BD·（AE+CH）=BD·AG說明：BD是△ABC的水平寬，AG是△ABC的鉛垂高.【解法】四：如圖7，過點 A作AE⊥y軸于點E，延長AE交BC反向延長線于點D，則S△ABC=S△ACD-S△ABD圖7圖8如圖8，過點C作CF⊥AD交于點F，則S△ABC=S△ACD-S△ABD=AD·CF-AD·BE=AD·（CF-BE）=AD·OB說明：AD是△ABC的水平寬，OB是△ABC的鉛垂高.【總結(jié)】無論點A、B、C三點的相對位置如何，“寬高模型”對圖形面積求解總是適用，其證明方法、證明過程、最終結(jié)論都基本一致，利用大面積-小面積或割補法求解，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中“變中不變”的和諧統(tǒng)一之美。1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點，若△PAC面積為3，求點P的坐標；【解析】（1）y=-x2-2x+3；如圖，過點P作PQ//y軸，交AC于點Q，∵A（-3,0），B（0,3）∴直線AC：y=x+3設(shè)P（x,-x2-2x+3），Q（x，x+3）∴PQ=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x∴S△PAC=PQ·OA∴（-x2-3x）·3=3解得：x1=-1,x2=-2∴P（-1,4）或（-2,3）

在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a：任意兩點橫坐標差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩面積”S=ah．例如：三點坐標分別為A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），則“水平底”a=5，“鉛垂高”h=4，“矩面積”S=ah=20．（1）已知點A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．①若A，B，P三點的“矩面積”為12，求點P的坐標；②直接寫出A，B，P三點的“矩面積”的最小值．（2）已知點E（4，0），F(xiàn)（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．①若E，F(xiàn)，M三點的“矩面積”為8，求m的取值范圍；②直接寫出E，F(xiàn)，N三點的“矩面積”的最小值及對應(yīng)n的取值范圍．【解析】（1）①由題意：a=4．當t＞2時，h=t-1，則4（t-1）=12，可得t=4，故點P的坐標為（0，4）；當t＜1時，h=2-t，則4（2-t）=12，可得t=-1，故點P

的坐標為（0，-1）；②∵根據(jù)題意得：h的最小值為：1，∴A，B，P三點的“矩面積”的最小值為4；故答案為：4；（2）∵E，F(xiàn)，M三點的“矩面積”為8，∴a=4，h=2，∴0≤m≤．∵m＞0，∴0＜m≤．

3、如圖所示，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+6（a≠0）交x軸于A（-4，0），B（2，0），在y軸上有一點E（0，-2），連接AE．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）點D是第二象限內(nèi)的拋物線上一動點．①求△ADE面積最大值并寫出此時點D的坐標；②若tan∠AED=，求此時點D坐標；（3）連接AC，點P是線段CA上的動點，連接OP，把線段PO繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°至PQ，點Q是點O的對應(yīng)點．當動點P從點C運動到點A，則動點Q所經(jīng)過的路徑長等于（直接寫出答案）【解析】（1）將A（-4，0），B（2，0）代入y=ax2+bx+6（a≠0），可得：a=，b=，∴y=x2x+6（2）①如圖所示，由“寬高模型”易證得S△ADE=DF·OE由A（-4,0）E（0，-2）可得：直線AE解析式為：y=x-2設(shè)D（x，x2x+6）則F點的縱坐標為x2x+6∵點F在直線AE上，∴F的橫坐標為x2x-16∴DF=x2x+16，又OE=2，∴S△ADE=DF·OE=x2x+16=（x+）2+∵<0，∴拋物線開口向下∴當x=-時，S△ADE取最大值，此時點D（-，）②如圖，過點A作AH⊥DE交DE于點H，∵tan∠AED=，∴∵OA=4，OE=2，∴AE=，∴AH=，HE=3，易證△AHG∽△EOG，∴=設(shè)OG=m，則HG=m，∴GE=HE-HG=3-m∴在Rt△OGE中，由勾股定理可得：m=2，∴OG=2，∴G（-2,0），∴直線GE解析式為：y=-x-2∴聯(lián)立拋物線和直線GE函數(shù)解析式，可得：D（）（3）如圖所示，∵Q點隨P點運動而運動，P點在線段AC上運動，∴Q點的運動軌跡是線段，當P點在A點時，Q（-4，-4），當P點在C點時，Q（-6，6），∴Q點的軌跡長為2.

4、如圖，已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C．（1）求A、B、C三點的坐標;（2）過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積;（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似．若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由．【解析】（1）令，得解得令，得∴ABC（2）∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=，∵AP∥CB，∴PAB=過點P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE=∴P∵點P在拋物線上∴解得，（不合題意，舍去），∴PE=∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE=(3)．假設(shè)存在∵PAB=BAC=∴PAAC∵MG軸于點G，∴MGA=PAC=在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=∴AP=設(shè)M點的橫坐標為，則M①點M在軸左側(cè)時，則(ⅰ)當AMGPCA時，有=∵AG=，MG=即解得（舍去）（舍去）(ⅱ)當MAGPCA時有=即解得：（舍去）∴M②點M在軸右側(cè)時，則(ⅰ)當AMGPCA時有=∵AG=，MG=∴解得（舍去）∴M(ⅱ)當MAGPCA時有=即解得：（舍去）∴M∴存在點M，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似M點的坐標為，，

5、如圖,在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線經(jīng)過A，B兩點，拋物線的頂點為D．（1）求b,c的值；（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(點A、B除外)，過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當線段EF的長度最大時，求點E的坐標；（3）在（2）的條件下：①求以點Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ為頂點的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，說明理由.【解析】（1）由已知得：A（-1，0）B（4，5）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A（-1，0）B(4,5)，∴，解得：b=-2c=-3（2）如２６題圖：∵直線AB經(jīng)過點A（-1，0）B(4,5)∴直線AB的解析式為：y=x+1∵二次函數(shù)∴設(shè)點E(t，t+1),則F（t，）∴EF==∴當時，EF的最大值=∴點E的坐標為（，）（3）①如２６題圖：順次連接點E、B、F、D得四邊形ＥＢＦＤ．可求出點F的坐標（，）,點D的坐標為（1，-4）S=S+S==②如２６題備用圖：ⅰ)過點E作a⊥EF交拋物線于點P,設(shè)點P(m,)則有：解得:,∴,ⅱ）過點F作b⊥EF交拋物線于，設(shè)（n，）則有：解得：，（與點F重合，舍去）∴綜上所述：所有點P的坐標：，（.能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．

專題04二次函數(shù)中的平行模型解決面積問題【模型展示】初中數(shù)學(xué)中考壓軸題有一種常考的類型，二次函數(shù)最大面積問題。常用的方法有平行法、鉛垂高法、矩形覆蓋法等。本文主要說明一下平行法，一般都是平移定底找最大高，形成與二次函數(shù)圖像只有一個交點。然后利用一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像只有一個交點，聯(lián)立出一元二次方程解根的判別式等于零，進而求出一次函數(shù)解析式，交點坐標可求。最大高一般都是空中有高平移至與坐標軸交點處，構(gòu)成直角三角形，與已知一次函數(shù)與坐標軸所夾直角三角形相似。1、如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．（1）求點A、B的坐標；（2）設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E(4,0)，M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．圖1圖2圖3【解析】（1）由，得拋物線與x軸的交點坐標為A(－4,0)、B(2,0)．對稱軸是直線x＝－1．（2）△ACD與△ACB有公共的底邊AC，當△ACD的面積等于△ACB面積時，點B、D到直線AC距離相等．過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側(cè)有對應(yīng)的點D′．設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，與AC交于點H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．所以，點D的坐標為．因為AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐標為．（3）過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M．以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了．聯(lián)結(jié)GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．所以點M1的坐標為(－4,6)，過M1、E的直線l為．根據(jù)對稱性，直線l還可以是．2、如圖1，二次函數(shù)y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖像與x軸分別交于A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C(0,－3)，點D在二次函數(shù)的圖像上，CD//AB，聯(lián)結(jié)AD．過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點E，AB平分∠DAE．（1）用含m的式子表示a；（2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點為F．探索：在x軸的負半軸上是否存在點G，聯(lián)結(jié)GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由．圖1【分析】1．不算不知道，一算真奇妙．通過二次函數(shù)解析式的變形，寫出點A、B、F的坐標后，點D的坐標也可以寫出來．點E的縱坐標為定值是算出來的．2．在計算的過程中，第（1）題的結(jié)論及其變形反復(fù)用到．3．注意到點E、D、F到x軸的距離正好是一組常見的勾股數(shù)（5，3，4），因此過點F作AD的平行線與x軸的交點，就是要求的點G．【解析】（1）將C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此．（2）由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)2－4，得A(－m,0)，B(3m,0)，F(xiàn)(m,－4)，對稱軸為直線x＝m．所以點D的坐標為(2m,－3)．設(shè)點E的坐標為(x,a(x＋m)(x－3m))．如圖2，過點D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為D′、E′．由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此．所以am(x－3m)＝1．結(jié)合，于是得到x＝4m．當x＝4m時，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以點E的坐標為(4m,5)．所以．圖2圖3（3）如圖3，由E(4m,5)、D(2m,－3)、F(m,－4)，可知點E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3．那么過點F作AD的平行線與x軸的負半軸的交點，就是符合條件的點G．證明如下：作FF′⊥x軸于F′，那么．因此．所以線段GF、AD、AE的長圍成一個直角三角形．此時GF′＝4m．所以GO＝3m，點G的坐標為(－3m,0)．

3、如圖1，已知拋物線（b是實數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C．（1）點B的坐標為______，點C的坐標為__________（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．圖1【分析】（1）B的坐標為(b,0)，點C的坐標為(0,)．（2）如圖2，過點P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．設(shè)點P的坐標為(x,x)．如圖3，聯(lián)結(jié)OP．所以S四邊形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．解得．所以點P的坐標為()．圖2圖3（3）由，得A(1,0)，OA＝1．①如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．當，即時，△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合題意的點Q為()．②如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x＝1交于點Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．當時，△BQA∽△QOA．此時∠OQB＝90°．所以C、Q、B三點共線．因此，即．解得．此時Q(1,4)．圖4圖54、如圖1，已知拋物線的方程C1：(m＞0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側(cè)．（1）若拋物線C1過點M(2,2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH＋EH最小，求出點H的坐標；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．圖1【分析】1．第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當H落在線段EC上時，BH＋EH最?。?．第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示點F的坐標．然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程．【解析】（1）將M(2,2)代入，得．解得m＝4．（2）當m＝4時，．所以C(4,0)，E(0,2)．所以S△BCE＝．（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1，當H落在線段EC上時，BH＋EH最?。O(shè)對稱軸與x軸的交點為P，那么．因此．解得．所以點H的坐標為．（4）①如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以當，即時，△BCE∽△FBC．設(shè)點F坐標為，由，得．得x＝m＋2．F′(m＋2,0)由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程無解．圖2圖3圖4②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．綜合①、②，符合題意的m為．5、如圖1，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．圖1圖2圖3【分析】1．用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗．2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起．【解析】（1）如圖2，過點B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點B的坐標為．（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設(shè)點P的坐標為(2,y)．①當OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當P在時，B、O、P三點共線（如圖2）．②當BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．③當PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點P的坐標為，如圖2所示．6、如圖，矩形O1A1BC1，由矩形OABC旋轉(zhuǎn)得到，點A在y軸上，點C，O1在x軸上，O1A1與BC交于點D，B的坐標為（﹣1，3）．（1）求線段O1A1所在直線的函數(shù)表達式；（2）如果函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過O1，O，D三點．問該拋物線上是否有一點P使△