2020-超常數(shù)學(xué)競(jìng)賽-7年級(jí)-初賽-真題（含答案）

PAGEPAGE10/102020年超常（數(shù)學(xué)）思維與創(chuàng)新能力測(cè)評(píng)（）姓名： 考試時(shí)間：90分鐘滿分：120分考試說明25道不定項(xiàng)選擇題（可能有幾個(gè)選項(xiàng)正確）1?104分，11—20521?256分。每道題的分值按正確選項(xiàng)的個(gè)數(shù)平均分配，但是如有錯(cuò)選，則該題不得分。分?jǐn)?shù)2 2 +1+ 2 2 2 2+??

2 1+21+可以表示成??

的形式，??和??為互素正整數(shù)，則2??+??的值為（）.A.15 B.25 C.35 D.55 E.75在丙的一個(gè)頂點(diǎn)上，甲與丙不重疊，則甲、乙、丙一共覆蓋的面積是（）cm2A.6 B.7 C.8 D.9 E.10(下的痕跡（包括初始位置）是（）.A.1—1，2—2，3—3，4—4，5—5，6—6B.1—1，2—3，3—5，4—2，5—4，6—6C.1—1，2—3，3—6，4—10，5—7，6—1D.1—3，2—5，3—6，4—10，5—7，6—1E.1—3，2—4，3—5，4—6，5—10，6—11已知?jiǎng)t??????等于（）.

??=???=???=?

2019×2019?20192018×2018+20182020×2020?20202019×2019+20192021×2021?20212020×2020+2020A.?1 B.3 C.?3 D.1 E.25.已知??1，??2，??3，??2020，??2021均為正數(shù).且??=(??1+??2+??3+?+??2020)(??2+??3+?+??2021)??=(??1+??2+??3+?+??2021)(??2+??3+?+??2020)N的大小關(guān)系為（）.A.??>?? B.??≥?? C.??<??D.??≤?? E.??、??關(guān)系不確定下列圖中能夠相互補(bǔ)充構(gòu)成立方體的圖形對(duì)是（）.A.1—8，2—11 B.3—6，4—12C.5—16，7—14 E.1—9，3—7△????F是△????的內(nèi)心若∠????????????（）度.A.100 B.108 C.112 D.120 E.135算式可怕新冠×抗×抗×抗×=新冠不可怕“新冠不可怕”=（）.A.98765 B.90762 C.91056 D.92056 E.56920形（包括正方形）和三角形分別有（）個(gè).A.265，267 B.266，268 C.268，266 D.365，367 E.366，368部停在若干個(gè)湖中，則這群天鵝原來可能有（）只.A.63 B.127 C.255 D.1023 E.2021?”旋轉(zhuǎn)后的形狀、數(shù)量、方位等找出其正確的排列情形位等找出其正確的排列情形.以下選項(xiàng)符合上述規(guī)律的是（）.613朵.第.100，但不超200，如果不計(jì)順序，兩次去采蘑菇的人數(shù)為（）個(gè).A.10 B.12 C.14 D.16 E.18COUNTEREXAMPLETOEULER'SCONJECTUREONSUMSOFLIKEPOWERSBYL.J.LANDERANDT.R.PARKINCommunicatedbyJ.D.Swift,June27,1966AdirectsearchontheCDC6600yielded275+845+1105+1335=1445asthesmallestinstanceinwhichfourfifthpowerssumtoafifthpower.ThisisacounterexampletoaconjecturebyEuler[1]thatatleast????thpowersarerequiredtosumtoan??thpower，??>2.REFERENCE1.L.E.Dickson，Historyofthetheoryofnumbers，Vol.，Chelsen，NewYork，1952，p.648.幾百年前，大數(shù)學(xué)家歐拉提出過一個(gè)猜想：至少??個(gè)??次方數(shù)加起來才能等于一個(gè)??次方45次方數(shù)加.當(dāng)然也許還有其他反例.如果大家能找到也可以發(fā)表，從而青史留名.以1445=275+845+1105+1335為反例推翻了歐拉猜想，那么問題來了，277+847+1107+1337（）.A.小于1447?1 B.等于1447?1 C.等于1447D.等于1447+2 E.大于1447+114個(gè)邊的多邊形），5個(gè)銳角，對(duì)一個(gè)2001邊形，若它的任意兩個(gè)邊除了頂點(diǎn)處之外并不相交于內(nèi)部，請(qǐng)問這個(gè)多邊形最多可能有（）個(gè)銳角.A.1001 B.667 C.1334 D.1335 E.2001.5min趕上了第二個(gè)第二個(gè)行人出村后過了（）min能趕上第一個(gè)行人.A.10 B.14 C.20 D.28 E.40的是（）.A.甲 B.乙 C.甲和乙D.甲，乙和丙 E.無法確定.與另一位將軍交戰(zhàn)，損失了一些人，也俘虜了一些人，人數(shù)的情況如下：位將軍在交戰(zhàn)前有5281個(gè)士兵，則他在交戰(zhàn)后還剩下（）個(gè)士兵.A.1000 B.2851 C.29031 D.20202 無法確定立體組合與展開是一體的兩面，只要了解組合之規(guī)則，同樣可以施用于展開，反之亦然.左下圖是下列哪個(gè)立方體的展開面？（）19.??，??，??都是正整數(shù)，??<??<??，且????+????+????=??????，則??+??+??的值為（）.A.8 B.9 C.10 D.11 E.無法確定3分，01分.2分、3分、4分、5分，比賽結(jié)果前三名分別是甲、乙、丙.則第四名負(fù)于（）.A.甲 B.乙 C.丙 D.甲和乙 E.甲或乙OAOT(O).青蛙將越跳越遠(yuǎn).B青蛙將最終跳入三角形內(nèi).??6與??0重合，即六次跳動(dòng)回到原處.??12與??0重合，即十二次跳動(dòng)回到原處..李明和馬麗參加一次猜數(shù)比賽.李明被告知某三個(gè)正整數(shù)的和，馬麗被告知這三個(gè)數(shù)的乘積馬麗回答道：“可惜我的數(shù)比你的數(shù)小.”這三個(gè)數(shù)的和是（）.A.3 B.4 C.6 D.10 E.12AK，BM，CN，DL1ABCD分成面積為??1，??2，??3，??4的4個(gè)三角形和5個(gè)四邊形，中間一個(gè)四邊形的面積等于??0，且??0=??1+??2+??3+??4（如圖）.則????+????+????+????=（）.B.2 C.3 D.4 E.無法確定0~9把它們像撲克牌那樣洗過后，如下圖那樣排成兩行.排列規(guī)則如下：.②黑、白卡片數(shù)字相同時(shí)，黑卡片放在左邊.III、IV卡片上的數(shù)字可能是( A.3 B.9 C.6 D.8 E.725.對(duì)于數(shù)列??1，??2，??3|??1|=1，對(duì)于每一個(gè)??=1，2，|????+1|=|????+1|.（1）若??=2019，則|??1+??2+?+????|最小可能值為??;（2）若??=2020，則|??1+??2+?+????|最小可能值為??.則??+??=（）.A.2020 B.100 C.87 D.44 E.無法確定PAGEPAGE10/212020年超常（數(shù)學(xué)）思維與創(chuàng)新能力測(cè)評(píng)（）姓名： 考試時(shí)間：90分鐘滿分：120分考試說明25道不定項(xiàng)選擇題（可能有幾個(gè)選項(xiàng)正確）1?104分，11—20521?256分。每道題的分值按正確選項(xiàng)的個(gè)數(shù)平均分配，但是如有錯(cuò)選，則該題不得分。分?jǐn)?shù)2 2 +1+ 2 2 2 2+??

2 1+21+可以表示成??

的形式，??和??為互素正整數(shù)，則2??+??的值為（）.A.15 B.25 C.35 D.55 E.75解因?yàn)? 2 2 2 = 2 2 2 2 2+1

+1+31+3

2 1+2 2+1+

2 2+1

+1++12

1+2 31+23=2 2+153=2 6+15

+1+2+1+

2 1+2532 1+652=2 211+1+115 52=10 1011+1+1122=10+11+1022=31222+31=75.E在丙的一個(gè)頂點(diǎn)上，甲與丙不重疊，則甲、乙、丙一共覆蓋的面積是（）cm2A.6 B.7 C.8 D.9 E.10解易見解圖中兩個(gè)陰影的三角形面積相同.甲、乙重合部分面積1 ==4??正方形2÷4=1=3×2?21=10cm2.E.(下的痕跡（包括初始位置）是（）.A.1—1，2—2，3—3，4—4，5—5，6—6B.1—1，2—3，3—5，4—2，5—4，6—6C.1—1，2—3，3—6，4—10，5—7，6—1D.1—3，2—5，3—6，4—10，5—7，6—1E.1—3，2—4，3—5，4—6，5—10，6—11.D.已知?jiǎng)t??????等于（）.

??=???=???=?

2019×2019?20192018×2018+20182020×2020?20202019×2019+20192021×2021?20212020×2020+2020A.?1 B.3 C.?3 D.1 E.2因?yàn)?019×(2019?1) 2019×2018+1)=?2018×2019=?12020×(2020?1) 2020×2019+1)=?2019×2020=?12021×(2021?1) 2021×2020??=?2020×(2020+1)=?2020×2021=?1所以??????=(?1×(?1×(?1)=?1A.5.已知??1，??2，??3，??2020，??2021均為正數(shù).且??=(??1+??2+??3+?+??2020)(??2+??3+?+??2021)??=(??1+??2+??3+?+??2021)(??2+??3+?+??2020)N的大小關(guān)系為（）.A.??>?? B.??≥?? C.??<?? D.??≤?? E.??、??關(guān)系不確定設(shè)??2+??3+?+??2020=??，則?????=(??1+??)(??+??2021)?(??1+??+??2021)??=??1??2021所以??>??.下列圖中能夠相互補(bǔ)充構(gòu)成立方體的圖形對(duì)是（）.A.1—8，2—11 B.3—6，4—12C.5—16，7—14 E.1—9，3—7解1—8，2—11，3—6，4—12，5—16，7—14，9—13，10—15.??????的內(nèi)心，F(xiàn)是??????的內(nèi)心.若∠????????????（）度.A.100 B.108 C.112 D.120 E.135解由三角形內(nèi)角和定理知∠??????=180°?∠???????∠??????=180°?

1∠???????2

1∠??????2=180°?同理

1(∠??????+∠??????)=180°?21

1(180°?∠??)=90°+2

1∠??2∠??????=90°+2∠??????.所以 1 1 1 1∠??????=90°+4∠??????=90°+4(90°+2∠??)=112.5°+8∠??.又∠??????的度數(shù)為整數(shù)，0°<∠??<180°.則當(dāng)∠??=4°時(shí)，∠??????的度數(shù)最小.故∠??????至少113°.算式可怕新冠×抗×抗×抗×=新冠不可怕“新冠不可怕”=（）.A.98765 B.90762 C.91056 D.92056 E.56920解設(shè)“可怕”=??，“新冠”=??，“抗”=??，“不”=??，則可列得方程(100??+??)×??4=1000??+100??+?? ①被乘數(shù)??=100??+??≥1023，積??=1000??+100??+??≤98765，所以??4≤98765÷1023≈96.5<97所以??=23.（1）將??=2代入方程①得16(100??+??)=1000??+100??+??1599??=984??+100??.=13??===≤≤20，從而有??=7，??=56，??=91.題示算式是5691×2×2×2×2=91056 ②符合題設(shè)條件.（2）當(dāng)??=3代入方程①可得8099??=919??+100??，因??≤98，故8099??≤919×98+100×7=90762，??≤90762÷8099≈11.2，??≤11.??只能是10.故919??=80990?100??10的倍數(shù)，??100（??0），引出矛盾..C.形（包括正方形）和三角形分別有（）個(gè).A.265，267 B.266，268 C.268，266 D.365，367 E.366，3684解法1設(shè)以 4表示矩形的個(gè)數(shù)，□表示正方形的個(gè)數(shù)，△4表示三角形的個(gè)數(shù)，并令??1=1，??2=1+2，??3=1+2+3，??4=1+2+3+4.44=44形個(gè)數(shù)，??2=100，再由這個(gè)“斜最大方形”的凸出部分所能構(gòu)成的矩形個(gè)數(shù)是43??3???3=11??3=66，其中正方形個(gè)數(shù)是4??2=12，所以44=??2??211??3=266(個(gè))4 4又由縱橫線所構(gòu)成的方形個(gè)數(shù)是1+22+32+42=30，由斜線所構(gòu)成的方形12，所以□=230+12=72(個(gè))4最后求三角形的個(gè)數(shù).公式12×43+18×42+4×4△4=解法2 細(xì)看解圖.

=192+724=268(個(gè))4????1??1??116個(gè).面積與????1??2??224個(gè).面積與????1??3??316個(gè).面積與????1??4??8個(gè).面積與????2??2??29個(gè).面積與????2??3??312個(gè).面積與????2??5??6個(gè).面積與????3??3??34個(gè).面積與????3??6??4個(gè).面積與????????1個(gè).24個(gè).面積與??1??1??1??236個(gè).面積與??2??1??1??324個(gè).面積與??2??2??1??316個(gè).面積與??3??1??1??48個(gè).面積與??3??3??1??44個(gè).面積與??1??1??1??213個(gè).面積與??2??1??2??316個(gè).面積與??2??2??1??310個(gè).面積與??3??1??2??44個(gè)..??2??1??2??44個(gè).面積與??2??2??2??44個(gè).面積與??2??2??5??51個(gè).266個(gè).72個(gè).64個(gè).面積與????1??164個(gè).面積與????1??248個(gè).面積與????2??236個(gè).24個(gè).面積與????3??316個(gè).面積與????2??12個(gè).面積與??????4個(gè).B.部停在若干個(gè)湖中，則這群天鵝原來可能有（）只.A.63B.127C.255D.1023A.63B.127C.255D.1023E.2021解法一設(shè)有??只白天鵝?? 1 ??+1. + =??+1???12 2???1

，剩下???(2

2)=

(必須為2(整數(shù))2+1=??+1，剩下???1???+1=???3必須為整數(shù))只；(???3

2 2

2 4 4第三個(gè)湖落下4+1=??+1

???3 ??+1 ???7? =

??個(gè)湖落2 2

4

??8????+1

???(2???1)

???(2???1)下2??，剩下

2?? .由于最后，全部落下，即

2?? =0，??=2

?1.解法二設(shè)另有一只灰天鵝與??只白天鵝總在一起，這時(shí)在第一個(gè)湖上停下的?? 1白天鵝的數(shù)目等于+ 2 2

??+1，即等于所有的天鵝的數(shù)目的一半，故每經(jīng)過一個(gè)2??

1??，而最后只剩下2那只灰天鵝，這說明最初共有2??只天鵝，其中有2???1只白天鵝.??分別取A，B，C，D.?”旋轉(zhuǎn)后的形狀、數(shù)量、方位等找出其正確的排列情形.以下選項(xiàng)符合上述規(guī)律的是（）.解.2—4—6的集合黑方塊.A圖：有六個(gè)獨(dú)立的黑方塊，不符.（此時(shí)，不必再去研判方位、旋轉(zhuǎn)等.）B圖：題圖“?”旋轉(zhuǎn)90°后，數(shù)量相符.2—3—5，不符.1—3—6，不符.?”旋轉(zhuǎn)90°后的形狀及數(shù)量相符.B..613朵.第.100，但不超200，如果不計(jì)順序，兩次去采蘑菇的人數(shù)為（）個(gè).A.10 B.12 C.14 D.16 E.18解設(shè)第一次有??+1個(gè)姑娘，第二次有??+1個(gè)姑娘，她們分別采集了613??和5+10??朵蘑菇，并且根據(jù)題意7<??<15，9<??<20由于兩次釆集的蘑菇數(shù)相同，所以6+13??=5+10??即13??+1=10??中存在唯一的數(shù)??=13，使13??+110整除.因此，第一次1418個(gè)姑娘.CE.13.COUNTEREXAMPLETOEULER'SCONJECTUREONSUMSOFLIKEPOWERSBYL.J.LANDERANDT.R.PARKINCommunicatedbyJ.D.Swift,June27,1966AdirectsearchontheCDC6600yielded275+845+1105+1335=1445asthesmallestinstanceinwhichfourfifthpowerssumtoafifthpower.ThisisacounterexampletoaconjecturebyEuler[1]thatatleast????thpowersarerequiredtosumtoan??thpower，??>2.REFERENCE1.L.E.Dickson，Historyofthetheoryofnumbers，Vol.，Chelsen，NewYork，1952，p.648.幾百年前，大數(shù)學(xué)家歐拉提出過一個(gè)猜想：至少??個(gè)??次方數(shù)加起來才能等于一個(gè)??次方45次方數(shù)加.當(dāng)然也許還有其他反例.如果大家能找到也可以發(fā)表，從而青史留名.以1445=275+845+1105+1335為反例推翻了歐拉猜想，那么問題來了，277+847+1107+1337（）.A.小于1447?1 B.等于1447?1 C.等于1447D.等于1447+2 E.大于1447+1解277+847+1107+1337=272×275+842×845+1102×1105+1332×1335<1332(275+845+1105+1335)=1332×1445(已知)<1442×1445?1=1447?1A.14邊形（14個(gè)邊的多邊形），5個(gè)銳角，對(duì)一個(gè)2001邊形，若它的任意兩個(gè)邊除了頂點(diǎn)處之外并不相交于內(nèi)部,請(qǐng)問這個(gè)多邊形最多可能有（）個(gè)銳角.A.1001 B.667 C.1334 D.1335 E.2001解假設(shè)??是銳角的個(gè)數(shù)，則2001邊形的內(nèi)角和小于??×90°+(2001???)×2001邊形的內(nèi)角和等于1999×180°，故1999×180°<??×90°+(2001???)×360°把它化簡(jiǎn)成3??<4006，從而??≤1335.=（3倍半徑是足夠的）.如解圖，設(shè)A是這兩個(gè)圓的圓心.設(shè)點(diǎn)??1到??1334沿大圓的圓心角小于90°的一條弧上等距分布.設(shè)??0到??667沿小圓的對(duì)應(yīng)弧等距分布，且??0在????1上，而??667在????1334上.2001邊形????1??2??1??3??4??2??5??6??3???1331??1332??666??1333??13341335A而其余的在??1到??1334這些點(diǎn).D..5min趕上了第二個(gè)第二個(gè)行人出村后過了（）min能趕上第一個(gè)行人.A.10 B.14 C.20 D.28 E.40解設(shè)??，??，??分別是第一個(gè)行人、第二個(gè)行人和第三個(gè)行人的速度.那么，按照條件，我們有3??=5(?????)

{8??=

2 ?? 5 15{5??=7(?????)?12??=7???3×??=7???=14??因此，第二個(gè)行人趕上第一個(gè)行人所用的時(shí)間為2?? 2?????=15

=28(min)D.

14?1的是（）.A.甲B.乙C.甲和乙D.甲，乙和丙E.無法確定解因200=243?81+27+9+3?1500=728?243+27?9?31000=728+243+27+3?1故知200+81+1=243+27+9+3500+243+9+3=728+271000+1=728+243+27+3.ABCD...與另一位將軍交戰(zhàn)，損失了一些人，也俘虜了一些人，人數(shù)的情況如下：位將軍在交戰(zhàn)前有5281個(gè)士兵，則他在交戰(zhàn)后還剩下（）個(gè)士兵.A.1000 B.2851 C.29031 D.20202 無法確定解這個(gè)問題具有普遍性的解法是基于大家熟悉的中國(guó)余數(shù)定理（涉及利用所考生，也可以走捷徑解決這個(gè)問題.從戰(zhàn)斗前后各路縱隊(duì)的余數(shù)出發(fā)進(jìn)行推理；損失的數(shù)目設(shè)為NN一定等于數(shù)倍根據(jù)試算，??=50還滿足第三和第五個(gè)關(guān)系式，但不滿足第四個(gè)關(guān)系式由于4，5，717沒有公因子，所以肯定等于50+4×57×17??，只需用第四個(gè)關(guān).==24302851人.只不過是為了從無數(shù)可能的解答中選出最可能的答案.我們可以采用一個(gè)一般性解法（無論具體給定的數(shù)字是什么），這在于寫出下面的數(shù)字表：它的解釋如下：.2——46的下面再下面一.243023750人、49930+要注意，4，5，7，1117的乘積.反之亦然.左下圖是下列哪個(gè)立方體的展開面？（）解題圖：兩個(gè)等邊三角形的底邊為圓面上的兩邊. A圖：僅有一個(gè)等邊三角形的底邊為圓面上的一邊，不符.B圖：有兩個(gè)等邊三角形的底邊為圓面上的兩邊，符合.C圖：兩個(gè)等邊三角形的底邊均不是圓面上的兩邊，不符.D圖：僅有一個(gè)等邊三角形的底邊為圓面上的一邊，不符.E圖：兩個(gè)等邊三角形的底邊均不是圓面上的兩邊，不符.B.19.??，??，??都是正整數(shù)，??<??<??，且????+????+????=??????，則??+??+??的值為（）.A.8 B.9 C.10 D.11 E.無法確定1解由原式得??

1 + +??

=1，且0<??<??<??，顯然有1 <?? ??即1

1 1 3+ + <?? ?? ??3<1<?? ??所以1<??<3所以??=2即有1 1 1+ =?? ?? 2同理1 1 2< <?? 2 ??所以2<??<4所以??=3這里1 1 1 1= ? =?? 2 3 6故??+??+??=2+3+6=11D.3分，1分.2分、3分、4分、5分，比賽結(jié)果前三名分別是甲、乙、丙.則第四名負(fù)于（）.A.甲 B.乙 C.丙 D.甲和乙 E.甲或乙12場(chǎng)，11131場(chǎng)434，矛盾.11場(chǎng)場(chǎng)球只能是甲乙之間的一場(chǎng)，甲勝乙負(fù)；乙丁之間一場(chǎng)，乙勝丁負(fù).BE.OAOT(O).青蛙將越跳越遠(yuǎn).青蛙將最終跳入三角形內(nèi).??6與??0重合，即六次跳動(dòng)回到原處.??12與??0重合，即十二次跳動(dòng)回到原處..CDE.李明和馬麗參加一次猜數(shù)比賽.李明被告知某三個(gè)正整數(shù)的和，馬麗被告知這三個(gè)數(shù)的乘積馬麗回答道：“可惜我的數(shù)比你的數(shù)小.”這三個(gè)數(shù)的和是（）.A.3 B.4 C.6 D.10 E.12P.顯然??≥3.要求他們猜出三個(gè)數(shù){??，??，??}.如果??=3，那么李明立即回答{1，1，1}.如果??=4，那么李明立即回答{1，1，2}.如果??=5，那么可能的情形有兩種：{1，1，3}，==??<??.如果??≥7，那么至少有兩種情形??>??.因而李明無法準(zhǔn)確判斷做出回答.兩種??>??的情況為：i {1，2，???3}，??=2(???3)=??+???6>??；ii {1，3，???4}，??=3(???4)=??+2(???6)>??.因此，符合題目所述條件的只有??=6.對(duì)于??=6，有以下三種情況：{1，1，4}，??=4<??；{1，2，3}，??=6=??；{2，2，2}，??=8>??.這三種情形之中，僅{2，2，2}對(duì)應(yīng)于??>??，并且僅{11，4}對(duì)應(yīng)于??<??.因此，所求的三個(gè)數(shù)是{??，??，??}={1，1，4}.C.線段把邊長(zhǎng)為1的正方形分成面積為??1，??2，??3，??4=