滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練第08講解直角三角形(5種題型)(原卷版+解析)

第08講解直角三角形（5種題型）【知識(shí)梳理】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A的對(duì)邊斜邊=ac，cosA（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊）二．解直角三角形的應(yīng)用（1）通過(guò)解直角三角形能解決實(shí)際問(wèn)題中的很多有關(guān)測(cè)量問(wèn)．如：測(cè)不易直接測(cè)量的物體的高度、測(cè)河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過(guò)測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊的長(zhǎng)度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長(zhǎng)度．（2）解直角三角形的一般過(guò)程是：①將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題）．②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問(wèn)題的答案．三．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問(wèn)題中，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問(wèn)題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．四．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問(wèn)題以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問(wèn)題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決．在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角；五．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題（1）在辨別方向角問(wèn)題中：一般是以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問(wèn)題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角．【考點(diǎn)剖析】一．解直角三角形1．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，點(diǎn)D在邊AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE，求：（1）線段BE的長(zhǎng)；（2）∠ECB的余弦值．2．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的高，AE是BC邊上的中線，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=4（1）求高CD的長(zhǎng)；（2）求tan∠EAB的值．3．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是邊AB上一點(diǎn)，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足為點(diǎn)（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求∠EBC的正切值．二．解直角三角形的應(yīng)用4．（2022?長(zhǎng)寧區(qū)二模）冬至是一年中太陽(yáng)光照射最少的日子，如果此時(shí)樓房最低層能采到陽(yáng)光，一年四季整座樓均能受到陽(yáng)光的照射，所以冬至是選房買房時(shí)確定陽(yáng)光照射的最好時(shí)機(jī)．某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻木用駱牵摼用駱堑囊粯鞘歉?米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓前面20米處要蓋一棟高25米的新樓．已知上海地區(qū)冬至正午的陽(yáng)光與水平線夾角為29°（參考數(shù)據(jù)：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午時(shí)，超市以上的居民住房采光是否有影響，為什么？（2）若要使得超市全部采光不受影響，兩樓應(yīng)至少相距多少米？（結(jié)果保留整數(shù)）5．（2022?徐匯區(qū)二模）激光電視的光源是激光，它運(yùn)用反射成像原理，屏幕不通電無(wú)輻射，降低了對(duì)消費(fèi)者眼睛的傷害．根據(jù)THX觀影標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)觀影水平視場(chǎng)角“θ”的度數(shù)處于33°到40°之間時(shí)（如圖1），雙眼肌肉處于放松狀態(tài)，是最佳的感官體驗(yàn)的觀影位．（1）小麗家決定要買一個(gè)激光電視，她家客廳的觀影距離（人坐在沙發(fā)上眼睛到屏幕的距離）為3.5米，小佳家要選擇電視屏幕寬（圖2中的BC的長(zhǎng)）在什么范圍內(nèi)的激光電視就能享受黃金觀看體驗(yàn)？（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技術(shù)革新和成本降低，激光電視的價(jià)格逐漸下降，某電器商行經(jīng)營(yíng)的某款激光電視今年每臺(tái)銷售價(jià)比去年降低4000元，在銷售量相同的情況下，今年銷售額在去年銷售總額100萬(wàn)元的基礎(chǔ)上減少20%，今年這款激光電視每臺(tái)的售價(jià)是多少元？6．（2022?崇明區(qū)二模）為解決群眾“健身去哪兒”問(wèn)題，某區(qū)2021年新建、改建90個(gè)市民益智健身苑點(diǎn)，圖1是某益智健身苑點(diǎn)中的“側(cè)擺器”．鍛煉方法：面對(duì)器械，雙手緊握扶手，雙腳站立于踏板上，腰部發(fā)力帶動(dòng)下肢做左右擺式運(yùn)動(dòng)．（1）如圖2是側(cè)擺器的抽象圖，已知擺臂OA的長(zhǎng)度為80厘米，在側(cè)擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)A為踏板中心在側(cè)擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最低點(diǎn)位置，點(diǎn)B為踏板中心在側(cè)擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最高點(diǎn)位置，∠BOA＝25°，求踏板中心點(diǎn)在最高位置與最低位置時(shí)的高度差．（精確到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）（2）小杰在側(cè)擺器上進(jìn)行鍛煉，原計(jì)劃消耗400大卡的能量，由于小杰加快了運(yùn)動(dòng)頻率，每小時(shí)能量消耗比原計(jì)劃增加了100大卡，結(jié)果比原計(jì)劃提早12分鐘完成任務(wù)，求小杰原計(jì)劃完成鍛煉需多少小時(shí)？7．（2022?寶山區(qū)二模）某超市大門口的臺(tái)階通道側(cè)面如圖所示，共有4級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階高度都是0.25米．根據(jù)部分顧客的需要，超市計(jì)劃做一個(gè)扶手AD，AB、DC是兩根與地平線MN都垂直的支撐桿（支撐桿底端分別為點(diǎn)B、C）．（1）求點(diǎn)B與點(diǎn)C離地面的高度差BH的長(zhǎng)度；（2）如果支撐桿AB、DC的長(zhǎng)度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的長(zhǎng)度．（參考數(shù)據(jù)：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）三．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題8．（2021秋?閔行區(qū)期末）如圖，某幢樓的樓梯每一級(jí)臺(tái)階的高度為20厘米，寬度為30厘米，那么斜面AB的坡度為．9．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）工廠的傳送帶把物體從地面送到離地面5米高的地方，如果傳送帶與地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物體所經(jīng)過(guò)的路程為米．10．（2022?黃浦區(qū)二模）某傳送帶與地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物體從地面送到離地面10米高的地方，那么物體所經(jīng)過(guò)的路程為米．11．（2022?浦東新區(qū)二模）如圖，一個(gè)高BE為3米的長(zhǎng)方體木箱沿坡比為1：3的斜面下滑，當(dāng)木箱滑至如圖位置時(shí)，AB＝3米，則木箱端點(diǎn)E距地面AC的高度EF為米．四．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題12．（2021秋?浦東新區(qū)期末）在離旗桿20米處的地方，用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋菫棣?，如測(cè)角儀的高為1.5米，那么旗桿的高為（）米．A．20cotα B．20tanα C．1.5+20tanα D．1.5+20cotα13．（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，小明在某次投籃中剛好把球打到籃板的點(diǎn)D處后進(jìn)球，已知小明與籃板底的距離BC＝5米，眼睛與地面的距離AB＝1.7米，視線AD與水平線的夾角為α，已知tanα的值為0.3，則點(diǎn)D到地面的距離CD的長(zhǎng)為米．14．（2022?青浦區(qū)二模）小明要測(cè)量公園里一棵古樹(shù)的高，被一條小溪擋住去路，采用計(jì)算方法，在A點(diǎn)測(cè)得古樹(shù)頂?shù)难鼋菫棣粒蚯白吡?00米到B點(diǎn)，測(cè)得古樹(shù)頂?shù)难鼋菫棣拢瑒t古樹(shù)的高度為米．五．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題15．（2021秋?黃浦區(qū)期末）如圖，在東西方向的海岸線l上有一長(zhǎng)為1千米的碼頭MN，在距碼頭西端M的正西方向58千米處有一觀測(cè)站O，現(xiàn)測(cè)得位于觀測(cè)站O的北偏西37°方向，且與觀測(cè)站O相距60千米的小島A處有一艘輪船開(kāi)始航行駛向港口MN．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后又測(cè)得該輪船位于觀測(cè)站O的正北方向，且與觀測(cè)站O相距30千米的B處．（1）求AB兩地的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）16．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，在航線l的兩側(cè)分別有兩個(gè)燈塔A和B，燈塔A到航線l的距離為AC＝3千米，燈塔B到航線l的距離為BD＝4千米，燈塔B位于燈塔A南偏東60°方向．現(xiàn)有一艘輪船從位于燈塔B北偏西53°方向的N（在航線l上）處，正沿該航線自東向西航行，10分鐘后該輪船行至燈塔A正南方向的點(diǎn)C（在航線l上）處．（1）求兩個(gè)燈塔A和B之間的距離；（2）求該輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1千米/小時(shí)）．（參考數(shù)據(jù)：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）已知在中，，，，則（）A． B． C． D．2．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果直線與軸正半軸的夾角為銳角,那么下列各式正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，則tanB的值是（

）A． B． C． D．4．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，，，底邊BC上的高為，底邊QR上的高為，則有（

）A． B． C． D．以上都有可能5．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）小杰在一個(gè)高為的建筑物頂端，測(cè)得一根高出此建筑物的旗桿頂端的仰角為，旗桿與地面接觸點(diǎn)的俯角為，那么該旗桿的高度是（

）A． B． C． D．6．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，把兩條寬度都是1的紙條，其中一條對(duì)折后再兩條交錯(cuò)地疊在一起，相交成角α，則重疊部分的面積是（）A．2sinα B．2cosα C． D．二、填空題7．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）小球沿著坡度為的坡面滾動(dòng)了，則在這期間小球滾動(dòng)的水平距離是___________．8．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，斜坡的坡度，現(xiàn)需要在不改變坡高的情況下將坡度變緩，調(diào)整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡________米．

9．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）如果一個(gè)矩形的面積是，兩條對(duì)角線夾角的余切值是，那么它的一條對(duì)角線長(zhǎng)是_______．10．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）已知：在中，，，．則的面積為_(kāi)___（結(jié)果可保留根號(hào)）．11．（2023·上?！ひ荒＃c(diǎn)A、B分別在的邊、上，且，，（如圖），沿直線翻折，翻折后的點(diǎn)落在內(nèi)部的點(diǎn)，直線與邊相交于點(diǎn)，如果，那么___________．

12．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）在中，，如果，，那么的重心到底邊的距離為_(kāi)_______．13．（2023·上?！ひ荒＃┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)，那么與x軸正半軸的夾角為，________．14．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，已知在中，，，，點(diǎn)P是斜邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交邊于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作的平行線，與過(guò)點(diǎn)M作的平行線交于點(diǎn)Q．如果直線，那么的長(zhǎng)為_(kāi)__________．

15．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)D是的重心，那么________．16．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）如圖，已知在中，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)分別落在點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)，如果，那么邊的長(zhǎng)_______．

17．（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）如圖，一艘船從處向北偏西的方向行駛海里到處，再?gòu)奶幭蛘龞|方向行駛千米到處，此時(shí)這艘船與出發(fā)點(diǎn)處相距___________海里．18．（2023·上海·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿所在的直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，，且交于點(diǎn)，的值為_(kāi)__________．三、解答題19．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)校考期中）如圖，已知在中，，，．(1)求；(2)求．20．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在四邊形中，平分，，．

(1)求證：且求出的值；(2)如果，求四邊形的面積．21．（2023·上?！ひ荒＃┯幸话验L(zhǎng)為6米的梯子，將它的上端A靠著墻面，下端B放在地面上，梯子與地面所成的角記為，地面與墻面互相垂直（如圖1所示），一般滿足時(shí)，人才能安全地使用這架梯子．(1)當(dāng)梯子底端B距離墻面2.5米時(shí)，求的度數(shù)（結(jié)果取整數(shù)），此時(shí)人是否能安全地使用這架梯子？(2)當(dāng)人能安全地使用這架梯子，且梯子頂端A離開(kāi)地面最高時(shí)，梯子開(kāi)始下滑，如果梯子頂端A沿著墻面下滑1.5米到墻面上的D點(diǎn)處停止，梯子底端B也隨之向后平移到地面上的點(diǎn)E處（如圖2所示），此時(shí)人是否能安全使用這架梯子？請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（2023·上海寶山·一模）如圖，某小區(qū)車庫(kù)頂部是居民健身平臺(tái)，在平臺(tái)上垂直安裝了太陽(yáng)能燈．已知平臺(tái)斜坡的坡度，坡長(zhǎng)為6米．在坡底D處測(cè)得燈的頂端A的仰角為，在坡頂C處測(cè)得燈的頂端A的仰角為，求燈的頂端A與地面的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）23．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，城市A在城市B正北方向處，城市C在城市B正東方向上，在城市C測(cè)得城市A在C的西偏北方向上，汽車N和汽車M同時(shí)從城市C出發(fā)，分別在筆直的公路上駛往A，B兩城市，當(dāng)汽車M距城市B時(shí)，發(fā)現(xiàn)汽車N在汽車M的西偏北方向上，求此時(shí)汽車N與城市A的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）．

24．（2023·上?！ひ荒＃┕绫恚ㄈ鐖D1）是我國(guó)古代度量日影長(zhǎng)度的天文儀器，它包括一根直立的桿（稱為“表”）和一把南北方向水平放置且與桿垂直的標(biāo)尺（稱為“圭”）．當(dāng)正午的陽(yáng)光照射在“表”上時(shí)，“表”的影子便會(huì)投射在“圭”上．我國(guó)古代歷法將一年中白晝最短的那一天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長(zhǎng)度為全年最長(zhǎng)）定為冬至；白晝最長(zhǎng)的那一天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長(zhǎng)度為全年最短）定為夏至．某地發(fā)現(xiàn)一個(gè)圭表遺跡（如圖2），但由于“表”已損壞，僅能測(cè)得“圭”上記錄的夏至線與冬至線間的距離（即的長(zhǎng)）為11.3米．現(xiàn)已知該地冬至正午太陽(yáng)高度角（即）為，夏至正午太陽(yáng)高度角（即）為，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算推測(cè)損壞的“表”原來(lái)的高度（即的長(zhǎng)）約為多少米？(參考數(shù)據(jù)；；；；)25．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）2023年3月貴州德余高速烏江特大橋主體貫通．如圖，橋墩邊有一斜坡，坡角為，河岸平行于水平線長(zhǎng)為，點(diǎn)C到的距離為，在點(diǎn)D處測(cè)得橋墩最高點(diǎn)A的仰角為，點(diǎn)A，B，C，D，M均在同一平面內(nèi)．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）

(1)求斜坡的長(zhǎng)；(2)求橋墩的高（結(jié)果精確到）．

第08講解直角三角形（5種題型）【知識(shí)梳理】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A的對(duì)邊斜邊=ac，cosA（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊）二．解直角三角形的應(yīng)用（1）通過(guò)解直角三角形能解決實(shí)際問(wèn)題中的很多有關(guān)測(cè)量問(wèn)．如：測(cè)不易直接測(cè)量的物體的高度、測(cè)河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過(guò)測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊的長(zhǎng)度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長(zhǎng)度．（2）解直角三角形的一般過(guò)程是：①將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題）．②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問(wèn)題的答案．三．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問(wèn)題中，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問(wèn)題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．四．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問(wèn)題以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問(wèn)題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決．在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角；五．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題（1）在辨別方向角問(wèn)題中：一般是以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問(wèn)題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角．【考點(diǎn)剖析】一．解直角三角形1．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，點(diǎn)D在邊AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE，求：（1）線段BE的長(zhǎng)；（2）∠ECB的余弦值．【分析】（1）根據(jù)題意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的長(zhǎng)度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=2AC，由AE＝sin45°?AD的長(zhǎng)度，則BE＝AB﹣（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，EF＝BF＝sin45°?BE，則CF＝BC﹣BF，根據(jù)勾股定理可得CE=EF2+CF2【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，∴AD＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB=2AC=6∴∠DAE＝45°，DE⊥AB，∴AE＝sin45°?AD=22×4=∴BE＝AB﹣AE＝62?22=4（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，如圖，∵∠B＝45°，∴EF＝BF＝sin45°?BE=2∴CF＝BC﹣BF＝2，∴CE=EF2在Rt△ECF中，cos∠ECB=CF【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形及等腰直角三角形形的性質(zhì)，應(yīng)用等腰直角三角形性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的高，AE是BC邊上的中線，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=4（1）求高CD的長(zhǎng)；（2）求tan∠EAB的值．【分析】（1）在Rt△BCD中，由已知條件cos∠ABC=BDBC=（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，如圖，可得CD∥EF，由E為BC的中點(diǎn)，可得EF是△BCD的中位線，即可算出EF=12CD，DF的長(zhǎng)度，即可算出AF＝AD+DF的長(zhǎng)度，在Rt△AEF中，根據(jù)tan∠【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC=BD∴4BC∴BC＝5，∴CD=B（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，如圖，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E為BC的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線，∴EF=12CD=1∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB=EF【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是邊AB上一點(diǎn)，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足為點(diǎn)（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求∠EBC的正切值．【分析】（1）過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AD于H，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得到AH＝DH，再證明∠ACH＝∠ABC，則sin∠ACH＝sin∠ABC=13，然后利用正弦的定義求出AH，從而得到（2）在Rt△ABC中先求出AB＝9，則BD＝7，再證明∠HCD＝∠EBD，則sin∠EBD=DEBD=13，利用正弦的定義求出【解答】解：（1）過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AD于H，如圖，∵CD＝CA，∴AH＝DH，∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，∴∠ACH＝∠ABC，∴sin∠ACH＝sin∠ABC=1在Rt△ACH中，sin∠ACH=AH∴AD＝2AH＝2；（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC=AC∴AB＝3AC＝9，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，∵∠E＝90°，而∠EDB＝∠HDC，∴∠HCD＝∠EBD，∴sin∠EBD=DE∴DE=13BD∴BE=7在Rt△EBC中，tan∠EBC=EC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．二．解直角三角形的應(yīng)用4．（2022?長(zhǎng)寧區(qū)二模）冬至是一年中太陽(yáng)光照射最少的日子，如果此時(shí)樓房最低層能采到陽(yáng)光，一年四季整座樓均能受到陽(yáng)光的照射，所以冬至是選房買房時(shí)確定陽(yáng)光照射的最好時(shí)機(jī)．某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻木用駱牵摼用駱堑囊粯鞘歉?米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓前面20米處要蓋一棟高25米的新樓．已知上海地區(qū)冬至正午的陽(yáng)光與水平線夾角為29°（參考數(shù)據(jù)：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午時(shí)，超市以上的居民住房采光是否有影響，為什么？（2）若要使得超市全部采光不受影響，兩樓應(yīng)至少相距多少米？（結(jié)果保留整數(shù)）【分析】（1）延長(zhǎng)光線交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，根據(jù)題意可得∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，然后在Rt△AGF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG，從而求出GB的長(zhǎng)，進(jìn)行比較，即可解答；（2）延長(zhǎng)光線交直線BC于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得∠AEB＝29°，然后在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長(zhǎng)，即可解答．【解答】解：（1）冬至中午時(shí)，超市以上的居民住房采光有影響，理由：延長(zhǎng)光線交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，則∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，在Rt△AGF中，AG＝FG?tan29°≈20×0.55＝11（米），∵AB＝25米，∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），∴FC＝GB＝14米，∵14米＞6米，∴冬至中午時(shí)，超市以上的居民住房采光有影響；（2）延長(zhǎng)光線交直線BC于點(diǎn)E，則∠AEB＝29°，在Rt△ABE中，AB＝25米，∴BE=AB∴若要使得超市全部采光不受影響，兩樓應(yīng)至少相距45米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．（2022?徐匯區(qū)二模）激光電視的光源是激光，它運(yùn)用反射成像原理，屏幕不通電無(wú)輻射，降低了對(duì)消費(fèi)者眼睛的傷害．根據(jù)THX觀影標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)觀影水平視場(chǎng)角“θ”的度數(shù)處于33°到40°之間時(shí)（如圖1），雙眼肌肉處于放松狀態(tài)，是最佳的感官體驗(yàn)的觀影位．（1）小麗家決定要買一個(gè)激光電視，她家客廳的觀影距離（人坐在沙發(fā)上眼睛到屏幕的距離）為3.5米，小佳家要選擇電視屏幕寬（圖2中的BC的長(zhǎng)）在什么范圍內(nèi)的激光電視就能享受黃金觀看體驗(yàn)？（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技術(shù)革新和成本降低，激光電視的價(jià)格逐漸下降，某電器商行經(jīng)營(yíng)的某款激光電視今年每臺(tái)銷售價(jià)比去年降低4000元，在銷售量相同的情況下，今年銷售額在去年銷售總額100萬(wàn)元的基礎(chǔ)上減少20%，今年這款激光電視每臺(tái)的售價(jià)是多少元？【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)題意可得AB＝AC，當(dāng)∠BAC＝33°時(shí)，當(dāng)∠BAC＝40°時(shí)，利用銳角三角函數(shù)即可解決問(wèn)題；（2）設(shè)今年這款激光電視每臺(tái)的售價(jià)是x元，則去年每臺(tái)的售價(jià)為（x+4000）元．由題意列出方程即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)題意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，當(dāng)∠BAC＝33°時(shí)，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），當(dāng)∠BAC＝40°時(shí)，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要選擇電視屏幕寬為2.10m﹣2.52m之間的激光電視就能享受黃金觀看體驗(yàn)；（2）設(shè)今年這款激光電視每臺(tái)的售價(jià)是x元，則去年每臺(tái)的售價(jià)為（x+4000）元．由題意可得：＝，解得：x＝16000，經(jīng)檢驗(yàn)x＝16000是原方程的解，符合題意，答：今年這款激光電視每臺(tái)的售價(jià)是16000元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，視點(diǎn)，視角和盲區(qū)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系準(zhǔn)確列出方程．6．（2022?崇明區(qū)二模）為解決群眾“健身去哪兒”問(wèn)題，某區(qū)2021年新建、改建90個(gè)市民益智健身苑點(diǎn)，圖1是某益智健身苑點(diǎn)中的“側(cè)擺器”．鍛煉方法：面對(duì)器械，雙手緊握扶手，雙腳站立于踏板上，腰部發(fā)力帶動(dòng)下肢做左右擺式運(yùn)動(dòng)．（1）如圖2是側(cè)擺器的抽象圖，已知擺臂OA的長(zhǎng)度為80厘米，在側(cè)擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)A為踏板中心在側(cè)擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最低點(diǎn)位置，點(diǎn)B為踏板中心在側(cè)擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最高點(diǎn)位置，∠BOA＝25°，求踏板中心點(diǎn)在最高位置與最低位置時(shí)的高度差．（精確到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）（2）小杰在側(cè)擺器上進(jìn)行鍛煉，原計(jì)劃消耗400大卡的能量，由于小杰加快了運(yùn)動(dòng)頻率，每小時(shí)能量消耗比原計(jì)劃增加了100大卡，結(jié)果比原計(jì)劃提早12分鐘完成任務(wù)，求小杰原計(jì)劃完成鍛煉需多少小時(shí)？【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA垂足為D，由題意得：OB＝OA＝80cm，然后在Rt△BOD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先設(shè)小杰原計(jì)劃x小時(shí)完成鍛煉，然后根據(jù)實(shí)際每小時(shí)的能量消耗﹣原計(jì)劃每小時(shí)的能量消耗＝100，列出方程進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA垂足為D，由題意得：OB＝OA＝80cm，在Rt△BOD中，∠BOA＝25°，∴OD＝BO?cos25°≈80×0.906＝72.48（cm），∴AD＝OA﹣OD＝80﹣72.48≈7.5（cm），∴踏板中心點(diǎn)在最高位置與最低位置時(shí)的高度差約為7.5厘米；（2）設(shè)小杰原計(jì)劃x小時(shí)完成鍛煉，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：都是原方程的根，但不符合題意，舍去，答：小杰原計(jì)劃鍛煉1小時(shí)完成．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．7．（2022?寶山區(qū)二模）某超市大門口的臺(tái)階通道側(cè)面如圖所示，共有4級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階高度都是0.25米．根據(jù)部分顧客的需要，超市計(jì)劃做一個(gè)扶手AD，AB、DC是兩根與地平線MN都垂直的支撐桿（支撐桿底端分別為點(diǎn)B、C）．（1）求點(diǎn)B與點(diǎn)C離地面的高度差BH的長(zhǎng)度；（2）如果支撐桿AB、DC的長(zhǎng)度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的長(zhǎng)度．（參考數(shù)據(jù)：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）【分析】（1）根據(jù)每級(jí)臺(tái)階高度都是0.25米，然后計(jì)算出3個(gè)臺(tái)階的總高度，即可解答；（2）連接BC，根據(jù)題意可得：AB＝DC，AB∥DC，從而可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC，AD∥BC，從而求出∠CBH＝66°，最后在Rt△CBH中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∵每級(jí)臺(tái)階高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴點(diǎn)B與點(diǎn)C離地面的高度差BH的長(zhǎng)度為0.75米；（2）連接BC，由題意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的長(zhǎng)度約為1.875米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．三．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題8．（2021秋?閔行區(qū)期末）如圖，某幢樓的樓梯每一級(jí)臺(tái)階的高度為20厘米，寬度為30厘米，那么斜面AB的坡度為1：1.5．【分析】根據(jù)坡度的概念計(jì)算，得到答案．【解答】解：斜面AB的坡度為20：30＝1：1.5，故答案為：1：1.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．9．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）工廠的傳送帶把物體從地面送到離地面5米高的地方，如果傳送帶與地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物體所經(jīng)過(guò)的路程為13米．【分析】根據(jù)坡度的概念求出AC，根據(jù)勾股定理求出AB．【解答】解：∵傳送帶與地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴BCAC=1解得，AC＝12，由勾股定理得，AB=A故答案為：13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．10．（2022?黃浦區(qū)二模）某傳送帶與地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物體從地面送到離地面10米高的地方，那么物體所經(jīng)過(guò)的路程為26米．【分析】根據(jù)坡度的概念求出水平距離，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵傳送帶與地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，它把物體從地面送到離地面10米高，∴水平距離為：2.4×10＝24，∴物體所經(jīng)過(guò)的路程為：10故答案為：26．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵．11．（2022?浦東新區(qū)二模）如圖，一個(gè)高BE為3米的長(zhǎng)方體木箱沿坡比為1：3的斜面下滑，當(dāng)木箱滑至如圖位置時(shí)，AB＝3米，則木箱端點(diǎn)E距地面AC的高度EF為3米．【分析】根據(jù)坡度的概念求出∠DAF＝30°，根據(jù)正弦的定義求出DE，進(jìn)而求出BD，得到答案．【解答】解：設(shè)AB、EF交于點(diǎn)D，∵斜坡的坡比為1：3，∴tan∠DAF=1∴∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BDE=BE∴3DE解得，DE＝2（米），∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝2（米），在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF=12∴EF＝DE+DF＝3（米），故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵．四．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題12．（2021秋?浦東新區(qū)期末）在離旗桿20米處的地方，用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋菫棣?，如測(cè)角儀的高為1.5米，那么旗桿的高為（）米．A．20cotα B．20tanα C．1.5+20tanα D．1.5+20cotα【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了已知角的鄰邊求對(duì)邊，用正切值計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意可得：旗桿比儀器高20tanα，測(cè)角儀高為1.5米，故旗桿的高為（1.5+20tanα）米．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角，熟練掌握解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．13．（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，小明在某次投籃中剛好把球打到籃板的點(diǎn)D處后進(jìn)球，已知小明與籃板底的距離BC＝5米，眼睛與地面的距離AB＝1.7米，視線AD與水平線的夾角為α，已知tanα的值為0.3，則點(diǎn)D到地面的距離CD的長(zhǎng)為3.2米．【分析】根據(jù)題意可得AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，然后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，tanα＝0.3，∴DE＝AE?tanα＝5×0.3＝1.5（米），∴DC＝DE+EC＝1.5+1.7＝3.2（米），∴點(diǎn)D到地面的距離CD的長(zhǎng)為3.2米，故答案為：3.2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14．（2022?青浦區(qū)二模）小明要測(cè)量公園里一棵古樹(shù)的高，被一條小溪擋住去路，采用計(jì)算方法，在A點(diǎn)測(cè)得古樹(shù)頂?shù)难鼋菫棣?，向前走?00米到B點(diǎn)，測(cè)得古樹(shù)頂?shù)难鼋菫棣?，則古樹(shù)的高度為100?tanβ?tanαtanβ?tanα【分析】設(shè)CD＝x米，用含x的代數(shù)式表示出AD和BD的長(zhǎng)，再根據(jù)AD﹣BD＝100可得x的值．【解答】解：設(shè)CD＝x米，在Rt△ACD中，tanα=CD∴AD=x在Rt△BCD中，tanβ=CD∴BD=x∵AD﹣BD＝100，∴xtanα解得x=100?tanβ?tanα故答案為：100?tanβ?tanαtanβ?tanα【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．五．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題15．（2021秋?黃浦區(qū)期末）如圖，在東西方向的海岸線l上有一長(zhǎng)為1千米的碼頭MN，在距碼頭西端M的正西方向58千米處有一觀測(cè)站O，現(xiàn)測(cè)得位于觀測(cè)站O的北偏西37°方向，且與觀測(cè)站O相距60千米的小島A處有一艘輪船開(kāi)始航行駛向港口MN．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后又測(cè)得該輪船位于觀測(cè)站O的正北方向，且與觀測(cè)站O相距30千米的B處．（1）求AB兩地的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C．可知△ABC為直角三角形．根據(jù)勾股定理解答．（2）延長(zhǎng)AB交l于D，比較OD與OM+MN的大小即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C．由題意，得OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°．∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）．在Rt△AOC中，OC＝OA?cos∠AOC≈60×0.8＝48（千米）．∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）．在Rt△ABC中，AB＝．（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，不能行至碼頭MN靠岸．理由：延長(zhǎng)AB交l于點(diǎn)D．∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°．∴△ABC∽△DBO，∴，∴，∴OD＝60（千米）．∵60＞58+1，∴該輪船不改變航向繼續(xù)航行，不能行至碼頭MN靠岸．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，此題結(jié)合方向角，考查了閱讀理解能力、解直角三角形的能力．計(jì)算出相關(guān)特殊角和作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，在航線l的兩側(cè)分別有兩個(gè)燈塔A和B，燈塔A到航線l的距離為AC＝3千米，燈塔B到航線l的距離為BD＝4千米，燈塔B位于燈塔A南偏東60°方向．現(xiàn)有一艘輪船從位于燈塔B北偏西53°方向的N（在航線l上）處，正沿該航線自東向西航行，10分鐘后該輪船行至燈塔A正南方向的點(diǎn)C（在航線l上）處．（1）求兩個(gè)燈塔A和B之間的距離；（2）求該輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1千米/小時(shí)）．（參考數(shù)據(jù)：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）根據(jù)特殊角三角函數(shù)即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)三角函數(shù)定義可得CN的長(zhǎng)，進(jìn)而可以求該輪船航行的速度．【解答】解：（1）由題意，得∠ACM＝∠BDM＝90°，AC＝3，BD＝4，∠CAM＝∠DBM＝60°，在Rt△ACM中，，∴cos60°＝，∴AM＝6，在Rt△BDM中，，∴cos60°＝，∴BM＝8，∴AB＝AM+BM＝14千米．答：兩個(gè)燈塔A和B之間的距離為14千米．（2）在Rt△ACM中，，∴，∴，在Rt△BDM中，，∴，∴，∴，在Rt△BDN中，，由題意，得∠DBN＝53°∴，∴DN＝4tan53°，∴，設(shè)該輪船航行的速度是V千米/小時(shí)，由題意，得，∴V≈40.7（千米/小時(shí)），答：該輪船航行的速度是40.7千米/小時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的仰角俯角問(wèn)題、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；掌握仰角俯角定義是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）已知在中，，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)，得出,進(jìn)而求得，由已知條件得出，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在中，，∴,∴\∴，在中，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果直線與軸正半軸的夾角為銳角,那么下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在直線y=2x上任取一點(diǎn)P(a，2a)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)B，則可求得α的正余弦、正余切值，從而可得答案．【詳解】如圖，在直線y=2x上任取一點(diǎn)P(a，2a)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)B則OB=|a|，PB=2|a|由勾股定理得：在直角△POB中，，，，故選項(xiàng)D正確故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是畫出圖形，并在直線任取一點(diǎn)，作x軸的垂線得到直角三角形．3．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，則tanB的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出120°的補(bǔ)角為60°，然后再把60°放在直角三角形中，所以過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，在Rt△ACD中可求出AD與CD的長(zhǎng)，最后在Rt△BDC中利用勾股定理求出BC即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=180°-∠BAC=60°，在Rt△ACD中，AC=2，∴AD=ACcos60°=2×=1，CD=ACsin60°=2×=，∵AB=4，∴BD=AB+AD=4+1=5，∴tanB=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，，，底邊BC上的高為，底邊QR上的高為，則有（

）A． B． C． D．以上都有可能【答案】B【分析】由已知可知高所對(duì)的斜邊都為5，由正弦的定義可得到高關(guān)于正弦的表達(dá)式，比較正弦值即可得到答案．【詳解】解：如圖，分別作出兩三角形的高∵∴∵∴∵∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，依題意作高構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）小杰在一個(gè)高為的建筑物頂端，測(cè)得一根高出此建筑物的旗桿頂端的仰角為，旗桿與地面接觸點(diǎn)的俯角為，那么該旗桿的高度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)A作于E，在中，已知了的長(zhǎng)，可利用俯角的正切函數(shù)求出的值；進(jìn)而在中，利用仰角的正切函數(shù)求出的長(zhǎng)；從而可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)A作于E，則四邊形是矩形，．∵在中，，，∴，∵在中，，∴，∴．即旗桿的高度為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問(wèn)題，首先構(gòu)造直角三角形，再運(yùn)用三角函數(shù)的定義解題，是中考常見(jiàn)題型，解題的關(guān)鍵是作出高線構(gòu)造直角三角形．6．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，把兩條寬度都是1的紙條，其中一條對(duì)折后再兩條交錯(cuò)地疊在一起，相交成角α，則重疊部分的面積是（）A．2sinα B．2cosα C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知：所得圖形是菱形，設(shè)菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，過(guò)A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的長(zhǎng)度，根據(jù)菱形的面積公式即可求出所填答案．【詳解】解：由題意可知：重疊部分是菱形，設(shè)菱形ABCD，則∠ABE＝α，過(guò)A作AE⊥BC于E，則AE＝1，設(shè)BE＝x，∵∠ABE＝α，∴AB＝，∴BC＝AB＝，∴重疊部分的面積是：×1＝．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，菱形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）小球沿著坡度為的坡面滾動(dòng)了，則在這期間小球滾動(dòng)的水平距離是___________．【答案】【分析】設(shè)高度為x，根據(jù)坡度比可得水平距離為，根據(jù)勾股定理列方程即可得到答案；【詳解】解：設(shè)高度為x，∵坡度為，∴水平距離為，由勾股定理可得，，解得：，∴水平距離為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查坡度比及勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)坡度比得到高度與水平距離的關(guān)系．8．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，斜坡的坡度，現(xiàn)需要在不改變坡高的情況下將坡度變緩，調(diào)整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡________米．

【答案】【分析】根據(jù)斜坡的坡度與的值先求出，再根據(jù)斜坡的坡度，求得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴,∵，∴，∵，∴，在中，,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，坡度問(wèn)題，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．9．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）如果一個(gè)矩形的面積是，兩條對(duì)角線夾角的余切值是，那么它的一條對(duì)角線長(zhǎng)是_______．【答案】【分析】作于H．由四邊形是矩形，推出，設(shè)，由余切函數(shù)，可得，，由題意：，求出a即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，作于H．

∵四邊形是矩形，∴，設(shè)，則．∵根據(jù)題意得：，∴，，由題意：，∴，∴．故答案為10．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．10．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）已知：在中，，，．則的面積為_(kāi)___（結(jié)果可保留根號(hào)）．【答案】【分析】過(guò)作于，利用直角三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)．已知的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得其面積．【詳解】解：過(guò)作于，在中，，，即．在中，，，．，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式，熟練掌握通過(guò)作三角形的高，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2023·上?！ひ荒＃c(diǎn)A、B分別在的邊、上，且，，（如圖），沿直線翻折，翻折后的點(diǎn)落在內(nèi)部的點(diǎn)，直線與邊相交于點(diǎn)，如果，那么___________．

【答案】【分析】根據(jù)題意和翻折的性質(zhì)可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，所以，得，設(shè)，則，，所以，，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖所示：

，，是等腰直角三角形，，沿直線翻折，翻折后的點(diǎn)落在內(nèi)部的點(diǎn)，是等腰直角三角形，，，，設(shè)，則，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．12．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）在中，，如果，，那么的重心到底邊的距離為_(kāi)_______．【答案】4【詳解】解：如下圖所示，設(shè)點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E為三角形的重心，∵，∴，∵，，∴，∴，∵點(diǎn)E為三角形的重心，∴，∴，∵，∴的重心到底邊的距離為4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、三角形重心的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為．13．（2023·上?！ひ荒＃┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)，那么與x軸正半軸的夾角為，________．【答案】2【分析】過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)A，由P點(diǎn)的坐標(biāo)得、的長(zhǎng)，根據(jù)正切函數(shù)的定義得結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)A，如圖：∵點(diǎn)，∴，，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系里的意義及解直角三角形．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．14．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，已知在中，，，，點(diǎn)P是斜邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交邊于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作的平行線，與過(guò)點(diǎn)M作的平行線交于點(diǎn)Q．如果直線，那么的長(zhǎng)為_(kāi)__________．

【答案】【分析】如圖，設(shè)．證明，根據(jù)，構(gòu)建方程求解．【詳解】解：如圖，設(shè)．

∵，，∴四邊形是平行四邊形，，∴，在在中，，，，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．15．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)D是的重心，那么________．【答案】【分析】如圖，延長(zhǎng)交于F，由題意得，，則，由，可得，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于F，∵點(diǎn)D是的重心，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵和都是等邊三角形，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了重心，等邊三角形的性質(zhì)，正弦函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．16．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）如圖，已知在中，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)分別落在點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)，如果，那么邊的長(zhǎng)_______．

【答案】【分析】由旋轉(zhuǎn)變換易證，，，，由，得；設(shè)，由三角函數(shù)得，；在中，運(yùn)用勾股定理求解得，所以．【詳解】如圖，由旋轉(zhuǎn)知，，，，為等邊三角形，∴，，，

∴，∵∴設(shè)，則，中，∴，解得（負(fù)值舍去），故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理及特殊角三角函數(shù)；能夠靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)導(dǎo)出線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）如圖，一艘船從處向北偏西的方向行駛海里到處，再?gòu)奶幭蛘龞|方向行駛千米到處，此時(shí)這艘船與出發(fā)點(diǎn)處相距___________海里．【答案】【分析】從處向北偏西的方向行駛海里到處，可知，，從處向正東方向行駛千米，可知，且，如圖所示（見(jiàn)詳解），根據(jù)直角三角形的勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，∴，，∴，，∵，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查方位角與直角三角形的勾股定理的綜合，掌握方位角的表示，角度的關(guān)系，勾股定理是解題的關(guān)鍵．18．（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖，已知中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿所在的直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，，且交于點(diǎn)，的值為_(kāi)__________．【答案】【分析】連接，交于點(diǎn)，可設(shè)，，由直角三角形斜邊上的中線的定義可得是有斜邊上的中線，可得，，再由折疊的性質(zhì)可得，，，從而可求得，則可證得是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，故有，從而可求得，再由，，得，可求得，，即可求解．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，如圖，設(shè)，，是的中點(diǎn)，，是有斜邊上的中線，，即，，，，，即，，、關(guān)于對(duì)稱，，，，，．，，，，，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，，，，，，，故，在中，，在中，，，，，，故，，，，，，，，即的值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折變換（折疊問(wèn)題），解答的關(guān)鍵是明確折疊的過(guò)程中相應(yīng)的邊或角之間的關(guān)系．三、解答題19．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┤鐖D，已知在中，，，．(1)求；(2)求．【答案】(1)1(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，進(jìn)而求出；（2）利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）知，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形．通過(guò)作高，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．20．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在四邊形中，平分，，．

(1)求證：且求出的值；(2)如果，求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)246【分析】（1）先利用兩角對(duì)應(yīng)相等判斷，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系和相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論；（2）利用直角三角形的邊角間關(guān)系先求出、，再利用勾股定理求出、，最后利用三角形的面積公式得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，在中，∵