高中數(shù)學講義（人教B版2019必修二）第02講412指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像TOC\o"13"\h\z\u題型1指數(shù)函數(shù)的判斷 3題型2指數(shù)函數(shù)求值 6題型3指數(shù)函數(shù)含參求值 8題型4指數(shù)函數(shù)的解析式 10題型5指數(shù)函數(shù)圖象問題 11題型6指數(shù)函數(shù)過定點問題 19題型7定義域問題 22題型8指數(shù)函數(shù)的對稱性 23題型9指數(shù)函數(shù)圖像中的含參問題 27題型10指數(shù)函數(shù)比較大小問題 29題型11指數(shù)方程 34題型12指數(shù)函數(shù)不等式 37◆類型1指數(shù)不等式 37◆類型2抽象不等式 40題型13指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 45知識點一.指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中【結(jié)構(gòu)特征】底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)；指數(shù)：僅有自變量；(3)系數(shù)：的系數(shù)是1.知識點二.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域值域過定點單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)注意∶底數(shù)a與1的大小關系決定了指數(shù)函數(shù)圖像的“升”與“降”.當a>1時，指數(shù)函數(shù)的圖像是“上升”的；當0<a<1時，指數(shù)函數(shù)的圖像是"下降"的.知識點三.兩類指數(shù)模型1．y＝kax(k>0)，當a>1時為指數(shù)增長型函數(shù)模型．2．y＝kax(k>0)，當0<a<1時為指數(shù)衰減型函數(shù)模型．知識點四.指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用1.比較冪的大小比較冪的大小的常用方法：(1)對于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷；(2)對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律來判斷；(3)對于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的冪的大小比較，可先化為同底的兩個冪，或者通過中間值來比較．2．有關指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)(1)求復合函數(shù)的定義域形如的函數(shù)的定義域就是的定義域．求形如的函數(shù)的值域，應先求出的值域，再由單調(diào)性求出的值域．若的范圍不確定，則需對進行討論．求形如的函數(shù)的值域，要先求出的值域，再結(jié)合確定出的值域．(2)判斷復合函數(shù)的單調(diào)性令，，如果復合的兩個函數(shù)與的單調(diào)性相同，那么復合后的函數(shù)在上是增函數(shù)；如果兩者的單調(diào)性相異(即一增一減)，那和復合函數(shù)在上是減函數(shù)．(3)研究函數(shù)的奇偶性一是定義法，即首先是定義域關于原點對稱，然后分析式子與的關系，最后確定函數(shù)的奇偶性．二是圖象法，作出函數(shù)圖象或從已知函數(shù)圖象觀察，若圖象關于原點或軸對稱，則函數(shù)具有奇偶性．知識點五.簡單指數(shù)不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的單調(diào)性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的單調(diào)性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助兩函數(shù)y＝ax，y＝bx的圖象求解．題型1指數(shù)函數(shù)的判斷【方法總結(jié)】判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法(1)底數(shù)的值是否符合要求；(2)ax前的系數(shù)是否為1；(3)指數(shù)是否符合要求【例題1】（2019上·河北邢臺·高一邢臺一中?？茧A段練習）下列函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（

）①y=2?3x

②y=3x+1

③y=3x

④y=2a?1⑤y=x3

⑥y=?4A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，對每個選項進行逐一分析即可.【詳解】對①：指數(shù)式的系數(shù)為2，不是1，故不是指數(shù)函數(shù)；對②：其指數(shù)為x+1，不是x，故不是指數(shù)函數(shù)；對③④：滿足指數(shù)函數(shù)的定義，故都是指數(shù)函數(shù)；對⑤：是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；對⑥：指數(shù)式的系數(shù)為1，不是1，故不是指數(shù)函數(shù)；對⑦：指數(shù)的底數(shù)為4，不滿足底數(shù)大于零且不為1的要求，故不是；綜上，是指數(shù)函數(shù)的只有③④，故選：B.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的定義：只有形如y=a【變式11】1.（2021上·高一課時練習）給出下列函數(shù)：①y＝x13；②y＝?3xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念來判斷.【詳解】對于①，函數(shù)y＝x1對于②，函數(shù)y＝?3x對于③，函數(shù)y＝?3x中的指數(shù)式對于④，函數(shù)y＝π?3故選：A.【變式11】2.（2017·高一課時練習）下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為()①y=12x?1②③y＝1x；④y=A．0 B．1C．3 D．4【答案】B【詳解】由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有②正確．故選B【變式11】3．（2023·全國·高一專題練習）給定下列函數(shù)：①y=x②y=8③y=a?1x，a>1④y=?4⑤y=π⑥y=5⑦y=x⑧y=?10其中是指數(shù)函數(shù)的有.（填序號）【答案】②⑤【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)fx=a【詳解】對于①，y=x2不符合指數(shù)函數(shù)fx對于②，y=8x符合指數(shù)函數(shù)fx對于③，y=a?1x只有當a>1且a≠2時是指數(shù)函數(shù)，∴y=a?1x，對于④，y=?4x不符合指數(shù)函數(shù)fx對于⑤，y=πx符合指數(shù)函數(shù)fx對于⑥，y=52x2+1對于⑦，y=xx不符合指數(shù)函數(shù)fx對于⑧，y=?10x不符合指數(shù)函數(shù)fx故答案為：②⑤.題型2指數(shù)函數(shù)求值【例題2】（2023上·河北保定·高一河北定興第三中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=2x,x<02?x,x≥0，則ff?1=.【答案】3【分析】先得到f?1，進而求出f【詳解】由題意得f?1故答案為：30，且a≠1)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(5),25)得a?32=525=5125【變式21】1．（2021·四川攀枝花·高一期末）已知函數(shù)fx=2【答案】2【分析】由分段函數(shù)解析式先求f(1)，再求f【詳解】由已知可得f(1)=1+2=3，故f【變式21】2．（2022·貴州黔西·高一期末）已知函數(shù)fx=xA．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】將x=1【詳解】∵當x≤2時，fx=【變式21】3．（2022·全國·高一專題練習）已知函數(shù)fx=g【答案】72【分析】先由奇函數(shù)結(jié)合f0=0求得g1=1，再由【詳解】因為fx是定義在R上的奇函數(shù)，所以fx=?f?x，特別地，當x=0時，得到f0=0．由fx=gx+1?2x取x=0，所以f(0)=g(1)?1，所以g1=1【變式21】4．（2022·全國·高一專題練習）若函數(shù)Fx=fx?2【答案】5【分析】由于函數(shù)Fx=fx?2x4是奇函數(shù)可得f【詳解】∵函數(shù)F(x)=f(x)?2x4是奇函數(shù)，∴F(1)+F(?1)=0，即f(1)?2+f(?1)?2=0題型3指數(shù)函數(shù)含參求值【例題3】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)fx=a2?3?ax為指數(shù)函數(shù)，則a＝.【答案】2【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義列方程組即可解得.【詳解】因為函數(shù)fx所以a2故答案為：2【變式31】1.（2017上·湖南株洲·高一階段練習）已知函數(shù)f(x)=(a2?2a+2)【答案】1【詳解】∵函數(shù)fx=a2?2a+2a+1x【變式31】2.（2021·江蘇·無錫市市北高級中學高一期中）已知指數(shù)函數(shù)f(x)=axA．8 B．16 C．116 D．【答案】B【分析】把點(12，4)代入函數(shù)解析式，即可求出【詳解】解：由題意可得a12=4【變式31】3.（2023上·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？紝W業(yè)考試）已知指數(shù)函數(shù)fx=a?1bxA．4 B．1 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征，結(jié)合經(jīng)過的點即可求解.【詳解】由指數(shù)函數(shù)fx=a?1a?1=1a?1b?1所以ab=4，故選：A【變式31】4（2023下·上海黃浦·高三格致中學?？奸_學考試）已知函數(shù)fx=2x?1,x≤0【答案】7或?2【分析】根據(jù)題意,結(jié)合函數(shù)的解析式,分2種情況討論,求出x的值,綜合可得答案.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=2x?1,x≤0當x≤0時，f(x)=2x當x>0時，f(x)=1?x4=?34，則有x=7故答案為：7或?2.【變式31】5.（2022上·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)y=a12xA．a(chǎn)=?2，b=2 B．a(chǎn)=2，b=2C．a(chǎn)=?1，b=2 D．a(chǎn)=2，b=1【答案】A【分析】根據(jù)題意得到a+b=0，a12x+b→b，從而求出【詳解】由題意得0=a120x→+∞時，12x故b=2，解得a=?2.故選：A題型4指數(shù)函數(shù)的解析式【例題4】（2022·全國·高一專題練習）若指數(shù)函數(shù)fx的圖象經(jīng)過點2,9，求f【答案】f【分析】設出函數(shù)解析式，代入點2,9求解即可.【詳解】設fx=axa>0且a≠1)解得a=3或a=?3(舍去)．故【變式41】1.（2023·江蘇·高一專題練習）已知指數(shù)函數(shù)fx的圖象過點3,π，則函數(shù)【答案】f【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念設出指數(shù)函數(shù)求出底數(shù)即可.【詳解】設fx=ax（a>0且a≠1），將點解得a=3π，所以故答案為：f【變式41】2.（2020·高一課時練習）若指數(shù)函數(shù)fx，滿足f2?f【答案】27【分析】先設指數(shù)函數(shù)fx=a【詳解】設指數(shù)函數(shù)fx由f2?f1=6得a2則f3故答案為：27.【點睛】本題主要考查求指數(shù)函數(shù)值，熟記指數(shù)函數(shù)的概念即可，屬于基礎題型.【變式41】3.（2019上·重慶渝北·高一重慶市松樹橋中學校校考階段練習）若指數(shù)函數(shù)fx的圖象經(jīng)過點2，14【答案】1【分析】設指數(shù)函數(shù)為fx=a【詳解】設fx因為fx的圖象經(jīng)過點2，所以14=a所以f(x)=(∴f6故答案為：1【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的解析式，函數(shù)值，屬于容易題.【變式41】4.（2018上·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）已知f2x+3=ex,【答案】3【分析】先換元求得函數(shù)fx【詳解】f2x+3=ex,且fx0=1，令故答案為：3.題型5指數(shù)函數(shù)圖象問題【方法總結(jié)】處理函數(shù)圖象問題的策略(1)抓住特殊點：指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(0,1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過的定點時，只要令指數(shù)為0，求出對應的y的值，即可得函數(shù)圖象所過的定點．(2)巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性與單調(diào)性．【例題5】（2017上·廣西南寧·高一南寧三中?？计谥校┖瘮?shù)fx=aA． B．C． D．【答案】A【分析】由a>1時，函數(shù)fx的單調(diào)性和g【詳解】當a>1時，函數(shù)fx=ax單調(diào)遞增，當故選：A【變式51】1．（2023上·高一課時練習）函數(shù)y=ax?1aA．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分別討論a>1或0<a<1時，圖象與y軸的交點的縱坐標，即可得出答案.【詳解】A，B選項中，a>1，于是0<1?1a<1顯然A，B的圖象均不正確；C，D選項中，0<a<1，于是1?1a<0故選：D【變式51】2.（2022·全國·高一專題練習）如圖所示，函數(shù)y=2A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】將原函數(shù)變形為分段函數(shù)，根據(jù)x=1及x≠1時的函數(shù)值即可得解.【詳解】∵y=2∴x=1時，y=0，當x>1時，函數(shù)y=2x?2為1,+當x<1時，函數(shù)y=2?2x為?∞故選：B【變式51】3.（2022上·湖南益陽·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)fxA． B．C． D．【答案】C【分析】判斷函數(shù)fx【詳解】由fx=ex?2因為f1所以函數(shù)fx所以函數(shù)fx的圖象不關于y又f1選項C滿足以上要求.故選：C.【變式51】4．（2021上·福建福州·高一校聯(lián)考期中）指數(shù)函數(shù)y=bax

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先由指數(shù)函數(shù)的圖象判斷出0<ba<1即可解出.【詳解】由指數(shù)函數(shù)y=bax令ax2+bx=0則?1<x對應只有B選項符合題意.故選：B【變式51】5.（2022上·重慶九龍坡·高一重慶市育才中學?？茧A段練習）函數(shù)f(x)=xA． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)和特殊值排除部分選項可得答案.【詳解】若函數(shù)有意義，則ex?4≠0，解得x≠±2所以函數(shù)fx的定義域為{x|x≠±2因為f(x)=x2e所以fx為定義域上的偶函數(shù)，圖像關于y當x∈2ln2,+故選：D．【變式51】6.（2023上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學?？计谥校┖瘮?shù)fxA． B．C． D．【答案】B【分析】判斷函數(shù)的奇偶性排除兩個選項，再結(jié)合特殊的函數(shù)值排除一個選項后得正確結(jié)論．【詳解】由2x?2?x≠0因為f?x=?2又f4故選：B.【變式51】7．（2022·全國·高一單元測試）函數(shù)fxA． B．C． D．【答案】D【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再判斷函數(shù)的奇偶性，最后根據(jù)函數(shù)值的情況判斷即可.【詳解】解：因為函數(shù)fx=x22所以fx是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關于y當x∈0,2時1<2x<4，f故選：D．【變式51】8．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)fxA． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷當x趨近于+∞時，函數(shù)fx【詳解】解：因為fx=x所以fx當x趨近于+∞時，ex趨近于+∞，x2趨近于+∞，但是ex比x2增長速度快得多，所以

題型6指數(shù)函數(shù)過定點問題【方法總結(jié)】形如指數(shù)型函數(shù)求定點：①求x，令f(x)=0求解x;②求y=A+B【例題6】（2023上·上?！じ咭桓裰轮袑W?？茧A段練習）已知函數(shù)y=4+ax?1（其中a>0且a≠1）的圖象恒過定點P，則點【答案】1,5【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，令x?1=0，求出y的值，即可得答案.【詳解】對于函數(shù)y=4+ax?1（其中a>0且令x?1=0，∴x=1，則即函數(shù)y=4+ax?1的圖象恒過定點(1,5)，即點P坐標為故答案為：(1,5)【變式61】1.（2023上·上海閔行·高一?？茧A段練習）函數(shù)y=ax?1+2（a>0【答案】1,3【分析】令指數(shù)x?1=0，即x=1即可得解.【詳解】當x=1時，y=a1?1+2=a0+2=1+2=3，所以函數(shù)y=a故答案為：1,3.【變式61】2.（2023上·河北保定·高一保定一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=3a2x?4+1(a>0且a≠1)【答案】2,4【分析】考慮a0【詳解】令2x?4=0，得x=2，則f2=3+1=4，所以點A的坐標為故答案為：2,4【變式61】3.（2023上·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學校聯(lián)考期中）函數(shù)y=ax?1+1（a>0且a≠1）圖象過定點Ax0,y【答案】9【分析】先求出定點A，代入方程mx+ny=3得到m,n的等式，再根據(jù)基本不等式可求得答案.【詳解】由y=ax?1+1，（a>0且a≠1），令x=1，得y=a0代入方程mx+ny=3得，m+2n=3即m?1+2n=2，m>1,n>0∴≥125+22nm?1×2所以1m?1+2故答案為：92【變式61】4.（2023上·山西呂梁·高一校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)fx=amx+1+n?3a（其中m，n∈R，a>0且【答案】2【分析】根據(jù)指數(shù)冪的性質(zhì)可得m=?12，n=3，根據(jù)f1【詳解】由于fx=amx+1+n?3a的圖象恒過定點2,1，所以2m+1=0由于a>0，所以n=3，又f1=2，即f因此fx=2故答案為：2【變式61】5.（2023上·云南昭通·高一校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)y=2ax?3?1(a>0，且a≠1)恒過定點Ax0,y0，且滿足A．16 B．6 C．23 D．【答案】A【分析】通過x?3=0可得定點A，代入等式得3m+n=1，然后通過展開3m【詳解】令x?3=0，得x=3，此時y=1，∴Ax0∴3m+n=1.∴3當且僅當3nm=3m故選：A.【變式61】6.（2023上·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學?？计谥校┮阎瘮?shù)y=ax?1+2a>0,a≠1的圖像恒過的定點A，且A點在直線A．4 B．1 C．2 D．5【答案】B【分析】由給定條件求出點A的坐標即可得出m+n+1=4，再利用“1”的妙用即可得解.【詳解】函數(shù)y=ax?1+2a>0,a≠1中，由x?1=0可得即函數(shù)的圖象恒過定點A(1,3).若點A在直線mx?y+n=0m,n>0上，即有m+n+1=4于是得1m當且僅當n+1m=m所以m=2，n=1時，故選：B.題型7定義域問題【例題7】（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)y=A．?∞,3 B．?∞,3 C．3,+∞ 【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的被開方式非負，列出不等式，求解不等式可得答案.【詳解】由題意得3x?27≥0，即3x【變式71】1．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)y=【答案】?∞,?3【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為根式形式，根據(jù)根式復合型函數(shù)定義域范圍求解，轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)不等式2?【詳解】因為y=0.5x?8?12=1故函數(shù)y=0.5x?8?【變式71】2．（2022·全國·高一專題練習）函數(shù)f(【答案】?2，0【分析】解不等式組4?【詳解】解：要使fx有意義，則4?x2≥0x∴fx的定義域為?2，0【變式71】3．（2022·全國·高一專題練習）函數(shù)fx【答案】0,1【分析】結(jié)合分式型，二次根號型函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題知，2x?1≥0x?1≠0?故答案為：0,1∪題型8指數(shù)函數(shù)的對稱性【例題8】（2022下·山東青島·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)y=3?x與函數(shù)A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱 C．關于原點對稱 D．關于直線y=x對稱【答案】C【分析】在同一坐標系中，作出兩個函數(shù)的圖象判斷.【詳解】解：在同一坐標系中，作出函數(shù)y=3?x與函數(shù)由圖象知：函數(shù)y=3?x與函數(shù)故選：C【變式81】1．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習）函數(shù)y=?axa>0A．與y=ax的圖像關于y軸對稱 B．與C．與y=a?x的圖像關于y軸對稱 D．與【答案】D【分析】利用函數(shù)的對稱性即可求解.【詳解】函數(shù)y=ax是把y=ax中的x換成x，把y換成y，所以兩個函數(shù)的圖像關于原點對稱，故選：D.【變式81】2．（2023上·北京·高一北京市第十二中學?？茧A段練習）將函數(shù)fx的圖象向右平移1個單位長度后，再向上平移4個單位長度，所得函數(shù)圖象與曲線y=4x關于yA．4 B．2 C．0 D．4【答案】C【分析】先根據(jù)對稱變換和平移變換得到fx【詳解】因為函數(shù)fx再向上平移4個單位長度，設所得函數(shù)圖象為gx因為gx與曲線y=4x關于y則gx向下平移4個單位長度，再向左平移1個單位長度后可得f則fx=4故選：C.【變式81】3．（2018下·四川瀘州·高二四川省瀘縣第二中學?？计谀┫铝泻瘮?shù)中，其圖像與函數(shù)y=e2x的圖像關于直線A．y=e2x?2 B．y=e8?2x C．【答案】B【分析】由函數(shù)的對稱性求解，【詳解】設f(x)=e2x，若g(x)與f(x)的圖像關于直線則g(x)=f(4?x)=e故選：B【變式81】4．（2021上·高一課時練習）函數(shù)y=1A．關于原點成中心對稱B．關于y軸對稱C．既關于原點成中心對稱又關于y軸對稱D．既不關于原點成中心對稱也不關于y軸對稱【答案】A【分析】先求出函數(shù)的定義域關于原點對稱，再證明函數(shù)是奇偶性，即得解.【詳解】解：設f(x)=1由題得x≠0，所以函數(shù)的定義域關于原點對稱.所以f(?x)=1所以f(?x)+f(x)=3所以f(?x)=?f(x)，f(?x)≠f(x)，所以函數(shù)f(x)=1所以其圖象關于原點成中心對稱，不關于y軸成軸對稱.故選：A【變式81】5.（2023上·廣東廣州·高一校考階段練習）函數(shù)fx的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與y=exA．ex+1 C．e?x+1 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出y=ex關于【詳解】因為y=ex關于y軸對稱的解析式為把y=e?x的圖象向左平移1個單位長度得出∴f(x)=e故選：D．【變式81】6.（2021上·河南洛陽·高一洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)f(x)=2|x?a|的圖象關于直線A．1 B．2 C．0 D．2【答案】B【分析】根據(jù)y=2|x|的對稱性，結(jié)合函數(shù)圖象平移得到關于直線【詳解】函數(shù)y=2將函數(shù)y=2|x|的圖象向右平移2個單位長度可得函數(shù)所以函數(shù)y=2|x?2|的圖象關于直線x=2對稱，故故選：B【變式81】7.（2021上·上海虹口·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)y=4A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱 C．關于原點對稱 D．關于直線y=x對稱【答案】B【分析】將函數(shù)進行化簡，利用函數(shù)的奇偶性的定義進行判斷．【詳解】解：因為f(x)=4x+1所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，即函數(shù)圖象關于y軸對稱．故選：B．【變式81】8.（2022上·上海虹口·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)y=x2A．x軸 B．y軸 C．原點 D．直線y=x【答案】B【分析】判斷函數(shù)的奇偶性即可得函數(shù)圖象的對稱性.【詳解】函數(shù)y=x2又f?x所以y=x2函數(shù)y=x2故選：B.題型9指數(shù)函數(shù)圖像中的含參問題【例題9】（2021上·浙江溫州·高一樂清市知臨中學校考期中）函數(shù)f(x)=a

A．a(chǎn)>1,b<0 B．a(chǎn)>1,b>0C．0<a<1,b>0 D．0<a<1,b<0【答案】D【分析】由函數(shù)單調(diào)性判斷a與1的大小，再由圖象與y軸的交點位置判斷b的正負.【詳解】由圖象可知，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，從而有0<a<1；法一：由f(x)=ax?b圖象，函數(shù)與y軸的交點縱坐標令x=0，得y=a由0<a?b<1，即0<法二：函數(shù)f(x)圖象可看作是由y=a則?b>0，即b<0.故選：D.【變式91】1.（2023上·廣西柳州·高一柳州高級中學?？计谥校┮筬x=1A．?1,+∞ B．?∞,?12 【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的相關知識，找到該函數(shù)與y軸的交點坐標,并結(jié)合單調(diào)性，只需該點的縱坐標小于等于0即可.【詳解】函數(shù)fx=12x+1要使fx圖象不經(jīng)過第一象限，則12+t≤0故選：B.【變式91】2．（2021上·高一課時練習）指數(shù)函數(shù)y=ax與A．a(chǎn)>1,0<b<1 B．a(chǎn)>1,b>1C．0<a<1,b>1 D．0<a<1,0<b<1【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)y=ax的圖象是下降的，所以又因為函數(shù)y=bx的圖象是上升的，所以故選：C.【變式91】3.（2022·高一課時練習）函數(shù)y=ax與A．2 B．3 C．12 D．【答案】D【分析】利用排除法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象特征分析判斷即可.【詳解】顯然a>0．由y=ax>0，知①是函數(shù)y=由函數(shù)y=ax的圖象可知由②知，函數(shù)y=xa在故選：D．【變式91】4.（2021上·陜西西安·高一西北工業(yè)大學附屬中學?？茧A段練習）已知函數(shù)gx=ax+3?2aA．2,+∞ B．2,+∞ C．1,2 【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因為函數(shù)gx=ax+3?2a（a>0且a≠1故選：A題型10指數(shù)函數(shù)比較大小問題【方法總結(jié)】比較冪的大小的方法:1同底數(shù)冪比較大小時構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性比較.2指數(shù)相同底數(shù)不同時分別畫出以兩冪底數(shù)為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象，當x取相同冪指數(shù)時可觀察出函數(shù)值的大小.3底數(shù)、指數(shù)都不相同時，取與其中一底數(shù)相同與另一指數(shù)相同的冪與兩數(shù)比較，或借助“1”與兩數(shù)比較.4當?shù)讛?shù)含參數(shù)時，要按底數(shù)a>1和0<a<1兩種情況分類討論.【例題10】（2023上·福建泉州·高一泉州七中校考期中）設a=3727，A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>c C．c>a>b D．b>c>a【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)單調(diào)性比較大小.【詳解】由fx=2由gx=x即：a>c>b.故A項正確.故選：A.【變式101】1.（2023上·廣東汕頭·高一金山中學?？计谥校┮阎猘=0.40.2,b=A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>a>b D．b>c>a【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和中間值比較出大小關系.【詳解】因為y=0.4x在R上單調(diào)遞減，所以0.40>0.4c=2.10.2>故選：C【變式101】2.（2023上·廣東汕頭·高一汕頭市潮陽林百欣中學?？茧A段練習）已知a=313，b=915，c=1A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<b<a D．c<a<b【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間量“1”即可比較a，b，c大小，得出答案.【詳解】b=因為函數(shù)y=3x為R上的增函數(shù)，所以325>因為函數(shù)y=12x為R所以1229綜上可得：c<a<b.故選：D.【變式101】3.（2023上·天津武清·高三天津英華國際學校?？茧A段練習）已知a=2?1，b=aA．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<a<b D．c<b<a【答案】B【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得.【詳解】由a=2?1，即0<a<1，則a1則a1<a故選：B.【變式101】4.（2023上·北京·高一北京一七一中?？茧A段練習）已知a>b，ab≠0，下列不等式恒成立的是（

）A．a(chǎn)2>bC．1a<1【答案】B【分析】應用特殊值a=1,b=?2判斷A、C；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷B、D.【詳解】a=1,b=?2時a2<bB：由y=2x在定義域上遞增，則D：由y=(13故選：B【變式101】5.（2023上·遼寧朝陽·高一建平縣實驗中學?？茧A段練習）若2xA．1x>1y B．x>y【答案】D【分析】依題意可得2x?7?x>2y【詳解】因為2x?2y>因為y=2x和y=?7?x在R上單調(diào)遞增，所以所以由2x?7當x=2、y=1時，滿足x>y，而1x當x=2、y=?2時，滿足x>y，而x=因為y=12x在R故選：D【變式101】6．（2022·全國·高一課時練習）若實數(shù)x，y滿足2022xA．xy>1 B．xy<1C．【答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知fx=2022x?2023?x是【詳解】令fx=2022x?2023?x，由于y=2022x，y=?2023?x均為R【變式101】7．（多選）（2023上·廣西·高一校聯(lián)考階段練習）x，y，z為正實數(shù)，若13x=A．x>y>z B．z>y>xC．5z>4y>3x D．3x>4y>5z【答案】AC【分析】將13x=14y=15z變形得到3x=4y=5z【詳解】由13即有3x=4y=因為3x故3x因為81>64，故3x<4y，同理，因為4故4y因為1024>625，故4y<5z，即有5z>4y>3x，故C正確，D錯誤.故選：AC.題型11指數(shù)方程【例題11】（2022·全國·高一專題練習）方程5x?1A．1,4 B．14 C．1,14【答案】B【分析】根據(jù)題意，先把103x轉(zhuǎn)化為53x?【詳解】原方程可化為：5x?1?53x?故選：B．【變式111】1.（2022上·河北滄州·高一統(tǒng)考期中）關于x的方程21+xA．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】令t=2x,(t>0)，化簡可得2t2【詳解】解：原方程即2×2x?22x+5=0，化簡可得2×2x2+5×故選：B.【變式111】2．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中?？计谥校╆P于x的方程4x【答案】x=1【分析】由4x?2x=2可得出2【詳解】由4x?2x=2因為2x>0，可得2x所以，方程關于x的方程4x?2故答案為：x=1.【變式111】3（2023·高一單元測試）方程22x+1【答案】{?1,2}【分析】令t=2x，換元可得方程2t2?9t+4=0【詳解】令t=2x，則方程可化為2t2?9t+4=0，解得t=所以，2x=1解得x=?1或x=2.所以，方程的解集為{?1,2}.故答案為：{?1,2}.【變式111】4．（2021·安徽省定遠中學高一階段練習）函數(shù)fx=3A．23,+∞ B．23,+∞ C．【答案】B【分析】令fx=t，則ft=2t，當t<1時，3t【詳解】由函數(shù)fx=3x?1,當t<1時，3t?1=．∴t<1時，當t≥1時，2t=2t成立，由fx≥1當x≥1時，有2x≥1，解得x≥1，綜上，【變式111】5.（2020·全國·高三對口高考）方程35x?2y【答案】x=2【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)列出方程組，解之即可.【詳解】因為5x?2y≥0且y?5≥0，由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：當x≥0時，y=a則有5x?2y=0y?5=0解得：x=2，y=5故答案為：x=2y=5【變式111】6.（2023·全國·高三專題練習）求方程35【答案】x=2【分析】令fx=3【詳解】令fx=35x所以函數(shù)y=fx在R又f2=3題型12指數(shù)函數(shù)不等式【方法總結(jié)】1．比較兩個指數(shù)式值的大小的主要方法(1)比較形如am與an的大小，可運用指數(shù)函數(shù)y＝ax的單調(diào)性．(2)比較形如am與bn的大小，一般找一個“中間值c”，若am<c且c<bn，則am<bn；若am>c且c>bn，則am>bn.2．解簡單指數(shù)不等式問題的注意點(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的單調(diào)性求解．如果a的值不確定，需分0<a<1和a>1兩種情況進行討論．(2)形如ax>b的不等式，注意將b化為以a為底的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的單調(diào)性求解．(3)形如ax>bx的不等式，可借助圖象求解．◆類型1指數(shù)不等式【例題121】（2023上·上?！じ咭恍？茧A段練習）關于x的不等式3x?1【答案】x【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為不等式3x?1>1，即3x?1>3則不等式的解集為xx>1故答案為：x【變式121】1.（2022上·遼寧阜新·高一?？计谀┎坏仁?1【答案】(0,1)【分析】作出函數(shù)y=(【詳解】在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=(兩個函數(shù)圖象交于點(0,1),(1,13)，觀察圖象知，當且僅當0<x<1所以不等式(13)故答案為：(0,1)【變式121】2.（2023上·四川涼山·高一校聯(lián)考期末）不等式13【答案】?【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法求得正確答案.【詳解】依題意，132x由于y=3x在R上單調(diào)遞增，所以2x解得x≤?52或x≥1，所以不等式的解集為故答案為：?【變式121】3.（2023上·廣東廣州·高一南沙一中校考期中）不等式2x【答案】x【分析】先利用指數(shù)冪的運算化簡不等式，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】不等式2x2?4x?1因為函數(shù)y=2x為單調(diào)遞增函數(shù)，所以x2解得?1≤x≤3，所以不等式2x2?4x?1故答案為：x【變式121】4．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中?？计谥校┎坏仁??x【答案】(?【分析】根據(jù)一次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】當x<0時，?x>0，則2?x>20=1當x=0時，則2?x=20=1當x>0時，?x<0，則2?x<20=1綜上，不等式2?x>x+1的解集為故答案為：(?∞【變式121】5．（2022·上?！じ咭粏卧獪y試）關于x的不等式10?2【答案】?3,?1【分析】首先將不等式轉(zhuǎn)化為2?x2【詳解】由題知：4?x?10?2?x+16<0，整理得：2?【變式121】6.（2023上·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第十九中學?？茧A段練習）不等式2x2?2x?3<1【答案】7【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，結(jié)合一元二次不等式解法進而得到答案.【詳解】因為y=2x則2x2?2x?3即x2+x?6<0，解得因為?3＜x＜所以?3+2=?a?3×2=b此時x2+ax+b<0，即x2故a?b=7故答案為：7.◆類型2抽象不等式【例題122】（2021上·河南鄭州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=1?22x【答案】1,+∞【解析】首先分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式變形為f2x?1【詳解】fx=1?2并且f?x=1?2所以不等式f2x?1+fx?2即2x?1>2?x，解得：x>1，所以不等式的解集為1,+∞.故答案為：1,+∞【變式122】1．（2022上·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=ex?【答案】0,+【分析】構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)?1為R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，再利用其性質(zhì)將原不等式轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】令F(x)=f(x)?1=e則F(?x)=e故F(x)為奇函數(shù)，則原不等式變形為f(2x?1)?1>?fx+1+1=f?x?1因為y=ex是R上的增函數(shù)，所以所以F(x)=e所以2x?1>?x?1，解得x>0.故答案為：0,+∞【變式122】2．（2023·全國·高一單元測試）雙曲正弦函數(shù)shx=ex?A．23,+∞ B．12,+∞ C．【答案】A【分析】函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，由奇偶性可將f【詳解】由題意可知，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，所以f(x+1)+f【變式122】3．（2023上·湖北咸寧·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)fx=2024x?【答案】x【分析】構(gòu)造函數(shù)gx=2024【詳解】依題意，函數(shù)fx的定義域為R，令g則g?x=2024?x?2024x所以不等式f4x+1+f?2x+1得到g4x+1<?g?2x+1=g2x?1故答案為：x|x<?1.【變式122】4．（2022·全國·高一課時練習）設函數(shù)fx=2x,A．?∞,0 B．0,+∞ C．0,1 D．1,+∞【答案】B【分析】分類討論：①當a<0時和②當a【詳解】①當a<0時，2a<0②當a≥0時，2a≥0，fa<f2綜上，實數(shù)a的取值范圍是0,+∞．故選：B．【變式122】5.（2023上·四川成都·高一?？计谥校┲笖?shù)函數(shù)y=g(x)的圖像經(jīng)過點12,2(1)求y=g(x)的解析式；(2)判斷f(x)的單調(diào)性，并用定義法證明；(3)解關于x的不等式0<f3【答案】(1)g(2)fx在R(3)?【分析】（1）求冪函數(shù)解析式采用待定系數(shù)法，設函數(shù)解析式gx=ax，代入點g1（2）證明單調(diào)性利用定義法，定義域上任取x1<x（3）將不等式轉(zhuǎn)化為f0<f3【詳解】（1）設gx=axa>0,a≠1因為gx（2）因為gx=2fx在R任取x1，x2∈fx因為x1<x2，所以2x所以fx1?f所以fx是定義在R（3）由fx是定義在R令f(x)=12?2x?12所以原不等式0<f3x2所以0<3x2?x≤2，即所以x的取值范圍是?2【變式122】6.（2023上·江蘇蘇州·高一蘇州中學?？计谥校┮阎x域為R的函數(shù)fx(1)求實數(shù)a的值．(2)試判斷fx(3)解關于x的不等式f(4【答案】(1)1(2)函數(shù)f（x）(3)(0,3)．【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合f?x（2）化簡fx（3）根據(jù)題意，把不等式轉(zhuǎn)化為22x【詳解】（1）解：因為函數(shù)fx=1?a?2x即fx所以a?1=0，解得a=1.（2）解：函數(shù)fx在R證明如下：由函數(shù)fx=1?2x則fx因為x1<x2，所以所以fx1?f所以函數(shù)fx在R（3）解：由（1）（2）知，函數(shù)fx為奇函數(shù)，且在R所以f(4x)>f(9×令2x=t(t>0)，可得t2即1<2x<8，解得0<x<3【變式122】7.（2023上·廣東江門·高一臺山市第一中學?？计谥校┘褐x域為R的函數(shù)f(x)=?2x(1)求實數(shù)a的值，并用定義證明fx(2)求不等式f2【答案】(1)a=1，證明見解析(2)?【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解a，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明；（2）先利用奇偶性將不等式化為f2【詳解】（1）若函數(shù)fx為奇函數(shù)，則f又f?x=?2?x所以a?1=0，解得a=1，所以fx=?證明如下：設x1<x因為x1