13.3.1 等腰三角形的性質(zhì)（難點(diǎn)練）解析版

13.3.1等腰三角形的性質(zhì)（難點(diǎn)練）一、單選題1．（2020·浙江嘉興·）如圖，已知為的高線，，以為底邊作等腰，且點(diǎn)E在內(nèi)部，連接，，延長(zhǎng)交于F點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】由AD為△ABC的高線，可得∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，Rt△ABE是等腰直角三角形，可得，從而可判斷①；由等腰可得結(jié)合，∠DAE=∠CBE，可判斷②；由△ADE≌△BCE，可得再證明∠BDE=∠AFE，結(jié)合，證明△AEF≌△BED，可判斷③；由△ADE≌△BCE，可得由△AEF≌△BED，證明從而可判斷④．【詳解】解：∵AD為△ABC的高線，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴，∴∠DAE=∠CBE，即，故①正確；∵Rt△ABE是以為底等腰直角三角形，∴AE=BE，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS）；故②正確；△ADE≌△BCE，∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（AAS），∴；故③正確；∵△ADE≌△BCE，∴△AEF≌△BED，∴∴故④正確；綜上：正確的有①②③④．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的中線與高的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2020·青縣第二中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，△DAC和△EBC均為等邊三角形，A、C、B三點(diǎn)在同一直線上，AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N，有如下結(jié)論：①△ACE≌△DCB；②AC=DN；③AE=BD；④∠BOE=60°；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得到AC=CD，EC=BC，且∠ACD=∠ECB=60°，從而推出∠ACE=∠DCB，得到△ACE≌△DCB，可判斷①；從而得到AE=BD，∠AEC=∠DBC，可判斷③；再由三角形內(nèi)角和可判斷④；再由三角形中大邊對(duì)大角進(jìn)行分析可判斷②．【詳解】解：∵△DAC和△EBC都為等邊三角形，

∴∠ACD=∠ECB=60°，AC=CD，EC=BC，

∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，

在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），①正確；∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，③正確；∵∠ACD=∠ECB=60°，∠DNE=∠CNB，∴∠DCE=60°，∠BOE=∠BCE=60°，④正確；∵AC=DC，在△DNC中，DC所對(duì)的角為∠DNC=∠NCB+∠NBC=60°+∠NBC＞60°，而DN所對(duì)的角為∠DCB=60°，根據(jù)三角形中等邊對(duì)等角、大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的規(guī)律，則DC＞DN，即是AC＞DN，所以②錯(cuò)誤，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．3．（2020·長(zhǎng)沙市望城區(qū)郡維學(xué)校）如圖，OE是等邊的中線，，點(diǎn)C是直線OE上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為邊在直線AC下方作等邊，連接ED，下列說法正確的是（）A．ED的最小值是2 B．ED的最小值是1C．ED有最大值 D．ED沒有最大值也沒有最小值【答案】B【分析】如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而可得點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡，最后根據(jù)垂線段最短、直角三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】如圖，連接BD，過點(diǎn)E作，交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，和都是等邊三角形，，，，即，在和中，，，，OE是等邊的中線，，，即直線BD的位置是固定的，當(dāng)點(diǎn)C在直線OE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D在直線BD上運(yùn)動(dòng)，由垂線段最短得：當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合時(shí)，ED取得最小值，最小值為EF，在中，，即ED的最小值為1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、垂線段最短、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，確定出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．4．（2021·湖北咸安·）如圖，AO⊥OM，點(diǎn)B為射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以O(shè)B，AB為直角邊，B為直角頂點(diǎn)，在OM兩側(cè)作等腰直角△OBF?等腰直角△ABE，連接EF交OM于P點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在射線OM上移動(dòng)時(shí)，PB的長(zhǎng)度為（）A． B．3 C． D．不能確定【答案】A【分析】過點(diǎn)E作EN⊥BM，垂足為點(diǎn)N，首先證明△ABO≌△BEN，得到BO=NE；進(jìn)而證明△BPF≌△NPE，即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EN⊥BM，垂足為點(diǎn)N；

∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，

∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE，

∴∠BAO=∠NBE；

∵△ABE、△BFO均為等腰直角三角形，

∴AB=BE，BF=BO；

在△ABO與△BEN中，

，

∴△ABO≌△BEN（AAS），

∴BO=NE，BN=AO；∵BO=BF，

∴BF=NE；

在△BPF與△NPE中，

，

∴△BPF≌△NPE（AAS），

∴BP=NP=BN；而BN=AO，

∴BP=AO=×＝，為定值；

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及其性質(zhì),解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷或解答．5．（2020·宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，以BP為邊作等邊BPQ，連接CQ，則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段CQ長(zhǎng)度的最小值是（）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出當(dāng)EP⊥AC時(shí)，QC的值最??；【詳解】如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，PE，則AE＝BE＝4．∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠CBE＝60°，∵BE＝AE，∴CE＝BE＝AE，∴△BCE是等邊三角形，∴BC＝BE，∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，∴∠QBC＝∠PBE，∵QB＝PB，CB＝EB，∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC＝PE，∴當(dāng)EP⊥AC時(shí)，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE＝4，∠A＝30°，∴PE＝AE＝2，∴CQ的最小值為2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．6．（2020·四川省青神縣南城鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)校八年級(jí)期中）點(diǎn)B、C、E在一條直線上，△ABE與△ECD都是等邊三角形，其中的點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的字母如圖所示．①AC＝BD；②∠AHB＝60°；③EG＝FE；④△GEF是等邊三角形；⑤EH平分∠BHC，則正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】證明△AEC≌△BED，得到AC=BD，∠EAC=∠EBD，可判斷①；結(jié)合∠AGH=∠BGE，可得∠AHB=∠AEB=60°，可判斷②；再證明△AEF≌△BEG，得到EG=EF，可判斷③；求出∠AED的度數(shù)，可得到△GEF是等邊三角形，可判斷④；分別過點(diǎn)E作BD和AC的垂線，垂足分別為M，N，根據(jù)△AEC和△BED面積相等可得EM=EN，最后根據(jù)角平分線的判定定理可判斷⑤．【詳解】解：∵△ABE和△ECD是等邊三角形，∴AE=BE，ED=EC，∠AEB=∠CED=60°，∴∠AEB+∠AED=∠CED+∠AED，即∠AEC=∠BED，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC=BD，∠EAC=∠EBD，①正確；又∵∠AGH=∠BGE，∴∠AHB=∠AEB=60°，②正確；∵∠AEB=∠DEC=60°，∴∠AED=60°，∵∠EAC=∠EBD，AE=BE，∴△AEF≌△BEG（ASA），∴EG=EF，③正確；∵∠AED=60°，∴△GEF是等邊三角形，④正確；分別過點(diǎn)E作BD和AC的垂線，垂足分別為M，N，∵△AEC≌△BED，∴S△AEC=S△BED，又AC=BD，∴EM=EN，∴EH平分∠BHC，⑤正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，面積法，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．（2020·宿遷市鐘吾初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，等邊△ABC中，AB=2，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且DA=DB，E為△ABC外一點(diǎn)，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，連接DE，CE，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S△EBC=1，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】連接，DE，證得出①；再證，得出；其它兩個(gè)條件運(yùn)用假設(shè)成立推出答案即可．【詳解】連接，DE，是等邊三角形，，，，，在與中，，，，∠DAC=∠DBC，，，，，在與中，，，．故①③正確．，，，，，∴∠EBC=2∠ACE，，，，在中三角和為，即∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，，，這時(shí)是邊上的中垂線，故結(jié)論②錯(cuò)誤．邊上的高，，故結(jié)論④是正確的．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．8．（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)）如圖，，平分，．若P到OA的距離為．若點(diǎn)，分別在射線，上，且△是邊長(zhǎng)為整數(shù)的等邊三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)有（參考數(shù)據(jù)：（）A．4個(gè)以上 B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【分析】在OB上截取OK=OP，連接PK，先證出△OPK為等邊三角形，從而得出OK=PK=OP=10，∠OPK=∠PKN=60°，當(dāng)∠MPN=60°時(shí)，證出△PMN為等邊三角形，然后求出PM的最大值和最小值，即可求出PM的整數(shù)值，從而得出結(jié)論．【詳解】解：在OB上截取OK=OP，連接PK，∵，平分，∴∠AOP=∠BOP=∴△OPK為等邊三角形∴OK=PK=OP=10，∠OPK=∠PKN=60°先證∠MPN=60°時(shí)，△PMN為等邊三角形，如下∴∠MPO=∠NPK，∵∠MOP=∠NKP=60°，OP=KP∴△MOP≌△NKP∴PM=PN∴△PMN為等邊三角形，∵點(diǎn)，分別在射線，上∴PM的最大值為OP（此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，點(diǎn)N與點(diǎn)K重合）；∵若P到OA的距離為．∴PM的最小值為∴≤PM≤10∵△是邊長(zhǎng)為整數(shù)，即PM為整數(shù)∴PM=9或10若PM=9，以P為圓心，以9為半徑，交OA于M1、M2，此時(shí)滿足上述條件的點(diǎn)有兩個(gè)；若PM=10，以P為圓心，以10為半徑，交OA于M3、M4，此時(shí)滿足上述條件的點(diǎn)有兩個(gè)；綜上：滿足上述條件的點(diǎn)有4個(gè)．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是等邊三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和垂線段最短的應(yīng)用，掌握等邊三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和垂線段最短是解題關(guān)鍵．9．（2020·浙江八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知中，，，，若把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使它與原的重疊部分為等腰三角形．則為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】由∠BAC=90°，AB=AC可判斷△ABC為等腰直角三角形，則∠ABC=∠ACB=45°，再由BD∥AC得∠ABD=∠BAC=90°，則利用互余可計(jì)算出∠BAD=60°，由于把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜90°），使它與原△ABC的重疊部分為等腰三角形，而等腰三角形的腰不能確定，所以分類討論：當(dāng)AE=AF時(shí)，如圖1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAB′=α，∠B′AD=60°，可判斷△AEF為等邊三角形，得到∠1=∠2=60°，則可根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠BAB′=∠1-∠ABC=15°，即α=15°；當(dāng)AFA=FC時(shí)，如圖2，∠BAB′=α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ACB=∠FAC=45°，所以∠BAB′=45°，即α=45°，由此得到α的值為15°或45°．【詳解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵BD∥AC，∴∠ABD=∠BAC=90°，∵∠D=30°，∴∠BAD=60°，把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜90°），使它與原△ABC的重疊部分為等腰三角形，當(dāng)AE=AF時(shí)，如圖1，則∠BAB′=α，∠B′AD=60°，∴△AEF為等邊三角形，∴∠1=∠2=60°，而∠1=∠B+∠BAB′，∴∠BAB′=60°-45°=15°，即α=15°；當(dāng)AF=FC時(shí)，如圖2，則∠BAB′=α，∵∠ACB=45°，∴∠FAC=45°，∴∠BAB′=90°-45°=45°，即α=45°；綜上所述，α的值為15°或45°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．10．（2021·宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在中，是邊上的高，，，．連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，．則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】證得△CAF≌△GAB（SAS），從而推得①正確；利用△CAF≌△GAB及三角形內(nèi)角和與對(duì)頂角，可判斷②正確；證明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，則FM=NG，證明△FME≌△GNE（AAS）．可得出結(jié)論④，③正確．【詳解】解：∵∠BAF=∠CAG=90°，∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，又∵AB=AF，AC=AG，∴△CAF≌△GAB（SAS），∴BG=CF，故①正確；∵△FAC≌△BAG，∴∠FCA=∠BGA，又∵BG與AC所交的對(duì)頂角相等，∴BG與FC所交角等于∠GAC，即等于90°，∴BG⊥CF，故②正確；過點(diǎn)F作FM⊥AE于點(diǎn)M，過點(diǎn)G作GN⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，∴∠BAD=∠AFM，又∵AF=AB，∴△AFM≌△BAD（AAS），∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，同理△ANG≌△CDA，∴NG=AD，∴FM=NG，∵FM⊥AE，NG⊥AE，∴∠FME=∠ENG=90°，∵∠AEF=∠NEG，∴△FME≌△GNE（AAS）．∴EF=EG．故④正確．故③正確故選：D．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的三線合一性質(zhì)與互余、對(duì)頂角，三角形內(nèi)角和等幾何基礎(chǔ)知識(shí)．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2020·四川成都·）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝，點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，以BP為邊作等邊△BPQ，連接CQ，則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段CQ長(zhǎng)度的最小值是_____．【答案】【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出當(dāng)EP⊥AC時(shí)，QC的值最??；【詳解】解：如圖,取AB的中點(diǎn)E,連接CE,PE．∵∠ACB＝90°,∠A＝30°,∴∠CBE＝60°,∵BE＝AE,∴CE＝BE＝AE,∴△BCE是等邊三角形,∴BC＝BE,∵∠PBQ＝∠CBE＝60°,∴∠QBC＝∠PBE,∵QB＝PB,CB＝EB,∴△QBC≌△PBE（SAS）,∴QC＝PE,∴當(dāng)EP⊥AC時(shí),QC的值最小,在Rt△AEP中,∵AE＝,∠A＝30°,∴PE＝AE＝,∴CQ的最小值為．【點(diǎn)睛】本題旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．12．（2021·廣西玉州·八年級(jí)期末）如圖，中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于．以下四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，；③當(dāng)為等腰三角形時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論是______（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上），【答案】①②④【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=40°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理與平角的定義即可得到∠BAD=∠CDE；故①正確；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得到DE⊥AC，故②正確；③根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，可得所以△ADE為等腰三角形，分兩種情況討論：當(dāng)AE=DE時(shí)，當(dāng)時(shí)，再分別求解或故③錯(cuò)誤；證明△ABD≌△DCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE；故④正確；【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∴∴∠BAD=∠CDE；故①正確；∵D為BC中點(diǎn)，AB=AC，如圖，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=50°，∵∠C=40°，∴∠DEC=90°，∴DE⊥AC，故②正確；∵∠C=40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，所以△ADE為等腰三角形，分兩種情況討論：當(dāng)AE=DE時(shí)，∴∠DAE=∠ADE=40°，∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，∴∠BAD=60°，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)△ADE為等腰三角形，或故③錯(cuò)誤，∵∠BAD=30°，∴∠CDE=30°，∴∠ADC=70°，∴∠CAD=180°-70°-40°=70°，∴∠DAC=∠ADC，∴CD=AC，∵AB=AC，∴CD=AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD=CE；故④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2021·全國(guó)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)且不與A、B重合，將△ACD沿CD翻折得到△ECD，直線CE與直線AB相交于點(diǎn)F．若∠A＝40°，當(dāng)△DEF為等腰三角形時(shí)，∠ACD＝__________________．【答案】30°或15°或60°【分析】若△DEF為等腰三角形，分EF=DF，ED=EF，DE=EF三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理分別求解．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知∠E=∠A=α，∠CDE=∠ADC，如圖1，當(dāng)EF=DF時(shí)，則∠EDF=∠E=α，∵∠EDF=∠CDE-∠CDB，∠CDB=∠A+∠ACD，∴α=∠ADC-（∠A+∠ACD）=180°-2（∠A+∠ACD）=180°-2（α+∠ACD），∴∠ACD=90°-×40°=30°，∴當(dāng)∠ACD=30°時(shí)，△DEF為等腰三角形，當(dāng)ED=EF時(shí)，∠EDF=∠EFD==70°，∴2∠ADC=180°+∠EDF=250°，∴∠ADC=125°，∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-∠A-125°=15°，∵∠DFE=∠A+∠ACF，∴∠DFE≠∠DEF，如圖2，當(dāng)DE=EF時(shí)，∠EDF=∠EFD=∠A=20°；∴∠ACF=180°-∠A-∠EFD=120°，∴∠ACD=∠ACF=60°；綜上：當(dāng)∠ACD=30°或15°或60°時(shí)，△DEF為等腰三角形，故答案為：30°或15°或60°．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．14．（2020·杭州江南實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在一張直角三角形紙片中，，，，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿著折疊至，當(dāng)與的重疊部分為等腰三角形時(shí)，則的度數(shù)為______．【答案】80°或140°【分析】先求出∠A=30°，再分兩種情形，畫出圖形分別求解即可．【詳解】在中，，，∴∴∴∠A=30°當(dāng)PC=CE時(shí)，如圖1所示：

設(shè)∠ACP=x，則∠A1CP=x，

∵CP=CE，

∴∠CPE=∠CEP，

∵∠CPE=∠ACP+∠A=x+30°，

∴x+x+30°+x+30°=180°，

∴x=40°；∴

當(dāng)CP=CE時(shí)，如圖2所示：

設(shè)∠ACP=x．

則∠CPE=∠CEP=2x-90°+30°=2x-60°，

在△CPE中，90°-x+2（2x-60°）=180°，

解得：x=70°，∴

當(dāng)PE=PC時(shí)，此時(shí)設(shè)∠ACP=x．

則∠PCE=90-x∠CEP=2x-90°+30°=2x-60°，∵PE=PC

∴∠PCE=∠CEP90-x=2x-60°解得x=50°此時(shí)∠CPE=180-∠PCE-∠CEP=80°而∠CPB=∠ACP+∠A=80°∴點(diǎn)E應(yīng)該在AB延長(zhǎng)線上不符合題意綜上所述，的度數(shù)為80°或140°，

故答案為：80°或140°．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)；解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．15．（2021·天津南開翔宇學(xué)校八年級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=30°，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為_____．【答案】【分析】作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時(shí)PA+PC的值最小，求出AM和AD，再求出DN、EN，根據(jù)勾股定理求出ED，即可得出答案．【詳解】作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時(shí)PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PE=PD+PE=ED，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=30°，∴OA=4，∴AM=OA=2，∴AD=2×2=4，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠DNO=∠OAB=90°，∴DN∥AB，∴∠NDA=∠BAM=30°，∴AN=AD=2，由勾股定理得：DN===2，∵E（1，0），∴EN=4﹣1﹣2=1，在Rt△DNE中，由勾股定理得：DE===，即PA+PC的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握最短路徑的確定方法找出點(diǎn)P的位置以及表示PA+PE的最小值的線段是解題的關(guān)鍵．16．（2020·重慶市渝北中學(xué)校八年級(jí)月考）已知：，，，，則的度數(shù)為______．【答案】39°【分析】作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE、BE，如圖，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AE=AD，BE=BD，∠BAE=∠BAD=30°，進(jìn)而可得△ADE是等邊三角形，于是得AD=DE，∠ADE=60°，進(jìn)一步即可根據(jù)SSS證明△DBE≌△DBC，從而得∠EDB=∠CDB，設(shè)∠ACD=x，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BDC=∠BCD=x+18°，然后在△ADC中根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得關(guān)于x的方程，求出x后進(jìn)一步即可求出答案．【詳解】解：作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE、BE，如圖，則AE=AD，BE=BD，∠BAE=∠BAD=30°，∴∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=DE，∠ADE=60°，∵，，∴DE=DC，BE=BC，又∵DB=DB，∴△DBE≌△DBC（SSS），∴∠EDB=∠CDB，設(shè)∠ACD=x，∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD=x，∴∠BCD=x+18°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=x+18°=∠EDB，∴∠ADC=60°+2∠BDC=60°+2（x+18°）=2x+96°，在△ADC中，∵∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，∴x+x+2x+96°=180°，解得：x=21°，∴∠BDC=21°+18°=39°；故答案為：39°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，考查的知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)、難度較大，屬于試卷壓軸題，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．（2021·全國(guó)八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，與中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．給出下列結(jié)論：①∠AFC=∠C；②DF=CF；③FA是∠DFC的平分線；④∠BFD=∠CAF．其中正確的結(jié)論是：____（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【答案】①③④【分析】①先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得；②先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，從而可得，然后假設(shè)，根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，由此可得假設(shè)不成立；③由②已證，根據(jù)角平分線的定義即可得；④先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差可得，由此即可得．【詳解】在和中，，，，，則結(jié)論①正確；，是的平分線，則結(jié)論③正確；由三角形的外角性質(zhì)得：，又，，則結(jié)論④正確；假設(shè)，在和中，，，，即AF是的角平分線，AF不一定是的角平分線，假設(shè)不一定成立，則結(jié)論②錯(cuò)誤；綜上，正確的結(jié)論是①③④，故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（2021·安徽太和·）如圖，已知，點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B重合），當(dāng)______時(shí)，以A、O、B中的其中兩點(diǎn)和P點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【答案】或或【分析】根據(jù)三角形的定義分以點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形和以點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形兩種情況，再分別根據(jù)等腰三角形與等邊三角形的判定、三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】，，由題意，分以下兩種情況：（1）以點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，①當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，則，點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，不符題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，則；③當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，則；（2）以點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，一定是等邊三角形，，；綜上，符合條件的的度數(shù)為或或，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形與等邊三角形的判定、三角形的內(nèi)角和定理，依據(jù)題意，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．19．（2021·全國(guó)八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，設(shè)（）．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線，上．從點(diǎn)開始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中為第一根小棒，且，若只能擺放4根小棒，則的范圍為________．【答案】18°≤θ＜22.5°．【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠BAC=∠AA2A1，∠A2A1A3=∠A2A3A1，∠A3A2A4=∠A3A4A2，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得θ1=2θ，θ2=3θ，θ3=4θ，求出第三根小木棒構(gòu)成的三角形，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)列出不等式組求解即可．【詳解】解：如圖，∵小木棒長(zhǎng)度都相等，∴∠BAC=∠AA2A1，∠A2A1A3=∠A2A3A1，∠A3A2A4=∠A3A4A2，由三角形外角性質(zhì)得，θ1=2θ，θ2=3θ，θ3=4θ；∵只能擺放4根小木棒，∴，解得18°≤θ＜22.5°．故答案為：18°≤θ＜22.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，也考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，列出不等式組是解題的關(guān)鍵．20．（2020·武漢市二橋中學(xué)八年級(jí)月考）在中，，，，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線AD的右惻作等邊，連接CE，當(dāng)線段CE的長(zhǎng)度最小時(shí)，則線段CD的長(zhǎng)度為__________．【答案】3【分析】以AC為邊向左作等邊三角形ACF，連接DF，先根據(jù)直角三角形中所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求出BC的長(zhǎng)，再由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)作的輔助線證明，則，當(dāng)時(shí)，DF的長(zhǎng)是最小的，即CE的長(zhǎng)最小，求出此時(shí)的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，以AC為邊向左作等邊三角形ACF，連接DF，∵，，∴，∵，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，DF的長(zhǎng)是最小的，即CE的長(zhǎng)最小，∵，，∴，，∴當(dāng)線段CE的長(zhǎng)度最小時(shí)，則線段CD的長(zhǎng)度為3．故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題考查線段最值問題，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，以及掌握有角的特殊直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)．三、解答題21．（2021·吉林德惠·八年級(jí)期末）如圖，是等邊三角形，．動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)以的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)以的速度沿射線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)出發(fā)后，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)，以為邊作等邊三角形，連結(jié)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)．求的周長(zhǎng)(用含的代數(shù)式表示)．求的長(zhǎng)(用含的代數(shù)式表示)．當(dāng)?shù)倪吪c垂直時(shí)，直接寫出的值．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）；（3）；（4）的值為或．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)，得到BC=AC=AB=4，然后分點(diǎn)Q在點(diǎn)C的左邊和點(diǎn)C的右邊進(jìn)行分析，即可求出CQ的長(zhǎng)度；（2）由，則∠PEC=∠B=60°，∠EPC=∠A=60°，則△PCE是等邊三角形，然后結(jié)合PC的長(zhǎng)度，即可求出周長(zhǎng)；（3）由題意，，，結(jié)合∠EPC=∠QPF=60°，證明△PEQ≌△PCF，則CF=EQ，即可求出答案；（4）根據(jù)題意，由的邊與垂直時(shí)，可分為兩種情況分析：①當(dāng)PQ⊥BC時(shí)；②當(dāng)FQ⊥BC時(shí)；分別求出t的值，即可得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，∵是等邊三角形，∴，∵動(dòng)點(diǎn)以的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，∴時(shí)間的最大值為：（秒），∴；∵動(dòng)點(diǎn)以的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）∵，是等邊三角形，∴∠PEC=∠B=60°，∠EPC=∠A=60°，∵∠ACB=60°，∴△PCE是等邊三角形，∴PC=PE=CE，∵，∴△PCE的周長(zhǎng)為：；（3）如圖：∵是等邊三角形，∴，∠QPF=60°，∵△PCE是等邊三角形，∴PC=PE，∠EPC=∠QPF=60°，∴△PEQ≌△PCF，∴CF=EQ，∵，∵，，∴；（4）根據(jù)題意，①當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，如圖：∵△PCE是等邊三角形，∴PQ是高，也是中線，∴，∵，∴，解得：；②當(dāng)FQ⊥BC時(shí)，如圖：∵∠FQC=90°，∠FQP=60°，∴∠PQE=30°，∵∠PCE=60°，∴∠CPQ=30°=∠PQE，∴PC=CQ，∵，，∴，解得：；綜合上述，當(dāng)?shù)倪吪c垂直時(shí)，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解一元一次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，注意運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行解題．22．（2021·山東夏津·）已知和都是等腰直角三角形，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接．（1）在圖中，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求證：；（2）在圖中，當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論是否還成立？若不成立，請(qǐng)猜想，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在圖中，當(dāng)點(diǎn)在邊的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，不需寫證明過程，直接寫出，，之間存在的數(shù)量關(guān)系及直線與直線的位置關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論不成立，猜想，理由見解析；（3）；；理由見解析．【分析】（1）只要證明△ABD≌△ACE（SAS），可得BD=CE，即可推出BC=BD+CD=EC+CD；

（2）不成立，存在的數(shù)量關(guān)系為．利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；

（3）結(jié)論：；．同（1）一樣證明△ABD≌△ACE（SAS）即可．【詳解】（1）證明：和都是等腰直角三角形，，（2）結(jié)論不成立，猜想，理由如下：又，（3）；；理由如下：補(bǔ)全圖形如圖3，∵是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，由（1）同理可得，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=135°，∴BC=CD-BD=CD-CE，∠BCE=90°，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用及等腰三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．23．（2021·云南峨山·）如圖①，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)（如圖①），則ADBE（填“＞”“＜”或“=”），∠CAM=度；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖②），直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O，求∠AOB的度數(shù)；（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在線段AM的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O，試判斷∠AOB的度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)求出∠AOB的度數(shù)，若不變，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）=；30；（2）60°；（3）不變，見解析【分析】（1）根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC，則AD=BE；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出∠CAM的度數(shù)；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質(zhì)就可以∠BCE=∠ACD，根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC，進(jìn)而得到∠AOB的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，通過得出△ACD≌△BCE就可以得出結(jié)論．【詳解】（1）∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．在△ADC和△BEC中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°．∵線段AM為BC邊上的中線，∴∠CAM=∠BAC，∴∠CAM=30°，故答案為：=，30；（2）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD=∠ACB+∠DCB，∠BCE=∠DCE+∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠BMO，∴∠AOB=∠ACB=60°；（3）不變，理由如下：∵點(diǎn)D在線段MA的延長(zhǎng)線上，且△ABC與△DEC都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠CAD，同理可得：∠CAM=30°，∴∠CBE=∠CAD=150°，∴∠CBO=30°，∠BAM=30°，∴∠BOA=90°-30°=60°．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．24．（2021·全國(guó)）如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置，其中，．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定，使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)．填空：①線段與的位置關(guān)系是________；②設(shè)的面積為，的面積為，則與的數(shù)量關(guān)系是________．（2）猜想論證：當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了和中、邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想．【答案】（1）①DE∥AC；②S1=S2；（2）見解析【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60°，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解答；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．【詳解】解：（1）①DE∥AC，理由如下：∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2；故答案為：DE∥AC；S1=S2；（2）如圖3，∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵．25．（2020·浙江）已知，點(diǎn)P為其內(nèi)部一點(diǎn)，連結(jié)，在中，如果存在一個(gè)三角形，其內(nèi)角與的三個(gè)內(nèi)角分別相等，那么就稱點(diǎn)P為的等角點(diǎn)．（1）判斷以下兩個(gè)命題是否為真命題，若為真命題，則在相應(yīng)橫線內(nèi)寫“真命題”反之，則寫“假命題”．①內(nèi)角分別為的三角形存在等角點(diǎn)；_________命題；②任意的三角形都存在等角點(diǎn)；___________命題；（2）如圖①，點(diǎn)P是的等角點(diǎn)，若，探究圖①中之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖②，在中，，若的三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)P是該三角形的等角點(diǎn)，直接寫出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【答案】（1）①真；②假；（2）∠BPC=∠ABC+∠ACP；（3），，【分析】（1）①②根據(jù)等角點(diǎn)的定義，可知內(nèi)角分別為、、的三角形存在等角點(diǎn)，而等邊三角形不存在等角點(diǎn)，據(jù)此判斷即可；（2）根據(jù)中，以及進(jìn)行推導(dǎo)，即可得出、、之間的數(shù)量關(guān)系；（3）先連接，，再根據(jù)的三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)是該三角形的等角點(diǎn)，以及三角形內(nèi)角和為，得出關(guān)于的方程，求得的度數(shù)即得出可三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【詳解】解：（1）①內(nèi)角分別為、、的三角形存在等角點(diǎn)是真命題；②任意的三角形都存在等角點(diǎn)是假命題，如等邊三角形不存在等角點(diǎn)；故答案為：真命題，假命題；（2）如圖①，在中，，，；（3）如圖②，連接，為的角平分線的交點(diǎn)，，，為的等角點(diǎn)，，，，又，，，該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是理清等角點(diǎn)的定義，根據(jù)等角點(diǎn)的定義以及三角形的內(nèi)角和為，得出角的關(guān)系式并進(jìn)行求解．26．（2019·浙江八年級(jí)期中）如圖①，點(diǎn)分別是等邊邊上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連續(xù)交于點(diǎn)M．（1）求證：；（2）點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．（3）如圖②，若點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線上運(yùn)動(dòng)，直線交點(diǎn)為M，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）120°【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用證明即可；（2）先判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而得到；（3）先判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而得到．【詳解】解：（1）證明：如圖1，是等邊三角形，，，又點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)速度相同，，在與中，，；（2）點(diǎn)、在、邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，不變．理由：，，是的外角，，，；（3）如圖，點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線、上運(yùn)動(dòng)時(shí)，不變．理由：同理可得，，，是的外角，，，即若點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線、上運(yùn)動(dòng)，的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用．解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．解題時(shí)注意運(yùn)用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)．27．（2021·山東濱州·八年級(jí)月考）如圖，在等邊中，厘米，厘米，如果點(diǎn)以厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)．（1）如果點(diǎn)線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．它們同時(shí)出發(fā)，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等．經(jīng)過秒后，和是否全等？請(qǐng)說明理由；（2）在（1）的條件下，當(dāng)兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，是一個(gè)直角三角形？（3）若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不相等，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都順時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過秒點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是多少厘米/秒．【答案】（1）△BMN≌△CDM，理由見解析；（2）t秒或t秒；（3）3.8厘米/秒或2.6厘米/秒【分析】（1）根據(jù)M和N同時(shí)出發(fā)，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等得CM=BN=6cm，所以BM=4cm=CD．根據(jù)“SAS”證明△BMN≌△CDM；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，分別表示CM和BN．分兩種情況，運(yùn)用特殊三角形的性質(zhì)求解：①∠NMB=90°；②∠BNM=90°；

（3）點(diǎn)M與點(diǎn)N第一次相遇，有兩種可能：①點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)速度快；②點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)速度快．分別列方程求解．【詳解】解：（1）△BMN≌△CDM．理由如下：

∵VN=VM=3厘米/秒，且t=2秒，

∴CM=2×3=6（cm）

BN=2×3=6（cm）

BM=BC-CM=10-6=4（cm）

∴BN=CM

∵CD=4（cm）

∴BM=CD

∵∠B=∠C=60°，

∴△BMN≌△CDM．（SAS）（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△BMN是直角三角形有兩種情況：

①當(dāng)∠NMB=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴∠BNM=90°-∠B=90°-60°=30°．

∴BN=2BM，

∴3t=2×（10-3t）

∴t（秒）；

②當(dāng)∠BNM=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴∠BMN=90°-∠B=90°-60°=30°．

∴BM=2BN，

∴10-3t=2×3t∴t（秒）．

∴當(dāng)t秒或t秒時(shí)，△BMN是直角三角形；（3）分兩種情況討論：

①若點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)速度快，則3×25-10=25VN，解得VN=2.6；

②若點(diǎn)N運(yùn)