13.3.2 等腰三角形的判定（重點練）解析版

13.3.2等腰三角形的判定（重點練）一、單選題1．（2018·江蘇蘇州·八年級月考）下列能斷定△ABC為等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70°C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周長為14【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和計算角的度數(shù)，判斷三角形中是否有相等的角；根據(jù)三角形的周長計算是否有相等的邊即可判斷.【詳解】A.

∠C=180°?40°?50°=90°，沒有相等的角，則不是等腰三角形，本選項錯誤；

B、∵∠A=2∠B=70°，

∴∠B=35°，

∴∠C=75°，沒有相等的角，則不是等腰三角形，本選項錯誤；

C、∠C=180°?40°?70°=70°，有相等的角，則是等腰三角形，本選項正確；

D、∵AB=3，BC=6，周長為14，

∴AC=14?6?3=5，沒有相等的邊，則不是等腰三角形，本選項錯誤；

故選C．【點睛】本題考查等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定方法.2．（2018·湖北武漢·八年級期中）已知A（0，2）、B（4，0），點C在x軸上，若△ABC是等腰三角形，則滿足這樣條件的C有（）個．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】分為三種情況:①AB=AC,②AB=BC,③AC=BC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可求得.【詳解】解:以A為圓心,以AB為半徑作弧,交x軸于點,此時AC=AB;以B為圓心,以AB為半徑作弧,交x軸于,兩點,此時BC=AB;作AB的垂直平分線交x軸于,此時AC=BC,即1+2+1=4,故答案為:B.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的動手操作能力和理解能力.3．（2019·遼寧丹東·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是角平分線，AE是中線，過點C作CG⊥AD于點F，交AB于點G，連接EF，則線段EF的長為()A． B． C．3 D．1【答案】D【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F為GC中點，再由已知條件可得EF為△CBG的中位線，利用中位線的性質(zhì)即可求出線段EF的長．【詳解】∵AD是其角平分線，CG⊥AD于F，

∴△AGC是等腰三角形，

∴AG=AC=3，GF=CF，

∵AB=5，AC=3，

∴BG=2，

∵AE是中線，

∴BE=CE，

∴EF為△CBG的中位線，

∴EF=BG=1

故答案為D.【點睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)和三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)和三角形中位線定理.4．（2019·湘南中學(xué)八年級期中）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分線，AD=10，則點D到AB的距離是（）A．8 B．5 C．6 D．4【答案】B【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的定義得到∠DAB＝30°，根據(jù)等角對等邊得到BD＝AD=10，然后利用30°所對直角邊是斜邊的一般求解．【詳解】解：作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝∠DAB＝30°，∴∠B＝∠DAB，∴BD＝AD=10，∴在Rt△DEB中，DE=BD=5，即點D到AB的距離是5，故選B．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、等角對等邊，含30°直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中30°所對直角邊是斜邊的一般是解題的關(guān)鍵．5．（2019·全國八年級課時練習(xí)）已知兩點、，若以點和點為其中兩個頂點作位置不同的等腰直角三角形，一共可作（）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【答案】C【解析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)來作圖，要注意分不同的直角頂點來討論．解：此題應(yīng)分三種情況：①以AB為腰，點A為直角頂點；可作△ABC1、△ABC2，兩個等腰直角三角形；②以AB為腰，點B為直角頂點；可作△BAC3、△BAC4，兩個等腰直角三角形；③以AB為底，點C為直角頂點；可作△ABC5、△ABC6，兩個等腰直角三角形；綜上可知，可作6個等腰直角三角形，故答案選C．6．（2021·浙江八年級期中）如圖，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，點P從點B出發(fā)以每秒3cm速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm速度向點C運動，其中一個動點到達端點，另一個動點也隨之停止，當△APQ是以PQ為底的等腰三角形時，運動的時間是()秒A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】D【詳解】解：設(shè)運動的時間為x，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運動，當△APQ是等腰三角形時，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，解得x=4．故選D．【點睛】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)這一知識點的理解和掌握，此題涉及到動點，有一定的拔高難度，屬于中檔題．7．（2016·江蘇江陰·八年級期中）如圖，∠POQ=30°，點A在OP邊上，且OA=6，試在OQ邊上確定一點B，使得△AOB是等腰三角形，則滿足條件的點B個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①畫OA的垂直平分線交OQ于一點；

②以A為圓心，OA長為半徑交OQ于一點；

③以O(shè)為圓心，OA長為半徑交OQ于一點；

故選C.8．（2021·江蘇八年級專題練習(xí)）已知∠AOB=30°，點P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OA對稱，P2與P關(guān)于OB對稱，則△P1OP2的形狀一定是（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．底邊和腰不相等的等腰三角形 D．鈍角三角形【答案】B【分析】如圖，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知：OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，即可判斷△P1OP2是等邊三角形．【詳解】如圖，∵P為∠AOB內(nèi)部一點，點P關(guān)于OA、OB的對稱點分別為P1、P2，∴OP=OP1=OP2且∠P1OP2=2∠AOB=60°，∴△P1OP2是等邊三角形，故選B．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定以及軸對稱的性質(zhì)．軸對稱的性質(zhì)：（1）對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分；（2）對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等．9．（2018·四川通川·）如圖，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，點E為AC的中點，連接DE，若△CDE的周長為21，則BC的長為（）A．16 B．14 C．12 D．6【答案】C【分析】先根據(jù)等腰三角形三線合一知D為BC中點，由點E為AC的中點知DE為△ABC中位線，故△ABC的周長是△CDE的周長的兩倍，由此可求出BC的值.【詳解】∵AB=AC=15，AD平分∠BAC，∴D為BC中點，∵點E為AC的中點，∴DE為△ABC中位線，∴DE=AB，∴△ABC的周長是△CDE的周長的兩倍，由此可求出BC的值.∴AB+AC+BC=42，∴BC=42-15-15=12，故選C.【點睛】此題主要考查三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形的三線合一定理.10．（2019·全國八年級單元測試）在平面直角坐標系中，的坐標為為原點，若點為坐標軸上一點，且為等腰三角形，則這樣的點有（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9個【答案】C【分析】分別以O(shè)、A為圓心，以O(shè)A長為半徑作圓，與坐標軸交點即為所求點B，再作線段OA的垂直平分線，與坐標軸的交點也是所求的點B，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】解：如圖，滿足條件的點B的個數(shù)為8．故選C.【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．11．（2020·全國八年級課時練習(xí)）在平面直角坐標系中，點A坐標為（2，2），點P在x軸上運動，當以點A，P、O為頂點的三角形為等腰三角形時，點P的個數(shù)為（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】先分別以點O、點A為圓心畫圓，圓與x軸的交點就是滿足條件的點P，再作OA的垂直平分線，與x軸的交點也是滿足條件的點P，由此即可求得答案.【詳解】如圖，當OA=OP時，可得P1、P2滿足條件，當OA=AP時，可得P3滿足條件，當AP=OP時，可得P4滿足條件，故選C.【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和坐標與圖形的性質(zhì)，正確的分類并畫出圖形是解題的關(guān)鍵.12．（2020·眉山市東坡區(qū)蘇轍中學(xué)八年級月考）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長線于點F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，給出下列四個結(jié)論：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF；⑤S△ADB＝2S△BDF，其中正確的結(jié)論共有（）A．4個 B．3個C．2個 D．1個【答案】A【分析】由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證∠ACB=∠ABC，可得AC=AB，由等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，CD=BD，由“ASA”可證△CDE≌△BDF，可得S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，即可求解．【詳解】解：∵BC恰好平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∵BF∥AC，∴∠ACB=∠CBF，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，且AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC，CD=BD，故②，③正確∵CD=BD，且∠ACB=∠CBF，∠CDE=∠BDF，∴△CDE≌△BDF（ASA）∴S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，故①正確，∵AE=2BF，∴AC=3BF=AB，故④正確，∵BD=CD，∴S△ADB=S△ACD，∵AE=2BF，∴S△ADB=S△ACD=3S△CDE=3S△BDF，故⑤錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，證明△CDE≌△BDF是本題的關(guān)鍵．13．（2020·江蘇金壇·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，，DE平分交BC于點E，若，，則CD的長是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】C【分析】由和DE平分可得CD=CE，即可求得．【詳解】∵∴∠ADE=∠DEC又∵DE平分∴∠CDE=∠DEC∴CD=CE∵，∴CD=CE=10-4=6cm故選C【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．14．（2021·江蘇八年級專題練習(xí)）如圖，AB=AC，AB的中垂線MN交AC于點D，交AB于點M，且BC=AD，下列結(jié)論：①△BCD是等腰三角形；②BD平分∠ABC；③∠C=72°；④圖中共有3個等腰三角形，其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理即可求得【詳解】解：∵MN是AB的中垂線∴DA=DB∴△ABD是等腰三角形又∵BC=AD∴BC=AD=DB∴△BCD是等腰三角形∴∠A=∠ABD，∠C=∠CBD又∵AB=AC∴∠C=∠CBA根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠A+∠CBA+∠C=180°∠CBD+∠CDB+∠C=180°∴∠C=72°，∠CBD=∠ABD=72°∴BD平分∠ABC∴①②③④正確故選A【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線定理是解題的關(guān)鍵．15．（2020·全國八年級單元測試）如圖，AB⊥AC，CD、BE分別是△ABC的角平分線，AG∥BC，AG⊥BG，下列結(jié)論：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正確的結(jié)論有（）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由已知條件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因為CD、BE分別是△ABC的角平分線，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行線的性質(zhì)可得到：∠ABG=∠ACB，∠BAG=2∠ABF．所以可知選項①③④正確．【詳解】∵AB⊥AC．∴∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝90°∵CD、BE分別是△ABC的角平分線，∴2∠FBC+2∠FCB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝45°∴∠BFC＝135°故④正確．∵AG∥BC，∴∠BAG＝∠ABC∵∠ABC＝2∠ABF∴∠BAG＝2∠ABF故①正確．∵AB⊥AC，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵AG⊥BG，∴∠ABG+∠GAB＝90°∵∠BAG＝∠ABC，∴∠ABG＝∠ACB故③正確．故選C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題16．（2020·全國）在中，若，則是一個_______三角形.【答案】等腰【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)即可作出判斷.【詳解】∵∠A=46°，∠B=67°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-46°-67°=67°，∴∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形，故答案為等腰.【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.17．（2019·江西婺源·八年級期末）如圖，在一張長為7cm，寬為5cm的矩形紙片上，現(xiàn)在剪下一個腰長為4cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上，則剪下的等腰三角形一腰上的的高為_____________．【答案】4或或【分析】分三種情況進行討論：（1）△AEF為等腰直角三角形，得出AE上的高為AF=4；（2）利用勾股定理求出AE邊上的高BF即可；（3）求出AE邊上的高DF即可【詳解】解：分三種情況：（1）當AE=AF=4時，如圖1所示：△AEF的腰AE上的高為AF=4；（2）當AE=EF=4時，如圖2所示：則BE=5-4=1，BF=；（3）當AE=EF=4時，如圖3所示：則DE=7-4=3，DF=，故答案為4或或.【點睛】本題主要考查矩形的角是直角的性質(zhì)和勾股定理的運用，要根據(jù)三角形的腰長的不確定分情況討論，有一定的難度.18．（2019·浙江永嘉·）如圖，在中，，為邊上一點，于，連結(jié)，，若，則__________．【答案】35【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EC，得到∠EAC=∠ECA，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計算即可．【詳解】解：∵DE⊥AC，AD=

CD，∴DE是線段AC的垂直平分線，

∵EA=

EC

∴∠EAC=∠ECA，

∵在中，，

∠EAC+∠ECA十∠BAE=

90°∴2∠ECA+20°=90°∴∠ECA=35°即：∠C=

35°故答案為：35【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，及等邊對等角，直角三角形兩銳角互余．利用線段的垂直平分線的性質(zhì)求出相等邊是解題關(guān)鍵．19．（2018·湖北江岸·八年級期中）如圖，正五邊形，連接、、，則圖中的等腰三角形共有___________個.【答案】11【分析】充分利用正五變形的性質(zhì)：每條邊都相等，每一個內(nèi)角都相等，且等于進行求解即可.【詳解】根據(jù)正五變形的性質(zhì)，可知圖中的等腰三角形有：共11個.故答案為11.【點睛】考查正五變形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定，熟練掌握等邊對等角是解題的關(guān)鍵.20．（2018·淮安市洪澤實驗中學(xué)八年級月考）如圖，點P是∠AOB的角平分線上一點，過P作PC//OA交OB于點C．若∠AOB＝30°，OC=4cm，則點P到OA的距離PD等于___________cm．【答案】2【分析】過P作PM⊥OB于M，推出PD＝PM，根據(jù)角平分線定義和平行線性質(zhì)求出∠POC＝∠CPO，推出OC＝PC＝4，求出∠PCM＝30°，求出PM即可．【詳解】過P作PM⊥OB于M．∵OP平分∠AOB，∠AOB＝30°，∴∠AOP＝∠BOP=15°．∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∠PCB＝∠AOB＝30°，∴∠POC＝∠CPO，∴PC＝OC＝4．∵∠PCM＝30°，∴PMPC＝2．∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PM⊥OB，∴PD＝PM＝2．故答案為2．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，角平分線定義，平行線性質(zhì)等知識點的運用，關(guān)鍵是綜合運用這些性質(zhì)進行推理，題目比較好，是一道綜合性比較強的題目．21．（2021·江蘇八年級專題練習(xí)）已知：如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A(10，0)，C(0，4)，點D是OA的中點，點P在BC上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，則P點的坐標為__________．【答案】P（3，4）或（2，4）或（8，4）試題解析：由題意，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，有三種情況：（1）如圖所示，PD=OD=5，點P在點D的左側(cè)．過點P作PE⊥x軸于點E，則PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=，∴OE=OD-DE=5-3=2，∴此時點P坐標為（2，4）；（2）如圖所示，OP=OD=5．過點P作PE⊥x軸于點E，則PE=4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE=，∴此時點P坐標為（3，4）；（3）如圖所示，PD=OD=5，點P在點D的右側(cè)．過點P作PE⊥x軸于點E，則PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=，∴OE=OD+DE=5+3=8，∴此時點P坐標為（8，4）．綜上所述，點P的坐標為：（2，4）或（3，4）或（8，4）．考點：1．矩形的性質(zhì)；2．坐標與圖形性質(zhì)；3．等腰三角形的性質(zhì)；4．勾股定理．22．（2018·河南殷都·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，過點D作EF∥BC交AB，AC于點E，F(xiàn)，若BE+CF＝20，則EF＝_____．【答案】20【分析】由平行線的性質(zhì)可得內(nèi)錯角∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，再由角平分線的性質(zhì)可得∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，即BE=DE，DF=FC，進而可求EF的長．【詳解】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，

∵BD、CD分別平分∠ABC與∠ACB，

∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，

∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，

即BE=DE，DF=FC，

EF=DE+DF=BE+FC=20．

故答案為20【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握．23．（2020·舟山市第一初級中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點E，過E作DE∥BC，交AB于點D，若DB＝8，則DE＝_____．【答案】8【分析】根據(jù)已知證明∠DBE＝∠DEB，推出DB＝DE便可解決問題.【詳解】解：∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，∵DB＝8，∴DE＝8，故答案為8．【點睛】本題考查等腰三角形判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，解題關(guān)鍵掌握這些基本知識，屬于中考的題型.24．（2019·泗陽縣育才雙語學(xué)校八年級開學(xué)考試）在平面直角坐標系中，點的坐標為，點在第一象限且點的縱坐標為．當是腰長為的等腰三角形時，則點的坐標為_____．【答案】或或．【分析】分三種情況(1)PD=OD=5，點P在點D左側(cè)；(2)OP=OD=5；(3)PD=OD=5，點P在點D的右側(cè)；分別進行討論求出點P坐標.【詳解】(1)如圖所示PD=OD=5，點P在點D左側(cè)，過點P作PE⊥x軸與點E，則PE=4，在RT△PDE中，由勾股定理得，DE=，∴OE=OD-DE=5-3=2，∴此時點P坐標為；(2)如圖所示，OP=OD=5，過點P作PE⊥x軸與點E，則PE=4，在RT△POE中，由勾股定理得，OE=，∴此時點P的坐標為；(3)如圖所示，PD=OD=5，點P在點D的右側(cè)，過點P作PE⊥x軸與點E，則PE=4，在RT△PDE中，由勾股定理得，DE=，∴OE=OD+DE=5+3=8，∴此時點P的坐標為.【點睛】本題需要分別討論等腰三角形三種情況，然后利用勾股定理求出邊長，進而求出點P的坐標.三、解答題25．（2019·榆樹市第二實驗中學(xué)西校八年級期中）圖①、圖②是的正方形網(wǎng)格，、兩點均在格點上.在圖①、圖②中各畫一個頂點在格點、以為一邊的等腰三角形，且所畫兩個三角形不全等.圖①圖②【分析】分兩種情況，以AB為腰，或以AB為底邊，分別以點B、點A為等腰三角形頂角頂點作三角形即可．【詳解】如圖，△ABC即為所求作三角形，說明：由于后兩個圖中三角形全等，故不能同時畫最后兩個圖.【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用設(shè)計作圖，,全等三角形的判定,等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（2019·梅州市梅江區(qū)黃遵憲紀念中學(xué)八年級月考）如圖（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．（1）直接寫出∠ABC的度數(shù)；（2）如圖（2），BD是△ABC中∠ABC的平分線．①找出圖中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并選其中一個寫出推理過程；②在直線BC上是否存在點P，使△CDP是以CD為一腰的等腰三角形？如果存在，請在圖（3）中畫出滿足條件的所有的點P，并直接寫出相應(yīng)的∠CPD的度數(shù)；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）72°；（2）①△ADB、△BCD是等腰三角形，理由詳見解析；②存在3個點P，使得△CDP是等腰三角形，∠CPD的度數(shù)詳見解析．【分析】（1）由已知條件結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和進行求解；

（2）①等腰三角形的判定，BD是△ABC中∠ABC的平分線．可求出各個角的大小再進行判斷；

②使△CDP為等腰三角形，則可能是CD=CP，DP=CD，因為∠C=∠BDC，所以不可能PC=PD．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°?∠A）==72°；（2）①如圖（2），△ADB、△BCD是等腰三角形．說明△ADB是等腰三角形，理由：由（1）得：∠ABC=72°，又∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠ABC=36°，又∵∠A=36°，∴∠A=∠ABD，∴AD=BD，即△ADB是等腰三角形；說明△BCD是等腰三角形，理由：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=（180°-36°）=72°又∵BD是∠ABC的平分線，∴∠DBC=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°，∴∠C=∠BDC，∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形；②存在3個點P，使得△CDP是等腰三角形．如圖：當以∠CDP為頂角，CD為一腰時，∠CPD=72°；當以∠DCP為頂角，CD為一腰時，存在兩點P：一點在線段BC延長線上，此時∠CPD=36°；一點在線段BC上，此時∠CPD=54°．故答案為（1）72°；（2）①△ADB、△BCD是等腰三角形，理由詳見解析；②存在3個點P，使得△CDP是等腰三角形，∠CPD的度數(shù)詳見解析．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．27．（2020·蘭州市外國語學(xué)校）在一次數(shù)學(xué)課上，老師在屏幕上出示了一個例題：在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的一點，BE與CD交于點O，畫出圖形（如圖），給出下列四個條件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．（1）要求同學(xué)從這四個等式中選出兩個作為已知條件，可判定△ABC是等腰三角形．請你用序號在橫線上寫出所有情形．答：（2）選擇第（1）題中的一種情形，說明△ABC是等腰三角形的理由，并寫出解題過程．解：我選擇．證明：【答案】（1）①③，①④，②③和②④；（2）以①④為條件，理由見解析．試題分析：（1）要證△ABC是等腰三角形，就要證∠ABC=∠ACB，根據(jù)已知條件即可找到證明∠ABC=∠ACB的組合；（2）以①④為條件，由OC=OB，可得出∠OCB=∠OBC，再由∠DBO=∠ECO，就能證明∠ABC=∠ACB，即可判定△ABC是等腰三角形．．試題解析：解：（1）①③，①④，②③和②④；（2）以①④為條件，理由：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠DBO=∠ECO，∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．考點：等腰三角形的判定及性質(zhì)．28．（2017·江蘇江都·郭村第一中學(xué)八年級月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝40°，點D在線段BC上運動(D不與B、C重合)，連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．(1)當∠BDA＝115°時，∠EDC＝°，∠DEC＝°；(2)在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求出∠BDA的度數(shù)．若不可以，請說明理由．【答案】（1）25，115；（2）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形.試題分析：（1）利用鄰補角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；

（2）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形．試題解析：（1））∵在△BAD中，∠B=∠C=∠40°，∠BDA=115°，

∴∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-115°-40°=25°．

∠DEC=180°-∠C-∠EDC=180°-40°-25°=115°（2）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，理由：∵∠BDA=110°時，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形狀是等腰三角形；∵當∠BDA的度數(shù)為80°時，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形狀是等腰三角形．29．（2018·江蘇崇川·八年級期末）如圖建立了一個平面直角坐標系.（1）在圖1中，畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△；（2）在圖2中，點D的坐標為（1，3），點E在圖中的格點（小正方形的頂點）上，且在y軸的右側(cè)，如果△ODE是等腰三角形，請在圖中標出所有滿足條件的點E，并寫出點E的坐標.【答案】（1）見解析；（2）點E的坐標分別為（2，0），（2，1），（3，1），（3，-1）．【分析】（1）分別作出點A、B、C關(guān)于原點對稱的對應(yīng)點，再首尾順次連接可得；

（2）分OD=OE、OD=DE、OE=DE三種情況作答即可．【詳解】（1）如圖，△就是所要畫的圖形．（2）如圖所示，點E的坐標分別為（2，0），（2，1），（3，1），（3，-1）．【點睛】本題考查的知識點是作圖-軸對稱變換，解題關(guān)鍵是注意分情況討論.30．（2019·黑龍江牡丹江·八年級期末）如圖，直線MN與x軸、y軸分別相交于B、A兩點，OA，OB的長滿足式子|OA﹣6|+（OB﹣8）2＝0．（1）求A，B兩點的坐標；（2）若點O到AB的距離為，求線段AB的長；（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在點P，使△ABP使以AB為腰的等腰三角形，若存在請直接寫出滿足條件的點P的坐標．【答案】(1)A(0，6)B(8，0)；（2）；（3）存在，（-8,0）、（-2,0）、（18,0）.【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得OA=6、OB=8，即可求得A、B兩點的坐標；（2）根據(jù)直角三角形面積的兩種表示法即可求得AB的長；（3）分AB=BP1、AB=AP2、AB=BP3三種情況求點P的坐標.【詳解】（1）∵，∴OA=6，OB=8，∴A(0，6)，B(8，0)；（2）∵，∴AB=10；（3）在x軸上存在點P，是使ΔABP使以AB為腰的等腰三角形，點P的位置如圖所示，①當AB=BP1時，P1的坐標為（18，0）；②當AB=AP2時，P2的坐標為（-8，0）；③當AB=BP3時，P3的坐標為（-2，0）.【點睛】本題非負數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的面積求法、及等腰三角形的性質(zhì)，分類討論思想的運用是解決第（3）問的關(guān)鍵．31．（2018·呼和浩特市實驗中學(xué)八年級期中）如圖，的平分線與的平分線相交于點，過點作交于點，交于點，若，，求的長.【答案】的長為5.【分析】根據(jù)已知條件，BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根據(jù)等角對等邊得出DF=BD，CE=EF，根據(jù)BD-CE=DE即可求得．【詳解】∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，

∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，

∵DE∥BC，

∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，

∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，

∴BD=FD，EF=CE，

∴BD-CE=FD-EF=DE，

∴EF=DF-DE=BD-DE=8-3=5，

∴EC=5．【點睛】考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，利用邊角關(guān)系并結(jié)合等量代換來推導(dǎo)證明是本題的特點．32．（2019·全國八年級單元測試）如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC邊的中點，求證△DEM是等腰三角形．【分析】根據(jù)AB=BC，AM=MC，得出BM⊥AC，且∠ABM=∠CBM=∠ABC=45°，進而得出△ADM≌△BEM，即可得出DM=EM．【詳解】證明：連接BM，∵AB＝BC，AM＝MC，∴BM⊥AC，且∠ABM＝∠CBM＝∠ABC＝45°，∵AB＝BC，所以∠A＝∠C＝＝45°，∴∠A＝∠ABM，所以AM＝BM，∵BD＝CE，AB＝BC，∴AB－BD＝BC－CE，即AD＝BE，在△ADM和△BEM中，∴△ADM≌△BEM（SAS），∴DM＝EM，∴△DEM是等腰三角形．【點睛】此題考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于得出BM⊥AC.33．（2017·廣東吳川·）如圖