13.4 尺規(guī)作圖（重點練）解析版

13.4尺規(guī)作圖（重點練）一、單選題1．（2021·全國八年級課時練習(xí)）利用作角平分線的方法，可以把一個已知角（）A．三等分 B．四等分 C．五等分 D．六等分【答案】B【分析】利用角平分線的性質(zhì)進而分析得出答案．【詳解】利用作角平分線的方法，可以把一個已知角二等分，進而可以將兩角再次等分，故可以把一個已知角四等分．故選：B．【點睛】本題主要考查了基本作圖，正確把握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2019·浙江路橋·八年級期末）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點，若，，則的面積為（）．A．10 B．15 C．20 D．30【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì),角平分線上的點到角兩邊的距離相等,過作于，則,再根據(jù)三角形的面積公式即可求得.【詳解】根據(jù)題中所作，為的平分線，∵，∴，過作于，則，∵，∴．選B．【點睛】本題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖過程明確AP是角平分線，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出三角形ABD的高.3．（2019·河北行唐·八年級期末）如圖，在平行四邊形中，按以下步驟作圖：（1）分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑畫弧，兩弧相交于P、Q兩點；（2）連接PQ分別交AB、CD于EF兩點；（3）連接AE、BE，若DC=5，EF=3，則△AEB的面積為（）A．15 B． C．8 D．10【答案】B【分析】利用基本作圖得到EF⊥AB，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD=5，然后利用三角形面積公式計算．【詳解】解：由作圖得EF垂直平分AB，即EF⊥AB，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD=5，∴△AEB的面積=×5×3=．故選：B．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．4．（2019·全國八年級課時練習(xí)）下列作圖屬于尺規(guī)作圖的是（）A．畫線段MN=3cmB．用量角器畫出∠AOB的平分線C．用三角尺作過點A垂直于直線L的直線D．作一條線段等于已知線段【答案】D【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的定義可知．【詳解】解：：A．畫線段MN=3cm，需要知道長度，而尺規(guī)作圖中的直尺是沒有長度的，錯誤；B．用量角器畫出∠AOB的平分線，量角器不在尺規(guī)作圖的工具里，錯誤；C．用三角尺作過點A垂直于直線L的直線，三角尺也不在作圖工具里，錯誤；D．正確．故選D．【點睛】此題考查作圖-尺規(guī)作圖的定義，掌握作圖法則是解題關(guān)鍵5．（2021·全國八年級課時練習(xí)）尺規(guī)作圖的畫圖工具是（）A．刻度尺、圓規(guī) B．三角板和量角器C．直尺和量角器 D．沒有刻度的直尺和圓規(guī)【答案】D【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的概念即可判斷.【詳解】在幾何里，把只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)畫圖的方法稱為尺規(guī)作圖.故選:D.【點睛】考查尺規(guī)作圖的概念，尺規(guī)作圖只允許使用兩種工具：沒有刻度的直尺和圓規(guī)是解題的關(guān)鍵.6．（2021·湖南寧遠·八年級期末）一個角的平分線的尺規(guī)作法，其理論依據(jù)是全等三角形判定定理（）A．邊角邊 B．邊邊邊 C．角角邊 D．角邊角【答案】B【分析】由作圖的步驟可得兩個三角形中，三邊分別對應(yīng)相等，從而可得兩個三角形全等，再得到角平分線，從而可得答案．【詳解】解：如圖所示：作法：①以為圓心，任意長為半徑畫弧，交、于點、，②再分別以、為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，③畫射線，射線即為所求．由作圖過程可得用到的三角形全等的判定方法是．故選：．【點睛】本題考查的是角平分線的作圖與原理，掌握利用公理證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．（2021·全國八年級專題練習(xí)）通過如下尺規(guī)作圖，能確定點是邊中點的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】作線段的垂直平分線可得線段的中點．【詳解】作線段的垂直平分線可得線段的中點．由此可知：選項A符合條件，故選A．【點睛】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖．8．（2020·河北橋東·金華中學(xué)八年級期中）已知兩角及其夾邊作三角形，所用的基本作圖方法是（）A．平分已知角B．作已知直線的垂線C．作一個角等于已知角及作一條線段等于已知線段D．作已知直線的平行線【答案】C【分析】看利用ASA是怎么作三角形的.【詳解】已知兩角及其夾邊作三角形，可先作一條線段等于已知線段，再在線段的兩個端點分別作兩個角等于已知角，故所用的基本作圖方法是作一個角等于已知角及作一條線段等于已知線段.故選C．【點睛】考核知識點：利用全等三角形性質(zhì)作圖.二、填空題9．（2019·全國八年級課時練習(xí)）所謂尺規(guī)作圖中的尺規(guī)是指：________．【答案】尺規(guī)作圖中的尺規(guī)指的是沒有刻度的直尺和圓規(guī)【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的基本概念進行作答.【詳解】由尺規(guī)作圖的概念可知：尺規(guī)作圖中的尺規(guī)指的是沒有刻度的直尺和圓規(guī)【點睛】考核知識點：尺規(guī)作圖的基本概念10．（2018·奉化市城北中學(xué)）如圖，在4×4方格中，點A、B在格點上，以AB為一邊，第三個頂點也在格點上的等腰三角形可以作出________個.【答案】7【分析】為不漏情況，需分類討論：當(dāng)點B為頂角的頂點，即以點B為圓心AB長為半徑畫圓，與網(wǎng)格的交點為格點的就符合題意，注意三點不在一線上；當(dāng)點A為頂角的頂點時，即以點B為圓心AB長為半徑畫圓，與網(wǎng)格的交點為格點的就符合題意，注意三點不在一線上；當(dāng)AB為底邊時，作AB的垂直平分線，該線與網(wǎng)格的交點為格點時就符合題意，注意三點不在一線上.【詳解】如圖，以B為頂角時，有4個符合題意的點；以A為頂角時，有3個符合題意的點；以AB為底時，沒有符合題意的點.故總共有7個點符合題意.故答案為7【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法；解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了等腰三角形的定義.11．（2019·梁山縣水泊街道初級中學(xué)）如圖：作∠AOB的角平分線OP的依據(jù)是_____．（填全等三角形的一種判定方法）【答案】SSS【分析】根據(jù)作法可知OC=OD，PC=PD，OP=OP，故可得出△OPC≌△OPD，進而可得出結(jié)論．【詳解】解：在△OPC與△OPD中，∵，∴△OPC≌△OPD（SSS），∴OP是∠AOB的平分線．故答案為SSS．【點睛】此題考查全等三角形的判定，作圖—基本作圖，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.12．（2021·全國八年級課時練習(xí)）用尺規(guī)作一個直角三角形，使其兩直角邊分別等于已知線段，則作圖的依據(jù)是________．【答案】SAS【分析】隱含的條件是直角，是兩直角邊的夾角，即可得出作圖的依據(jù)為SAS．【詳解】解：：用尺規(guī)做直角三角形，已知兩直角邊．可以先畫出兩條已知線段和確定一個直角，作圖的依據(jù)為SAS．【點睛】此題考查作圖-復(fù)雜作圖和直角三角形全等的判定，解題關(guān)鍵在于先畫出兩條已知線段確定一個直角13．（2019·蘭州樹人中學(xué)八年級期中）如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，若以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點E，則圖中等腰三角形有______個.【答案】3【分析】根據(jù)AB=AC，可得為等腰三角形；BE=BC，可得為等腰三角形，由∠BAC=36°可得的度數(shù)，再計算的度數(shù)即可得到一個等腰三角形.【詳解】根據(jù)已知可得為等腰三角形；以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點EBE=BC為等腰三角形；在等腰三角形ABC中，∠BAC=36°在等腰三角形BEC中三角形ABE為等腰三角形；所以有3個等腰三角形.【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于尋找兩條相等的邊長.14．（2018·河北定興·八年級期末）如圖，已知O為直線BC上一定點，點A在直線外一定點．在直線BC上取點P，使得以O(shè)、A、P為頂點的三角形為等腰三角形．(1)當(dāng)∠AOC=30°時，如果我們通過分類討論、畫圖嘗試可以找到滿足條件的點P共有______個．(2)若在直線BC上有且只有兩個滿足條件的點P，則∠AOC=______．【答案】（1）4；（2）60°、120°或90°.【分析】（1）分OA為腰或底分別討論畫出圖形即可．（2）若在直線BC上有兩個滿足條件的點P，則∠AOC=60°或120°或90°．【詳解】解：（1）如圖所示，若OA為腰時，點P4、P1、P2即為所求；若OA為等腰三角形的底，點P3即為所求；故答案為4．（2）若在直線BC上有兩個滿足條件的點P，則∠AOC=60°或120°或90°故答案為60°、120°或90°．【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會由分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題15．（2018·五里鎮(zhèn)建設(shè)中學(xué)八年級月考）在△ABC中，畫出BC邊上的高線，∠B的角平分線．【分析】利用尺規(guī)作圖,過點A作AD⊥BC即可作出高AD;利用角平分線的作法,即可作出∠ABC的平分線BE.【詳解】解：如圖，AD、BE為所作．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖的應(yīng)用,主要考查了角平分線的作法、高線、中線作法,熟練掌握基本作圖方法、作圖的步驟是解題關(guān)鍵.本題難度不大.16．（2019·廣西貴港·八年級期末）如圖，已知和線段a，求作菱形ABCD，使，.（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）【分析】作∠DAB=∠，在射線AB，射線AD分別截取AB=AD=a，再分別以B，D為圓心a為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接CD，BC，四邊形ABCD即為所求．【詳解】如圖所示.【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．17．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，某市有兩個糧食市場C、D，附近有兩條交叉的公路．現(xiàn)計劃修建一座大型糧倉P，為了運輸方便，希望該糧倉到兩條公路的距離相等，且到兩個糧食市場C、D的距離也相等，請在圖中設(shè)計出該糧倉的位置．（尺規(guī)作圖，不寫作法，寫清結(jié)論．）

【分析】到OA和OB的距離相等，則點P在∠AOB的角平分線上；到點C、D的距離也相等，則點P還應(yīng)該在CD的中垂線上，那么P點就是∠AOB的角平分線和CD中垂線的交點．【詳解】

【點睛】本題考查角平分線和線段中垂線的實際應(yīng)用，理解它們的概念才能正確解題．18．（2021·全國八年級課時練習(xí)）已知：，線段c．求作：，使．【分析】先作線段AB=2c，在以A為頂點，AB為角的一邊作∠NAB=∠α，再以B為圓心以BC的長為半徑畫弧與AN交于點C，連接AC，BC，即為所求．【詳解】解：如圖，為所作．先作射線AM，然后在AM上作AB=2c，再以∠α的頂點為圓心，以任意長為半徑畫弧與∠α的兩端分別交于E，F(xiàn)，再以A為圓心，以∠α頂點到F的距離為半徑畫弧，于AB交于G，再以G為圓心，以EF的長為半徑畫弧與圓A交于D，作射線AN經(jīng)過點D，再以B為圓心以BC的長為半徑畫弧與AN交于點C，連接AC，BC，即為所求．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖—作三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．19．（2020·山西）如圖，已知是的一個外角．（1）求作邊上的高及的角平分線；(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡并標(biāo)明字母)（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若，求證：．【分析】（1）直接利用高的作法作出BC邊上的高，再根據(jù)角平分線的作法，作出∠DAC的角平分線即可．（2）利用垂直關(guān)系證明出AF//BC，得到∠B=∠DAF和∠C=∠FAC，又因為∠DAF=∠FAC從而得出答案．【詳解】解:如圖，線段即為邊上的高，射線即為的角平分線.(尺規(guī)作圖答案不唯一，正確即可)證明:由得，又，，，，由得是的角平分線，，，．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖以及平行線的判定和性質(zhì)，特別要注意尺規(guī)作圖的結(jié)論要寫，這個是失分點，正確掌握基本作圖的方法是解題的關(guān)鍵．20．（2020·山東沂水·八年級期末）已知．求作：，使（1）如圖1，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，；（2）如圖2，畫一條射線，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點；（3）以點為圓心，長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點；（4）過點畫射線，則．根據(jù)以上作圖步驟，請你證明．【分析】由基本作圖得到，，根據(jù)“SSS”可證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到．【詳解】由題意得，，在和中，，∴，∴故．【點睛】本題考察了三角形全等的判定方法：SSS，根據(jù)同弧所在圓的半徑相等得到兩組對邊相等，并且同弧所對弦相等得到另一種對邊相等，熟練掌握不同三角形全等的判定條件是解決本題的關(guān)鍵．21．（2019·山東鄆城·八年級月考）畫一個等腰△ABC，使底邊長BC=a，底邊上的高為AD=h（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）．【分析】分別以B、C為圓心，大于BC為半徑畫弧，分別相交，作出BC的垂直平分線，再以D為圓心h長為半徑畫弧，交垂直平分線于點A，連接AB、AC即可．【詳解】如圖所示，【點睛】此題考查作圖-復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握作圖法則.22．（2021·全國）如圖，在中，（1）尺規(guī)作圖：作的平分線；（2）尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線；（不寫作法，保留作圖痕跡）（3）若與交于點，∠ACP=24°，求的度數(shù).【答案】（1）見解析；（2）見解析（3）【分析】（1）利用基本作圖作l1平分∠ABC；

（2）利用基本作圖作l2垂直平分BC；

（3）設(shè)∠ABP的度數(shù)為x，利用角平分線的定義得∠ABP=∠CBP=x