專題訓(xùn)練：第12章 因式分解（原卷版）

專題訓(xùn)練：第12章因式分解知識框架重難點題型題型1因式分解概念及意義【解題技巧】把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，因式分解也可稱為分解因式。1．（2021·深圳市龍崗區(qū)深圳中學(xué)龍崗初級中學(xué)期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（??）A． B．C． D．2．（2021·隆昌市知行中學(xué)月考）下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（）A． B．C． D．3．（2020·重慶南開（融僑）中學(xué)校期末）下列從左到右的變形屬于因式分解的是（）A． B．C． D．4．（2021·陜西西安·高新一中期中）下列從左到右的變形屬于因式分解的是（）A．x2-x-1=x（x-1）-1 B．a(chǎn)2-ab=a（a-b）C．x2-1=x（x-） D．（x+2）（x-2）=x2-45．（2018·安徽初一期中）已知多項式kx2-6xy-8y2可寫成（2mx+2y）(x-4y)的形式，求k，m的值．6．（2021·山東中區(qū)·濟南外國語學(xué)校初二期中）已知多項式x2+ax﹣6因式分解的結(jié)果為（x+2）（x+b），則a+b的值為（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．47．（2021·重慶八中初二期中）若多項式可分解為，則的值為（）A． B． C． D．8．（2021·常德市淮陽中學(xué)初一期中）若多項式可以因式分解成，那么a=_____．題型2提公因式法【解題技巧】如果一個多項式的各項含有公因式，那末就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法挖掘隱含公因式：有時，公因式有顯性完全相同類型，也有隱性互為相反數(shù)的類型。提取公因數(shù)時，最好能一次性提取完。1．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）計算：________．2.（2021·山西平定·期中）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=_____．3．（2021·北京北師大實驗中學(xué)初二期中）因式分解；．4．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）5．（2021·江蘇常州·期中）把多項式-16x3+40x2y提出一個公因式-8x2后，另一個因式是______．6．（2021·內(nèi)蒙古昆都侖·初二期末）把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正確的結(jié)果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）7．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）8．（2021·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）分解因式：9．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）因式分解：10．（2020·山東單縣·初一期末）已知，則代數(shù)式的值為____________．題型3運用公式法【解題技巧】若多項式各項沒有公因式,則根據(jù)多項式特點,選用平方差公式或完全平方公式.平方差公式a2_b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2利用完全平方公式分解因式時，要求被分解的多項式的形式滿足完全平方公式的形式。首、末項必須是單項式平方的形式，準(zhǔn)確地找到中間項時正確分解的關(guān)鍵，中間項的符號決定了分解結(jié)果的運算符號。1．（2020·湖南益陽·期末）下列各式中，哪項可以使用平方差公式分解因式（）A． B． C． D．2．（2020·濰坊美加實驗學(xué)校其他）分解因式：___________．3．（2020·靜寧縣田堡初級中學(xué)期中）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：a2－2＝______.4．（2020·遼寧燈塔·期末）分解因式5．（2021·山東東平縣江河國際實驗學(xué)校月考）對于任何整數(shù)m，多項式都能被（）整除．A．8 B．m C． D．6．（2020·河北永年·期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A． B． C． D．7．（2021·郁南縣蔡朝焜紀(jì)念中學(xué)初二月考）分解因式（x﹣1）（x﹣3）+1=________．8．（2020·廣東二模）因式分解：a2﹣2ab+b2=_________．9．（2020·江蘇沭陽·期中）把下列各式因式分解：（1）（2）題型4分組分解法【解題技巧】當(dāng)一個多項式既不能提公因式，又不能運用公式分解，且這個多項式的項數(shù)在4項或4項以上時，可以考慮將這個多項式分組，進行合理的分組之后，則可以找到每一組各自的公因式，再分解。分組分解法的分解原則是：分組之后的每組之間能夠再提公因式或能套用公式。1．（2020·太原師范學(xué)院附屬中學(xué)初二月考）整式乘法與多項式因式分解是有聯(lián)系的兩種變形．把多項式乘多項式法則反過來，將得到：，這樣該多項式就被分解為若干個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做分組分解法．例：（第一步）（第二步）（第三步）（1）例題求解過程中，第二步變形是利用____________（填乘法公式的名稱）（2）利用上述方法，分解因式：．2．（2021·陜西三原·初二期末）閱讀材料，回答問題：材料：將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：分解因式：（1）；（2）．3．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）4．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）因式分解：5．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）先分解因式，再求值：，其中，．6．（2020·全國初二課時練習(xí)）將下列各式因式分解：（1）；（2）．7．（2021·諸暨市浣江初級中學(xué)初一期中）請先閱讀下列文字與例題，再回答后面的問題：當(dāng)因式分解中，無法直接運用提取公因式和乘法公式時，我們往往可以嘗試一個多項式分組后，再運用提取公因式或乘法公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：（1）===（2）===（1）根據(jù)上面的知識，我們可以將下列多項式進行因式分解：(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=(_____________)(_____________)；=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=(_____________)(______________)．（2）分解下列因式：①；②．8．（2021·福建省泉州實驗中學(xué)期末）因式分解：(1)(2)9．（2021·安徽全椒·初一期中）因式分解：（1）；（2）題型5十字相乘法1．（2020·湖南廣益實驗中學(xué)初二月考）閱讀下面材料，解答后面的問題：“十字相乘法”能將二次三項式分解因式，對于形如的關(guān)于，的二次三項式來說，方法的關(guān)鍵是將項系數(shù)分解成兩個因數(shù)，的積，即，將項系數(shù)分解成兩個因式，的積，即，并使正好等于項的系數(shù)，那么可以直接寫成結(jié)果：例：分解因式：解：如圖1，其中，，而所以而對于形如的關(guān)于，的二元二次式也可以用十字相乘法來分解．如圖2．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式例：分解因式解：如圖3，其中，，而，，所以請同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）分解因式：①．②．（2）若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求的值．2．（2020·全國初二課時練習(xí)）若多項式可因式分解成，其中、、均為整數(shù)，則之值為何？（）A． B． C． D．3．（2020·陜西鳳翔·初一期中）計算結(jié)果為的是（）A． B． C． D．4．（2020·長春市第四十七中學(xué)月考）分解因式________________．5．（2020·湖南茶陵·初一期末）分解因式x2+3x+2的過程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)（如右圖）．這樣，我們可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．請利用這種方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝_____．6．（2020·四川內(nèi)江·中考真題）分解因式：_____________7．（2019·全國初一單元測試）因式分解：______.7．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）因式分解：9．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）10．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）11．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）已知，則，的值是（）A．，B．，C．，D．，12．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）已知，且，都是正整數(shù)，試求，的值．題型6利用因式分解判斷三角形1．（2019·山東沂源·初二期中）設(shè)a，b，c是的三條邊，且，則這個三角形是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2.（2020?閩清縣期中）已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，且滿足a2+b2+＝ac+bc，試判定a，b，c能否構(gòu)成三角形，如果能，請判定形狀，并說明理由．3．（2020·湖南天元·建寧實驗中學(xué)初一開學(xué)考試）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項式只用上述方法就無法分解，如，我們細(xì)心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了。過程為：；這種分解因式的方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問題：（1）分解因式：；（2）三邊a，b，c滿足，判斷的形狀.4.（2020?徐聞縣期中）已知：a，b，c為△ABC的三邊長，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．5．（2020·河北河間·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多項式只用上述方法就無法分解,如,我們細(xì)心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn),前兩項符合平方差公式,后兩項可提取公因式,前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式,然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了,過程為：，這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題．(1)分解因式：；(2)△ABC三邊a、b、c滿足，判斷△ABC的形狀．6．（2020·山東章丘·初二期末）閱讀下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式只用上述方法無法分解．如x2－4y2－2x＋4y，細(xì)心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公園式，前、后兩部分分別分解因式后又出現(xiàn)新的公因式，提取公因式就可以完成整個式子的分解因式．具體過程如下：x2－4y2－2x＋4y＝(x2－4y2)－(2x－4y)＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．像這種將一個多項式適當(dāng)分組后，進行分解因式的方法叫做分組分解法．利用分組分解法解決下面的問題：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三邊長a、b、c滿足a2－ab－ac＋bc＝0，判斷△ABC的形狀并說明理由．7．（2020·廣東龍崗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多項式只單純用上述方法就無法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我們細(xì)心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完全平方公式，進行變形后可以與第四項結(jié)合，再應(yīng)用平方差公式進行分解．過程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決下列問題：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分別是△ABC三邊的長且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．8.（2020?東營期中）已知a，b，c為△ABC的三條邊，若a2+b2+c2＝ab+ac+bc，則該△ABC是什么三角形？9.（2019?仁壽縣期中）已知△ABC的三條邊分別是a、b、c．（1）判斷（a﹣c）2﹣b2的值的正負(fù)．（2）若a、b、c滿足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，判斷△ABC的形狀．題型7利用因式分解求值1．（2020·樹德中學(xué)都江堰外國語實驗學(xué)校期中）如果，，那么______.2．（2021·浙江瑞安·開學(xué)考試）若是方程組的解，則代數(shù)式的值是_______．3．（2020·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)初一期末）已知a、b、c是正整數(shù)，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，則a-c等于（）A． B．或 C．1 D．1或114．（2021·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，則多項式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值為_____．5．（2020·貴陽市白云區(qū)南湖實驗中學(xué)初二期末）已知，，則代數(shù)式的值是________．6.（2021?淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．7．（2020·張家界市民族中學(xué)初一期末）甲、乙兩個同學(xué)分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，分解結(jié)果為(x+2)(x+4)；乙看錯了a，分解結(jié)果為(x+1)(x+9)，則a-b的值是__________．8．（2020·山西陽泉·初二期末）請閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù)．任務(wù):（1）利用上述方法推導(dǎo)立方和公式(從左往右推導(dǎo))；（2）已知,求的值．9.（2021?鯉城區(qū)校級期末）已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．10．（2021·全國初一課時練習(xí)）已知實數(shù)a，b滿足：，，則|=．題型8因式分解的應(yīng)用解題技巧：因式分解知識方法應(yīng)用與人們?nèi)粘Ｉ罹o密聯(lián)系，解決應(yīng)用型問題，常用提公因式法、運用公式法等，并且我們要注意需符合實際要求。1．（2020·江蘇南京·初一期中）如圖，正方形紙片甲、丙的邊長分別是a、b，長方形紙片乙的長和寬分別為a和b（a＞b）．現(xiàn)有這三種紙片各6張，取其中的若干張（三種圖形都要取到）拼成一個新的正方形，拼成的不同正方形的個數(shù)為_____．2.（2021?乳山市期中）【閱讀材料】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再將“A”還原，原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．【問題解決】（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；（3）證明：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個整數(shù)的平方．3．（2020·山東平陰·）王老師安排喜歡探究問題的小明同學(xué)解決某個問題前，先讓小明看了一個有解答過程的例題．例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．即：（m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．為什么要對2n2進行了拆項呢？聰明的小明理解了例題解決問題的方法，很快解決了下面兩個問題．相信你也能很好的解決下面的這兩個問題，請寫出你的解題過程．（1）若x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，求xy的值；（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三邊長，且滿足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周長．4．（2020·河南鄭州外國語中學(xué)初二期中）閱讀理解：對于一些次數(shù)較高或者是比較復(fù)雜的式子進行因式分解時，換元法是一種常用的方法，下面是某同學(xué)用換元法對多項式進行因式分解的過程.解：設(shè)原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列問題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的__________（填代號）．A．提取公因式B．平方差公式C．兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式（2）按照“因式分解，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止”的要求，該多項式分解因式的最后結(jié)果為______________．（3）請你模仿以上方法對多項式進行因式分解．5．（2020·重慶月考）仔細(xì)閱讀下列解題過程：若，求的值．解：根據(jù)以上解題過程，試探究下列問題：（1）已知，求的值；（2）已知，求的值；（3）若，求的值．6．（2020·沙坪壩·重慶八中課時練習(xí)）若正整數(shù)是4的倍數(shù)，那么規(guī)定正整數(shù)為“四季數(shù)”，例如：64是4的倍數(shù)，所以64是“四季數(shù)”．（1）已知正整數(shù)是任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，求證：是“四季數(shù)”；（2）已知一個兩位正整數(shù)（，其中，為自然數(shù)），將其個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字交換，得到新數(shù)，若與的差是“四季數(shù)”，請求出所有符合條件的兩位正整數(shù)．7．（2021·南陽市第三中學(xué)月考）閱讀材料：若，求m、n的值．解：∵，∴∴，而，，∴且，∴n=4，m=4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則a=______；b=_________．(2)已知△ABC的三邊a，b，c滿足=0，關(guān)于此三角形的形狀的以下命題：①它是等邊三角形；②它屬于等腰三角形：③它屬于銳角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正確命題的序號為________________．(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且，求△ABC的周長．8．（2020·邵東創(chuàng)新實驗學(xué)校初一期中）先閱讀下列解答過程，然后再解題．例：已知多項式2x3﹣x2+m有一個因式是2x+1，求m的值．解