高中數(shù)學(xué)《直線與平面垂直的判定》教學(xué)課件

8.6.2直線與平面垂直第一課時(shí)(直線與平面垂直的判定)一、知識(shí)回顧

兩條異面直線a、b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a'//a，b'//b，我們把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記作a⊥b.

當(dāng)兩條直線a、b相互平行時(shí)，我們規(guī)定它們所成的角為0°.所以空間兩條直線所成角α的取值范圍是0°≤α≤90°.這樣，異面直線所成的角的范圍為(0,]1.異面直線所成的角：異面直線所成的角是通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線.2.異面直線互相垂直：3.求兩條異面直線所成角的步驟：選點(diǎn)→平移→定角→計(jì)算選點(diǎn)常取在兩條異面直線中的一條上.平移常常利用三角形的中位線、平行四邊形.

在日常生活中，我們對(duì)直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識(shí).比如下圖中，旗桿與地面的位置關(guān)系，教室里相鄰墻面的交線與地面的位置關(guān)系等，都給我們以直線與平面垂直的形象.二、探究新知

事實(shí)上，隨著時(shí)間的變化，盡管影子BC的位置在不斷地變化，但是旗桿AB所在直線始終與影子BC所在直線垂直，也就是說(shuō)，旗桿AB所在直線與地面上任意--條過(guò)點(diǎn)B的直線垂直.對(duì)于地面上不過(guò)點(diǎn)B的任意一條直線B'C',總能在地面上找到過(guò)點(diǎn)B的一條直線與之平行,根據(jù)異面直線垂直的定義，可知旗桿AB所在直線與直線B'C'也垂直.因此，旗桿AB所在直線與地面上任意一條直線都垂直.ABCB'C'

如右圖,在陽(yáng)光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時(shí)間的變化,影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直?二、探究新知

在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.將這一結(jié)論推廣到空間，過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條?為什么?三、直線與平面垂直的概念

一般地,如果直線l與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α,直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)叫做垂足.

畫直線與平面垂直時(shí),通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直(如右圖).(線線垂直→線面垂直)過(guò)一點(diǎn)垂直已知平面的直線有且只有一條

過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段,垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.

在棱錐的體積公式中，棱錐的高就是棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離.Pl四、直線與平面垂直的判定

下面我們來(lái)研究直線與平面垂直的判定,即探究直線與平面垂直的充分條件.

根據(jù)定義可以進(jìn)行判斷,但無(wú)法驗(yàn)證一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直.那么，需要驗(yàn)證這條直線與一個(gè)平面內(nèi)的多少條直線垂直才最好呢？(2)若一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線,則這條直線垂直于這個(gè)平面嗎？(1)若一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面嗎？

如右圖,一塊三角形紙片ABC,過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片.得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸).(1)折痕AD與桌面垂直嗎?(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直?ABCD

容易發(fā)現(xiàn)，AD所在直線與桌面所在平面α垂直(如下圖)的充要條件是折痕AD是BC邊上的高.這時(shí)，由于翻折之后垂直關(guān)系不變，所以直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD、DC都垂直.ABCDABDC

事實(shí)上，由基本事實(shí)的推論2,平面α可以看成是由兩條相交直線BD、DC所唯一確定的，所以當(dāng)直線AD垂直于這兩條相交直線時(shí)，就能保證直線AD與α內(nèi)所有直線都垂直.四、直線與平面垂直的判定

定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”和“直線與直線垂直”的互相轉(zhuǎn)化.直線與平面垂直的判定定理：

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.(線線垂直?線面垂直)l⊥m，l⊥n，m∩n＝P，m

，n

l⊥.

兩條相交直線可以確定一個(gè)平面,兩條平行直線也可以確定一個(gè)平面,那么定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線”嗎?你能從向量的角度解釋原因嗎?如果改為“無(wú)數(shù)條直線”呢?不可以mnPl四、直線與平面垂直的判定例1求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.五、典型例題∴b⊥m,b⊥n.已知：如右圖，a//b，a⊥

.求證：b⊥

證明：在平面

內(nèi)取兩條相交直線m、n.∵a⊥

∴a⊥m,a⊥n∵b//a，mnPab

你能用直線與平面垂直的定義證明這個(gè)結(jié)論嗎?∴b⊥

.又m

，n

，m、n是相交直線，五、典型例題例2

如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1．(1)證明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱錐E-BB1C1C的體積.解：(1)ABCDA1B1C1D1E由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，∴BE⊥B1C1又BE平面ABB1A1，又BE⊥EC1，EC1∩B1C1=C1，EC1平面EB1C1，B1C1平面EB1C1∴BE⊥平面EB1C1(2)又由(1)知∠BEB1=90°，由長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1中AE=A1E得Rt△ABE≌Rt△A1B1E∴∠AEB=∠A1EB1=45°∴AE=AB=3，∴BB1=AA1=6.作EF⊥BB1，垂足為F，則EF⊥平面BB1C1C且EF=AB=3.所以四棱錐E-BB1C1C的體積V=×3×6×3=18F六、課堂小結(jié)1.直線與平面垂直的概念:

如果直線l與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α,直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)叫做垂足.2.過(guò)一點(diǎn)垂直已知平面的直線有且只有一條.

過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段,垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.3.直線與平面垂直的判定定理：

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩