2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：立體幾何初步（Ⅱ）（七大題型+模擬訓(xùn)練）解析版

專題19立體幾何初步（II）（七大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01平面的基本性質(zhì)

?題型02空間共點、共線、共面等問題

?題型03異面直線

?題型04空間直線與平面的位置關(guān)系

?題型05空間平面與平面的位置關(guān)系

?題型06空間中的角、距離問題綜合

?題型07空間中動點、旋轉(zhuǎn)、翻折等動態(tài)問題

?題型01平面的基本性質(zhì)

1.下列說法正確的是（）

A.若直線/,加,九兩兩相交，則直線/,根,”共面

B.若直線/,機(jī)與平面夕所成的角相等，則直線卻〃互相平行

C.若平面。上有三個不共線的點到平面夕的距離相等，則平面a與平面夕平行

D.若不共面的4個點到平面。的距離相等，則這樣的平面。有且只有7個

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間中直線與平面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，逐項判定，即可求解.

【解析】對于A中，當(dāng)直線/,根，〃交于同一點時，則直線/,根，”可能不共面，所以A錯誤；

對于B中，當(dāng)直線口“傾斜方向不同時，直線/，機(jī)與平面a所成的角也可能相等，所以B錯誤;

對于C中，當(dāng)這3個點不在平面夕的同側(cè)時，平面a與平面夕相交，所以C錯誤；

對于D中，根據(jù)題意，顯然這4個點不可能在平面。的同側(cè)，

當(dāng)這4個點在平面a兩側(cè)1,3分布時，這樣的平面a有4個，

當(dāng)這4個點在平面a兩側(cè)2,2分布時，這樣的平面a有3個，

所以這樣的平面a有且只有7個，所以D正確.

故選：D.

2.下列說法正確的是（）

A.四邊形確定一個平面

B.如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)

C.經(jīng)過三點確定一個平面

D.經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面

【答案】B

【解析】略

3.已知名￡是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是（）

A.若ac尸=/,Aea且Ac",則Ae/

B.若A民C是平面a內(nèi)不共線三點，AE/3,BW/3,貝

C.若直線aua,直線則。與Z?為異面直線

D.若Awe且Bee,則直線ABua

【答案】C

【分析】根據(jù)基本事實3（公理2）可判斷A；根據(jù)基本事實1（公理3）可判斷B；根據(jù)異面直線的定義可

判斷C；根據(jù)基本事實2（公理1）可判斷D.

【解析】對于A,由根據(jù)Aea且Ae4,則A是平面a和平面用的公共點，

又aQ￡=/,由基本事實3（公理2）可得Ac/,故A正確；

對于B,由基本事實1（公理3）：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，

又AE/3,BE/3,且A,民Cecr,則故B正確；

對于C,由于平面a和平面夕位置不確定，則直線。與直線匕位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，

故C錯誤；

對于D,由基本事實2（公理1）：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)，故

D正確.

故選：C.

4.下列結(jié)論正確的是（）

A.兩個平面a,6有一個公共點4就說a,P相交于過A點的任意一條直線.

B.兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.

C.如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.

D.若直線。不平行于平面a,且aCa,則a內(nèi)的所有直線與。異面.

【答案】B

【分析】利用推論可判斷B正確；對A項，由基本事實3可知；對C項，兩個相交的平面有無數(shù)個公共點；

對D項，平面內(nèi)可找到無數(shù)條直線與。相交.

【解析】對選項A,由基本事實3,兩個平面有一個公共點A,那么它們有且只有一條過A點的公共直線,

而不是任意一條過點A的直線都是兩平面的交線，故A項錯誤；

對于B,若兩兩相交的二條直線交于一點，則二條直線最多可以確定二個平面，故B正確；

對選項C,若這三個公共點共線，兩平面可能相交，不一定重合，故C項錯誤；

對選項D,若直線。不平行于平面a,且aztz,

則直線。與平面a相交，設(shè)交點為。，

則平面內(nèi)所有過點。的直線都與。相交于點。，而不是異面，故D項錯誤.

故選：B.

?題型02空間共點、共線、共面等問題

5.已知互不重合的三個平面a、夕、y,其中=p[\y=b,y^a=c,且?？谪?尸，則下列結(jié)論一

定成立的是（）

A.。與c是異面直線B.。與c沒有公共點

C.bileD.b[\c=P

【答案】D

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得相應(yīng)的空間圖形，從而可得正確的選項.

【解析】回箱人=「，,Peb,

^a=a[^/3,b=j3C\r,0Pea,Pe/7,Pe/,

團(tuán)tzc/=c,回尸ec,0Z?Ac=P,0anc=P,

如圖所示：故A,B,C錯誤;

6.如圖，在三棱柱ABC-AB?中，及EG,8分別為期,C￡，A%AG的中點，則下列說法錯誤的是（）

A.瓦￡G,8四點共面B.EFHGH

C.三線共點D.NEGB]=NFHC]

【答案】D

【分析】對于AB,利用線線平行的傳遞性與平面公理的推論即可判斷；對于C,利用平面公理判斷得EG,

的交點尸在AA，從而可判斷；對于D,舉反例即可判斷.

【解析】對于AB,如圖，連接斯，GH,

因為GH是用C］的中位線，所以GH//BC，

因為AE//C/,且與E=C/,所以四邊形4EFG是平行四邊形,

所以EF//BG，所以EF//GH,所以E,R,G,H//四點共面，故AB正確;

對于C,如圖，延長EG,FH相交于點P,

因為PeEG,EGu平面ABBH，所以Pe平面ABgA，

因為尸eFH,FHu平面ACGA，所以尸e平面ACQA，

因為平面ABB,AA平面ACQ4=A&,

所以尸eA4,,所以EG/",A4,三線共點，故C正確;

對于D,因為EB[=FC],當(dāng)GB]wHCX時，tan/EGB、手tanZ.FHCX,

IT

又。</EGB],/FHC]<*,則NEG4w/m￡,故D錯誤.

故選：D.

?題型03異面直線

7.設(shè)加，”是兩條不同的直線，名力是兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若7"http://e,〃〃a,則根〃〃B.若〃〃/〃,機(jī)〃or,則“〃a

C.若mua,nu/3,則加,〃是異面直線D.若a11/3,mua,nu/3,則加〃〃或"？，〃是異面直線

【答案】D

【分析】利用空間中線、面的位置關(guān)系一一判定選項即可.

【解析】

對于A,可設(shè)機(jī)=AA，〃=A4，a為平面AC,顯然"2//a,"http://a,但〃zc〃=A，故A錯誤;

對于B,可設(shè)機(jī)=AA，〃=為平面AC,顯然相〃”，加〃c,但〃ua,故B錯誤；

對于C,可設(shè)機(jī)=42，〃=42%/分別為平面46,平面AC,

顯然〃zua,“u￡,但相〃w,故C錯誤；

對于D,若a//0,mua,nuf3,則兩平面不會有交點，所以相〃”或加，九是異面直線，

故D正確.

故選：D

8.已知四邊形是矩形，刈，平面A3C￡）,AB=1,BC=2,尸A=2,E為BC的中點，則異面直線AE與尸。

所成的角為（）

【答案】C

【分析】借助于長方體，由E，E為相應(yīng)的棱的中點，得PD//EF,所以NAE尸即為異面直線AE與尸。所成

的角或補(bǔ)角，計算即可.

【解析】根據(jù)題意，借助于長方體，及尸為相應(yīng)的棱的中點，所以PD//EF,

所以ZAE歹即為異面直線AE與尸。所成的角或補(bǔ)角，

根據(jù)題意可得，EF=^PD=^AD2+PA2=72,

22

AE=y/AB2+BE2=V2>AF=^AB2+BF7=72>

TT

所以△AEF為等邊三角形，ZAEF=-.

P

9.已知圓錐SO的母線長為6,A3是底面圓的直徑，C為底面圓周上一點，ZAOC=120°,當(dāng)圓錐SO的體

積最大時，直線AC和S3所成角的余弦值為（）

V2口亞,卡口6

ra\.D.L.U.

2354

【答案】A

【分析】設(shè)圓錐SO的底面半徑為「，高為"利用圓錐體積公式可得曠=；無（36〃-"），結(jié)合可導(dǎo)數(shù)求出圓

錐體積最大時，/?=26，r=2#，延長CO交。。于點。，連接AD,BD,S￡>,則四邊形是平行四邊

形，所以直線AC與S3所成的角為NSBZ）或其補(bǔ)角，求出cos—SBD,即可求解.

【解析】如圖，圓錐SO的母線長/=6.設(shè)圓錐SO的底面半徑為小高為3

s

則戶+?=36,圓錐SO的體積U=；無/〃=1/7（36-/72）=（兀（36/2-2.

令f（h）=36h-^（h>0）,則廣㈤=36-3"=-3（人-2代）G+26）.令/（/1）=0,得%=2若或人=-20.

因為〃>0,易知〃〃）在（。,26）上單調(diào)遞增，在（26,+“）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)〃=26時，/■㈤取得最大值，此時產(chǎn)=24/=26.

因為NAOC=120。，所以AC=J^=6&.

延長CO交0。于點。，連接則四邊形ACS。是平行四邊形，所以3。//AC,33=AC=60,

所以直線AC與S3所成的角為NS3D或其補(bǔ)角.

在等腰三角形S3。中，SB=SD=6,BD=6母，所以cos/SBO=",

2

所以直線AC與S3所成角的余弦值為變.

2

故選：A.

10.直線/與平面a成角為30。，點尸為平面a外的一點，過點P與平面成角為60。，且與直線/所成角為50°

的直線有（）

A.0條B.1條C.2條D.4條

【答案】C

【分析】過尸與平面a成60。角的直線形成一個圓錐的側(cè)面（即圓錐的母線與底面成60。角），然后考慮這些

母線中與直線/成50°角的直線有幾條，通過圓錐的軸截面可得.

【解析】如圖所示，設(shè)直線/與平面1相交于8,直線/在平面a的射影為直線3C.

且直線/與平面a所成角為30°,

即ZDBC=30°.

設(shè)圓錐的頂點為P點，圓錐的軸尸0」平面a,

即圓錐的任意一條母線與平面a所成角都等于60°.

當(dāng)過尸點的母線為直線"時，

直線尸3與平面a所成角為60°,直線尸3與直線/所成角為30°,即NP3￡>=30°,

當(dāng)過P點的母線沿BC逆時針旋轉(zhuǎn)到直線PC時，

直線PC與直線/所成角為90°,HP/1PC,

所以過戶點的直線從PB沿BC逆時針旋轉(zhuǎn)到直線PC時，

與直線/所成角的范圍為［30°,903，

故存在一條過尸點的直線與直線/所成角為50°,

同理可得，過尸點的直線從PB沿BC順時針旋轉(zhuǎn)到直線PC時，

也存在一條過P點的直線與直線/所成角為50。，

所以過戶點的直線與平面。所成角為60。，與直線/所成角為50°的直線有2條.

故選：C.

?題型04空間直線與平面的位置關(guān)系

11.若沉，”為兩條直線，a為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若mlla,"ua,貝B.若m/la,nJla,貝!

C.若m/la,n±a,則m_L"D.若〃z//a,nLa,則加與〃相交

【答案】C

【分析】ABD可舉出反例；C選項，根據(jù)線線平行和線面垂直的性質(zhì)得到答案.

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,若m//a,〃ua,則加與〃平行或異面，A錯誤;

對于B,若“"/er,n//a,則加與〃異面、平行或相交，B錯誤；

對于C,設(shè)直線/,滿足/ua且/〃加，

若〃J_a,則〃_L/,而/〃加，則m_L〃，C正確；

對于D,若m"a,nla,則加與"相交或異面，D錯誤.

故選：C.

12.如圖，已知四棱錐P—ABCD中，平面RW_L平面ABC。,NAZ)C=90。，AD^2BC=2CD=4,

BC/MD陽產(chǎn)分別為AB,PC的中點.

⑵若側(cè)面PAD為等邊三角形，求四面體B-CEF的體積.

【答案】⑴證明見解析

(2)立

3

【分析】(1)由三角形中位線結(jié)合3M//CD且3M=CD得到四邊形FENH是平行四邊形，所以NH//EF,

由線面平行的判定證得EFH平面PAD；

(2)由面面垂直得到線面垂直從而得到下到平面ABCD的距離%==在梯形ABCD中得到A￡BC

的面積，由七-CEF=咚一EBC得到所求棱錐體積.

【解析】(1)如圖，取AD的中點取AM的中點N,取尸。的中點連接NH,EN,BM,HF.

因為分別為P0PC的中點，所以所〃CD且

因為N,E分別為A7V,AB的中點，所以EN//BMS.EN=^BM,

2

又因為5M//CD且5M=CD,所以HF"NE且HF=NE,

所以四邊形EEN"是平行四邊形，所以NH//EF.

又由砂平面PAD,NHu平面PAD,所以EF//平面PAO.

(2)

因為APAD為等邊三角形，所以PM_LA￡),

因為平面24。_L平面ABC。，平面P4Dc平面ABCD=AL),尸Mu平面R4￡),所以PAf_L平面A3C￡).

因為A￡)=4,所以AP=4,AM=2,PM=yjAP2-AM2=243>

又因為尸為PC的中點，所以點尸到平面ABCD的距離〃=gpM=石.

在梯形ABCD中，由NAOC=9(T,AO=2BC=2CD=4,可得A3=2四，所以==應(yīng)，

又由NEBC=135°,所以S=-xBExBCsinZEBC=-xV2x2x—=1,

?FRcC222

權(quán)VB-CEF=VF-EBC=；S,EBch=；x#>xl=￡，所以四面體B—的體積為

13.如圖，在四棱錐尸—ABC。中，底面A8CD是菱形，ZBAD=120°,A3=2,4。門3。=。,尸。，底面ABCD,

點E在棱PD上.

P

⑴求證：AC_L平面P8D；

(2)若OP=2,點E為PD的中點，求二面角P—AC—E的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵空

7

【分析】(1)先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得PO,AC,再結(jié)合菱形性質(zhì)利用線面垂直的判定定理證明即可.

(2)根據(jù)二面角的平面角定義作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即可.

【解析】(1)因為平面ABC。，ACu平面ABCO,所以PO_LAC,

因為ABCD為菱形，所以AC13。，

又BOAPO=O,8L>u平面PBD,POu平面PBD,

所以AC_1_平面PBD.

(2)如圖，連接OE,則OEu平面ACE,

由AC_L平面尸BD,OEu平面PRD,OPu平面BSD,得AC_LOE,AC_LOP,

故/POE即為二面角P—AC—E的平面角，

在菱形ABC。中，AB=AD=2,ZBAD=120°,

所以BD=2垂,OD=6,

又尸0=2,所以PB=PD=M+(6￥=布,

由點E為PD的中點，^OE=-PD=~,PE=-PD=~,

2222

所以△尸OE為等腰三角形，在△POE內(nèi)過點E作高，垂足為H,貝U"O=1,

所以COSNPOE=COSNHOE=^=5=￥,即二面角「一.”的余弦值為前.

一7

14.如圖，在四棱錐E—ABCD中，￡^，平面48。,43〃。仁44?。為等邊三角形，DC=2AB=2,CB=CE,

點/為棱3E上的動點.

(1)證明：DC,平面3CE；

（2）當(dāng)二面角尸-AC-3的大小為45。時，求線段CF的長度.

【答案】⑴證明詳見解析

【分析】（1）先求得BC,再根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面BCE.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法列方程來求得歹點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得CF的長度.

【解析】（1）依題意/BAC=NACD=60。，所以CB=J22+12-2X2X1XCOS60°=5

所以AB2+cg2=Ac2,所以ABLCB,則OCLCB,

由于CE_L平面ABC。，￡>Cu平面A8CO,所以CE_LOC,

由于8（7門庭=（7,3（7,^^=平面8小，所以￡）C_L平面3CE.

（2）由（1）可知。C,CE,CB兩兩相互垂直，由此以C為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

A（l,石,0）,網(wǎng)0,6,0）,設(shè)尸（0J，道-4,04心6,

平面ABC的法向量為用=（0,0,1）,

設(shè)平面FAC的法向量為為=（尤,y,z）,

n-CA=x+JJy=0

人」n-CF=ty+(^j3-t^z=0'

故可設(shè)為=卜#>1+3"-出,4,

依題意，二面角P-AC-3的大小為45。，

m-nty/2

所以同同一"一"+3『+卜一@2+/一2

整理得3?-8"+12=（"-2）（"一6）=0,

解得'3或（舍去），所以?。ぃ?/p>

Zk

?題型05空間平面與平面的位置關(guān)系

15.已知兩條直線〃和三個平面a,P，y,下列命題正確的是（）

A.若秋||a,m\\j3,則a〃￡

B.若a，尸,a-Ly,則/?〃/

C.若aJ_y,(3工了，a[\[3=m,則7"_L/

D.若〃uy,n//a,n\\j3,ar\/3=m,則相〃7

【答案】C

【分析】利用面面平行的判定定理可判斷出A和B正誤，利用線面垂直的判定定理可判斷出C的正誤，利

用線面平行的判定定理可判斷出D的正誤.

【解析】對于A,當(dāng)機(jī)||夕，帆||6時，兩平面a,/可能平行可能相交，所以A錯誤;

對于B,aA.13,aVy,兩平面夕，y可能平行可能相交，所以B錯誤;

對于C,當(dāng)&?！?加，a±y,￡J_/時,

設(shè)j3C\/=c,在y取一點。，過。分另lj作OB_L6于B,OC_Lc于C,

則O3_La,OCL13,因為=

所以"zua,muB,所以O(shè)3_L〃z,OC±m(xù),

因為03noe=O,OBuy,OCuy,所以相，7,所以C正確;

對于D,當(dāng)aPl￡=相，nuy,n//a,可|廣時,

可得機(jī)〃/或相u/,所以D錯誤.

故選：C.

16.如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面A3CD為平行四邊形，點M,M。分別在上.

(1)若PM:MA=BN:ND=PQ:QD,求證：平面〃平面P3C；

（2）若點。滿足PQ：QD=2:1,則點M滿足什么條件時，曲〃/平面4QC?并證明你的結(jié)論.

【答案】⑴證明見解析

⑵"為Q4中點，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例和線面平行的判定定理可證得MQ，QN平行于平面P3C,由面面平

行的判定可證得結(jié)論；

（2）當(dāng)“為叢中點時，取PQ中點E,根據(jù)三角形中位線性質(zhì)、線面平行和面面平行的判定可證得平面

AQC〃平面BEM,由面面平行性質(zhì)可得結(jié)論.

【解析】（1）QPM:MA=PQ-.QD,:.MQ//AD,

???四邊形ABCD為平行四邊形，.1AD〃3C,，皿2〃8。，

???BCu平面尸BC,知。0平面巳8。，，/?！ㄆ矫媸?。；

BN:ND=PQ:QD,QN//PB,

?rPBu平面RBC,QNU平面P3C,QN〃平面P3C；

QMQIQN=Q,MQ,QNu平面MNQ,.?.平面相VQ〃平面BBC.

（2）當(dāng)加為中點時，〃平面AQC,

證明如下：設(shè)3￡>cAC=O,取尸。中點E,連接BE,ME,。。,

四邊形ABCD為平行四邊形,二。為3。中點,

?.?E為PQ中點，PQ：QD=2:1,:.Q為DE中點、，：.OQ〃BE,

3Eu平面BEM,。。U平面BEM,二。?！ㄆ矫鍮EM；

分別為PA,PQ中點，.?.ME//AQ,

QMEu平面AQ<Z平面BEW,二人?！ㄆ矫姘郙,

■.-OQ^AQ^Q,AQ,OQu平面AQC,平面AQC〃平面喇，

?.?BA/u平面二區(qū)河〃平面AQC.

TT

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA=3,AB=2,四邊形ABCD為菱形，ZABC=-,PA_L平面ABCD,

E,F,Q分別是BC,PC,尸。的中點.

⑴證明：平面EF。//平面X4B；

⑵求二面角A-EF-Q的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；

⑺呵

20

【分析】（1）先利用中位線定理證得斯//BB,FQ//AB,再利用線面與面面平行的判定定理即可得證；

（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的與平面的法向量，再利用空間向量法，結(jié)合三

角函數(shù)的基本關(guān)系式即可得解.

【解析】（1）因為四邊形A3CD為菱形，所以AB〃CD,

又￡,F,Q分別是BC,PC,尸。的中點，

所以FQ//CD,EF//PB,故FQUAB,

因為EV平面PBu平面上4B,

所以EF〃平面R4B,同理可得/?！ㄆ矫鍾4B.

因為所cFQ=F,EF,fQu平面EbQ,

所以平面砂Q〃平面

TT

(2)因為四邊形ABCD為菱形，ZABC=~,

所以AABC為等邊三角形，BC//AD,

因為E是3c的中點，所以AE_L8C,故AE_LAD,

因為PA_L平面ABCD,AE,A￡)u平面ABCD,

所以PA_LAE,PA±AD,故B4,AE,A。兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點，AE,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

因為尸A=3,AB^2,

所以A（0,0,0）,￡（^,0,0）,P（0,0,3）,C（^,l,0）,￡＞（0,2,0）,

‘31I

故尸口AE=（若,0,0）,AF=

m?AE=Mx=0

設(shè)平面AE尸的法向量為玩=(x,y,z),則＜

m-AF=^-x+L+Lo

222

解得％=0,令z=l,則y=-3,故沅=（O,—3,1）,

'hi3、__(ni

設(shè)平面所。的法向量為為=(占,*zj,又加=,QF=

—V313

n-EF=----x+—y+—Z[=0

2}1212

n-QF=^-xl-^yl=G

解得4=。，令玉=1得，y=G，故為=(L6,0),

7T

設(shè)二面角A-斯-。的平面角為e,結(jié)合圖形可知。＜。＜],

3A/30

則cos0=|cosm,n\=

|m|-|n|79+1x71+320

故二面角A-EF-Q的正弦值為』1一￡±吆也.

'120J20

18.如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個圓柱組合而成，8g為半個圓柱上底面的直徑,

NACB=90。，AC=BC=2,點E,尸分別為AC,A3的中點，點。為4G的中點.

⑴證明：平面BCD〃平面GEF；

(2)若P是線段弓廠上一個動點，當(dāng)Cq=2時，求直線A7與平面3CD所成角的正弦值的最大值.

【答案】⑴證明見解析

【分析】(1)先證明GD//FB,FB=C、D,進(jìn)而證明KBDG為平行四邊形，可得BD//Fq,再證明EF〃3C,

由面面平行的判定定理得證；

(2)方法1,建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；方法2,先證明平面斯G，平面AAGC,過人作

AbLEG交EQ于則4PH就是直線AP與平面3CD所成角，利用平面幾何求出AP最小，得解.

【解析】（1）連接G。，由點。為4G的中點，BC為半個圓柱上底面的直徑知NDG4=45。,

由ZACB=90。，AC=BC=2,知N044=45。，CxD=y[l,

則N￡>G4=NGBa，又A，4，D，G四點共面，所以4B"/G。，

由AAgq為直三棱柱的側(cè)面知A2J/AB,即A4//F8,則CQ//FB,

由歹為A3的中點AC=3C=2得尸B=a=G。，

所以四邊形朋DG為平行四邊形，貝1]&?//尸0,

又BDu平面BCD,PG<z平面BCD,,則/￡〃平面BCD,

因為E,b分別為AC,A3的中點，所以EF//BC,

又平面3C。，，BCu平面5C。，，所以EF〃平面BCD,

又EFnFC,=F,EF,FQu平面EFQ,所以平面BCD//平面JEF.

（2）（法一）以｛國畫，可為一組空間正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則E(l,0,0),尸(1,1,0),&(0,0,2),A(2,0,2),

所以而=(0,1,0),EC；=(-1.0,2),取=(-1,1,-2),甩=(-1,-1,2),

設(shè)方=4西=(-4,-2,22),[0,1],

貝！|卒=軟+喬=(-;l-l,-；l+l,2；l-2),

由平面BCD//平面C、EF知直線A,P與平面BCD所成角即為直線\P與平面GEF所成角,

設(shè)平面C[EF的法向量為3=（尤,y,z）,

n-EF=y=0

由<___.',取z=l,得x=2,

n-=-x+2z=0

則平面a所的一個法向量為反=（2,o,i）,

設(shè)直線AP與平面GEP所成角為e，則

______4

聞6("|)2+與

又2e[0,l],則2=肯時，sin。的最大值為處.

35

所以直線A7與平面BCD所成角的正弦值的最大值為孚.

（法二）在直三棱柱ABC-中，CQ1底面ABC,

因為EFu底面ABC,所以CC]JLE/"

由(1)知EF//BC,BC±AC,所以跖/AC,

又ACpCC,=C,AC,CC,u平面AAQC,

所以工平面AAGC,

因為EFu平面EFG，

所以平面EFG，平面A4CC，

過A作交EG于”,

因為平面EFQc平面MQC=CXE,所以4"1.平面QEF,

又平面BCD//平面C.EF,

則直線AP與平面3CD所成角即為直線AP與平面CXEF所成角ZA1PH,

因為Rt^GECEIRtZXAHG,且正方形ABCD的邊長為2,

所以等則4”=爰，

4

又sin/APH=她~=無，要使sin值最大，

1

一A尸一A}P

則4尸最小，在△A^G中4尸=Fct=76,AC,=2,

過4作AP_LG尸交FG于尸，由等面積可求出4尸=與，此時sinZA1PH=孚.

所以直線4P與平面BCD所成角的正弦值的最大值為當(dāng).

?題型06空間中的角、距離問題綜合

19.在平行六面體ABCO-AgC]A中，已知ABMADMAAMI,Z^AB=Z^AD=ZBAD=60°,則下列選

項中錯誤的一項是（）

A.直線4C與8。所成的角為90。

B.線段4C的長度為四

C.直線4C與B瓦所成的角為90。

D.直線AC與平面A8C。所成角的正弦值為逅

3

【答案】D

【分析】在平行六面體ABC￡>-4B|GA中，取亞=①礪=5,招=說利用空間向量的線性運算及數(shù)量積

運算，逐一分析選項，即可得出答案.

【解析】在平行六面體A3CO-A4GA中，令通=*AD=b^麗=3,

由A3=AD=朋=1,ZA.AB=Z^AD=ABAD=60°,

,---1

得|M|=|Z?|=|個|=1,ci-b=b-c=a-c=—,

對于A,顯然^^二五十5-1,BD=-a+b，

則A。BD=(a+B-E),(-a+B)=-&2+b2+a-c-b-C=0,即A。-LBD,

因此直線AC與所成的角為90。，A正確；

對于B,|就『=(1+石_式)2=乙2+52+不2_若.不=2,即|京|=血，B正確;

對于C,A^C-BB[=(a+b-c)-c=a-c+b-c-c2=0,即或_L函，

因此直線4c與84所成的角為90。，C正確；

對于D,在平行六面體ABCD-AMGA中，四邊形ABCD是菱形，即AC13D,

又AC_LB￡>,AtCnAC=C,AC,ACu平面404,于是BZ）上平面AG4,

又BDu平面A8C￡）,則平面ACAI?平面ABC。，

連接AC交3。于點。，在平面ACA內(nèi)過點6作AELAC于點E,如圖，

由平面AC4n平面ABCD=AC,因此A?，平面ABC。，即直線4c與平面ABC。所成角為44.G4,

AC=a+b，?|W=|a+5l2=a2+b2+2a-b=3,即|陽二后,

則sin/ACA=\=g

由M//8用及選項c知，/A41c=90°D錯誤.

故選：D

20.在四棱錐尸-ABCD中，△R4D為等邊三角形，四邊形ABCD為矩形，且AB=同C，平面上4。，平面

ABCD,則直線AC與平面PCD所成角的正弦值為（）

「V3

2

【分析】取"為尸。的中點，先證明平面尸CD,得/ACM為所求線面角，由邊長間的關(guān)系求正弦值.

【解析】平面R4D_L平面ABCD,又平面R4￡>c平面ABCD=T4D,

CDu平面ABCD,CDLAD,則CD_L平面尸A。，

又CDu平面尸CD,故平面PCD,平面FW,

取P￡)的中點"，連接AM,CM,如圖所示，

平面PC￡?C|平面R4￡>=PD,平面AMu平面尸AD,

AR4D為等邊三角形，則AMJLPD,故AM1平面PCD,

則直線AC與平面PCD所成角即為NACM,

令BC=a,貝1」.=缶，AC=?,AM=—a，

2

^sinZACM

2^2

故選：A

21.已知棱長為1的正方體ABC￡?-AZ?CQ,M,N分別是AB和BC的中點，則MN到平面AG。的距離為

()

A.立B.逅C.昱D.—

3322

【答案】C

【分析】延長MN交。C延長線于點Q,連接AQ，CQ,由幾何關(guān)系證明MV到平面4G。的距離即點。到

平面4G。的距離，再由等體積法％=KVQDG求出結(jié)果即可；

【解析】

DxCi

4

Di-Q

延長MN交DC延長線于點Q,連接4。,GQ,AC,

因為M,N分別是AB和BC的中點，則肱V//AC,

由正方體的性質(zhì)可得AC//AG，所以MV〃AG,

又4Gu平面MNU平面4G。，所以MN〃平面4G。，

所以MN到平面AGO的距離即點Q到平面4G。的距離，設(shè)為h,

則二匕1一。3，

因為正方體的棱長為1,

所以。。=2，DC]=AG,,

所以§14明,，=耳品明，即:義￥乂(0)x〃=；xgx[xlxl=>〃=/,

故選：C.

22.在四面體ABCP中，平面ABC1平面PAC,△PAC是直角三角形，PA=PC=4,AB^BC=3,則二

面角A-PC-3的正切值為.

【答案】1/0.5

【分析】設(shè)AC,PC的中點分別為E,。，證得平面PAC,得到BELPC,再由R4JLPC,證得PC,平

面3DE,得到PC_LB。，得出NBZ坦為二面角A-PC-8的平面角，在直角ABDE中，即可求解.

【解析】設(shè)AC,PC的中點分別為E,。，連接BE,DE,則DE〃"，

因為A5=3C,所以班，AC,

又因為平面ABC/平面PAC,平面ABCc平面R4C=AC,

所以3E_L平面PAC,因為尸Cu平面PAC,所以3E_LPC,

因為aR4c是直角三角形，且以=PC=4,所以R4LPC,

所以￡>￡，「。且。￡=,義4=2,

2

又因為DEcBE=E,且r>E,2Eu平面應(yīng)>￡,所以PC_L平面應(yīng)力,

因為叨U平面BDE,則PC_LB。，所以N3DE為二面角A-PC—B的平面角,

在直角△3DE中，可得tan/BOE=￡￡=匹亞f=！.

DE22

故答案為：~.

?題型07空間中動點、旋轉(zhuǎn)、翻折等動態(tài)問題

23.若將正方體ABCD-4月￡。繞著棱AB旋轉(zhuǎn)30°后,CD所在位置為C'D的位置,則直線BBt和平面CDC

所成的角為.

【答案】15°/T^T

【分析】由對稱性，不妨設(shè)點C在正方形B耳GC內(nèi)，可得平面ABCZT與平面CDC'的夾角為75。，然后根

據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合條件求解即可.

【解析】如圖，由對稱性，不妨設(shè)點C'在正方形內(nèi)，

則ABCC為頂角ZC'BC=30°的等腰三角形，NBCC=NBC'C=75°，

所以平面ABCD'與平面CDC的夾角為75。，旋轉(zhuǎn)后顯然叫與平面ABC'D'垂直，

所以直線和平面CDC所成的角為90。-75。=15。.

故答案為：15。.

2兀

24.邊長都是為1的正方形ABCD和正方形AB防所在的兩個半平面所成的二面角為二，P、。分別是對

角線AC、8尸上的動點，且=則PQ的取值范圍是（）

A.（學(xué),1]B.（苧回C.[芋，忘）D.呼』]

【答案】D

【分析】由二面角的平面角定義，可得』。即為平面ABCD和平面AB￡F所在的兩個半平面所成的二面角的

平面角，設(shè)心=尸。=4（0<x<V2）,利用相似三角形得出和PH,再利用余弦定理求得PQ的表達(dá)式，

進(jìn)而求得取值范圍.

【解析】設(shè)4尸=尸2=方，(0<X<A/2),貝l]PC=BQ=>/^_x,

由題意，P,。在A3上的投影是同一點，設(shè)為H,連接PH,

則）為平面和平面ABEF所在的兩個半平面所成的二面角的平面角,

貝UNQHP=石,

X

由△APHSAACB,可得「H=五，

由ABQHSAB神，可得QH=4二,

一V2

在APQH中，由余弦定理可得：

「。，》+（蟹）。喘X蟹X（T=Y±2

因為OWxW后，所以尸。€41],貝

故選：D.

25.如圖，AB//CD.CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=,AE=2/,M為8的

中點.

(1)證明：EM〃平面BC尸;

(2)求點M到ADE的距離.

【答案】⑴證明見詳解；

m6A/13

0~-

【分析】(1)結(jié)合已知易證四邊形EFCW為平行四邊形，可證EM//FC,進(jìn)而得證;

(2)先證明。4，平面￡?加，結(jié)合等體積法%_3￡=匕一EDM即可求解.

【解析】(1)由題意得，EF//MC,且跖=MC,

所以四邊形EECW是平行四邊形，所以EM/AFC,

又CPu平面BCF,EM仁平面BCF,

所以EM〃平面3C「；

(2)取DM的中點。，連接Q4,0E,因為AB//MC,且AB=MC,

所以四邊形4WCB是平行四邊形，所以AM=BC=J后，

又AD=M,故"DM是等腰三角形，同理△￡DM是等腰三角形，

可得OAJ_DM,OE1DM,OA=

又AE=26,所以O(shè)T+OE?=4序，故OA_LOE.

又OA_LDMQEcDM=O,OE,DMu平面EDM,所以Q4_L平面EDM,

易知5回”=^x2xV3=73.

期皿4=4+12一1葭小

在VADE中,

2x2x2V34

所以sin/DEAn*'SQ"nTxZx?若x乎=與.

設(shè)點M到平面ADE的距離為d,由九-ADE=yA-EDM

得亂""=京"。4,得心誓,

故點M到平面ADE的距離為5叵.

13

26.已知棱長為1的正方體ABCD-ABCi，內(nèi)有一個動點M,滿足=且處=1,則四棱錐

M-ADD^體積的最小值為.

【答案】—

36

【分析】利用正方體的空間垂直關(guān)系去證明平面ADC用內(nèi)的點M都滿足=再去證明動點M在以

H為圓心，以正為半徑的圓上，從而利用點M在圓上的性質(zhì)去解決最值問題.

2

【解析】解：如圖所示，設(shè)3GnBc=",

由正方體性質(zhì)可知ADt，平面AOC4,

由于OMu平面4DC4，AD.LOM,又因為。線段AQ的中點,

所以MA=M2，

即點M在平面AQC耳內(nèi)，

又因為MB=1,所以與點M在以點B為球心，1為半徑的球面上,

又因為BQJL平面AQC6，

“到平面加組的距離為g的一半，由正方體的邊長為］,則初考,

又MB=1,

2

在平面AOC瓦內(nèi)，且以〃為圓心，也為半徑的半圓弧上，

2

到平面ADD^的距離的最小值為1-1,

2

四棱錐體積的最小值為gxlxlx"-等1=；-器.

故答案為：

36

【點睛】關(guān)鍵點點睛：借助空間關(guān)系可知到線段兩端點距離相等的點M在線段的中垂面上，又由到定點距

離為