2025年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：函數(shù)的概念與性質(zhì)（4大考向解讀）-解析版

專題05函數(shù)的概念與性質(zhì)

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對函數(shù)的考查，重點是函數(shù)的單2023?新高考I卷,4

調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性，需要森、指、對函數(shù)的圖像與性質(zhì)2023?新高考I卷,10

關(guān)注周期性、對稱性、奇偶性結(jié)合在一2023?新高考n卷,4

起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點和不等式相2022?新高考I卷，12

結(jié)合進行考查。2023?新高考I卷,11

抽象函數(shù)的性質(zhì)

2.高考對函數(shù)的考查重點關(guān)注以基本初2024?新高考I卷,8

等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)2022?新高考n卷，8

為載體，對函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)進行考查，函數(shù)與不等式結(jié)合2024?新高考n卷，8

考查函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的表示2024?新高考I卷，6

方法及性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對稱性、分段函數(shù)、三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2024?新高考I卷，10

周期性）、圖像等。2024?新高考II卷，11

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷考查了分段函數(shù)、抽象函數(shù)、三次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，難度處于適中及較難。II

卷考查了三次函數(shù)的性質(zhì)及將函數(shù)與不等式結(jié)合考查，難度是較難的?？傮w來說函數(shù)主要以課程學(xué)習(xí)情景

為主，備考應(yīng)以常見的選擇題和填空題為主進行訓(xùn)練，難度跨度大，既有容易題，也有中檔題，更有困難

題，而且?？汲Ｐ隆：瘮?shù)考查應(yīng)關(guān)注：（1）指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、賽函數(shù)及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和

性質(zhì)是基礎(chǔ)，要求考生要在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握這些函數(shù)的圖像和性質(zhì)，準確把握函數(shù)概念和性質(zhì)的本

質(zhì)，會處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問題，會識別函數(shù)圖像的變化。同時，指對運算也是?？疾榈闹R

點，考生應(yīng)加強對公式的理解及應(yīng)用的訓(xùn)練。

（2）函數(shù)性質(zhì)、零點、圖像等問題是函數(shù)專題的重點考察內(nèi)容，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用,

注重數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸思想以及構(gòu)造新函數(shù)的訓(xùn)練，為突破難點作好準備工作。

試題精講

一、單選題

—x2—2ax—a.x<0

I.(2024新高考I卷-6)己知函數(shù)為〃x)=,,八，在R上單調(diào)遞增，則.取值的范圍是

[e+ln(^+l),x>0

()

A.(-?,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】因為/(%)在R上單調(diào)遞增，且x20時，/(x)=e'+ln(x+l)單調(diào)遞增，

-一^—>0

則需滿足2x(-1),解得TWaWO,

-a<e°+In1

即a的范圍是

故選：B.

2.(2024新高考I卷—8)已知函數(shù)為/⑴的定義域為R,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且當(dāng)x<3時/'(x)=x,

則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【分析】代入得到/(1)=1,/(2)=2,再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.

【詳解】因為當(dāng)x<3時〃x)=x,所以風(fēng))=1J(2)=2,

又因為/(x)>〃xT)+〃x-2),

則/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(II)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知"20)>1000,則B正確；

且無證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用/⑴=1,〃2)=2,再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)

/(x)>/(x-l)+/(x-2),代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.

3.(2024新高考I倦-8)設(shè)函數(shù)〃尤)=(x+a)ln(x+6),若/(x)20,則/+/的最小值為()

D.1

【答案】C

【分析】解法一：由題意可知：/(X)的定義域為(-6,+"),分類討論-。與-6,1-6的大小關(guān)系，結(jié)合符號分

析判斷，即可得6=a+l,代入可得最值；解法二：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析ln(x+6)的符號，進而可得x+a

的符號，即可得6=。+1,代入可得最值.

【詳解】解法一：由題意可知：/(?的定義域為(-A+8),

令x+a=O解得x=-a；令ln(x+6)=0解得x=l-6；

若-aM-b,當(dāng)xe(-6,l-6)時，可知x+a>0,ln(x+6)<0,

此時〃x)<0,不合題意；

若一b<-a<l-b,當(dāng)xe(-a,l-b)時，可知x+a>O,ln(x+b)<0,

此時〃x)<0,不合題意；

若-a=l-6,當(dāng)》€(wěn)(-6,1-6)時，可知x+a<0［n(x+6)<0,此時/(x)>0；

當(dāng)xe［l-6,+co)時，可知x+aN0,ln(x+6)N0,此時/(x)NO；

可知若-a=1-6,符合題意；

若一a>l-6,當(dāng)xe(l-b,-a)時，可知x+a(0,ln(x+6》0,

此時〃x)<0,不合題意；

綜上所述：-a=l-b,即6=a+l,

貝!1/+/=/+(〃+1)2=21+工］+!2，，當(dāng)且僅當(dāng)a=-1,6=］時，等號成立，

所以/+尸的最小值為：；

解法二：由題意可知：/(X)的定義域為(-6,+8),

令X+Q=0解得工=-。；令ln(x+b)=0解得x=l-b；

貝！I當(dāng)工￡(一6,1—6)時，ln(x+/?)<0,故x+a<0,所以l-6+a?0；

XE(1—a+。)時，ln(x+6)>0,故x+a20,所以l-b+a20；

故l-b+Q=O,貝!I/+/=/+(q+1)2=

當(dāng)且僅當(dāng)°=-；,6=3時，等號成立，

所以/+〃的最小值為］

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：分別求x+a=。、ln(x+6)=。的根，以根和函數(shù)定義域為臨界，比較大小分類討論,

結(jié)合符號性分析判斷.

二、多選題

1.(2024新高考I卷?10)設(shè)函數(shù)/(X)=(X-1)2(X-4),則()

A.x=3是/(x)的極小值點B.當(dāng)0<尤<1時，/(x)</(x2)

C.當(dāng)l<x<2時，-4</(2x-1)<0D,當(dāng)-l<x<0時，/(2-x)>/(x)

【答案】ACD

【分析】求出函數(shù)“X)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)“X)在

(1,3)上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.

【詳解】對A,因為函數(shù)的定義域為R,而〃x)=2(x-1)(X-4)+(XT)2=3(XT(X-3),

易知當(dāng)xe(l,3)時，/'(x)<0,當(dāng)xe(-s,l)或xe(3,+s)時，/'(x)>0

函數(shù)〃x)在(一雙1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+動上單調(diào)遞增，故x=3是函數(shù)的極小值

點，正確；

對B,當(dāng)0<x<l時，x-x2=JC(1-X)>0,所以1>工>/>0,

而由上可知，函數(shù)在(01)上單調(diào)遞增，所以/卜)>/卜2),錯誤；

對C,當(dāng)l<x<2時，K2x-1<3,而由上可知，函數(shù)/(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，

所以/⑴>/(2X-1)>/(3),即-4</(2X-1)<0,正確；

對D,當(dāng)-l<x<0時，/(2-%)—/(x)=(1-x)2(-2-%)—(%—1)2(x-4)=(2-2x)>0,

所以〃2-元)>〃x),正確;

故選：ACD.

2.(2024新高考II卷-11)設(shè)函數(shù)〃x)=2x3-3ax?+1,則()

A.當(dāng)。>1時，“X)有三個零點

B.當(dāng)。<0時，x=0是/⑴的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對稱軸

D.存在a,使得點為曲線>=/(x)的對稱中心

【答案】AD

【分析】A選項，先分析出函數(shù)的極值點為》=0/=。，根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出/⑴在

(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進行分析；C選項，假設(shè)存在

這樣的凡6,使得x=b為/(x)的對稱軸，貝!]/(x)=/(2Z)-x)為恒等式，據(jù)此計算判斷；D選項，若存在這

樣的。，使得(1,3-3a)為/⑶的對稱中心，貝！]〃幻+/(27)=6-6a,據(jù)此進行計算判斷，亦可利用拐點結(jié)

論直接求解.

【詳解】A選項，/(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>l,

故xe(-oo,0)u(a,+s)時/'(x)>0,故f(x)在(一嗎0),(a,+x))上單調(diào)遞增，

xe(O,a)時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

則/(x)在x=0處取到極大值，在x=。處取到極小值，

由〃0)=1>0,f(a)=l-a3<0,則〃0)/伍)<0,

根據(jù)零點存在定理/(x)在(0,a)上有一個零點，

X/(-l)=-l-3a<0,/(2?)=4?3+1>0,貝！J/(-l)/(0)<0,/(a)/(2a)<0,

則/(x)在(T,0),Q,2a)上各有一個零點，于是。>1時，/(x)有三個零點，A選項正確；

B選項,f'(x)=6x(x-a),"0時,xe(a,0),/,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

xe(0,+oo)時/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

此時/(x)在x=0處取到極小值，B選項錯誤；

C選項，假設(shè)存在這樣的6,使得x=b為/(x)的對稱軸，

即存在這樣的使得"X)="26-x),

即2x3-3ax2+l=2(26-x)3-3a(26-x)2+l,

根據(jù)二項式定理，等式右邊(26-x)3展開式含有d的項為2C；(26)°(-x)3=_2d,

于是等式左右兩邊/的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的。力，使得x=b為/(x)的對稱軸，C選項錯誤；

D選項，

方法一：利用對稱中心的表達式化簡

/⑴=3-3a,若存在這樣的。，使得(1,3-3a)為/⑴的對稱中心，

貝!|〃x)+/(2-x)=6-6a,事實上，

/(x)+/(2-x)=2x3-3axi+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,

于是6-6a=(12-6tz)x2+(12a-24)x+18-12a

12-6a=0

即12a-24=0,解得a=2,即存在a=2使得(1，/⑴)是/*)的對稱中心，D選項正確.

18—12a=6—6a

方法二：直接利用拐點結(jié)論

任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導(dǎo)數(shù)的零點，

/(x)=2x3-3ax2+1,f\x)=6x2-6ax,/"(%)=i2x-6a,

由尸(x)=0oX=j于是該三次函數(shù)的對稱中心為、J、1,

由題意(1J⑴)也是對稱中心，故5=10。=2,

即存在a=2使得(1,7(1))是f(x)的對稱中心，D選項正確.

故選：AD

【點睛】結(jié)論點睛：⑴/(x)的對稱軸為x=bo/(x)=y(26-x)；(2)/(x)關(guān)于(a,6)對稱

o/(x)+/(2a-x)=2b；(3)任何三次函數(shù)〃x)=加+涼+cx+d都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)

的拐點，對稱中心的橫坐標是/〃(x)=0的解，即-；，/

是三次函數(shù)的對稱中心

，3a

近年真題精選

一、單選題

1.(2023新高考I卷4)設(shè)函數(shù)〃耳=2"*")在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

【答案】D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.

【詳解】函數(shù)＞=2、在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)〃x)=2式…)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)y=x(x")=(x-勺-幺在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因n此解得此2,

242

所以。的取值范圍是[2,+8).

故選:D

22

2.2022新高考n卷?8)已知函數(shù)/(幻的定義域為R,且/(x+y)+f(x-y)=〃x)/(y),/■⑴=1,則=

k=\

()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)/(x)的一個周期為6,求出函數(shù)一個周期中的/'(l),"2),…,〃6)

的值，即可解出.

【詳解】[方法一]:賦值加性質(zhì)

因為/(x+y)+/(x-y)=/(x)f(y),令x=l,y=0可得,2/(l)=/(l)/(O),所以〃0)=2,令》=0可得,

/W+/(-y)=2/W，即=f所以函數(shù)為偶函數(shù)，令〉=1得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)-/(x),即有7?(x+2)+/(x)=/(x+l),從而可知f(x+2)7(=l),

/(x-l)=-/(x-4),故〃x+2)=/(x-4),即/(x)=/(x+6),所以函數(shù)/(x)的一個周期為6.因為

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

==/(6)=/(0)=2,所以

一個周期內(nèi)的/⑴+/(2)+…+/⑹=0.由于22除以6余4,

22

所以2/⑻=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1一2-1=-3.故選：A.

k=\

［方法二］:【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)

由/■(x+y)+/(x-j)=/(x)/(y),聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式

cos(x++cos(x-y)=2cosxcosj^,可設(shè)/(x)=acoscox,貝(j由方法一中/(0)=2J⑴=1知a=2,QCOSG=1,

解得cosg=g

■JT

所以/@)=2(：05§苫，則

/(x+y)+/(x-y)=2cos[x+gj+2cos[]x_]yJ=4cos/xcos]y=/(x)/(H,所以〃x)=2cos?x

T3L=6

符合條件，因此/(x)的周期三一，/(O)=2,/(l)=l,且

3

"2)=-1J(3)=-2J(4)=-1J(5)=1J⑹=2,所以〃1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以￡/(左)="1)+〃2)+/(3)+〃4)=1一1一2—1=—3.故選：A.

k=\

【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；

法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，

簡單明了，是該題的最優(yōu)解.

2Y-1

3.(2023新高考II卷-4)若〃》)=(%+。)山5節(jié)為偶函數(shù)，貝巾=().

A.-1B.0C.yD.1

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出。值，再檢驗即可.

【詳解】因為/(x)為偶函數(shù)，則/(I)=/(-I),(1+?)In1=(-1+?)In3,解得a=0,

當(dāng)a=0時，=(2x-l)(2x+l)>0,解得x>g或

則其定義域為卜或關(guān)于原點對稱.

====xln||^=〃x),

故此時/(無)為偶函數(shù).

故選：B.

二、多選題

1.(2022新高考I卷-12)已知函數(shù)，(x)及其導(dǎo)函數(shù)/(x)的定義域均為R,記g(x)=/(x),若-2d

g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g］J=0C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項

判斷即可得解.

【詳解】［方法一］:對稱性和周期性的關(guān)系研究

對于/(X),因為為偶函數(shù),所以/Odl+2.即出一=沁)①,所以

〃3-x)=/(x),所以/(x)關(guān)于無=；對稱，則〃-1)=/(4),故C正確；

對于g(x),因為g(2+x)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)關(guān)于x=2對稱,由①求

導(dǎo)，和g(x)=—(X),得=/(T+xJ+,所

以g(3-x)+g(x)=0,所以g(x)關(guān)于弓,0)對稱，因為其定義域為R,所以gg］=°，結(jié)合g(x)關(guān)于》=2

對稱，從而周期7=4x(2-0=2,所以g］_m=g］1］=0,g(-l)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯誤；

若函數(shù)/⑴滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定/(x)的函數(shù)值，

故A錯誤.

故選：BC.

［方法二］:【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.

由方法一知g(x)周期為2,關(guān)于x=2對稱，故可設(shè)g(x)=cos(m)，則/(x)=,sing)+c,顯然A,D錯

兀

誤，選BC.

故選：BC.

［方法三］:

因為了11一2d，g(2+x)均為偶函數(shù)，

所以噌-2'=*+2］即/(|-力=個+力，g(2+x)=g(2-x),

所以〃3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),則〃-1)=〃4),故C正確;

3

函數(shù)/(x)，g(x)的圖象分別關(guān)于直線X==2對稱，

又g(x)=7'(x),且函數(shù)/(x)可導(dǎo)，

所以g1|]=0，g(3-x)=-g(_r),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g，[=g0=O，g(T)=g#=-g(2),故B正確，D錯誤；

若函數(shù)/(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定/(x)的函數(shù)值，

故A錯誤.

故選：BC.

【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的

通性通法；

方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.

2.(2023新高考I卷?10)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級

4=20xlg二，其中常數(shù)為(為>0)是聽覺下限閾值，P是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為月,°2，。3,則().

A.Pi>p2B.p2>10/73

C.夕3=10020D.A<100j72

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意可知人e[60,90],%?50,60]，4=40,結(jié)合對數(shù)運算逐項分析判斷.

【詳解】由題意可知：4<60,90],Je[50,60],4=40,

對于選項A：可得41一工外=20xlg.-20*lg匹=20xlgdl_,

PoPoPi

因為474,則4-4=20xlg且20,gpigA>o,

PlPl

所以且21且P1,%>O,可得pg0，故A正確；

P1

對于選項B：可得一4=20*坨區(qū)—20*坨必=20*眩上，

PoPo2

因為4「43=4-40加0,貝！|2°x七21°,即吸。

所以&Z&6且2e>0,可得02?&加3，

23

當(dāng)且僅當(dāng)4。=50時，等號成立，故B錯誤；

對于選項C：因為4=20xlg△=40,即1g匹=2,

PoPo

可得乙=100,即區(qū)=10。。。，故C正確；

Po

對于選項D：由選項A可知：Lpi-Lp2=20xlgA,

Pl

且4-%(90-50=40,則20xlg且W40,

Pl

即1ga42,可得包4100,且口也>0,所以月W1OO0，故D正確；

PlP1

故選：ACD.

3.(2023新高考I卷-11)己知函數(shù)的定義域為R,/(^)=//(x)+x2/(y),則().

A./(0)=0B./⑴=0

C.“X)是偶函數(shù)D.x=0為“X)的極小值點

【答案】ABC

【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC,舉反例/(刈=。即可排除選項

D.

方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D,可構(gòu)造特殊函數(shù)/(幻=\InXW0進行判斷即可.

[0,x=0

【詳解】方法一：

因為/'(個)=//W+,

對于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令f/(1)=1/(1)+1/(1),貝!)〃1)=0,故B正確.

對于C令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)-2/(-1),則/(一1)=0,

令.V=TJ(-x)=/(x)+x2/(-l)=/(x),

又函數(shù)/(x)的定義域為R,所以/(?為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,不妨令/(x)=0,顯然符合題設(shè)條件，此時/(x)無極值，故D錯誤.

方法二：

因為/(中)=V/(x)+x2/(y),

對于A,令》=尸0,〃0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令尤=了=1,/(1)=1/(1)+1/(1),貝！)/⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),貝！］〃T)=0,

令產(chǎn)-1,/(t)=f(x)+x2/(-l)=f(x),

又函數(shù)/(x)的定義域為R,所以/(x)為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,當(dāng)fy2#。時，對/(盯)=y2/(x)+x"(y)兩邊同時除以得至’」4^^=4^+半^，

故可以設(shè)匯=In忖(XX0),則〃x)=］：叫,xwO,

x［0,x=0

當(dāng)x>0肘，f(x)=x2Inx,貝！|/'(%)=2xlnx+x2?—=x(21nx+l),

令/'(、)<0,得o<x<e4；令/'(x)>。，得x>e$

故/(x)在］o,J上單調(diào)遞減，在卜W+'上單調(diào)遞增，

因為/(x)為偶函數(shù)，所以“X)在-e2,0上單調(diào)遞增，在-co,e2上單調(diào)遞減，

k)\)

顯然，此時x=0是Ax)的極大值，故D錯誤.

故選：ABC.

必備知識速記

一、函數(shù)定義域限制

求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：

(1)分式的分母不為零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零:

（3）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；

（4）零次幕或負指數(shù)次幕的底數(shù)不為零；

（5）三角函數(shù)中的正切y=tanx的定義域是｛x|xeR,且%，6+彳,左eZ＞；

（6）已知/（x）的定義域求解/[g（x）]的定義域，或已知/[g（x）]的定義域求/（X）的定義域，遵循兩

點：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應(yīng)法則J下，括號內(nèi)式子的范圍相同；

（7）對于實際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實際意義再限制，從而得到實際問題函數(shù)的定義域.

二、基本初等函數(shù)的值域

(1)y=Ax+6（4w0）的值域是R.

(2)y=ax2+bx+c（〃.O）的值域是：當(dāng)。＞0時，值域為例"號聲｝;當(dāng)。＜0時，值域為

{"4QC-b”

＞="（左。0）的值域是w0｝.

(3)

X

(4)y=a"（a＞0且。w1）的值域是（0,+oo）.

(5)y=log°x（a＞0且aW1）的值域是R.

函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)/（x）的定義域為/,區(qū)間

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值匕，匕當(dāng)玉＜三時，都有/區(qū)）＜/（2）,那么就說/（X）在區(qū)間。上是

增函數(shù).

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值與，乙，當(dāng)西＜三時，都有了區(qū)）＜〃％）,那么就說“X）在區(qū)間。上

是減函數(shù).

①屬于定義域/內(nèi)某個區(qū)間上；

②任意兩個自變量X1,X?且為＜￡；

③都有/（%!）＜/（%）或〃%）＞/（x2）；

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的.

（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）

函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

四、函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個x,都有/(-x)=/(x),那

偶函數(shù)關(guān)于V軸對稱

么函數(shù)/(X)就叫做偶函數(shù)

如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有/(-X)=-/(x)，

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱

那么函數(shù)/(X)就叫做奇函數(shù)

判斷了(-X)與/(x)的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：如果/(-x)-〃x)=0或Z5=l(/(x)wO)，則函數(shù)f(x)

/(x)

為偶函數(shù)；如果〃-x)+/(x)=O或止上=-1(/(X)HO),則函數(shù)〃x)為奇函數(shù).

/(x)

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個X,7也

在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點對稱).

五、函數(shù)的對稱性

(1)若函數(shù)y=a)為偶函數(shù),則函數(shù)y=/(x)關(guān)于x=a對稱.

(2)若函數(shù)y=/(x+°)為奇函數(shù)，則函數(shù)y="X)關(guān)于點(0,0)對稱.

⑶若/(x)=/(2a-x),則函數(shù)〃x)關(guān)于x=。對稱.

(4)若/(x)+/(2a-x)=2b,則函數(shù)八＞)關(guān)于點(a,b)對稱.

六、函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：

對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)7,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有了(x+T)=/(x),那

么就稱函數(shù)y=〃x)為周期函數(shù)，稱7為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做/(%)的最小正周期.

七、常見的褰函數(shù)圖像及性質(zhì)

_1_

23-1

函數(shù)y=xy=xy=x）二12y=x

y

Vk

4V

圖象1

TV0x

定義域RRR{xx>0}{xxw0}

值域R{ygo}R{ygo}{y|yN0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在五上單在(-GO,0)上單調(diào)遞在正上單調(diào)遞在［0,+oo)上單調(diào)在(-00,0)和

單調(diào)性

調(diào)遞增減，在(0,+oo)上單增遞增(0,+8)上單調(diào)遞

調(diào)遞增減

公共點（1，1）

八、指數(shù)及指數(shù)運算

1、指數(shù)

(1)根式的定義：

一般地，如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根，其中(〃>1,〃eN*),記為后，”稱為根指數(shù)，。稱為

根底數(shù).

(2)根式的性質(zhì)：

當(dāng)”為奇數(shù)時，正數(shù)的〃次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的"次方根是一個負數(shù).

當(dāng)”為偶數(shù)時，正數(shù)的〃次方根有兩個，它們互為相反數(shù).

(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是幕運算優(yōu)(aw0)中的一個參數(shù)，。為底數(shù)，〃為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，幕

運算表示指數(shù)個底數(shù)相乘.

(4)有理數(shù)指數(shù)塞的分類

①正整數(shù)指數(shù)幕〃=“公不(”N*)；②零指數(shù)累?！?1("0)；

③負整數(shù)指數(shù)累〃eN*)；④0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義.

(5)有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)

①曖優(yōu)=d"+"(a>Q,m,neQ)；②(屋)"=a"'"(a>0,m,〃e。)；

@{abyn=ambn\a>0,b>0,加e。)；?叱=/年>G，m>"Q).

2、指數(shù)函數(shù)

y=ax

0<?<1a>\

圖

象

-o]~；彳

<o\L\X

性①定義域R,值域(0,+8)

質(zhì)②0。=1,即時x=0,y=l,圖象都經(jīng)過(0，1)點

③優(yōu)=a,即x=l時，N等于底數(shù)a

④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

⑤x<0時，優(yōu)>1；x>0時，0<Q"<1X<0時，0<Q*<1;%>0時，ax>1

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

九、對數(shù)及對數(shù)運算

1、對數(shù)式的運算

(1)對數(shù)的定義：一般地，如果a'=N(a>0且。*1),那么數(shù)》叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=k>g.N,讀

作以。為底N的對數(shù)，其中。叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)常見對數(shù)：

①一般對數(shù)：以。(。>。且a")為底，記為log3讀作以。為底N的對數(shù)；

②常用對數(shù)：以10為底，記為IgN；

③自然對數(shù)：以e為底，記為InN；

(3)對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：

①log：=0；log：=l；其中。>0且awl；

②d°g3=N(其中0>0且awl，N>0)；

③對數(shù)換底公式：1°8。6=器1；

@10gli(ACV)=10gliM+logaN-

⑤bg?==1嗚M-bg”；

⑥log.b"=—log06(〃7,nei?)；

am

b

?=b和logaa=b；

log/,a

2、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像

(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)>=log.x(。>0且叫做對數(shù)函數(shù).

值域：R

過定點(1，0),即x=l時，y=0

在(0,+8)上增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

當(dāng)0<x<l時，歹<0,當(dāng)xNl時，當(dāng)0<%<1時，歹〉0,當(dāng)工之1時，歹40

y>0

十、函數(shù)與方程

1、函數(shù)的零點

對于函數(shù))=/(X),我們把使y(x)=O的實數(shù)X叫做函數(shù)〉=y(x)的零點.

2,方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系

方程“X)=0有實數(shù)根o函數(shù)y=的圖像與X軸有公共點o函數(shù)了=“X)有零點.

3、零點存在性定理

如果函數(shù)了="X)在區(qū)間［出用上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(?)./(/))<0,那么函數(shù)了=/(%)

在區(qū)間(見6)內(nèi)有零點，即存在ce(a,6),使得/(c)=0,c也就是方程/(x)=0的根.

4,二分法

對于區(qū)間6］上連續(xù)不斷且〃。/伍)<0的函數(shù)/(x),通過不斷地把函數(shù)/(x)的零點

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程

/(x)=0的近似解就是求函數(shù)/(x)零點的近似值.

5、用二分法求函數(shù)/(x)零點近似值的步驟

(1)確定區(qū)間［。月,驗證<0,給定精度￡.

(2)求區(qū)間(氏6)的中點再.

(3)計算〃再).若/(再)=0,則X］就是函數(shù)〃x)的零點；若/(“卜/(再)<0,則令6=再(此時零點

x(,).若/他>/(x)<0,則令a=%(此時零點/e(%,6))

(4)判斷是否達到精確度￡,即若|a則函數(shù)零點的近似值為。(或6)；否則重復(fù)第(2)—(4)

步.

用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.

【函數(shù)性質(zhì)常用結(jié)論】

1、單調(diào)性技巧

(1)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)X］,X?是/(X)定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且不<2；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號：判斷差的正負或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論.

(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結(jié)論”進行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)

間.

(3)記住幾條常用的結(jié)論：

①若/(x)是增函數(shù)，則-/(x)為減函數(shù)；若/(x)是減函數(shù)，貝匚/(x)為增函數(shù)；

②若/(x)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在/(x)和g(x)的公共定義域上/(x)+g(x)為增(或減)函數(shù)；

③若〃x)>0且〃x)為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，上為減函數(shù)；

“X)

④若〃x)>0且/(x)為減函數(shù)，則函數(shù)口5為減函數(shù)，，為增函數(shù).

/(x)

2、奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)是偶函數(shù)Q函數(shù)的圖象關(guān)于歹軸對稱；

函數(shù)是奇函數(shù)Q函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱.

(3)若奇函數(shù)、="X)在x=0處有意義，則有/(0)=0；

偶函數(shù)y=f(x)必滿足f(x)=/(|xI).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個

區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)/(x)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記

g(x)=；[/(x)+/(-%)],A(x)=1[/(%)-/(-%)]，則/(x)=g(x)+%(x).

(6)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個(或多個)函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù),

如/(X)+g(x)J(x)-g(x),f(x)Xg(x)J(x)+g(x).

對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇士奇=奇；偶士偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇x(4-)奇=偶；奇x(+)偶=奇；偶x(+)偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)〃刈=加(3)("0)或函數(shù)/(x)=m(—).

axax

②函數(shù)/(%)=土⑷-尸).

③函數(shù)/(x)=log"=log。(1+或函數(shù)/(X)=log,=log"(1-

x-mx-mx+m

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)/*)=加+尊-(》20)或函數(shù)/(幻=加-字-(加€尺).

?-1a+\

偶函數(shù)：①函數(shù)/(x)=±(a*+aT).

②函數(shù)/(》)=1。&(“皿+1)-拳.

③函數(shù)/(|x|)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

3、周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系(xwK)周期

/(x+r)=/(x)T

/(%+r)=-/(x)2T

=』;/(

“x+7)x+T)=-1IT

/(無)〃x)

/(x+T)=/(x-r)IT

f(x+T)=-f(x-T)4T

{f(a+x)=f{a-x)

2(6-Q)

[f(b+x)=f(b-x)

J/(a+x)=/(a-x)

[/(x)為偶函數(shù)la

[f(a+x)=-f{a-x)

2(6-a)

f(b+x)=-f(b-x)

[f(a+x)=-f(a-x)

2a

/(x)為奇函數(shù)

[/(a+x)=/(a-x)

4(6-Q)

f(,b+x)=-f(b-x)

J/(a+x)=/(a-x)

1/(x)為奇函數(shù)4。

[f(a+x)=-f(a-x)