第六章計數(shù)原理知識梳理 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第6章計數(shù)原理§6.1分類加法與分步乘法計數(shù)原理1.一般思路：要完成一件什么事→怎么完成→完成這件事的方法數(shù)2.分類加法計數(shù)原理：類類獨立，不重不漏。分步乘法計數(shù)原理：步步相依，步驟完整?！?.2排列與組合1.排列與排列數(shù)（1）定義：eq\o\ac(○,1)個不同的元素eq\o\ac(○,2)取個元素eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)一定的順序（2）排列數(shù)：記作.（3）全排列：（4）排列數(shù)公式：eq\o\ac(○,1)；.eq\o\ac(○,2)，規(guī)定.（5）排列恒等式：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)2.排列問題的應(yīng)用（1）特殊元素或特殊位置問題方法一：特殊位置優(yōu)先法.（先研究特殊位置，再研究其他）方法二：特殊元素優(yōu)先法.（先研究特殊元素，再研究其他）方法三：間接法.(總數(shù)-不符合要求的)（2）“相鄰”與“不相鄰”問題eq\o\ac(○,1)相鄰問題“捆綁法”：第一步：先把相鄰的若干個元素“捆綁”為一個大元素，將這若干個元素內(nèi)部全排列.第二步：再將第一步中“捆綁”的大元素與其余元素全排列eq\o\ac(○,2)不相鄰問題“插空法”：第一步：先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列第二步：再在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素.（3）定序問題方法一：逐步插空法：（普通元素插空）先排順序不變的元素，只有一種排法→然后把剩下的n個元素逐步插入形成的空中.方法二：選位法：（普通元素選位）先讓除順序不變的元素之外的普通元素選位置→然后直接將順序不變的元素直接放入剩余位置，只有一種放法。方法三：整體倍縮法：公式=（共有n個元素排成一列，其中m個元素順序是確定的）3.組合與組合數(shù)（1）定義：注意：eq\o\ac(○,1)個不同的元素eq\o\ac(○,2)取個元素eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)取出的元素沒有順序（2）組合數(shù)：記作.Ceq\o\al(m,n)（3）組合數(shù)公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…[n－m－1],m！)（常用于計算）Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)（常用于證明）（4）組合恒等式：eq\o\ac(○,1)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，eq\o\ac(○,2)Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)－Ceq\o\al(m,n)4.排列組合問題的綜合應(yīng)用（1）有限制條件的抽(選)取問題：eq\o\ac(○,1)“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數(shù).eq\o\ac(○,2)“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準對立面，確保不重不漏.（2）多面手問題：按照只會單一技能或多面手中被選中的人數(shù)進行分類。（3）不同元素的分組、分配問題（先分組→再分配）①完全均勻分組：均勻分成n組，最后必須除以n！→再分配：乘以分配數(shù)的階乘。②部分均勻分組：有m組均勻，最后必須除以m！→再分配：乘以分配數(shù)的階乘。③完全非均勻分組：這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.→再分配：乘以分配數(shù)的階乘。注意：①分組問題屬于“組合”問題，分配問題屬于“排列”問題。eq\o\ac(○,2)看清題目要求，單純的分組問題不需要再進行分配。（4）相同元素的分組、分配問題（隔板法）隔板法：將n個相同的元素分到m個不同的箱子(n≥m)，可描述為(n－1)個空中插入(m－1)塊隔板.即有種方法.注：若有空箱子，需要先選出空箱子后再分配?！?.3二項式定理1、二項式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn，n∈N*.注意：eq\o\ac(○,1)二項展開式中共有n+1項.eq\o\ac(○,2)每一項中a與b的指數(shù)和為n.eq\o\ac(○,3)各項中a的指數(shù)從n依次減小到0，b的指數(shù)從0依次增加到n.eq\o\ac(○,4)a與b的位置不能交換.（1）二項式系數(shù)：各項的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)()叫做二項式系數(shù).（2）項的系數(shù)：每項去掉自變量之后剩余的部分（3）通項：（第k+1項）Tk+1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk2、二項式系數(shù)的性質(zhì)（1）對稱性（2）增減性與最大值：先增后減，最中間取得最大值（3）二項式系數(shù)的和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；注：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.3、求展開式的各項系數(shù)之和：（賦值法）(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2)，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).4、求展開式中項的系數(shù)的最大值（1）系數(shù)均為正值：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，