2025年小學(xué)數(shù)學(xué)《幾何》曲線型-扇形-3星題（含解析）全國版

幾何-曲線型幾何-扇形-3星題

課程目標(biāo)

知識點考試要求具體要求考察頻率

扇形B1.了解扇形的特征和有關(guān)概念少考

2.能夠通過圓的面積和周長公式推

導(dǎo)出扇形的面積和弧長公式

3.能夠運用公式計算扇形的弧長、

面積和周長

知識提要

扇形

?概念

圓上兩點之間的部分叫做弧。

扇形是指一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

其中，圓的半徑也稱為扇形的半徑，而兩條半徑所形成的夾角稱為扇形的圓心角。

?公式

扇形的弧長=《；x2nr

360

扇形的面積=公冗/

360

其中，n表示圓心角的度數(shù)

注意：扇形的弧長不是周長，扇形的周長還需要加上兩條半徑。

精選例題

扇形

1.如圖，分別以B,C為圓心的兩個半圓的半徑都是1厘米，則陰影部分的周長是_______厘

米.（7T取3）

【答案】3

【分析】BE,BC,CE均為圓的半徑，所以等邊三角形，每個角均為60度，所以

陰影部分的兩段圓弧均為60度的扇形所對應(yīng)的圓弧，所以周長為

601LW

X7rxdx2+l=：x3x2x2+l=3（厘米）.

3606

ABCD

2.下圖中，兩個圓心角是90。的扇形蓋在大圓上，小圓蓋在兩個扇形上，它們的圓心都在同

一點.如果小圓、大圓、扇形的半徑比是1:3:4,那么陰影圖形面積占整個圖形面積

【答案】32

【分析】設(shè)大圓、小圓、扇形的半徑分別是r、3r、4r.

整個商標(biāo)的面積是

11°

-ir(4r)2n+—ir(3r)2=12.5irr2;

陰影部分的面積是

11

—ir(3r)2——irr2=4-nr2,

所以，陰影圖形面積占整個商標(biāo)圖形的面積的

3.如圖，△ABC是一個等腰直角三角形，直角邊的長度是1米.現(xiàn)在以C點為圓心，把三角

形4BC順時針轉(zhuǎn)90度，那么，4B邊在旋轉(zhuǎn)時所掃過的面積是平方米.（n23.14）

【答案】0.6775

【分析】如圖，順時針旋轉(zhuǎn)后，4點沿弧44'轉(zhuǎn)到4'點，B點沿弧B夕轉(zhuǎn)到夕點，。點沿

弧DZT轉(zhuǎn)到，點.因為C。是C點到4B的最短線段，所以4B掃過的面積就是圖中的弧

4ZB與BDO2,之間的陰影圖形.

S陰影=S半圓一S空白，

11

S&ABC=S&BDC+S&ADC=X1X1=］（平方米），

1

S&ABC=$正方形4DCD，=CD?=2（平方米），

所以，

ITnIT1TC.、t

S扇形DCD，=4XCO=4X5=w（平方米），

我們推知

712

S陰影=5X8?！猄扇形DCDL（S&BDC+^AACD）

71711

=2~8~2

_3n1

=~8~~2

=0.6775（平方米）.

,4(3)

4.如圖，是一個由2個半圓、2個扇形、1個正方形組成的“心型”.已知半圓的直徑為10,

那么，“心型”的面積是.（注：n取3.14）

【答案】257

【分析】圖中圖形面積等于一個正方形加上一個半徑為5的圓，再加上一個半徑為10的J

4

圓，所以面積為：

1

10x10+TTx5x5+-xKx10x10=257.

4

5.如下圖所示，4B是半圓的直徑，。是圓心，AC=CD=DB,"是CD的中點，H是弦CD

的中點.若N是上一點，半圓的面積等于12平方厘米，則圖中陰影部分的面積

是平方厘米.

【答案】2

【分析】連接。C、OD、0H,由于C、。是半圓的兩個三等分點M是CD的中點，H是弦

CD的中點，可見這個圖形是對稱的.由對稱性可知CD與AB平行，由此可得：△CHN的面

積與△CH。的面積相等，所以，陰影部分面積等于扇形C。。面積的一半，而扇形C。。的面

積又等于半圓面積的；，所以，陰影部分面積等于半圓面積的;，為12x；=2（平方厘米）.

366

6.如圖，分別以長方形的一條長邊的兩個頂點為圓心，以長方形的寬為半徑作河若圖中

的兩個陰影部分的面積相等，則此長方形的長與寬的比值是.

【答案】兀：2

【分析】因為$2=54,兩個;圓的面積

4

S1+$2+$2+S3=S1+$2+S3+S4

與長方形面積相等.

所以設(shè)長為Q,寬為b,

1

—7rb29x2=ab,

4

Tib=2a,

a:b=2.

7.如圖，直角三角形4BC中，為直角，且BC=2厘米，AC=4厘米，則在將△4BC繞

C點順時針旋轉(zhuǎn)120。的過程中，AB邊掃過圖形的面積為.(n~3.14)

【答案】12.56平方厘米.

【分析】如下圖所示，假設(shè)△ABC旋轉(zhuǎn)120。到達(dá)△ABC的位置.陰影部分為4B邊掃過

的圖形.

B'

從圖中可以看出，陰影部分面積等于整個圖形的總面積減去空白部分面積，而整個圖形總面積

等于扇形4乙4'的面積與△ABC的面積之和，空白部分面積等于扇形BC夕的面積與△4BC

的面積，由于△ABC的面積與448C的面積相等，所以陰影部分的面積等于扇形4CA，與扇

形BCB，的面積之差，為

120,1209十

—XTTX42--XTTX22=4TT=12.56（平方厘米）.

36U36U

8.如下圖所示，已知圓心是0,半徑r=9厘米，zl=Z2=150,那么陰影部分的面積

【答案】42.39

【分析】因為圓的半徑都相等，于是04=03.在等腰三角形40B中兩個底角都是

15°.又知道三角形內(nèi)角之和是180。，所以，三角形40B的頂角4408=180。-（15。+

15°）=150°.同理乙4。。=150°,因此NBOC=360°-（150°+150°）=60°.這就是說，陰

影部分扇形的面積是圓面積的即3xnxr2=JX3.14x92=42.39（平方厘米）.

666

9.如圖，邊長為12米的正方形池塘的周圍是草地，池塘邊4B,C,。處各有一根木樁，且

4B=BC=CO=3米.現(xiàn)用長4米的繩子將一頭羊拴在其中的某根木樁上（不計打結(jié)

處）.為使羊在草地上活動區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在_______處的木樁上.

【答案】C

【分析】在4點時活動區(qū)域的面積是一個半徑為4米的半圓，即

1

—X42XTT=8ir（平方米）.

在B、。點時活動區(qū)域的面積都是一個半徑為4米的半圓加一個;半徑為1米的

4

圓.即

111

—X42XTI+—xl2xn=平方米）.

在C點時活動區(qū)域的面積是［個半徑為4米的圓，即

4

3

—X42XTT=1211（平方米）.

綜上所述，拴在c處的木樁上時活動范圍最大.

10.如下圖所示，平行四邊形的長邊是6,短邊是3,高為2.6,則陰影部分的面積

為.（1T取3.14）

【答案】15.9

【分析】根據(jù)容斥的思想，

陰影的一半=大扇形+小扇形-平行四邊形,

所以陰影面積為：

，x3.14x(62+32)-6x2.61x2=15.9.

11.如下圖所示，一個土圓中有一個正方形，陰影正方形的面積是16,那么圖中的扇形面積

是.(it取3)

【答案】30

【分析】給圖中標(biāo)上字母，如下圖所示，由于陰影正方形的面積為16,則邊長為4,OC=

CH=ED=2,OD=2+4=6,根據(jù)勾股定理，可知扇形的半徑滿足：

r2=22+62=40.

所以圖中扇形的面積為：

1

—Ilx40=30.

4

12.一個邊長為100厘米的正五邊形和五個扇形拼成如圖的“海螺”，那么這個圖形的周長

是厘米（兀取3.14）.

【答案】2384

【分析】周長=500+1x2XTTX(100+200+300+400+500)=2384.

13.半徑為10、20、30的三個扇形如下圖放置，S2是Si的倍.

【答案】5

【分析】三個扇形的半徑比為1:2:3,則面積比為1:4:9,所以答案為（9-4）+1=5倍.

14.分別以一個邊長為2厘米的等邊三角形的三個頂點為圓心，以2厘米為半徑畫弧，得到下

圖.那么，陰影圖形的周長是_______厘米.（1T取3.14）

【答案】12.56

【分析】圖形周長由6段弧組成，每段弧對應(yīng)的圓心角為60。，所以圖形的周長等于一個圓

的周長.

2x3.14x2=12.56（厘米）.

15.如下圖所示，4BC0是邊長為10厘米的正方形，且AB是半圓的直徑，則陰影部分的面積

【答案】17.875

【分析】如下圖所示，連接。B,陰影部分的面積的2倍相當(dāng)于$$\text｛正方形面積｝-\text｛三

角形$DOC$的面積｝-\text｛半圓面積｝,$$

所以該面積=(10x10-10X104-3.14x5x5+2)+2=17.875(平方厘米).

16.6個半徑相同的小圓和1個大圓如圖擺放.大圓的面積是120,那么，陰影部分面積

是

【答案】40

【分析】設(shè)大圓半徑和小圓半徑分別為R和r,畫出大小圓半徑會發(fā)現(xiàn)它們同處一個正三角

形，如下圖，兩條粗線分別為大圓直徑和小圓直徑，由正三角形性質(zhì)和勾股定理，有

R2+r2=(2r)2=>/?2=3r2,

這說明大圓面積和小圓面積是3倍關(guān)系，即小圓面積為40；

由于三個小圓面積等于大圓面積，所以下圖中紅色部分面積等于灰色部分;

如下圖，可以看出，上圖中的兩種陰影部分拼在一起可以形成扇形，一共可以形成6個120

度扇形，總和為2個小圓，又因為兩種陰影部分面積相等，所以所求面積為一個小圓面積40.

17.如下圖所示，梯形ABC。中的兩個陰影部分的面積相等，=1厘米，NA=NB=45。,

則CD=________厘米.（其中n取3.14）

【答案】0.57

【分析】由于兩個陰影部分面積相等，可知扇形面積為梯形面積的一半，又知道扇形面積為

ixTTX（l2+l2）==所以梯形面積為3設(shè)CD的長為X厘米，那么（x+l+l+%）xl+

o4Z

2=-.

2

求得CD的長為1=0.57（厘米）.

18.如圖，在3X3方格表中，分別以A、E、F為圓心，半徑為3、2、1,圓心角都是90。的

三段圓弧與正方形4BC0的邊界圍成了兩個帶形，那么這兩個帶形的面積之比Si：S2=?

【答案】5:3

【分析】如下圖,

仔細(xì)觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)帶形Si的面積等于曲邊三角形BCD的面積減去曲邊三角形B1CD1的

面積，而這兩個曲邊三角形的面積都可以在各自所在的正方形內(nèi)求出.

所以，

2222

Si的面積=（3-Kx3x-（2-ITx2x

=5x（1-9

同理可求得帶形S2的面積：帶形S2的面積=曲邊三角形BQ］的面積-曲邊三角形B2CD2

的面積=3x（1-：）；所以，S1:S2=5:3.

19.如圖（1）是一個直徑是3厘米的半圓，是直徑.如圖（2）所示，讓4點不動，把整

個半圓逆時針轉(zhuǎn)60。，此時B點移動到C點.請問：圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？

（兀取3.14）

c

(6(r

B

(2)

【答案】4.71平方厘米

【分析】圖中陰影部分面積為整個圖形面積減去半圓的面積，而整個圖形面積為一個半圓面

積與一個圓心角為60。的扇形面積之和.因此陰影面積等于圓心角為60。的扇形面積，即！x

O

yrx32=4.71.

20.如圖，一只狗被栓在底座為邊長3米的等邊三角形建筑物的墻角上，繩長是4米，求狗所

能到的地方的總面積？

【答案】43.96平方米.

【分析】如下圖，狗被栓在底座為邊長3米的等邊三角形建筑物的墻角上，繩長是4米，狗

的活動區(qū)域可以分割成三個部分：

3

藍(lán)色部分是一個半徑為4米、圓心角為300度的扇形：

360-60=300（度）

紅色部分是兩個同樣的邊長為1米、圓心角為120度的扇形：

4-3=1（米）,180-60=120（度）

所以狗能到的地方的總面積為：

300120丁.,,

3.14x4x4x--+2x3.14x1x1x--=43.96（平萬米）

21.圓的半徑是9cm,圓心角為120。的扇形的周長和面積是多少？

【答案】周長：36.84cm；面積84.78cm2

【分析】圓心角120°的扇形，面積是圓的面積的三分之一，周長是圓周的三分之一加上兩

個半徑的長.

1°.

面積=—nX92=84.78(cm2)

1

周長=-X2TTX9+9X2=18.84+18=36.84(cm)

22.如圖，C、。是以為直徑的半圓的三等分點，。是圓心，且半徑為6.求圖中陰影部分

的面積.

cD

B

【答案】

B

如圖，連接。C、OD、CD.由于C、。是半圓的三等分點，所以△AOC和△C。。都是正三角

形，那么CD與4。是平行的.所以△AC。的面積與△OCD的面積相等，那么陰影部分的面

積等于扇形OCD的面積，為nx62xj=6n.

6

23.已知圖中正方形的邊長是2,分別以其四個頂點為圓心的直角扇形恰好交于正方形的中心,

求圖中陰影部分的面積.

【答案】2n—4

【分析】r2=2,S陰影=TTM-2?=2TT—4.

24.如圖，正方形邊長為1,正方形的4個頂點和4條邊分別為4個圓的圓心和半徑，求陰影

部分面積.（n取3.14）

【答案】7.14

【分析】把中間正方形里面的4個小陰影向外平移，得到如下圖所示的圖形，可見，陰影部

分的面積等于四個正方形面積與四個90。的扇形的面積之和，所以，

S陰影=4xSo+4xS捆

=4xS。+S圓

=4XI2+71XI2

=4+n=7.14.

25.如圖，與CD是兩條垂直的直徑，圓。的半徑為15,4EB是以C為圓心，4c為半徑的

圓弧.求陰影部分面積.

【答案】225平方厘米

【分析】陰影部分是個月牙形，不能直接通過面積公式求，那么我們可以把陰影部分看成半

圓加上三角形ABC再減去扇形ACB的結(jié)果.

半圓面積為|X7TX152,

三角形4BC面積為

1

-X(15+15)x15=152,

又因為三角形面積也等于jxAC2,

所以4c2=2x152,

那么扇形4CB的面積為

90_1.

—77X7TXAC2-=-X7TX2X154

3604

陰影部分面積

S陰影=S半圓+s三角形—S扇形

11

=-X7Tx152+152--X7TX2x152

24

=225.

26.如圖所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地.建筑物是一個邊長為2米的等

邊三角形，繩長是3米，那么小狗的活動范圍是多少？（建筑外墻不可逾越，小狗身長忽略不

計，7T取3）

【答案】24.5

【分析】首先畫出小狗活動的范圍，然后把活動范圍分成幾個扇形來求解，黑X71X32+

DOI）

240

—X7TXI2=24.5.

360

27.正三角形ABC的邊長是6厘米，在一條直線上將它翻滾幾次，使4點再次落在這條直線上,

那么A點在翻滾過程中經(jīng)過的路線總長度是多少厘米？如果三角形面積是15平方厘米，那么

三角形在滾動過程中掃過的面積是多少平方厘米？（結(jié)果保留n）

【答案】24TT+15

【分析】如下圖所示，A點在翻滾過程中經(jīng)過的路線為兩段120。的圓弧，所以路線的總長

度為：

120「，，

2nx6x——-x2=8n（厘米）；

CB

三角形在滾動過程中掃過的圖形的為兩個120。的扇形加上一個與其相等的正三角形，面積為:

TTx62X—x2+15=24TT+15（平方厘米）.

28.如圖，一頭山羊被拴在一個邊長為4米的等邊三角形的建筑物的一個頂點處，四周都是空

曠，繩長剛好夠山羊走到三角形建筑物外的任一位置，請問：山羊的活動范圍有多少平方米？

（建筑外墻不可逾越，山羊身長忽略不計，兀取3）

【答案】98

【分析】山羊的活動范圍如圖所示，繩長為6米，面積為

300,120,987r.、r,

——X7TX6'+2X-7-X7TX2Z=亍=98（平萬米）.

360360

29.如圖，已知扇形BAC的面積是半圓4DB面積的9倍，則角C4B的度數(shù)是多少？

【答案】60度

【分析】設(shè)半圓4DB的半徑為1,則半圓面積為^兀義/=%扇形B4C的面積為=

V.因為扇形B4C的面積為TT/X含，所以，TTX22X￡-=^,得到n=60,即角C4B的度

336U3603

數(shù)是60度.

30.如下圖，直角三角形4BC的兩條直角邊分別為6和7,分別以8、C為圓心，2為半徑畫

圓，已知圖中陰影部分的面積是17,那么角4是多少度（兀=3）

【答案】乙4=60。.

【分析】SAABC=|x6x7=21,

三角形ABC內(nèi)兩扇形面積和為21-17=4,

根據(jù)扇形面積公式兩扇形面積和為§黑X7TX22=4,

所以NB+NC=120°,44=60°.

31.如圖所示，求陰影面積，圖中是一個正六邊形，面積為1040平方厘米，空白部分是6個

半徑為10厘米的小扇形.（圓周率取3.14）

【答案】412平方厘米

【分析】所要求的陰影面積是用正六邊形的面積減去六個小扇形面積、正六邊形的面積已知,

現(xiàn)在關(guān)鍵是小扇形面積如何求，有扇形面積公式5扇=寥.

可求得，需要知道半徑和扇形弧的度數(shù)，由已知正六邊形每邊所對圓心角為60。，那么

^AOC=120°,又知四邊形ABC。是平行四邊形，所以乙4BC=120。，這樣就可求出扇形的面

積和為6x找x兀x1。2=628（平方厘米），陰影部分的面積=1040-628=412（平方厘米）.

360

32.如圖中三個圓的半徑都是5cm,三個圓兩兩相交于圓心.求陰影部分的面積和.（TT取

3.14）

【答案】39.25(cni2)

【分析】

將原圖割補成如圖，陰影部分正好是一個半圓，面積為

5x5x3.14+2=39.25(cm2).

33.(1)如圖(1),一只小狗被拴在一個邊長為4米的正方形的建筑物的頂點4處，四周都

是空地，繩長8米，小狗的活動范圍是多少平方米?

(2)如圖(2)小狗不是被拴在4處，而是在一邊的中點B處，那么小狗的活動范圍是多少

平方米?(建筑外墻不可逾越，小狗身長忽略不計，兀取3.14)

AB

1)(2)

【答案】(1)175.84；(2)163.28

【分析】(1)如下左圖，小狗的活動范圍為圓心角為270。、半徑為8米的扇形，和兩個圓

心角為90。、半徑為4米的扇形，總大小為

31

-7Tx82+-x7Tx42x2=5671=175.84(平方米).

(2)如下右圖，小狗的活動范圍為半徑是8米的半圓，和兩個圓心角為90。、半徑為6米的

扇形，以及兩個圓心角為90。、半徑為2米的扇形.總大小為

111

-X7rx82+-X7rx62x2+-X7rx22x2=527T=163.28(平方米).

34.圖是由一個圓與一個直角扇形重疊組成的，其中圓的直徑與扇形的半徑都是4,陰影部分

的面積是多少？（n取3.14）

【答案】4.56

【分析】如下圖所示，將下圖陰影部分對折，則有：陰影部分面積為:

—TIx42——x4x4=4n—8=4.56.

42

35.一只小狗被拴在一個邊長為4米的正五方形的建筑物的一個頂點處，四周都是空地.繩長

剛好夠小狗走到建筑物外的墻邊的任一位置.小狗的活動范圍是多少平方米？（建筑外墻不可

逾越，小狗身長忽略不計，TT取3.14）

【答案】270.04平方米.

根據(jù)題意，如上圖所示，由對稱性，小狗最遠(yuǎn)活動點是A點，故繩長為10米，所以其活動的

范圍是：

17272X272X2

S=-11X1092+——71X1092+-71X692+71X292

2360360360

=86Tl

=270.04（平方米）.

36.直角三角形放在一條直線上，斜邊4C長20厘米，直角邊長10厘米.如下圖所

示，三角形由位置I繞/點轉(zhuǎn)動，到達(dá)位置n,此時。點分別到達(dá)Bi，Ci點；再繞當(dāng)點轉(zhuǎn)

動，到達(dá)位置ni,此時4C1點分別到達(dá)人2，點.求C點經(jīng)C1到走過的路徑的長.

【答案】厘米.

【分析】由于BC為4C的一半，所以NC4B=30。，則弧CQ為大圓周長的筆注="

JOU1Z

弧CC為小圓周長的；，而“I+的。2即為c點經(jīng)Q到C的路徑，所以C點經(jīng)C1到c走

12422

過的路徑的長為

515065i,

TTx20x-——I-TTx10x—=—n+5n=kii（厘米）.

2122433i'

37.圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（兀取3.14）

【答案】12.765

【分析】如下圖，為了方便說明標(biāo)上字母，并稱曲線四邊形BCFE的面積為“①”.

將扇形ABC的面積稱為“大扇形”，扇形CDF的面積稱為“小扇形”，長方形BCDE的面積稱為

“長方形”.

陰影部分面積=大扇形-①，①=長方形-小扇形.

所以有

陰影部分面積=大扇形-（長方形-小扇形）=大扇形+小扇形-長方形.

即

11

-X52XTT+-X22X7T-2X5?29X3.14+4-10=12.765（平方厘米）.

38.如圖所示，4BC0是一邊長為4cm的正方形，E是2。的中點，而F是BC的中點.以C

為圓心、半徑為4cm的四分之一圓的圓弧交EF于G,以尸為圓心、半徑為2cm的四分之一

圓的圓弧交EF于H點，若圖中S］和52兩塊面積之差為nur-n（cm2）（其中租、n為正整

數(shù)），請問租+n之值為何？

B

E

【答案】ii

【分析】(法1)SQFCDE=2x4=8cm2,S扇形m口=[x兀x4?=4兀(cm?),

S扇形BFH=[x兀x22=7T(cm2)，而

S1-S2=S扇形BCD_S扇形BFH_SCJFCDE=4兀一兀-8=3兀-8(cm2),

所以m=3,n=8,zn+7i=3+8=ll.

(法2)如右上圖，S+Si=-S扇形8FH=2X4-2X2X7T+4=8—7T(Cm2),

S+S2=SABCD一S扇形BCD=4x4—4x4X71+4=16—4兀(cm2),

所以，SI—512—(8—7T)—(16—4TT)=3TC-8(cm?),故?n+?2=3+8=11.

39.一條直線上放著一個長和寬分別為4厘米和3厘米的長方形I（如下圖）.讓這個長方形繞

頂點8順時針旋轉(zhuǎn)90。后到達(dá)長方形n的位置，這樣連續(xù)做三次，a點到達(dá)E點的位置.求a

點經(jīng)過的總路程的長度.（圓周率按3計算）

【答案】5

【分析】如下圖，A點旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的為三段四分之一圓的弧長，其中以=413=3.

由勾股定理知：

22222

r2=r!+r3=4+3=25,

則

r2=5.

40.△ABC為等腰直角三角形，。為半圓中點，為半圓直徑.已知4B=BC=10,那么陰

影部分面積為多少？（圓周率取3.14）

【答案】32.125

【分析】設(shè)BC中點為。，連接。D,貝1］。。=5,OB=5,BP-.PO=AB-.OD=10:5=2:1,

=5x-2=31-,PO=OB-BP=5-31-=l-7,S^=1-xABxBP=1-x10x31-=216-,

33332ABP233

Sc=-1x5LxlY-2=4)一1，

△AnODPnD236

陰影部分的面積為16J+JXTTX52_4j=12j+Vn=32.125.

34624

B

A

41.如圖，一條直線上放著一個長和寬分別為4cni和3cni的長方形I.它的對角線長恰好是

5cm.讓這個長方形繞頂點B順時針旋轉(zhuǎn)90。后到達(dá)長方形H的位置，這樣連續(xù)做三次，點A

到達(dá)點E的位置.求點A走過的路程的長.

BDE

【答案】6ircm

【分析】因為長方形旋轉(zhuǎn)了三次，所以A點在整個運動過程中也走了三段路程（如下圖所

示）.

這三段路程分別是：

第1段是弧A&,它的長度是

1

2XTTX4X-；

4

第2段是弧ZM2,它的長度是

1

2xIIx5X-；

4

第3段是弧色日它的長度是

2xnx3x—；

4

所以Z點走過的路程長為：

111

2xnx4x—+2xnx5x—+2xiix3x-=6n（crri）.

444

42.如圖中扇形的半徑04=08=6厘米，乙408=45。，AC垂直05于C,那么圖中陰影部

分的面積是多少平方厘米？（n=3.14）

【答案】5.13平方厘米

【分析】陰影部分面積為：

45111

——XTTX62--X62=-X3.14x36--X36=5.13（平方厘米）.

360484

43.如圖所示，圖中是一個正六邊形，每個角上有一個半徑是10厘米的扇形，六扇形面積總和

是多少？（it取3.14）

【答案】628平方厘米.

【分析】扇形面積公式5扇=罌已知半徑和扇形弧的度數(shù)是120。，這樣就可求出扇形的面

積和為6x崇x兀x1。2=628（平方厘米）.

44.在圖中，兩個四分之一圓弧的半徑分別是2和4,求兩個陰影部分的面積差.（圓周率取

3.14）

【答案】1.42

【分析】看清楚陰影部分如何構(gòu)成則不難求解.左邊的陰影是大扇形減去小扇形，再扣除一

個長方形中的不規(guī)則白色部分，而右邊的陰影是長方形扣除這塊不規(guī)則白色部分，那么它們的

差應(yīng)為大扇形減去小扇形，再減去長方形.則為：fx4x4-￡x2x2—4x2=3x3.14—

44

8=1.42.

45.如圖，直角△ABC的斜邊長為10厘米，^ABC=60".此時BC長5厘米.以8為中

心，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)120。，點4C分別到達(dá)點E、。的位置.求4c掃過圖形的面

積.（n取3）

【答案】75平方厘米.

【分析】

1cc

扇形的面積=-n(AB2-AC2)

1

=-nx(100-25)

=75(平方厘米).

46.如圖所示，一個半徑為1的圓繞著邊長為4的正方形滾動一周又回到原來的位置，掃過的

面積是多少？（7T取3.14）

【答案】44.56

【分析】兩個半徑為2的直角扇形+四個相同的長方形即為該圓掃過的面積，ix7TX22X

4

4+2x4x4=44.56.

47.如圖，在一個邊長為4的正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑向內(nèi)作三個半圓.求陰影部

分的面積.

【答案】8.

【分析】

陰影部分經(jīng)過切割平移變成了一個面積為正方形一半的長方形，則陰影部分面積為4X44-

2=8.

48.如圖，正方形的邊長是2厘米，圓形的半徑是1厘米，當(dāng)圓形繞正方形滾動一周又回到原

來位置時，掃過的面積有多大？（兀取3.14）

【答案】28.56平方厘米.

【分析】掃過的區(qū)域如圖所示，正方形的邊長是2厘米，四個正方形的面積之和是16平方

厘米，四個扇形正好可以拼成一個半徑為2厘米的圓，圓的面積是12.56平方厘米，最后的結(jié)

果是28.56平方厘米.

49.如下圖所示，為一個半圓和一個扇形，扇形的半徑是半圓的直徑，空白部分與陰影部分面

積哪個大？

【答案】一樣大.

【分析】記半圓的半徑為1,半圓的面積為111,扇形的半徑為2,面積為7T.

空白與陰影的面積gn：（TT-=1：L一樣大.

50.一只狗被拴在底座為邊長3m的等邊三角形建筑物的墻角上（如圖）,繩長是4m,求狗所

能到的地方的總面積.（圓周率按3.14計算）

【答案】43.96m2

【分析】如圖所示，狗活動的范圍是一個半徑4m,圓心角300。的扇形與兩個半徑1m,圓

心角120。的扇形之和.所以答案是43.96m2.

51.如右圖，正方形的邊長為5厘米，則圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（兀=3.14）

【答案】7.125

【分析】觀察可知陰影部分是被以4。為半徑的扇形、以4B為直徑的半圓形和對角線BD

分割出來的，分頭求各小塊陰影部分面積明顯不是很方便，如果能求出左下邊空白部分的面積,

就很容易求出陰影部分的面積了，再觀察可以發(fā)現(xiàn)左下邊空白部分的面積就等于三角形4BD

的面積減去扇形4DE的面積，那么思路就很清楚了.

因為Z.ADB=45°,

所以扇形ADE的面積為：9x兀xAD?=券*3.14x52=9.8125（平方厘米），

那么左下邊空白的面積為：|x5x5-9.8125=2.6875（平方厘米），

又因為半圓面積為：［x7TX（if=9.8125（平方厘米），

所以陰影部分面積為:9.8125-2.6875=7.125（平方厘米）.

52.如圖，等腰直角三角形的一腰的長是8厘米，以它的兩腰為直徑分別畫了兩個半圓，那么

陰影部分的面積共有多少平方厘米？（兀取3.14）

【答案】18.24

【分析】如下圖，我們將原題中陰影部分分成①、②、③、④4個部分，并且這4個部分

的面積相等.

有②、③部分的面積和為二分之一圓的面積與其內(nèi)等腰直角三角形的面積差.

二分之一圓的面積為

1

-X4X4XTT?8X3.14=25.12.

2

其內(nèi)等腰直角的底為8,高為4,所以其面積為

1

-X8x4=16,

2

所以②、③部分的面積和為

25.12-16=9.12（平方厘米）.

而①、②、③、④四部分的面積和為②、③部分的面積和的2倍，即為

9.12X2=18.24（平方厘米）.

所以，原題中陰影部分的面積共有18.24平方厘米.

53.如下圖，以。4為斜邊的直角三角形的面積是24平方厘米，斜邊長10厘米，將它以。點

為中心旋轉(zhuǎn)90。，問：三角形掃過的面積是多少？（TT取3）

【答案】99平方厘米.

【分析】從圖中可以看出，直角三角形掃過的面積就是圖中圖形的總面積，等于一個三角形

的面積與四分之一圓的面積之和.圓的半徑就是直角三角形的斜邊。4

因此可以求得，三角形掃過的面積為：

1

24+-xTTx10x10=24+25K=99（平方厘米）.

54.求下列各圖中陰影部分的面積(兀=3)

(1)

(5)

【答案】(1)4.5(2)4(3)1(4)2(5)1.5(6)4.5

【分析】略

55.如圖，等腰直角三角形4BC的腰為10；以A為圓心，EF為圓弧，組成扇形4EF；兩個陰

影部分的面積相等.求扇形所在的圓面積.

【答案】400

【分析】題目已經(jīng)明確告訴我們4BC是等腰直角三角形，4EF是扇形，所以看似沒有關(guān)系

的兩個陰影部分通過空白部分聯(lián)系起來.等腰直角三角形的角a為45度，則扇形所在圓的面

積為扇形面積的8倍.而扇形面積與等腰直角三角形面積相等，即

1一,、

S扇形=彳x10x10=50

則圓的面積為

50x8=400

56.已知半圓所在的圓的面積為62.8平方厘米，求陰影部分的面積.（n=3.14）

【答案】5.7平方厘米

【分析】由于陰影部分是一個不規(guī)則圖形，所以要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形來計算.從圖中

可以看出，陰影部分的面積是一個45。的扇形與一個等腰直角三角形的面積差.

由于半圓的面積為62.8平方厘米，所以。即=62.8+3.14=20.

因此

SAAOB=CMXOB+2=CM2+2=10（平方厘米）.

由于△AOB是等腰直角三角形，所以=20X2=40.

因此

$\begin{split}\text{扇形$ABC$的面積}&={\rm\pi}\times{ABA2}\times\dfrac{{45}}{{360}}

\\&={\rm\pi}\times40\times\dfrac{{45}}{{360}}\\&=15.7\text{（平方厘米）}.\end{split}$

所以，陰影部分的面