2025年小學數學《幾何》曲線型-扇形-4星題（含解析）全國版

幾何-曲線型幾何-扇形-4星題

課程目標

知識點考試要求具體要求考察頻率

扇形B1.了解扇形的特征和有關概念少考

2.能夠通過圓的面積和周長公式推

導出扇形的面積和弧長公式

3.能夠運用公式計算扇形的弧長、

面積和周長

知識提要

扇形

?概念

圓上兩點之間的部分叫做弧。

扇形是指一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

其中，圓的半徑也稱為扇形的半徑，而兩條半徑所形成的夾角稱為扇形的圓心角。

?公式

扇形的弧長=《；x2nr

360

扇形的面積=公冗/

360

其中，n表示圓心角的度數

注意：扇形的弧長不是周長，扇形的周長還需要加上兩條半徑。

精選例題

扇形

1.如圖，分別以B,C為圓心的兩個半圓的半徑都是1厘米，則陰影部分的周長是_______厘

米.（7T取3）

【答案】3

【分析】BE,BC,CE均為圓的半徑，所以等邊三角形，每個角均為60度，所以

陰影部分的兩段圓弧均為60度的扇形所對應的圓弧，所以周長為

601LW

X7rxdx2+l=：x3x2x2+l=3（厘米）.

3606

2.如圖，分別以長方形的一條長邊的兩個頂點為圓心，以長方形的寬為半徑作例若圖中

的兩個陰影部分的面積相等，則此長方形的長與寬的比值是.

【答案】兀：2

【分析】因為S2=S'兩個［圓的面積

Si+S2+S2+S3=Si+S2+S3+5*4

與長方形面積相等.

所以設長為a,寬為b,

1,

—7ibzx2=ab,

4

Tib=2a,

a:b=Ti'.2.

3.如下圖所示，平行四邊形的長邊是6,短邊是3,高為2.6,則陰影部分的面積

為.(TT取3.14)

【答案】15.9

【分析】根據容斥的思想，

陰影的一半=大扇形+小扇形-平行四邊形,

所以陰影面積為：

片x3.14x(62+32)-6x26]x2=15.9.

4.6個半徑相同的小圓和1個大圓如圖擺放.大圓的面積是120,那么，陰影部分面積

是________

【答案】40

【分析】設大圓半徑和小圓半徑分別為R和r,畫出大小圓半徑會發(fā)現它們同處一個正三角

形，如下圖，兩條粗線分別為大圓直徑和小圓直徑，由正三角形性質和勾股定理，有

R2+「2=（2r）2=R2=3r2,

這說明大圓面積和小圓面積是3倍關系，即小面面積為40；

由于三個小圓面積等于大圓面積，所以下圖中紅色部分面積等于灰色部分;

如下圖，可以看出，上圖中的兩種陰影部分拼在一起可以形成扇形，一共可以形成6個120

度扇形，總和為2個小圓，又因為兩種陰影部分面積相等，所以所求面積為一個小圓面積40.

5.如圖，直角三角形4BC中，為直角，且BC=2厘米，AC=4厘米，則在將△4BC繞

C點順時針旋轉120。的過程中，邊掃過圖形的面積為.(n=3.14)

【答案】12.56平方厘米.

【分析】如下圖所示，假設△ABC旋轉120。到達△ABC的位置.陰影部分為4B邊掃過

的圖形.

B'

從圖中可以看出，陰影部分面積等于整個圖形的總面積減去空白部分面積，而整個圖形總面積

等于扇形ACA，的面積與△ABC的面積之和，空白部分面積等于扇形BC夕的面積與ZARC

的面積，由于△ABC的面積與448C的面積相等，所以陰影部分的面積等于扇形4CA，與扇

形BCB，的面積之差，為

120,1209十

—XTTX42--XTTX22=4TT=12.56（平方厘米）.

36U36U

6.如下圖所示，4B是半圓的直徑，。是圓心，AC=CD=DB,M是CO的中點，H是弦CD

的中點.若N是0B上一點，半圓的面積等于12平方厘米，則圖中陰影部分的面積

【答案】2

【分析】連接。C、OD、0H,由于C、。是半圓的兩個三等分點”是CO的中點，H是弦

CD的中點，可見這個圖形是對稱的.由對稱性可知CD與AB平行，由此可得：△CHN的面

積與△CHO的面積相等，所以，陰影部分面積等于扇形COD面積的一半，而扇形C。。的面

積又等于半圓面積的3所以，陰影部分面積等于半圓面積的；，為12x；=2（平方厘米）.

7.如圖，△ABC是一個等腰直角三角形，直角邊的長度是1米.現在以C點為圓心，把三角

形4BC順時針轉90度，那么，48邊在旋轉時所掃過的面積是平方米.（n=3.14）

BC

【答案】0.6775

【分析】如圖，順時針旋轉后，A點沿弧4A'轉到4'點，B點沿弧B夕轉到B，點，。點沿

弧。ZT轉到ZT點.因為CD是C點到48的最短線段，所以48掃過的面積就是圖中的弧

4ZB與BDD'A'之間的陰影圖形.

S陰影=S半圓一S空白，

11

^AABC=S&BDC+^AADC=2X1X1=］（平方米），

。1

S^ABC=S正方形4DCZV=CD?=公平方米），

所以，

IT?TC1TC、、“

S扇形DCD，=IXco=1*2=W（平萬米），

我們推知

n2

S陰影=5X80—S扇形DCD，-MbDC+SAACDf）

TTTI1

=2-8-2

_3K1

=~8~2

=0.6775（平方米）.

,4(3)

8.如圖，邊長為12米的正方形池塘的周圍是草地，池塘邊4B,C,。處各有一根木樁，且

4B=BC=CO=3米.現用長4米的繩子將一頭羊拴在其中的某根木樁上（不計打結

處）.為使羊在草地上活動區(qū)域的面積最大，應將繩子拴在_______處的木樁上.

【答案】C

【分析】在a點時活動區(qū)域的面積是一個半徑為4米的半圓，即

1_

—X42X7T=8Tt（平方米）.

在B、D點時活動區(qū)域的面積都是一個半徑為4米的半圓加一個:半徑為1米的

4

圓.即

111

—X42XTI+—xl2xii=8.M平方米）?

在C點時活動區(qū)域的面積是:個半徑為4米的圓，即

4

3

—x42xK=12冗（平方米）.

綜上所述，拴在C處的木樁上時活動范圍最大.

9.如右圖，正方形的邊長為5厘米，則圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（兀=3.14）

【答案】7.125

【分析】觀察可知陰影部分是被以4。為半徑的扇形、以4B為直徑的半圓形和對角線BD

分割出來的，分頭求各小塊陰影部分面積明顯不是很方便，如果能求出左下邊空白部分的面積,

就很容易求出陰影部分的面積了，再觀察可以發(fā)現左下邊空白部分的面積就等于三角形4BD

的面積減去扇形4DE的面積，那么思路就很清楚了.

因為Z.ADB=45°,

所以扇形ADE的面積為：Sx兀x4￡>2=會x3.14x52=9.8125（平方厘米），

那么左下邊空白的面積為：5x5-9.8125=2.6875（平方厘米），

又因為半圓面積為：（I）?=9.8125（平方厘米），

所以陰影部分面積為：9.8125-2.6875=7.125（平方厘米）.

10.如圖，C、。是以為直徑的半圓的三等分點，。是圓心，且半徑為6.求圖中陰影部分

的面積.

【答案】6n

如圖，連接。c、OD、CD.由于C、O是半圓的三等分點，所以△AOC和△C。。都是正三角

形，那么CO與4。是平行的.所以△ACO的面積與△OCD的面積相等，那么陰影部分的面

積等于扇形。CD的面積，為TTX62X2=6TT.

6

11.（1）如圖（1）,一只小狗被拴在一個邊長為4米的正方形的建筑物的頂點A處，四周都

是空地，繩長8米，小狗的活動范圍是多少平方米？

（2）如圖（2）小狗不是被拴在4處，而是在一邊的中點B處，那么小狗的活動范圍是多少

平方米？（建筑外墻不可逾越，小狗身長忽略不計，兀取3.14）

(2)

【答案】（1）175.84；（2）163.28

【分析】（1）如下左圖，小狗的活動范圍為圓心角為270。、半徑為8米的扇形，和兩個圓

心角為90。、半徑為4米的扇形，總大小為

31

-7Tx82+-x7Tx42x2=567T=175.84（平方米）.

（2）如下右圖，小狗的活動范圍為半徑是8米的半圓，和兩個圓心角為90。、半徑為6米的

扇形，以及兩個圓心角為90。、半徑為2米的扇形.總大小為

111

-X7rx82+-X7TX62X2+-X7rx22x2=527r=163.28（平方米）.

12.如圖，邊長為3的兩個正方形BDKE、正方形OCFK并排放置，以BC為邊向內側作等邊

三角形，分別以8、。為圓心，BK、CK為半徑畫弧.求陰影部分面積.（n=3.14）

【答案】8.58

【分析】根據題意可知扇形的半徑r恰是正方形的對角線，所以

r2=32x2=18,

如上圖將左邊的陰影翻轉右邊陰影下部，

S陰影=S扇形一S柳葉

60x2/I

=--X181T—2（x18IT—3x3

360\4

=18-3K

=8.58.

13.先做一個邊長為2cm的等邊三角形，再以三個頂點為圓心，2czn為半徑作弧，形成曲邊三

角形（如下圖）.再準備兩個這樣的圖形，把一個固定?。ㄏ聢D中的陰影），另一個圍繞著它

滾動，如下圖那樣，從頂點相接的狀態(tài)下開始滾動.請問此圖形滾動時經過的面積是多少平方

厘米？（TTas3.14）

2

3

【答案】25.12cm2

【分析】在處理圖形的運動問題時，描繪出物體的運動軌跡是解決問題的第一步，只有大的

方向確定了，才能實施具體的計算.

Er、

在數學中，本題所作出的這個曲邊三角形叫“萊洛三角形”，“萊洛三角形”有一個重要的性質就

是它在所有方向上的寬度都相同.

為了求出“萊洛三角形”滾動時經過的面積，可以分2步來思考：

第1步：如圖⑵所示，當“萊洛三角形”從頂點4的上方滾動到頂點4的左邊時，這時陰影“萊

洛三角形”滾動的這部分面積是以力為圓心、2cm為半徑、圓心角為60。的扇形.在頂點A、B、

C處各有這樣的一個扇形；

第2步：如圖⑶所示，當“萊洛三角形”在邊48上滾動時，這時可以把陰影“萊洛三角形”看作

是以圖⑶中。點為圓心的圓的一部分，這個圓在以C點為圓心的弧AB上滾動，可知此時圓心

。運動的軌跡是圖⑶中的弧0。'，所以此時陰影“萊洛三角形”滾動的這部分面積是以C為圓心、

4cm為半徑、圓心角為60°的扇形減去半徑為2cm的60°的扇形；

綜上所述，去掉圖⑷中陰影“萊洛三角形”后所形成的組合圖形就是要求的面積.

滾動時經過的面積是：

60\，76060\

3x71X22X+3xTCX4/X-----HX2」9X

360/360360/

=871

=25.12(cm2).

14.正三角形ABC的邊長是6厘米，在一條直線上將它翻滾幾次，使A點再次落在這條直線上,

那么A點在翻滾過程中經過的路線總長度是多少厘米？如果三角形面積是15平方厘米，那么

三角形在滾動過程中掃過的面積是多少平方厘米？（結果保留7T）

【答案】24TT+15

【分析】如下圖所示，A點在翻滾過程中經過的路線為兩段120。的圓弧，所以路線的總長

度為：

120「，，

2TTx6x——x2=（厘米）；

ACBA

三角形在滾動過程中掃過的圖形的為兩個120。的扇形加上一個與其相等的正三角形，面積為:

TTX62X—x2+15=24TT+15（平方厘米）.

360

15.如圖，一只狗被栓在底座為邊長3米的等邊三角形建筑物的墻角上，繩長是4米，求狗所

能到的地方的總面積？

3

【答案】43.96平方米.

【分析】如下圖，狗被栓在底座為邊長3米的等邊三角形建筑物的墻角上，繩長是4米，狗

的活動區(qū)域可以分割成三個部分：

藍色部分是一個半徑為4米、圓心角為300度的扇形：

360-60=300（度）

紅色部分是兩個同樣的邊長為1米、圓心角為120度的扇形：

4-3=1（米）,180-60=120（度）

所以狗能到的地方的總面積為：

300120丁,?

3.14x4x4x--+2x3.14x1x1x--=43.96（平萬米）

360360

16.一條直線上放著一個長和寬分別為4厘米和3厘米的長方形I（如下圖）.讓這個長方形繞

頂點B順時針旋轉90。后到達長方形n的位置，這樣連續(xù)做三次，4點到達E點的位置.求4

點經過的總路程的長度.（圓周率按3計算）

【答案】5

【分析】如下圖，4點旋轉所經過的為三段四分之一圓的弧長，其中人=4,小=3.

由勾股定理知:

22222

r2=ri+r3=4+3=25,

則

r2=5.

17.如圖所示，求陰影面積，圖中是一個正六邊形，面積為1040平方厘米，空白部分是6個

半徑為10厘米的小扇形.（圓周率取3.14）

【答案】412平方厘米

【分析】所要求的陰影面積是用正六邊形的面積減去六個小扇形面積、正六邊形的面積已知,

現在關鍵是小扇形面積如何求，有扇形面積公式5扇=寥.

可求得，需要知道半徑和扇形弧的度數，由已知正六邊形每邊所對圓心角為60。，那么

^AOC=120°,又知四邊形ABC。是平行四邊形，所以乙4BC=120。，這樣就可求出扇形的面

積和為6x券x兀x1。2=628（平方厘米），陰影部分的面積=1040-628=412（平方厘米）.

18.如圖，在3x3方格表中，分別以4E、尸為圓心，半徑為3、2、1,圓心角都是90。的

三段圓弧與正方形4BCD的邊界圍成了兩個帶形，那么這兩個帶形的面積之比Si：S2=?

【答案】5:3

【分析】如下圖,

仔細觀察圖形不難發(fā)現帶形S1的面積等于曲邊三角形BCD的面積減去曲邊三角形B1CD1的

面積，而這兩個曲邊三角形的面積都可以在各自所在的正方形內求出.

所以，

2222

Si的面積=f3-7ix3x^-(2-Trx2x1)

=5x(1-》

同理可求得帶形S2的面積：帶形$2的面積=曲邊三角形BRDI的面積-曲邊三角形B2CD2

的面積=3x(1—所以，SI：52=5：3.

19.已知三角形是直角三角形，AC=4cm,BC=2cm,求陰影部分的面積.

【答案】3.85cm2

【分析】從圖中可以看出，陰影部分的面積等于兩個半圓的面積和與直角三角形4BC的面

積之差，所以陰影部分的面積為：xgy+|TTx(|)2-1x4x2=2.5TT-4=3.85(

cm2).

20.如圖，4BCD是平行四邊形，AD=8cm,AB=10cm,Z.DAB=30",高CH=4cm,弧

BE、OF分別以4B、CO為半徑，弧DM、BN分別以40、CB為半徑，則陰影部分的面積為

多少？（精確到0.01）

【答案】5.83cm2

【分析】因為四邊形4BCD是平行四邊形，AD=8cm,AB=10cm,^DAB=30",所以

S扇形E4B=S扇形FCD=10"X券=g兀（cm2）,

S扇形D4M=S扇形BCN=82兀x熬=學兀（cm2）.

2

因為平行四邊形4BCD的高CH=4cm,所以SaABCD=10x4=40（cm）.

由圖中可看出，扇形瓦4B與FCD的面積之和，減去平行四邊形4BCD的面積，等于

曲邊四邊形OFBE的面積；平行四邊形4BCD的面積減去扇形ZMM與扇形BCN的面積，等

于曲邊四邊形DMBN的面積.則

S陰影=$曲邊四邊形川咕￡一,曲邊四邊形DMBN

=（2S扇形E4B—SCJABCD）一（S口4BCD—2s扇形口出）

=2X（S扇形E4B+S扇形D4M—S口ABCD）

=2X管兀+芋兀-40）=2X售x3.14-40）?5.83（cm2）.

21.如圖中三個圓的半徑都是5c772,三個圓兩兩相交于圓心.求陰影部分的面積和.（71取

3.14)

【答案】39.25(czn2)

【分析】

將原圖割補成如圖，陰影部分正好是一個半圓，面積為

5x5X3.14+2=39.25(cm2).

22.已知圖中正方形的邊長是2,分別以其四個頂點為圓心的直角扇形恰好交于正方形的中心,

求圖中陰影部分的面積.

【答案】2n—4

【分析】r2=2,S陰影=TTM-2?=2TT—4.

23.如圖，等腰直角三角形4BC的腰為10；以4為圓心，EF為圓弧，組成扇形4EF；兩個陰

影部分的面積相等.求扇形所在的圓面積.

【答案】400

【分析】題目已經明確告訴我們4BC是等腰直角三角形，4EF是扇形，所以看似沒有關系

的兩個陰影部分通過空白部分聯系起來.等腰直角三角形的角4為45度，則扇形所在圓的面

積為扇形面積的8倍.而扇形面積與等腰直角三角形面積相等，即

1.、,一

S扇形=5x1°x1°=50

則圓的面積為

50x8=400

24.直角三角形ABC放在一條直線上，斜邊4C長20厘米，直角邊BC長10厘米.如下圖所

示，三角形由位置I繞4點轉動，到達位置II,此時B,C點分別到達4,Q點；再繞4點轉

動，到達位置III,此時4,七點分別到達人2，。2點.求。點經Ci到。2走過的路徑的長.

【答案】厘米.

【分析】由于BC為4C的一半，所以ZCAB=30。，則弧CCi為大圓周長的嗤

JoU1Z

弧GC2為小圓周長的i,而CC1+的。2即為C點經C1到C2的路徑，所以C點經C1到c2走

過的路徑的長為

515065「，，

2nx20x---1-2nx10x—=—n+5n=—（厘米）.

12433TiI'

25.如圖，一頭山羊被拴在一個邊長為4米的等邊三角形的建筑物的一個頂點處，四周都是空

曠，繩長剛好夠山羊走到三角形建筑物外的任一位置，請問：山羊的活動范圍有多少平方米？

（建筑外墻不可逾越，山羊身長忽略不計，兀取3）

【答案】98

【分析】山羊的活動范圍如圖所示，繩長為6米，面積為

300,12098?r十、?

心*兀*62+2義不、兀'292=『=98（平方米）.

3603603

26.△ABC為等腰直角三角形，。為半圓中點，為半圓直徑.已知4B=BC=10,那么陰

影部分面積為多少？（圓周率取3.14）

【答案】32.125

【分析】設BC中點為0,連接。。，則0D=5,0B=5,BP:P0=AB-.0D=10:5=2:1,

211?1112

BP=5x-=3-,PO=OB-BP=S-3-=S=-xABxBP=-x10x3-=16-,

33332AARP233

c1r42.1

SAopD=-x5xl-=4-f

陰影部分的面積為16i|+：xnx52-4：=12+,Y-ii=32.125.

34624

27.如圖，已知扇形B4C的面積是半圓面積的q倍，則角C4B的度數是多少？

【答案】60度

【分析】設半圓4DB的半徑為1,則半圓面積為）x12=5扇形B4C的面積為］義；

V.因為扇形B4C的面積為TTNX蕓，所以，7TX22X-^=^,得到n=60,即角C4B的度

3SoU36U3

數是60度.

28.如圖所示，一個半徑為1的圓繞著邊長為4的等邊三角形滾動一周又回到原來的位置時,

掃過的面積是多少？（兀取3.14）

【答案】36.56

【分析】掃過的面積為三個相同的長方形，加三個相同的圓心角為120度的扇形，長方形

總面積2X4X3=24,扇形總面積為12.56,所以，掃過的整個面積是36.56.

29.一只狗被拴在底座為邊長3m的等邊三角形建筑物的墻角上（如圖），繩長是4m,求狗所

能到的地方的總面積.（圓周率按3.14計算）

3

【答案】43.96m2

【分析】如圖所示，狗活動的范圍是一個半徑4m,圓心角300。的扇形與兩個半徑1m,圓

心角120。的扇形之和.所以答案是43.96m2.

30.面上有7個大小相同的圓，位置如圖所示.如果每個圓的面積都是10,那么陰影部分的面

積是多少？（7T取3.14）

【答案】20

【分析】陰影包括中間的一個圓和周圍六個花瓣狀的小小圖形.這個圖形可以割補成一個頂

角為60。的扇形，如下圖所示，因此六個這樣的圖形面積和正好是一個圓：陰影部分的面積等

于兩個圓的面積，為20.

31.如下圖，以04為斜邊的直角三角形的面積是24平方厘米，斜邊長10厘米，將它以。點

為中心旋轉90。，問：三角形掃過的面積是多少？（IT取3）

o

【答案】99平方厘米.

【分析】從圖中可以看出，直角三角形掃過的面積就是圖中圖形的總面積，等于一個三角形

的面積與四分之一圓的面積之和.圓的半徑就是直角三角形的斜邊。4

因此可以求得，三角形掃過的面積為：

1

24+-XTTX10X10=24+25TT=99（平方厘米）.

32.圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（兀取3.14）

【答案】12.765

【分析】如下圖，為了方便說明標上字母，并稱曲線四邊形BCFE的面積為“①”.

將扇形ABC的面積稱為“大扇形”，扇形CDF的面積稱為“小扇形”，長方形BCDE的面積稱為

“長方形”.

陰影部分面積=大扇形-①，①=長方形-小扇形.

所以有

陰影部分面積=大扇形-（長方形-小扇形）=大扇形+小扇形-長方形.

11

-X52X7T+-X22XTT-2X5?29X3.14+4—10=12.765（平方厘米）.

33.如圖，ABCD是一個長為4,寬為3,對角線長為5的正方形，它繞C點按順時針方向旋轉

90。，分別求出四邊掃過圖形的面積.

【答案】

DC:4n

AB:4n

AD\——

4

【分析】容易發(fā)現，DC邊和BC邊旋轉后掃過的圖形都是以線段長度為半徑的圓呢，如圖:

DCB,

因此DC邊掃過圖形的面積為4n,BC邊掃過圖形的面積為爭.

研究邊的情況.

在整個邊上，距離C點最近的點是B點，最遠的點是4點，因此整條線段所掃過部分應

該介于這兩個點所掃過弧線之間，見如圖中陰影部分：

DCB,

下面來求這部分的面積.

觀察圖形可以發(fā)現，所求陰影部分的面積實際上是：

扇形ACA，面積+三角形A'B'C面積一三角形ABC面積一扇形BCB，面積=扇形ACA'面積一

扇形BC夕面積==--=4TT.

44

研究邊掃過的圖形.

由于在整條線段上距離C點最遠的點是4最近的點是。，所以我們可以畫出4。邊掃過的圖

形，如圖陰影部分所示：

用與前面同樣的方法可以求出面積為：粵-W=旋轉圖形的關鍵，是先從整體把握一下”

變化過程”，即它是通過什么樣的基本圖形經過怎樣的加減次序得到的.先不去考慮具體數據，

一定要把思路捋清楚.最后會發(fā)現，所有數據要么直接告訴你，要么就“藏“在那兒，一定會有.

34.如圖，直角△4BC的斜邊4B長為10厘米，^ABC=60°.此時BC長5厘米.以B為中

心，將△4BC順時針旋轉120。，點4C分別到達點E、。的位置.求4C掃過圖形的面

積.（1T取3）

【答案】75平方厘米.

【分析】

1

扇形的面積=-n(^B2-AC2)

1

=-TTX(100-25)

=75(平方厘米).

35.求下圖中陰影部分的面積.（IT取3）

【答案】100平方厘米

【分析】看到這道題，一下就會知道解決方法就是求出空白部分的面積，再通過作差來求出

陰影部分面積，因為陰影部分非常不規(guī)則，無法入手.這樣，平移和旋轉就成了我們首選的方

法.

（法1）我們只用將兩個半徑為10厘米的四分之一圓減去空白的①、②部分面積之和即可，

其中①、②面積相等.易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角邊4B的

長度未知.單獨求①部分面積不易，于是我們將①、②部分平移至一起，如右上圖所示，則

①、②部分變?yōu)橐粋€以4c為直角邊的等腰直角三角形，而4C為四分之一圓的半徑，所以有

AC=10.兩個四分之一圓的面積和為150,而①、②部分的面積和為gx10x10=50,所

以陰影部分的面積為

150-50=100（平方厘米）.

（法2）欲求圖中陰影部分的面積，可將如上左半圖形繞B點逆時針方向旋轉180。，使4與

C重合，從而構成如右上圖的樣子，此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角

三角形的面積.所以陰影部分面積為

11

-xnx102--x10x10=100（平方厘米）.

36.如圖所示，一個半徑為1的圓繞著邊長為4的正方形滾動一周又回到原來的位置，掃過的

面積是多少？（7T取3.14）

【答案】44.56

【分析】兩個半徑為2的直角扇形+四個相同的長方形即為該圓掃過的面積，ix7TX22X

4

4+2x4x4=44.56.

37.如圖，與CO是兩條垂直的直徑，圓。的半徑為15,是以C為圓心，ZC為半徑的

圓弧.求陰影部分面積.

【答案】225平方厘米

【分析】陰影部分是個月牙形，不能直接通過面積公式求，那么我們可以把陰影部分看成半

圓加上三角形4BC再減去扇形ACB的結果.

半圓面積為|X7TX152,

三角形4BC面積為

1

-x(15+15)x15=152,

又因為三角形面積也等于jxAC2,

所以4c2=2x152,

那么扇形4CB的面積為

901

-----X7TxACZ9=-x7Tx2x1549

3604

陰影部分面積

S陰影=S半圓+s三角形一S扇形

11

=-X7TX152o+152o——X7Tx2x152

24

=225.

38.如圖所示，48CD是一邊長為4cm的正方形，E是4D的中點，而尸是3c的中點.以C

為圓心、半徑為4cm的四分之一圓的圓弧交EF于G,以尸為圓心、半徑為2cm的四分之一

圓的圓弧交EF于"點，若圖中Si和S2兩塊面積之差為nur-"cm?）（其中租、n為正整

數），請問m+n之值為何？

BC

E

【答案】ii

【分析】(法1)SQFCDE=2x4=8cm2,S扇形此口=1x兀x4?=4兀(cm?),

S扇形BFH=[X兀x22=兀(cm2)，而

S1_￡=S扇形BCD_S扇形BFH_SCJFCDE=4兀一兀一8=3兀-8(cm2),

所以zn=3,n=8,m+n=3+8=ll.

(法2)如右上圖，S+Si=-S扇形3FH=2x4-2x2x7T+4=8—7r(cm2),

S+S2=SABCD一S扇形BCD=4x4—4x4X71+4=16—4兀(cm2),

所以，S]—512—(8—7T)—(16—4TT)=37r—8(cm2),故?n+?i=3+8=11.

39.已知半圓所在的圓的面積為62.8平方厘米，求陰影部分的面積.(TT=3.14)

【答案】5.7平方厘米

【分析】由于陰影部分是一個不規(guī)則圖形，所以要設法把它轉化成規(guī)則圖形來計算.從圖中

可以看出，陰影部分的面積是一個45。的扇形與一個等腰直角三角形的面積差.

由于半圓的面積為62.8平方厘米，所以0即=62.8+3.14=20.

因此

S&AOB=04X02+2=0鄧+2=10（平方厘米）.

由于△A0B是等腰直角三角形，所以=20X2=40.

因此

$\begin{split}\text{扇形$ABC$的面積}&={\rm\pi}\times{ABA2}\times\dfrac{{45}}{{360}}

\\&={\rm\pi}\times40\times\dfrac{{45}}{{360}}\\&=15.7\text{（平方厘米）}.\end{split}$

所以，陰影部分的面積等于：15.7-10=5.7（平方厘米）.

40.在半徑為1的圓內，畫13個點，其中任意3點不共線.請證明：一定存在3個點，以它

們?yōu)轫旤c的三角形面積小于g

【答案】略

【分析】證明：將半徑為1的圓八等分，分為六個扇形，每個扇形的面積是g根據抽屜原

理，至少有三個點在同一部分中，這三個點組成的三角形不會大于所在的扇形，即￡

O

41.如圖所示，陰影部分的面積為多少？（圓周率取3）

3

【答案】

16

【分析】圖中4B兩部分的面積分別等于右邊兩幅圖中的4、B的面積.

所以S4+SB~(1.5271—1.5x3)+4+(3^TT—3x3x2)+8=—H4+9+8=—.

'[、416

42.如圖中的三角形都是等腰直角三角形，求各圖中陰影部分的面積.(兀取3.14)

【答案】4;4.56;8

【分析】（1）割補法，將右邊的弓形補到左邊，兩塊陰影面積之和恰好為等腰直角三角形

面積的一'半.即4x4+2+2=4.

（2）割補法，如圖，將圖中的葉子形從中間分成面積相等的兩個小弓形，陰影部分可拼成一

個完整弓形，面積為工x4x4x3.14-；x4x4=4.56.

（3）割補法，正好贏第二問的過程贏來，把兩個小弓形補到空白部分，陰影部分面積之

和正好是等腰直角三角形的面積，即4x4+2=8.

43.如圖，正方形4BCD的邊長為4厘米，分別以8、。為圓心以4厘米為半徑在正方形內畫

圓.求陰影部分面積.（兀取3）

【答案】8

【分析】由題可知，圖中陰影部分是兩個扇形重疊的部分，我們可以利用容斥原理從圖形整

體上考慮來求陰影部分面積；同樣，我們也可以通過作輔助線直接求陰影部分的面積.

解法一：把兩個扇形放在一起得到1個正方形的同時還重疊了一塊陰影部分.

則陰影部分的面積為=1.TT.42-4X4=8；

解法二：連接4C,我們發(fā)現陰影部分面積的一半就是扇形減去三角形的面積，

所以陰影部分面積=2x（i-7T-42-4x44-2）=8.

44.如圖，正方形邊長為1,正方形的4個頂點和4條邊分別為4個圓的圓心和半徑，求陰影

部分面積.（TT取3.14）

【答案】7.14

【分析】把中間正方形里面的4個小陰影向外平移，得到如下圖所示的圖形，可見，陰影部

分的面積等于四個正方形面積與四個90。的扇形的面積之和，所以，

=4xS.+S圓

=4XI2+TTXI2

=44-n=7.14.

45.如圖，兩個正方形擺放在一起，其中大正方形邊長為12,那么陰影部分面積是多少？（n

取3.14）

【答案】陰影部分面積為113.04.

【分析】方法一:：設小正方形的邊長為a,則三角形4BF與梯形ABC。的面積均為

{CL4-12）xa+2.

陰影部分為：

大正方形+梯形-三角形ABF-右上角不規(guī)則部分

=大正方形-右上角不規(guī)則部分

*

=40-

因此陰影部分面積為：

3.14X12X12+4=113.04.

方法二：

連接AC、DF,設4尸與CD的交點為M,由于四邊形4CDF是梯形，根據梯形蝴蝶模型有

S&WM=S^cMF，所以

=

S陰R日影影=S廄由形鏘3.14X12X124-4=113.04.

46.圖是由一個圓與一個直角扇形重疊組成的，其中圓的直徑與扇形的半徑都是4,陰影部分

的面積是多少？（n取3.14）

4

【答案】4.56

【分析】如下圖所示，將下圖陰影部分對折，則有：陰影部分面積為:

11

—nx492——x4x4=47i—8=4.56.

42

47.如圖（1）是一個直徑是3厘米的半圓，是直徑.如圖（2）所示，讓人點不動，把整

個半圓逆時針轉60。，此時B點移動到C點.請問：圖中陰影部分的面積是多少平方厘米?

(兀取3.14)

C

(6T

ABAB

(2)

【答案】4.71平方厘米

【分析】圖中陰影部分面積為整個圖形面積減去半圓的面積，而整個圖形面積為一個半圓面

積與一個圓心角為60。的扇形面積之和.因此陰影面積等于圓心角為60。的扇形面積，即;x

O

71X32=4.71.

48.如圖所示，一塊半徑為2厘米的圓板，從位置①起始，依次沿線段4B、BC、CO滾到位

置②.如果4B、BC、CD的長都是20厘米，那么圓板經過區(qū)域的面積是多少平方厘米？（兀

取3.14,答案保留兩位小數.）

【答案】228.07

【分析】小圓滾動時所經過的區(qū)域如下圖所示.

半圓FEQ、半圓/KL的面積之和是4兀平方厘米；長方形FGBQ、BHIP、的面積之和是

（18+16+14）X4=192（平方厘米）;

60°的扇形BGH的面積為

18TT

-X4o2X7T=—；

PIMNO部分的面積為（12+TT）平方厘米.

所以總面積為

87r23…，

4兀+192+可+12+兀=204+—7i?228.07（平萬厘米）.

49.在圖中，兩個四分之一圓弧的半徑分別是2和4,求兩個陰影部分的面積差.（圓周率取

3.14）

【答案】1.42

【分析】看清楚陰影部分如何構成則不難求解.左邊的陰影是大扇形減去小扇形，再扣除一

個長方形中的不規(guī)則白色部分，而右邊的陰影是長方形扣除這塊不規(guī)則白色部分，那么它們的

差應為大扇形減去小扇形，再減去長方形.則為：^X4x4-^x2x2-4x2=3x3.14-

44

8=1.42.

50.如圖是一個直徑為3cm的半圓，讓這個半圓以4點為軸沿逆時針方向旋轉60。，此時B點

移動到夕點，求陰影部分的面積.（圖中長度單位為c