計(jì)算方法 第4章 插值方法與數(shù)據(jù)擬合

第四章 插值方法與數(shù)據(jù)擬合插值與數(shù)據(jù)擬合均是函數(shù)逼近問題，也就是對于給定的已知函數(shù)或未知函數(shù) (4.1)的一組已知數(shù)據(jù) 求一個(gè)近似函數(shù)，使函數(shù)能夠盡可能好的逼近函數(shù)。所謂插值問題就是求插值函數(shù)滿足 (4.2)所謂數(shù)據(jù)擬合問題就是求近似函數(shù)，不要求在所有已知點(diǎn)上是否滿足，而是考慮總體上達(dá)到對函數(shù)某種意義下的“最佳”逼近，比如要求：4.1 插值問題插值是一種簡單、但又是十分重要的方法，利用插值法，可以通過函數(shù)在某些點(diǎn)處的函數(shù)值估算出該函數(shù)在其他點(diǎn)處的函數(shù)值。很多數(shù)值算法中的重要公式，也是利用插值方法導(dǎo)出的，如數(shù)值積分、數(shù)值微分、常微分方程數(shù)值解中的重要公式均是使用插值方法的思想進(jìn)行理論分析和推導(dǎo)而得到的，因此插值方法在計(jì)算方法課程中是十分重要的內(nèi)容。本課程主要討論多項(xiàng)式插值問題，其問題的描述如下：已知函數(shù)在區(qū)間上個(gè)相異點(diǎn)處的函數(shù)值為 ， (4.3)要求估算出在中某點(diǎn)處的值，就是插值法所要解決的問題。插值法就是用一個(gè)便于計(jì)算的函數(shù)去近似且滿足(4.3)式，并以作為的近似值。通常稱為被插值函數(shù)；稱為插值區(qū)間；為插值節(jié)點(diǎn)；為插值函數(shù)；(4.3)式為插值條件。如果我們選取為代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)，稱為插值多項(xiàng)式，相應(yīng)的插值法稱為多項(xiàng)式插值，我們首先給出插值多項(xiàng)式的存在性定理。 定理4.1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，給定其中n+1個(gè)互異點(diǎn)及相應(yīng)的函數(shù)值，必存在唯一的多項(xiàng)式函數(shù) (4.4)滿足插值條件。證明：將代入(4.4)式的多項(xiàng)式函數(shù)，根據(jù)插值條件有該方程組系數(shù)矩陣的行列式為：由克蘭姆法則，該方程組的解存在且唯一，即多項(xiàng)式函數(shù)存在且唯一。 根據(jù)定理4.1中插值多項(xiàng)式的唯一性可得如下推論。 推論：對于次數(shù)不超過的多項(xiàng)式，插值多項(xiàng)式就是其被插函數(shù)自身，即。4.2 Lagrange插值1．線性插值 首先考慮最簡單的兩點(diǎn)插值，已知兩個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)和它們的函數(shù)值，現(xiàn)構(gòu)造如圖的線性插值函數(shù)，顯然只需構(gòu)造過兩點(diǎn)的直線函數(shù)即可圖4.1線性插值函數(shù)顯然該函數(shù)為將其改寫成等價(jià)的形式：在中記則可以表示為： (4.5)稱為線性Lagrange插值函數(shù)或一次插值函數(shù)，稱為插值基函數(shù)。 基函數(shù)的性質(zhì)： 基函數(shù)的曲線圖形：圖4.2線性插值基函數(shù)的圖形例4.1已知，用線性插值公式求的近似值。解：取作為插值節(jié)點(diǎn)，，則線性插值函數(shù)為與的精確值相比線性插值函數(shù)的計(jì)算結(jié)果有2位有效數(shù)字。2．拋物線插值 考慮三點(diǎn)插值問題，已知三個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)和它們的函數(shù)值，構(gòu)造過此三點(diǎn)的拋物線(二次多項(xiàng)式)使其滿足插值條件。根據(jù)定理4.1，存在且唯一。類似于線性插值構(gòu)造二次基函數(shù)，使其滿足根據(jù)基函數(shù)就可以建立如下二次插值函數(shù)： (4.6)如此必然滿足插值條件，只要構(gòu)造出基函數(shù)就可以得到二次插值函數(shù)。注意到且是二次的，顯然應(yīng)該設(shè)將代入此式，則有同樣可求得另外兩個(gè)基函數(shù)為最后得到二次Lagrange插值函數(shù)，也稱其為拋物線插值函數(shù) (4.7)二次插值基函數(shù)的圖形圖4.3二次插值基函數(shù)圖形例4.2已知，用二次插值公式求的近似值。解：取作為插值節(jié)點(diǎn)，，則二次Lagrange插值函數(shù)為與的精確值相比二次插值函數(shù)的計(jì)算結(jié)果有3位數(shù)字相同，優(yōu)于線性插值的結(jié)果。n次插值問題考慮個(gè)點(diǎn)插值問題，已知個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)及相應(yīng)的函數(shù)值，構(gòu)造這個(gè)點(diǎn)的插值函數(shù)(次多項(xiàng)式)使其滿足插值條件根據(jù)定理4.1，存在且唯一，類似于線性、拋物線插值函數(shù)的形式，構(gòu)造次基函數(shù)，使其滿足 (4.8)即可構(gòu)造出次插值多項(xiàng)式 (4.9)此插值函數(shù)滿足插值條件是顯然的，現(xiàn)構(gòu)造次插值基函數(shù)，根據(jù)的特點(diǎn)設(shè)將代入此式，求出待定系數(shù)即可得到基函數(shù) (4.10)有此基函數(shù)，就可得到次Lagrange插值函數(shù)。 (4.11)如果記 (4.12)則有 (4.13)從而次Lagrange插值函數(shù)也可表示為：插值余項(xiàng)現(xiàn)在討論次Lagrange插值多項(xiàng)式與被插值函數(shù)的誤差，記 (4.14)稱為次插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差，也稱為插值余項(xiàng)。定理4.2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在著階導(dǎo)數(shù)，為的次插值多項(xiàng)式，為區(qū)間上個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，則插值余項(xiàng)可表示為： (4.15)其中是與有關(guān)的點(diǎn)，介于所界定的區(qū)間內(nèi)。證明：由插值條件，顯然有，即有個(gè)零點(diǎn)，可設(shè)其中是與有關(guān)的待定函數(shù)，首先需要確定，顯然對于插值節(jié)點(diǎn)，無論取何值兩端均為0，先暫時(shí)固定，構(gòu)造輔助函數(shù)將代入函數(shù)則有即有個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的Rolle定理，有個(gè)零點(diǎn)，…，有1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，即也就有而且在所界定的區(qū)間內(nèi)，從而有(4.15)式成立，證畢。當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)數(shù)時(shí)得到線性插值公式和拋物線插值公式的插值余項(xiàng)。 從插值余項(xiàng)，可以很容易的得出一個(gè)關(guān)于Lagrange插值基函數(shù)的性質(zhì)：定理4.3在定理4.2的條件下，若存在常數(shù)，使，則例4.3估計(jì)例4.1和例4.2中所求近似值的誤差限。解：先求的導(dǎo)數(shù)，估計(jì)二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)的界： 例4.4設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，為對應(yīng)的5次插值基函數(shù)，計(jì)算。 解：取，則取，則 例4.5設(shè)，用余項(xiàng)公式寫出在節(jié)點(diǎn)1、2、3對的二次插值多項(xiàng)式。 解：按余項(xiàng)公式有 ，從而有最后可得： 4.3 Newton插值Newton插值是另一種重要的插值方法，最大的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)新增一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，可以在原插值公式的基礎(chǔ)上，添加一個(gè)修正項(xiàng)使其成為高一階的插值公式，而Lagrange插值公式則需要重新計(jì)算所有的基函數(shù)。為了導(dǎo)出Newton插值公式，我們首先討論差商(均差)及差分的概念。1．差商定義4.1已知函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，稱比值為函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的一階差商(也稱為均差)，記作，即 (4.16)差商(均差)的幾何意義圖4.4差商(均差)的幾何意義我們還可以根據(jù)一階差商再定義二階差商。定義4.2已知在三個(gè)互異節(jié)點(diǎn)上的一階差商和，稱一階差商和的差商為在節(jié)點(diǎn)上的二階差商,記作，即 (4.17)一般情況我們可以根據(jù)的階差商定義的階差商。定義4.3稱在節(jié)點(diǎn)處的階差商為： (4.18)差商的性質(zhì)性質(zhì)1函數(shù)的階差商可表示為 證明：用數(shù)學(xué)歸納法，對于一階差商由差商的定義結(jié)論成立?，F(xiàn)假設(shè)結(jié)論對階差商成立，即我們要證明對階差商結(jié)論仍成立。證明過程如下：證畢。從性質(zhì)1我們可以看出，差商具有對稱性。性質(zhì)2差商關(guān)于節(jié)點(diǎn)具有對稱性，即變換節(jié)點(diǎn)的位置，其差商值不變：這里為的任一排列。 性質(zhì)3如果是的次多項(xiàng)式，則必是的次多項(xiàng)式。 證明：事實(shí)上由于將代入上式的分子部分，根據(jù)性質(zhì)2，分子為0，即分子含有因子，分子分母約去此因子，顯然結(jié)論成立。 性質(zhì)4階代數(shù)多項(xiàng)式的階以上差商均為0，特別是常數(shù)的各階差商均為0。 如果是的階代數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)差商的定義一階差商顯然是的階代數(shù)多項(xiàng)式，再由性質(zhì)3可推出二階差商也就是的階代數(shù)多項(xiàng)式，依次類推，則階差商也就是0。 差商表 通常我們按如下方式計(jì)算差商，稱其為差商表節(jié)點(diǎn)函數(shù)值一階差商二階差商三階差商 關(guān)于差商表的計(jì)算：設(shè)已知插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)值，可以將此差商表置于一個(gè)矩陣A的下三角部分，對角線上就是我們最常使用的各階差商，現(xiàn)設(shè)計(jì)算法如下，注意此算法中的下標(biāo)從0開始。 算法4.1(計(jì)算差商表)[初始化]確定插值節(jié)點(diǎn)和各點(diǎn)函數(shù)值；對循環(huán)1.1)1.2)對循環(huán)[算法結(jié)束]例4.6設(shè)函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值為，試構(gòu)造差商表。解：節(jié)點(diǎn)函數(shù)值一階差商二階差商426.252.593如果僅記錄對角線上的差商，差商存入向量中，向量按倒序存放差商表的最后一行，可以按如下方式設(shè)計(jì)算法。 算法4.2(計(jì)算差商)[初始化]確定插值節(jié)點(diǎn)和各點(diǎn)函數(shù)值；對于循環(huán)計(jì)算并存入對于循環(huán)[算法結(jié)束]算法結(jié)束時(shí)向量中存放的是，向量存放的是。2.Newton基本插值公式 我們利用差商來構(gòu)造Newton插值多項(xiàng)式，設(shè)是插值區(qū)間，，根據(jù)差商定義，有 ………… 將上述一系列公式中的差商代入前一公式，并遞推之，則有將前項(xiàng)記為： (4.19)將最后一項(xiàng)記為： (4.20)則有 從此式可以清楚的看出，對于，顯然有，即，從而如此定義的滿足個(gè)插值條件，稱其為次Newton插值多項(xiàng)式，稱為Newton插值余項(xiàng)。根據(jù)定理4.1滿足個(gè)互異插值條件的插值多項(xiàng)式是存在且唯一的，因此Lagrange插值公式和Newton插值公式相等，即進(jìn)一步可以推出兩種形式的插值公式的余項(xiàng)也應(yīng)該相等，即 (4.21)從而也有 (4.22)這里介于所界定的區(qū)間內(nèi)，(4.22)式描述的就是差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。當(dāng)被插值函數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，有如下結(jié)論： Newton插值的一大特點(diǎn)就是新增一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，其插值公式只要在原公式基礎(chǔ)之上再添加一項(xiàng)即可，仔細(xì)觀察Newton插值公式就會發(fā)現(xiàn)如下遞推關(guān)系： 例4.7已知，用二次Newton插值公式求的近似值。 解：取作為插值節(jié)點(diǎn)，根據(jù)前例計(jì)算得到的差商有計(jì)算結(jié)果與Lagrange插值公式計(jì)算結(jié)果相同。 3．差分 在此之前討論的Newton插值問題其節(jié)點(diǎn)不要求等距分布，但在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到等距節(jié)點(diǎn)的情形，這時(shí)用差分導(dǎo)出的插值公式其效率更高，先看差分的定義。 定義4.4已知函數(shù)在個(gè)等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，稱函數(shù)在每個(gè)小區(qū)間上的增量為一階差分，記作 (4.23)稱一階差分的差分為二階差分,記作 (4.24)一般情況，稱階差分的差分為階差分,記作 (4.25)差分與差商的關(guān)系 (4.26) 證明：用數(shù)學(xué)歸納法，對于，由差商定義假設(shè)結(jié)論對于階差商成立，即對于階差商則有差分用函數(shù)值的表示式 (4.27) 證明：同樣也用歸納法，對于，有結(jié)論成立，假設(shè)結(jié)論對階差分成立，則有 則對于階差分，有 (3)差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 (4.28) 證明：由差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(4.22)式可以得到，再根據(jù)(4.26)式，(4.28)顯然成立。 在前述中所定義的差分也稱為向前差分，本教程所說的差分如果沒有限定均是指向前差分。我們也可以按如下方式定義向后差分，同樣可得到如向前差分等價(jià)的結(jié)論，其各階向后差分定義及有關(guān)結(jié)論如下： 一階向后差分： 二階向后差分： 階向后差分： 差商與向后差分的關(guān)系： 仿照差商表也可建立如下差分表差分表節(jié)點(diǎn)函數(shù)值一階差分二階差分三階差分此差分表是按向前差分建立，但其中也隱含有向后差分，最后一行即是向后差分：可以仿照算法4.1和算法4.2來設(shè)計(jì)計(jì)算差分的算法，作為習(xí)題由讀者完成。例4.8設(shè)，計(jì)算在等距節(jié)點(diǎn)為的差分表 解：差分表如下：節(jié)點(diǎn)函數(shù)值一階差分二階差分三階差分四階差分0.001.000000.251.284032.84025e-010.501.648723.64696e-018.06704e-020.752.117004.68279e-011.03583e-012.29125e-021.002.718286.01282e-011.33003e-012.94202e-026.50772e-03各階向前和向后差分為：0.001.000002.84025e-018.06704e-022.29125e-026.50772e-031.002.718286.01282e-011.33003e-012.94202e-026.50772e-034．等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值公式 將表示差分與差商關(guān)系的(4.26)式代入Newton插值公式的(4.19)式，有令，并將與代入，則有將其代入前式則有 (4.29)稱該式為Newton向前插值公式，其余項(xiàng)為 (4.30)其中介于之間。一般情況下，當(dāng)處于插值節(jié)點(diǎn)的前部時(shí)，比如，使用Newton向前插值公式，最為常用的是一階、二階向前插值公式： 如果靠近等距節(jié)點(diǎn)的末尾，比如，可以用向后差分來建立Newton插值公式，將插值節(jié)點(diǎn)原順序倒排成，則(4.19)式可等價(jià)的表示為：令，則有將其代入該式并將差商換成向后差分，則有最常用的Newton向后內(nèi)插公式也是一階、二階的，即是： 例4.9根據(jù)例4.8建立的差分表，分別用Newton向前插值公式和Newton向后插值公式計(jì)算的近似值。解：已知，，取，，使用Newton向前插值公式，用4階插值公式有 用二階前插公式精確的函數(shù)值，可驗(yàn)證近似值分別有5位有效數(shù)字和3為有效數(shù)字。再取，，使用Newton向后插值公式，用4階插值公式有 精確的函數(shù)值，可驗(yàn)證近似值均有3位有效數(shù)字。5．前插與后插公式的一個(gè)應(yīng)用設(shè)有一組等距測試數(shù)據(jù)，為提高測試數(shù)據(jù)分辨率，希望在每相鄰的兩個(gè)數(shù)據(jù)之間添加m>0個(gè)數(shù)據(jù)。記新數(shù)據(jù)為，可用如下方法處理：首先在原相鄰兩數(shù)據(jù)點(diǎn)之間均勻插入m個(gè)數(shù)據(jù)，如果原始數(shù)據(jù)的點(diǎn)間距是1，則處理之后的數(shù)據(jù)點(diǎn)間距為。最簡單的方法是在兩個(gè)相鄰的數(shù)據(jù)之間按一階Newton向前插值公式計(jì)算出新的數(shù)據(jù)插入其原序列之中，即對計(jì)算 () (4.A)使用線性插值方法所得數(shù)據(jù)過于粗慥，所描繪的曲線就是一系列折線。較好的方法是利用二階向前(或向后)插值公式，就是考慮相鄰三個(gè)數(shù)據(jù)，利用這三個(gè)函數(shù)值構(gòu)造二階向前插值公式： (4.B)這三個(gè)數(shù)據(jù)確定了兩個(gè)子區(qū)間，按(4.B)式在第一個(gè)子區(qū)間上插入m個(gè)數(shù)據(jù)，即在前兩個(gè)數(shù)據(jù)確定的區(qū)間上按(4.B)式插入m個(gè)數(shù)據(jù)，也就是對計(jì)算 () (4.C)按(4.C)式計(jì)算結(jié)束時(shí)，還有最后一個(gè)區(qū)間沒有添加數(shù)據(jù)，最后一個(gè)區(qū)間仍然可以按(4.C)式添加數(shù)據(jù)。最后一個(gè)問題就是以上兩種公式計(jì)算結(jié)束時(shí)還要加上最后一個(gè)數(shù)據(jù)?？梢匀菀鬃C明對于一、二階代數(shù)多項(xiàng)式數(shù)據(jù)(4.C)式添加的數(shù)據(jù)是精確的。以上方法是按向前插值公式而設(shè)計(jì)的，也可以按向后插值公式來進(jìn)行處理，就是根據(jù)三個(gè)相鄰數(shù)據(jù)構(gòu)造向后插值公式，在后兩個(gè)數(shù)據(jù)確定的區(qū)間上添加m個(gè)數(shù)據(jù)。4.4 分段低次插值1．龍格現(xiàn)象對于我們在前面討論的插值方法，初學(xué)者可能會認(rèn)為的次數(shù)越高，逼近的精度會越好，但事實(shí)并非如此。這是因?yàn)閷o定的插值節(jié)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不一定收斂到，最早發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象的是C.Runge(龍格)，他給出了一個(gè)等距插值多項(xiàng)式不收斂到的例子，他給出的函數(shù)為 (4.31)該函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)均存在，但在上取個(gè)等距節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的Lagrange插值多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，只在內(nèi)收斂，而在這區(qū)間外是發(fā)散的。 下面給出的Lagrange插值多項(xiàng)式逼近的情況，從下圖可以看出當(dāng)越大時(shí)，兩端逼近的越不好。在處，。通常稱高階插值函數(shù)不收斂的現(xiàn)象為龍格現(xiàn)象。圖4.5插值問題的龍格現(xiàn)象 2．分段線性插值為避免插值函數(shù)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，可以使用分段低次插值函數(shù)，其中最簡單的一種就是分段線性插值，分段線性插值的幾何意義就是把插值節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的平面上的點(diǎn)順序連接起來形成一條折線去逼近曲線。如果插值節(jié)點(diǎn)足夠密，可以用此方法逼近任一曲線，通常計(jì)算機(jī)上繪制曲線就是使用折線完成的。定義4.5設(shè)已知節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。如果函數(shù)滿足： (1)滿足插值條件：； (2)； (3)在每個(gè)小區(qū)間上是線性函數(shù)則稱為的分段線性插值函數(shù)。 根據(jù)以上定義，在每個(gè)小區(qū)間上可表示為 (4.32)該式稱為分段線性插值的Lagrange形式，顯然對所有插值節(jié)點(diǎn)，滿足插值條件(1)，同樣可構(gòu)造分段線性插值的Newton形式為 (4.33) 對(4.31)式的函數(shù)用分段線性插值的結(jié)果如下圖所示，顯然該結(jié)果較更為好些。圖4.6(4.31)式函數(shù)的分段線性插值3．分段三次(Hermite)插值分段線性插值雖然避免了高次插值多項(xiàng)式出現(xiàn)龍格現(xiàn)象的情況，但是從圖4.6也可以看出，分段線性插值函數(shù)對應(yīng)的折線在插值節(jié)點(diǎn)處缺少曲線特有的光滑性，在圖4.6中最明顯的是處，其原因就是分段插值函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處不可導(dǎo)，為了使分段插值函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處可導(dǎo)，可以用分段三次插值方法來解決，為此我們首先討論在指定小區(qū)間上的二點(diǎn)三次插值公式。已知函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值為，我們希望構(gòu)造插值函數(shù)使其滿足插值條件 (4.34)這里稱為Hermite插值函數(shù)，所謂Hermite插值就是既利用函數(shù)值，也利用導(dǎo)數(shù)值來構(gòu)造插值函數(shù)的方法?，F(xiàn)在我們來構(gòu)造滿足(4.34)式插值條件的插值函數(shù)，仿照Lagrange插值公式中的基函數(shù)，設(shè)具有如下形式：其中待定函數(shù)稱為Hermite插值基函數(shù)，這4個(gè)基函數(shù)均為三次代數(shù)多項(xiàng)式且滿足 (4.35)根據(jù)式中的特點(diǎn)可設(shè)為如下形式： 顯然此形式的函數(shù)滿足，因此只要確定常數(shù)使條件滿足即可，對求導(dǎo) 將代入則有 求出并代入到可得 仍然根據(jù)(4.35)式可以設(shè)對其求導(dǎo)則有 將代入可得到，從而有 用類似的方法可求得 由此得到所求的Hermite插值函數(shù) (4.36)其插值余項(xiàng)為： (4.37)這里介于所界定的區(qū)間。 例4.10利用函數(shù)在處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值求的近似值。 解：在節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，則有精確值，所求近似解精度高于兩點(diǎn)線性插值的計(jì)算結(jié)果。 定義4.6設(shè)函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，如果滿足以下條件，則稱是的分段Hermite插值函數(shù)。；；在每個(gè)小區(qū)間上，是次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式。其分段Hermite插值函數(shù)可表示為： (4.38)這里Hermite插值基函數(shù)為4.5 三次樣條插值 “樣條”是工程設(shè)計(jì)中的一種繪圖工具，是一些具有彈性的細(xì)長條，在繪制曲線時(shí)用壓鐵將樣條壓在某些指定的點(diǎn)(樣點(diǎn))上，調(diào)整樣條至滿意的形狀，然后沿樣條畫出曲線，如此畫出的曲線既通過指定的點(diǎn)，在這些點(diǎn)又具有良好的光滑性，這就是樣條曲線的實(shí)際背景，由此啟發(fā)并在數(shù)學(xué)上加以抽象就得到所謂的樣條函數(shù)，目前實(shí)際應(yīng)用最為廣泛的是三次樣條插值函數(shù)。 1．三次樣條函數(shù) 定義4.7設(shè)在區(qū)間上給定的插值節(jié)點(diǎn)，其函數(shù)滿足如下3個(gè)條件：在每個(gè)子區(qū)間上都是次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式；；在上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。則稱為三次樣條插值函數(shù)。 因?yàn)槿螛訔l插值函數(shù)在每個(gè)小區(qū)間上都是次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式,即其中為待定常數(shù)，所以有個(gè)參數(shù)。由三次樣條函數(shù)的定義，必須滿足：插值條件 (4.39)連接條件 (4.40)以上各式共給出了個(gè)條件.而三次樣條函數(shù)共有個(gè)未知量，因此要唯一地確定出，還需附加二個(gè)條件，通常有三種的方法。邊界條件已知兩端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值(第一類邊界條件) (4.41)已知兩端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值(第二類邊界條件) (4.42)周期條件(第三類邊界條件) (4.43)任取其中的一種邊界條件結(jié)合插值條件、連接條件，就可以得到帶有個(gè)未知量的階線性方程組，也就可以唯一的確定出中的個(gè)系數(shù)。例4.11設(shè)是以為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，求系數(shù)與。 解：對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得到根據(jù)連接條件有，得到即有 2．三彎矩方程 如果使用例4.11方式來構(gòu)造三次樣條函數(shù)，過于繁瑣且當(dāng)較大時(shí)計(jì)算量太大，以下我們使用便于計(jì)算機(jī)編程的方式來構(gòu)造三次樣條函數(shù)，這種方法只要求解一個(gè)三對角線性方程組就可以得到三次樣條插值函數(shù)。 考慮將用其插值節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)表示，記(的力學(xué)意義可以解釋為細(xì)梁在節(jié)點(diǎn)處的彎矩)，我們在每個(gè)小區(qū)間上做Lagrange線性插值應(yīng)該有這里，對此式進(jìn)行兩次積分則有為求出待定系數(shù)，將插值條件分別代入上式則有， 解出將其代入兩次積分后的則有 (4.44)此式就是用二階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條插值函數(shù)，但是此時(shí)還是未知的，只要求出各插值節(jié)點(diǎn)處的也就確定了三次樣條插值函數(shù)。為求出各，我們考慮(4.40)式連接條件中的插值節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，先求：在區(qū)間上求在區(qū)間上求根據(jù)(4.40)式的一階左右導(dǎo)數(shù)相等的條件，則有記：則有 (4.45)此方程組含有個(gè)未知量，但只含個(gè)方程，每個(gè)方程都表示在相鄰三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值的關(guān)系，即彎矩之間的關(guān)系，故稱為三彎矩方程。 為確定個(gè)未知量，需要加上邊界條件。第一類邊界條件，(4.41)式對于兩端的插值節(jié)點(diǎn)，有從而得到另外兩個(gè)邊界方程為 (4.46)綜合(4.45)、(4.46)兩式可得到基于第一類邊界條件的關(guān)于的三對角方程組： (4.47)第二類邊界條件，由(4.42)式直接有將其代入到(4.45)式可得到關(guān)于的方程組 (4.48)第三類邊界條件，(4.43)式的周期性條件顯然有，則(4.45)式中的第1個(gè)方程可改寫成 (4.49)由周期性，即可得關(guān)系式將代入上式，則有記：則得到第個(gè)方程 (4.50)綜合(4.45)、(4.49)、(4.50)式，可得如下方程組： (4.51) 此方程組為廣義三對角方程組，可用算法3.8A求解。例4.12已知平方根表和第一類邊界條件，求三次樣條插值函數(shù)并計(jì)算的近似值。 解：節(jié)點(diǎn)為，則有，相應(yīng)的有，再由第一類邊界條件得到關(guān)于的三對角方程組用追趕法求解此方程，得到解為：將其代入(4.44)式則有 最后得到。 3.三次樣條函數(shù)的收斂性 分段低次插值法可以避免出現(xiàn)Lagrange插值法的“龍格”現(xiàn)象，三次樣條函數(shù)屬于分段低次插值函數(shù)當(dāng)然可以用加密插值節(jié)點(diǎn)的方法來提高對被插值函數(shù)的逼近精度，下面比較一下Lagrange插值函數(shù)與三次樣條插值函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的插值效果。 例4.13對于函數(shù)取插值節(jié)點(diǎn)為，比較Lagrange插值與三次樣條插值的區(qū)別，在這里三次樣條插值取第一類邊界條件。 解：下表分別列出兩種方法在區(qū)間內(nèi)，間隔為0.1的插值函數(shù)值以及與精確值的誤差-5.00.03850.03850.0000e-040.03850.0000-4.90.04000.04006.5827e-061.23031.1903-4.80.04160.04162.4495e-051.80441.7628-4.70.04330.04345.0393e-051.95901.9156-4.60.04510.04528.0250e-051.84581.8007-4.50.04710.04721.0921e-041.57871.5317-4.40.04910.04921.3151e-041.24021.1911-4.30.05130.05141.4036e-040.88810.8368-4.20.05360.05381.2780e-040.56040.5068-4.10.05610.05628.4599e-040.28020.2241-4.00.05880.05880.0000e-040.05880.0000-3.90.06170.06161.3132e-04-0.10070.1624-3.80.06480.06452.8847e-04-0.20130.2661-3.70.06810.06764.4565e-04-0.24960.3177-3.60.07160.07115.7951e-04-0.25460.3262-3.50.07550.07486.6957e-04-0.22620.3017以下我們不加證明的給出一個(gè)關(guān)于三次樣條插值函數(shù)的收斂定理。 定理4.4設(shè)函數(shù)，是以為插值節(jié)點(diǎn)，以為插值條件同時(shí)滿足第一類邊界條件，的三次樣條插值函數(shù)，則有如下誤差估計(jì) (4.52)其中，。4.6 數(shù)據(jù)擬合 數(shù)據(jù)擬合與插值問題既有類似之處也有明顯區(qū)別，相似之處是兩者均是求某函數(shù)的近似函數(shù)問題。區(qū)別之一是，插值問題是求插值函數(shù)，使其在指定的插值節(jié)點(diǎn)處所求插值函數(shù)的函數(shù)值等于被插函數(shù)的函數(shù)值，數(shù)據(jù)擬合問題不追求所求函數(shù)在指定點(diǎn)處的函數(shù)值等于被擬合函數(shù)的函數(shù)值，而是希望兩函數(shù)在整體上的吻合。另一區(qū)別是插值問題所處理的原始數(shù)據(jù)通常是精確的，而數(shù)據(jù)擬合問題所處理的數(shù)據(jù)往往是觀測所得，是有誤差的數(shù)據(jù)。多項(xiàng)式擬合 已知函數(shù)的個(gè)互異節(jié)點(diǎn)和函數(shù)的測量值，求的近似函數(shù) (4.53)問題的特點(diǎn)：函數(shù)可能是未知或不便于計(jì)算；函數(shù)的測量值不一定滿足；節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)可能很大，通常。顯然此類問題沒有必要也不可能使用插值方法，而是求近似函數(shù)，使 (4.54)盡可能的小，這類問題稱為多項(xiàng)式擬合問題。 例4.14某種合成纖維的強(qiáng)度與拉伸倍數(shù)有直接關(guān)系，下表是直接測量的8個(gè)纖維樣品的拉伸倍數(shù)的記錄：序號拉伸倍數(shù)強(qiáng)度11.91.422.72.834.63.545.25.056.05.568.06.579.08.08108.1 解：把拉伸倍數(shù)作自變量，強(qiáng)度作因變量，為研究這兩個(gè)變量的關(guān)系，作出圖形，每個(gè)觀測值用“*”表示，這種圖形稱為散點(diǎn)圖，如圖：圖4.7合成纖維的強(qiáng)度與拉伸倍數(shù)散點(diǎn)圖從散點(diǎn)圖可以看出纖維的強(qiáng)度隨著拉伸倍數(shù)的增大而提高，它們之間大致呈線性關(guān)系，但并不完全在一條直線上，因此我們無法找到一條直線完全反映出合成纖維的強(qiáng)度與拉伸倍數(shù)的線性關(guān)系，只能期望找到一條直線能夠大致的反應(yīng)出這種線性趨勢。 設(shè)纖維的強(qiáng)度與拉伸倍數(shù)具有如下線性關(guān)系將引例中的數(shù)據(jù)代入該關(guān)系式得記，稱其為殘量，顯然無法找到使所有的同時(shí)成立，通常的做法是求使絕對值最大的殘量達(dá)到極小，即 (4.55)所有殘量的絕對值之和達(dá)到極小，即 (4.56)所有殘量的平方和達(dá)到極小，稱其為最小二乘問題，即 (4.57)前兩個(gè)數(shù)學(xué)模型可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求出，相比較而言，最小二乘問題求解最為方便，所以通常是求，使其殘量在2-范數(shù)意義下到達(dá)最小，也就是求解問題(4.57)。 2．次多項(xiàng)式最小二乘擬合 例4.14的散點(diǎn)圖近似于直線，當(dāng)然使用線性函數(shù)。對于一般情況考慮用次多項(xiàng)式近似未知函數(shù)，將代入多項(xiàng)式，考慮與的測量值的誤差，使其平方和達(dá)到極小，即 (4.58)此處將看作關(guān)于的多元函數(shù)，可用高數(shù)中求極值的方法確定多項(xiàng)式系數(shù)，即對于我們可以得到如下方程組該方程組稱為正規(guī)方程組，正規(guī)方程組的矩陣形式為 (4.59)特別對于最常用的線性多項(xiàng)式擬合的正規(guī)方程組為 例4.15求解例4.14中的直線方程 解：先按如下方式列出有關(guān)數(shù)據(jù)再寫出正規(guī)方程組系數(shù)矩陣和右端項(xiàng)為得到相應(yīng)的方程組為解之得纖維的強(qiáng)度與拉伸倍數(shù)的關(guān)系式為 如此求解方法僅限于線性問題的表上作業(yè)，對于更復(fù)雜的問題，按如下方式，首先記則正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣為記未知系數(shù)和右端項(xiàng)為解線性方程組得到擬合多項(xiàng)式 例4.16用最小二乘法求一代數(shù)多項(xiàng)式擬合下列數(shù)據(jù) 解：求解此類問題通常是四個(gè)步驟，做散點(diǎn)圖、選型—選擇函數(shù)、建立正規(guī)方程、求解做散點(diǎn)圖，按數(shù)據(jù)作圖如下圖4.8例4.16散點(diǎn)圖選型，顯然分布大致呈拋物線形，選擇用二次多項(xiàng)式擬合較為合適建立正規(guī)方程求解，得到擬和多項(xiàng)式的系數(shù)為得擬合多項(xiàng)式 3．可線性化問題 對于某些問題，從表面上看并不是線性擬合問題，但是稍作變換即可轉(zhuǎn)化為線性擬合問題，請看如下問題。 例4.17對于下列數(shù)據(jù)，求形如為待定參數(shù))的經(jīng)驗(yàn)公式解：對兩邊取自然對數(shù)得到做代換，令，則上式變?yōu)樵瓎栴}轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性多項(xiàng)式形式，將原擬合數(shù)據(jù)問題轉(zhuǎn)換如下新的擬合數(shù)據(jù)問題計(jì)算正規(guī)方程組的有關(guān)數(shù)據(jù)，列表如下：寫出正規(guī)方程組系數(shù)矩陣、右端項(xiàng)、正規(guī)方程組為：解之得，則有將轉(zhuǎn)換到原問題的參數(shù)，所求經(jīng)驗(yàn)公式為 例4.18某測試數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖如下所示 解：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)曲線具有的特點(diǎn)，所以可選如下令，則問題轉(zhuǎn)換為將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為后用最小二乘法解出的值，再代入原式即得到原問題的解。注意原數(shù)學(xué)模型自然滿足故可略去處的數(shù)據(jù)。 4．多變量線性最小二乘擬合問題 設(shè)因變量依賴于多個(gè)自變量，通過次觀察得到組數(shù)據(jù)如下：如果變量與變量具有線性關(guān)系，即 (4.60)將次觀察數(shù)據(jù)代入該式，如果該式準(zhǔn)確且觀測數(shù)據(jù)也準(zhǔn)確則應(yīng)有通常情況下觀察數(shù)據(jù)都有一定的誤差，況且觀察數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，因此無法讓所有等式同時(shí)成立。當(dāng)時(shí)以上形式的方程組稱為超定線性方程組，對于此類問題一般是轉(zhuǎn)換為求解如下問題： (4.61)即確定系數(shù)使其殘量的最小二乘達(dá)到極小，記則超定線性方程組的矩陣形式為如同多項(xiàng)式擬合問題，此問題的最小二乘解為以下正定線性方程組的解從而有 (4.62)也就得到(4.60)的關(guān)系式。例4.19某化學(xué)反應(yīng)釋放出的熱量與兩種原料之間的關(guān)系如下表，使用線性最小二乘法確定其數(shù)學(xué)模型。12345245893579124850515556 解：設(shè)數(shù)學(xué)模型為則可計(jì)算出正規(guī)方程