高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教案第十章 算法統(tǒng)計(jì)與概率第3課時(shí) 統(tǒng)計(jì)初步

第十章算法、統(tǒng)計(jì)與概率第3課時(shí)統(tǒng)計(jì)初步(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(對應(yīng)學(xué)生用書（文）150～152頁,（理）156～158頁))考情分析考點(diǎn)新知用樣本的頻率分布、特征數(shù)來估計(jì)總體的分布，在高考中常以填空題的形式出現(xiàn)，以實(shí)際問題為背景，綜合考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度以及一定的讀圖能力．熱點(diǎn)問題是頻率分布直方圖和用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征．①了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點(diǎn).②理解樣本平均數(shù)的意義和作用，會計(jì)算樣本平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.③會用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想.④會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想，解決一些簡單的實(shí)際問題.1.(必修3P55練習(xí)2改編)一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組別與頻數(shù)如下：組別[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]頻數(shù)234542則樣本在(20，50]上的頻率為________．答案：0.6解析：本題考查樣本的頻率運(yùn)算．據(jù)表知樣本分布在(20，50]的頻數(shù)3＋4＋5＝12，故其頻率為eq\f(12,20)＝0.6.2.(必修3P61練習(xí)2改編)某籃球運(yùn)動員在7天中進(jìn)行投籃訓(xùn)練的時(shí)間(單位：min)用莖葉圖表示(如圖)，圖中左列表示訓(xùn)練時(shí)間的十位數(shù)，右列表示訓(xùn)練時(shí)間的個位數(shù)，則該運(yùn)動員這7天的平均訓(xùn)練時(shí)間為________min.6457725801答案：72解析：由莖葉圖知平均訓(xùn)練時(shí)間為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(64＋65＋67＋72＋75＋80＋81)＝72.3.(必修3P68練習(xí)4改編)下表是一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)分組后的頻數(shù)分布，若利用組中值計(jì)算本組數(shù)據(jù)的平均值eq\o(a,\s\up6(－))，則eq\o(a,\s\up6(－))＝________．?dāng)?shù)據(jù)[10.5，13.5)[13.5，16.5)[16.5，19.5)[19.5，22.5)頻數(shù)4664答案：16.5解析：eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(12×4＋15×6＋18×6＋21×4)＝eq\f(1,20)×330＝16.5.4.(必修3P71練習(xí)1改編)某射擊選手連續(xù)射擊5槍命中的環(huán)數(shù)分別為：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，則這組數(shù)據(jù)的方差為________．答案：0.032解析：數(shù)據(jù)9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均數(shù)＝eq\f(9.7＋9.9＋10.1＋10.2＋10.1,5)＝10，方差＝eq\f(1,5)(0.09＋0.01＋0.01＋0.04＋0.01)＝0.032.故答案為0.032.5.小波一星期的總開支分布圖如圖①所示，一星期的食品開支如圖②所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為________．答案：3%解析：由圖②可知，雞蛋占食品開支的比例為eq\f(30,30＋40＋100＋80＋50)＝10%，結(jié)合圖①可知小波在一個星期的雞蛋開支占總開支的比例為30%×10%＝3%.1.繪制頻率分布表的步驟(1)求全距，決定組距和組數(shù)，組距＝eq\f(全距,組數(shù))．(2)分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間．(3)登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表．2.作頻率分布直方圖的方法(1)先制作頻率分布表，然后作直角坐標(biāo)系；(2)把橫軸分成若干段，每一線段對應(yīng)一個組的組距，然后以此線段為底作一矩形，它的高等于該組的eq\f(頻率,組距)，這樣得出一系列的矩形．(3)每個矩形的面積恰好是該組的頻率，這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖．3.莖葉圖莖相同者共用一個莖(如兩位數(shù)中的十位數(shù))，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉(如兩位數(shù)中的個位數(shù))，一般按從小到大(或從大到小)的順序同行列出．這樣將樣本數(shù)據(jù)有條理地列出來的圖形叫做莖葉圖．其優(yōu)點(diǎn)是要樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，莖葉圖可以保留樣本數(shù)據(jù)的所有信息，直觀反映出數(shù)據(jù)的水平狀況、穩(wěn)定程度，且便于記錄和表示；缺點(diǎn)是對差異不大的兩組數(shù)據(jù)不易分析，且樣本數(shù)據(jù)很多時(shí)效果不好．4.平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和方差設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其平均數(shù)為x－，則x－＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，稱s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1（xi－x－,n,))2為這個樣本的方差，稱其算術(shù)平方根s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1（xi－x－,n,)）2)為這個樣本的標(biāo)準(zhǔn)差．[備課札記]題型1頻率分布直方圖及其應(yīng)用例1(2013·南京二模)根據(jù)2012年初我國發(fā)布的《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)AQI技術(shù)規(guī)定(試行)》，AQI共分為六級：(0，50]為優(yōu)，(50，100]為良，(100，150]為輕度污染，(150，200]為中度污染，(200，300]為重度污染，300以上為嚴(yán)重污染.2012年12月1日出版的《A市早報(bào)》對A市2012年11月份中30天的AQI進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖，可以看出A市該月環(huán)境空氣質(zhì)量優(yōu)、良的總天數(shù)為________．答案：12解析：空氣質(zhì)量優(yōu)、良的AQI指數(shù)小于等于100，由頻率分布直方圖知，其頻率為(0.002＋0.006)×50＝0.4，所以該市11月份中30天的空氣質(zhì)量優(yōu)、良的總天數(shù)為0.4×30＝12.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)(2013·常州高級中學(xué)模擬)根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局發(fā)布的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗(yàn)》(GB19522—2004)中規(guī)定車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量：“飲酒駕車非醉酒駕車”的臨界值為20mg/100mL；“醉酒駕車”的臨界值為80mg/100mL.某地區(qū)交通執(zhí)法部門統(tǒng)計(jì)了5月份的執(zhí)法記錄數(shù)據(jù)：血液酒精含量(單位：mg/100mL)0～2020～4040～6060～8080～100人數(shù)18011522根據(jù)此數(shù)據(jù)，可估計(jì)該地區(qū)5月份“飲酒駕車非醉酒駕車”發(fā)生的頻率為________．答案：0.09解析：由統(tǒng)計(jì)表可知，“飲酒駕車非醉酒駕車”發(fā)生的頻數(shù)為11＋5＋2＝18，所以“飲酒駕車非醉酒駕車”發(fā)生的頻率為eq\f(18,200)＝0.09.題型2樣本的數(shù)字特征例2(2013·江蘇)抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動員的5次訓(xùn)練成績(單位：環(huán))，結(jié)果如下：運(yùn)動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動員成績的方差為________．答案：2解析：易得乙較為穩(wěn)定，乙的平均值為：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(89＋90＋91＋88＋92,5)＝90.方差為：S2＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]/5＝2.eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)已知2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的方差是3，則x1，x2，x3，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差為________．答案：eq\f(\r(3),2)解析：設(shè)x1，x2，x3，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差為s，則x1，x2，x3，…，xn的方差是s2，所以2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的方差是4s2，由題意，4s2＝3，所以s＝eq\f(\r(3),2).題型3統(tǒng)計(jì)知識的綜合應(yīng)用例3(2013·遼寧)為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為________．答案：10解析：由已知可設(shè)5個班級參加的人數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，x5，又s2＝4，eq\o(x,\s\up6(－))＝7，所以[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]/5＝4，所以(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，即五個完全平方數(shù)之和為20，要使其中一個達(dá)到最大，這五個數(shù)必須是關(guān)于0對稱分布的，而9＋1＋0＋1＋9＝20，也就是(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，所以五個班級參加的人數(shù)分別為4，6，7，8，10，最大數(shù)字為10.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)(2013·啟東中學(xué)訓(xùn)練)在樣本的頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若第一個長方形的面積為0.02，前五個與后五個長方形的面積分別成等差數(shù)列且公差是互為相反數(shù)，若樣本容量為1600，則中間一組(即第五組)的頻數(shù)為_______．答案：360解析：設(shè)前五個長方形的面積成等差數(shù)列的公差為d，則9個小長方形的面積分別為0.02，0.02＋d，0.02＋2d，0.02＋3d，0.02＋4d，0.02＋3d，0.02＋2d，0.02＋d，0.02，而小長方形的面積就是該組數(shù)據(jù)的頻率，從而有9個小長方形的面積和為1，可得2(4×0.02＋eq\f(4×3,2)d)＋0.02＋4d＝1，解得d＝eq\f(41,800).所以第5組的頻率為0.02＋4×eq\f(41,800)＝eq\f(9,40)，故第5組的頻數(shù)為1600×eq\f(9,40)＝360.1.(2013·鹽城三模)下圖是7位評委給某作品打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，那么這組數(shù)據(jù)的方差是________．889990112答案：eq\f(12,7)解析：將莖葉圖中的每個數(shù)據(jù)減去90，得7個數(shù)據(jù)為－2，－1，－1，0，1，1，2，易得平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝－2－1－1＋0＋1＋1＋2＝0，所以它們的方差為s2＝eq\f(1,7)[(－2)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋12＋12＋22]＝eq\f(12,7).這也是原數(shù)據(jù)的方差．2.某市高三數(shù)學(xué)抽樣考試中，對90分及其以上的成績情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如右下圖所示，若(130，140]分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為90人，則(90，100]分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為________．答案：810解析：根據(jù)直方圖，組距為10，在(130，140]內(nèi)的eq\f(頻率,組距)＝0.005，所以頻率為0.05，因?yàn)榇藚^(qū)間上的頻數(shù)為90，所以這次抽考的總?cè)藬?shù)為1800人．因?yàn)?90，100]內(nèi)的eq\f(頻率,組距)＝0.045，所以頻率為0.45，設(shè)該區(qū)間的人數(shù)為x，則由eq\f(x,1800)＝0.45，得x＝810，即(90，100]分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為810.3.某班有48名學(xué)生，在一次考試中統(tǒng)計(jì)出平均分?jǐn)?shù)為70，方差為75，后來發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績有誤，甲實(shí)得80分卻記為50分，乙實(shí)得70分卻記為100分，更正后平均分和方差分別是________．答案：70，50解析：易得eq\o(x,\s\up6(－))沒有改變，eq\o(x,\s\up6(－))＝70，而s2＝eq\f(1,48)·[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋502＋1002＋…＋xeq\o\al(2,48))－48eq\o(x,\s\up6(－))2]＝75，s′2＝eq\f(1,48)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋802＋702＋…＋xeq\o\al(2,48))－48eq\o(x,\s\up6(－))2]＝eq\f(1,48)[(75×48＋48eq\o(x,\s\up6(－))2－12500＋11300)－48eq\o(x,\s\up6(－))2]＝75－eq\f(1200,48)＝75－25＝50.4.某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．(1)求圖中a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分；(3)若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在[50，90)之外的人數(shù).分?jǐn)?shù)段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解：(1)依題意，得10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.(2)這100名學(xué)生語文成績的平均分為55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73分．(3)數(shù)學(xué)成績在[50，60)的人數(shù)為100×0.05＝5，數(shù)學(xué)成績在[60，70)的人數(shù)為100×0.4×eq\f(1,2)＝20，數(shù)學(xué)成績在[70，80)的人數(shù)為100×0.3×eq\f(4,3)＝40，數(shù)學(xué)成績在[80，90)的人數(shù)為100×0.2×eq\f(5,4)＝25，所以數(shù)學(xué)成績在[50，90)之外的人數(shù)為100－5－20－40－25＝10.1.(2013·淮安一模)已知某同學(xué)五次數(shù)學(xué)成績分別是：121，127，123，a，125，若其平均成績是124，則這組數(shù)據(jù)的方差是________．答案：4解析：由題意，eq\f(1,5)(121＋127＋123＋a＋125)＝124，解得a＝124，故方差為s2＝eq\f(1,5)[(－3)2＋32＋(－1)2＋02＋12]＝4.2.(2013·上海文)某學(xué)校高一年級男生人數(shù)占該年級學(xué)生人數(shù)的40%.在一次考試中，男、女生平均分?jǐn)?shù)分別為75、80，則這次考試該年級學(xué)生平均分?jǐn)?shù)為________．答案：78解析：平均成績＝eq\f(40,100)·75＋eq\f(60,100)·80＝78.3.(2013·山東文)將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場做的9個分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有一個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示：87794010x91則7個剩余分?jǐn)?shù)的方差為________．答案：eq\f(36,7)解析：由題意，0≤x≤9，故去掉的一個最低分為87，最高分為99，則有eq\f(1,7)(87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋91)＝91，解得x＝4.所以剩余7個數(shù)的方差s2＝eq\f(1,7)[(87－91)2＋2(90－91)2＋2(91－91)2＋2(94－91)2]＝eq\f(36,7).4.(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間(單位：h)．試驗(yàn)的觀測結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？A藥B藥0.1.2.3.解：(1)設(shè)A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x，B藥觀測數(shù)據(jù)的平均