專題03 多邊形的內(nèi)角和與外角和 帶解析

2022-2023學(xué)年蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題03多邊形的內(nèi)角和與外角和一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?鐵西區(qū)期末）如圖，在△ABC中，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D，∠D＝15°，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．20° D．22.5°解：∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點(diǎn)D，∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，即∠ACD+∠ECD＝∠ABD+∠CBD+∠A，∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A，∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD），∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝15°，∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝15°，∴∠A＝2×15°＝30°．故選：A．2．（2分）（2022春?南關(guān)區(qū)校級(jí)期中）選擇兩種正多邊形鋪設(shè)地面，若其中一種是正十二邊形，那么另一種是（）A．正六邊形 B．正五邊形 C．正四邊形 D．正三角形解：正十二邊形每個(gè)內(nèi)角是150°，A、正六邊形每個(gè)內(nèi)角是120°，120°與150°無(wú)論怎樣也不能組成360°的角，不能密鋪，不符合題意；B、正五邊形每個(gè)內(nèi)角是108°，108°與150°無(wú)論怎樣也不能組成360°的角，不能密鋪，不符合題意；C、正四邊形每個(gè)內(nèi)角是90°，90°與150°無(wú)論怎樣也不能組成360°的角，不能密鋪，不符合題意；D、正三角形每個(gè)內(nèi)角是60°，150°×2+60°＝360°，能密鋪，符合題意；故選：D．3．（2分）（2022春?泌陽(yáng)縣月考）如圖，在△ABC中，O是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作∠ODC＝∠AOC，交邊BC于點(diǎn)D．若∠ABC＝n°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．90°+n° B．45°+n° C．90°﹣n° D．90°解：∵∠ABC＝n°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝180°﹣n°，∵O是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，∴∠OBC＝ABC＝n°，∠OCA＝BCA，∠OAC＝BAC，∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°，∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，∵∠ODC＝∠AOC，∴∠ODC＝∠AOC＝90°+n°，∵∠ODC＝∠OBC+∠BOD，∠OBC＝n°，∴∠BOD＝90°，故選：D．4．（2分）（2022春?興寧區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF，以下結(jié)論：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正確；∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②錯(cuò)誤；在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，即∠ADC+∠ABD＝90°，故③正確；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∵90°﹣∠ABC＝90°?∠ABD＝∠DBC+∠BDC＝∠ABD+∠BDC，∴∠BDC＝90°﹣2∠ABD，∴∠ADB＝45°﹣∠CDB，④錯(cuò)誤；故選：B．5．（2分）（2022春?張家川縣期末）如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于點(diǎn)F、BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，AF與BE相交于點(diǎn)O，AD是BC邊上的高，若∠C＝50°，BE⊥AC，則∠DAF的度數(shù)為（）A．10° B．12° C．15° D．20°解：∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∠ABE＝∠CBE，∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴∠BAC＝∠C＝50°，∴∠ABC＝190°﹣∠BAC﹣∠C＝80°，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠BAC＝25°，∵BE⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝10°∴∠DAF＝∠BAF﹣∠DAB＝15°，故選：C．6．（2分）（2022春?井研縣期末）如圖，大建從A點(diǎn)出發(fā)沿直線前進(jìn)8米到達(dá)B點(diǎn)后向左旋轉(zhuǎn)的角度為α，再沿直線前進(jìn)8米，到達(dá)點(diǎn)C后，又向左旋轉(zhuǎn)α角度，照這樣走下去，第一次回到出發(fā)地點(diǎn)時(shí)，他共走了72米，則每次旋轉(zhuǎn)的角度α為（）A．30° B．40° C．45° D．60°解：∵72÷8＝9，∴360°÷9＝40°．∴每次旋轉(zhuǎn)的角度α＝40°．故選：B．7．（2分）（2022春?洪山區(qū)校級(jí)月考）已知在四邊形ACDB中，AB∥CD，點(diǎn)P在AB，CD之間，E為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，PG平分∠EPF交AC于點(diǎn)G，PH∥CD交AC于點(diǎn)H．下列結(jié)論：①∠BEP+∠PFD＝2∠EPG，②|∠BEP﹣∠PFD|＝2∠HPG，③∠EPG﹣∠HPG＝∠PFD．其中正確的結(jié)論共有（）個(gè)．A．0 B．1 C．2 D．3解：①∵AB∥CD，PH∥CD，∴AB∥PH，∠PFD＝∠FPH，∴∠BEP＝∠EPH，∴∠BEP+∠PFD＝∠EPH+∠EPH＝∠EPF，∴PG平分∠EPF，∴∠EPF＝2∠EPG，∴∠BEP+∠PFD＝2∠EPG，故①選項(xiàng)是正確的；②由①知，∠BEP＝∠HPE，∠PFD＝∠FPH，∴|∠BEP﹣∠PFD|＝|∠HPE﹣∠FPH|，∵∠HPE＝∠GPE﹣∠HPG，∠FPH＝∠GPF+∠HPG，∴|∠BEP﹣∠PFD|＝|∠HPE﹣∠FPH|＝|∠GPE﹣∠HPG﹣（∠GPF+∠HPG）|＝|∠GPE﹣∠GPF﹣2∠HPG|，∵∠GPE＝∠GPF，∴|∠BEP﹣∠PFD|＝|﹣2∠HPG|＝2∠HPG，故②選項(xiàng)是正確的；③由①知，∵∠EPG﹣∠HPG＝∠HPE，∠HPE＝∠BEP，∴∠EPG﹣∠HPG＝∠BEP≠∠PFD，故③選項(xiàng)是錯(cuò)誤的．故選：C．8．（2分）（2021春?青山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說(shuō)法正確的是（）①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③解：∵BE是中線，∴AE＝CE，∴△ABE的面積＝△BCE的面積（等底等高的三角形的面積相等），故①正確；∵CF是角平分線，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD為高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正確；∵AD為高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分線，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正確；根據(jù)已知條件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④錯(cuò)誤；故選：B．9．（2分）（2019秋?猇亭區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)P，且∠D+∠C＝210°，則∠P＝（）A．10° B．15° C．30° D．40°解：如圖，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)P，∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．故選：B．10．（2分）如圖，在△ABC，BD、BE分別是高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于G，交BC于H，下列結(jié)論：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正確的是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：設(shè)BD交FH于點(diǎn)J．①∵BD⊥FD，∴∠FJD+∠F＝90°∵FH⊥BE，∴∠BJG+∠DBE＝90°，∵∠FJD＝∠BJG，∴∠DBE＝∠F，①正確；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，②正確；③∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；③正確；④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，F(xiàn)H⊥BE，∴∠FGD＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，④正確，故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?邢臺(tái)期末）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D為AB上一點(diǎn)，將△BCD沿CD折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，且CE∥AB，則∠ACD的度數(shù)是25°．解：∵△ECD是由△BCD折疊的，∴△ECD≌△BCD．∴∠ECD＝∠BCD．∵CE∥AB，∴∠ECD＝∠CDB．∴∠CDB＝∠BCD．∵∠CDB+∠BCD+∠B＝180°，∠B＝50°，∴∠DCB＝＝65°．∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣65°＝25°．故答案為：25．12．（2分）（2022春?太倉(cāng)市校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于點(diǎn)D．∠ABD的角平分線BF所在直線與射線AE相交于點(diǎn)G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，則∠DFB的度數(shù)是60度．解：如圖：∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，設(shè)∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y(tǒng)，∠ABC＝3y，由外角的性質(zhì)得：∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝∠ABD＝（2x+y）＝x+y，∴x+20＝x+y，解得y＝40°，∴∠1＝∠2＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠DFB＝60°．故答案為：60．13．（2分）（2022春?宿豫區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝65°，則∠1+∠2＝245°．解：∵△ABC中，∠A＝65°，∴∠B+∠C＝180°﹣65°＝115°，∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣115°＝245°，故答案為：245．14．（2分）（2022春?廣平縣期末）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD＝140°，則圖中∠D應(yīng)增加（填“增加”或“減少”）20度．解：延長(zhǎng)EF，交CD于點(diǎn)G，如圖：∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠ECD＝∠ACB＝70°．∵∠DGF＝∠DCE+∠E，∴∠DGF＝70°+30°＝100°．∵∠EFD＝140°，∠EFD＝∠DGF+∠D，∴∠D＝40°．而圖中∠D＝20°，∴∠D應(yīng)增加20°．故答案為：增加；20．15．（2分）（2022春?新泰市期末）如圖，AE，CE分別平分∠BAD和∠BCD，∠B＝32°，∠E＝35°，則∠D＝38°．解：設(shè)BC與AE、BC與AD、AD與CE，分別相交于H、F、G，如圖：∵∠AFC是△ABF與△CDF的外角，∴∠B+∠BAD＝∠D+∠DCB．∵AE、CE分別平分∠BAD、∠DCB，∴∠BAE＝∠EAD＝∠BAD，∠DCE＝∠BCE＝∠BCD．∵∠AHC是△ABH與△CEH的外角，∴∠E+∠DAB＝∠D+∠DCB①，同理可得，∠E+∠DCB＝∠B+∠BAD②，①+②得，2∠E＝∠B+∠D，∵∠B＝32°，∠E＝35°，∴∠D＝2×35°﹣32°＝38°．故答案為：38°．16．（2分）（2022春?新昌縣期末）如圖，在同一平面內(nèi)，線段AM⊥射線MN，垂足為M，線段BC⊥射線MN，垂足為C．若點(diǎn)P是射線MN上一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB，記∠PBC＝α，∠PAM＝β，且0°＜∠APB＜180°，則∠APB＝180°+α﹣β或180°﹣α+β或180°﹣α﹣β（用含α、β的代數(shù)式表示∠APB）．解：連接AB交MC于點(diǎn)D，三種情況討論：（1）如圖：當(dāng)P在MD上時(shí)，∠APB＝∠APD+∠BPD，∵∠APD＝∠M+∠PAM＝90°+α，∠BPD＝90°﹣∠PBC＝90°﹣β，∴∠APB＝∠APD+∠BPD＝90°+α+90°﹣β＝180°+α﹣β；（2）如圖：當(dāng)P在CD上時(shí)，∠APB＝∠APM+∠BPM，∴∠APB＝∠APM+∠BPM＝90°﹣α+90°+β＝180°﹣α+β；（3）如圖：當(dāng)P在射線CN上時(shí)，∠APB＝∠APM+∠BPM，∴∠APB＝∠APM+∠BPM＝90°﹣α+90°﹣β＝180°﹣α﹣β；故答案為：180°+α﹣β或180°﹣α+β或180°﹣α﹣β．17．（2分）（2022春?連江縣期末）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∠ACB的外角平分線所在直線與∠ABC的平分線相交于點(diǎn)D，與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是①②④．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．解：∵∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∴∠ABD＝∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACO＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣×（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故①正確，∵CD平分∠ACF，∴∠DCF＝∠ACF，∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，∴∠D＝∠A，故②正確；∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，∴∠EBC+∠BCE＝90°+∠A，∵∠E+∠EBC++BCE＝180°，∴∠E＝180°﹣（∠EBC++BCE）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，故③錯(cuò)誤；∵∠DCF＝∠DBC+∠D，∴∠E+∠DCF＝90°﹣∠A+∠DBC+∠A＝90°+∠DBC，∵∠ABD＝∠DBC，∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正確，綜上正確的有：①②④．18．（2分）（2021春?江都區(qū)期末）如圖，△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，BP、CP分別是∠ABD、∠ACD平分線，若∠P＝30°，∠A'EB＝20°，則∠A'FC＝140°．解：如圖，∵BP、CP分別是∠ABD、∠ACD平分線，∴∠PBD＝，∠BCP＝．又∵∠PBD＝∠P+∠PCB，∴∠P＝∠PBD﹣∠PCB＝＝，又∵∠ABD＝∠A+∠ACB，∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A，∴∠P＝，∴∠A＝2∠P＝2×30°＝60°，由題意得：∠A′＝∠A＝60°，∴∠1＝∠A′+∠A′EB＝60°+20°＝80°，∴∠A′FC＝∠A+∠1＝60°+80°＝140°，故答案為：140．19．（2分）（2022秋?花山區(qū)期中）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分別平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，則∠C的度數(shù)是70°．解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO，設(shè)∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∴∠B＝∠CAO，設(shè)∠CAP＝∠PAB＝y(tǒng)，∠P＝z，則∠B＝2y，則有，解得，∴∠C＝70°，故答案為70°．20．（2分）（2022春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，∠BAC＞∠C，F(xiàn)H⊥BE交BD于G，交BC于H，下列結(jié)論：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正確的是①②③④．解：設(shè)BE交FH于點(diǎn)J．①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F＝90°∵FH⊥BE，∴∠BGJ+∠DBE＝90°，∵∠FGD＝∠BGJ，∴∠DBE＝∠F，①正確；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，②正確；③∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；③正確；④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，F(xiàn)H⊥BE，∴∠FGD＝∠BGH＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，④正確，故答案為：①②③④．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?邢臺(tái)期末）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，求∠BED的度數(shù)．解：∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣45°＝15°．∵BD是△ABC的角平分線，∴∠DBC＝∠ABD＝15°∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD＝15°．∴∠BED＝180°﹣∠BDE﹣∠DBE＝180°﹣15°﹣15°＝150°．22．（6分）（2022春?金水區(qū)校級(jí)期中）小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，猜想∠B、∠ACB、∠E的數(shù)量關(guān)系．（1）小明閱讀題目后，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試從具體的情況開(kāi)始探索，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．則∠E＝25．（2）小明繼續(xù)探究，設(shè)∠B＝α，∠ACB＝β（B＞α），當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求∠E的大?。ㄓ煤痢ⅵ碌拇鷶?shù)式表示）解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝65°，∵PE⊥AD，∴∠E＝90°﹣∠PDE＝25°；故答案為：25；（2）數(shù)量關(guān)系：∠E＝（∠ACB﹣∠B）；理由如下：設(shè)∠B＝α，∠ACB＝β，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠CAB＝180°﹣α﹣β．∴∠BAD＝（180°﹣x﹣y）．∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝α+（180°﹣α﹣β）＝90°+（α﹣β），∵PE⊥AD，∴∠PDE+∠E＝90°，∴∠E＝90°﹣[90°+（α﹣β）]＝（β﹣α）．23．（8分）（2022春?鐘樓區(qū)期中）（1）如圖1，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E，∠ABC＝60°，∠ADC＝140°，則∠AEC的大小是100°；（2）如圖2，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E，∠ABC＝α，∠ADC＝β（α＞β），求∠AEC的大??；（用含α，β的代數(shù)式表示）（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝α，∠ABC＝β（α＞β），AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，作EF⊥BC與點(diǎn)F，請(qǐng)問(wèn)的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）如圖，延長(zhǎng)CD，與AB交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作射線BF，∵∠ADC＝∠DAH+∠AHD，∠ADC＝140°，∴∠DAH+∠AHD＝140°，∴∠AHD＝∠ABC+∠BCD，∴∠ABC+∠BCD+∠DAH＝140°，∵∠ABC＝60°，∴∠BCD+∠DAH＝80°，∵∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E，∴∠BCE+∠BAE＝40°，∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE，∠AEF＝∠ABE+BAE，∴∠AEC＝∠CEF+∠AEF＝∠BCE+∠CBE+∠ABE+∠AEF＝∠ABC+∠BCE+∠BAE＝60°+40°＝100°，故答案為：100°；（2）過(guò)點(diǎn)C作射線AG，如圖，∴∠BCD＝∠BCG+∠DCG＝∠B+∠BAC+∠D+∠DAC＝α+β+∠BAD，∵∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E，∴∠BAF＝∠BAD，∠BCE＝∠BCD＝，∵∠BFE＝∠B+∠BAF＝α+∠BAD，∴∠AEC＝∠BFE﹣∠BCE＝α+∠BAD﹣（）＝；（3）的值不變，恒為．理由如下：∵∠ACB＝α，∠ABC＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝90°﹣，∴∠EDF＝∠B+∠BAD＝β+90°﹣＝90°﹣α+β，∵EF⊥BC，∴∠AEF＝90°﹣∠EDF＝（α﹣β），∴＝，故的值不變，恒為．24．（8分）（2022春?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期末）（1）如圖1，在△ABC中，∠B、∠C的平分線BE，CD相交于點(diǎn)F，∠ABC＝40°，∠A＝60°，求∠BFC的度數(shù)；（2）如圖2，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝42°，①求∠CAB的度數(shù)；②求∠CAP的度數(shù)．解：（1）∵∠ABC＝40°，∠A＝60°，∴∠ACB＝80°，∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，∴∠FBC＝∠ABC＝20°，∠FCB＝∠ACB＝40°，∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝120°；（2）①在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，∵PB、PC分別是∠ABC和∠ACD的平分線，∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝42°+∠ABC，∴∠ACD＝∠ABC+42°，∴∠ACD﹣∠ABC＝84°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝84°，即∠CAB＝84°．②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，∴PE＝PG，PF＝PG，∴PE＝PF，∴AP平分∠CAE，∴∠CAP＝∠CAE＝×（180°﹣84°）＝48°．25．（8分）（2022春?洛江區(qū)期末）在△ABC中，∠BAC＞∠ABC，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O．（1）填空：如圖1，若∠BCA＝80°，則∠BOA的大小為130度；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥OC，交AC于點(diǎn)D．試說(shuō)明：∠ADO＝∠AOB；（3）如圖2，CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)E．點(diǎn)M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CE于點(diǎn)N，請(qǐng)?zhí)剿鳌螦MN、∠ABC、∠BAC三者之間的數(shù)量關(guān)系．（1）解：∵∠BCA＝80°，∴∠CBA+∠CAB＝100°，∵OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，∴∠OAB+∠OBA＝（∠CAB+∠CBA）＝50°，∴∠BOA＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，故答案為：130；（2）證明：∵∠CBA+∠CAB+∠BCA＝180°，∴∠CBA+∠CAB＝180°﹣∠BCA，∵OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，∴∠OAB+∠OBA＝（∠CAB+∠CBA）＝90°﹣∠BCA，∴∠BOA＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝90°+∠BCA，∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∵OC平分∠BCA，∴∠OCD＝∠BCA，∴∠ADO＝∠COD+∠OCD＝90°+∠BCA，∴∠ADO＝∠AOB；（3）解：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)E的下方，如圖所示：∵M(jìn)N⊥CE，∴∠MNE＝90°，∵∠AEC+∠EAC+∠ACE＝180°，∠NEM+∠MNE+∠NMA＝180°，又∵∠AEC＝∠NEM，∴∠EAC+∠ACE＝∠MNE+∠NMA，即∠EAC+∠ACE＝90°+∠NMA，∵OC平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB，∴∠BAC+∠ACB＝90°+∠AMN，∵∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC，∴∠BAC+90°﹣∠ABC﹣∠BAC＝90°+∠AMN，∵∠BAC＞∠ABC，∴∠AMN＝∠BAC﹣∠ABC；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)E上方，如圖所示：∵∠AMN＝∠AEC+∠ENM，∵M(jìn)N⊥CE，∴∠ENM＝90°，∵∠AEC+∠EAC+∠ACE＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACE，∵OC平分∠ACB，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC，∴∠ACE＝∠ACB＝90°﹣∠ABC﹣∠BAC，∴∠AEC＝180°﹣∠BAC﹣（90°﹣∠ABC﹣∠BAC）＝90°+∠ABC﹣∠BAC，∵∠BAC＞∠ABC，∴∠AMN＝90°+∠ABC﹣∠BAC+90°＝180°+∠ABC﹣∠BAC，綜上，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)E下方時(shí)，∠AMN＝∠BAC﹣∠ABC；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)E上方時(shí)，∠AMN＝180°+∠ABC﹣∠BAC．26．（8分）（2022春?張家川縣期末）如圖，∠MON＝90°，點(diǎn)A、B分別在直線OM、ON上，BC是∠ABN的平分線．（1）如圖1，若BC所在直線交∠OAB的平分線于點(diǎn)D時(shí)，嘗試完成①、②兩題：①當(dāng)∠ABO＝40°時(shí)，∠ADB＝45°；當(dāng)∠ABO＝70°時(shí)，∠ADB＝45°；②當(dāng)點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)O重合），試問(wèn)：隨著點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)，∠ADB的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，請(qǐng)求出∠ADB的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)求出∠ADB的度數(shù)的變化范圍；（2）如圖2，若BC所在直線交∠BAM的平分線于點(diǎn)C時(shí)，將△ABC沿EF折疊，使點(diǎn)C落在四邊形ABEF內(nèi)點(diǎn)C′的位置、求∠BEC′+∠AFC′的度數(shù)．解：（1）①∵∠ABO＝40°，∴∠OAB＝50°，∠ABN＝140°，∵BC是∠ABN的平分線，AD是∠OAB的平分線，∴∠DAB＝∠OAB＝25°，∠ABC＝∠ABN＝70°，∴∠ADB＝∠ABC﹣∠DAB＝45°；