2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：古典概型與概率的基本性質(zhì)（八大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第05講古典概型與概率的基本性質(zhì)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1:古典概型..............................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：概率的基本性質(zhì)........................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................5

題型一：簡(jiǎn)單的古典概型問題.....................................................5

題型二：古典概型與向量的交匯問題...............................................6

題型三：古典概型與幾何的交匯問題...............................................7

題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問題...............................................8

題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問題...............................................9

題型六：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合..................................................10

題型七：有放回與無放回問題的概率..............................................11

題型八：概率的基本性質(zhì)........................................................12

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................13

05課本典例高考素材............................................................13

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................14

易錯(cuò)點(diǎn)：混淆等可能與非等可能..................................................14

答題模板：古典概型的概率問題..................................................14

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

本節(jié)內(nèi)容是概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查形式可以

2024年甲卷（理）第16題，5分

是選擇填空題，也可以在解答題中出現(xiàn).經(jīng)常出

2024年甲卷（文）第4題，5分

應(yīng)用型題目，與生活實(shí)際相結(jié)合，要善于尋找合

（1）古典概型2023年乙卷（文）第9題，5分

理的數(shù)學(xué)語言簡(jiǎn)化語言描述，凸顯數(shù)學(xué)關(guān)系，通

（2）概率的基本性質(zhì)2023年甲卷（文）第4題，5分

過分析隨機(jī)事件的關(guān)系，找到適合的公式計(jì)算概

2022年I卷第5題，5分

率.但整體而言，本節(jié)內(nèi)容在高考中的難度處于

2020年II卷第4題，5分

中等偏易.

復(fù)習(xí)目標(biāo)；

（1）理解古典概型及其概率計(jì)算公式.

（2）會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概率.

匐2

〃二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

古典慨型與慨率的基本

性質(zhì)

考點(diǎn)突確.題理輝寶

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:古典概型

(1)定義

一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：

①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.

(2)古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間。包含〃個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的左個(gè)樣本點(diǎn)，則定義

事件A的概率P(A)=：=居.

【診斷自測(cè)】下列關(guān)于古典概率模型的說法中正確的是()

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性

相等；④樣本點(diǎn)的總數(shù)為小隨機(jī)事件A若包含上個(gè)樣本點(diǎn)，則P(A)='.

n

A.②④B.③④C.①④D.①③④

知識(shí)點(diǎn)2：概率的基本性質(zhì)

(1)對(duì)于任意事件A都有：O<P(A)<1.

(2)必然事件的概率為1,即P(O)=1；不可能事概率為0,即尸(0)=0.

(3)概率的加法公式：若事件A與事件3互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B).

推廣：一般地，若事件A，4,…，A”彼此互斥，則事件發(fā)生(即A，4,…，A”中有一個(gè)發(fā)生)

的概率等于這〃個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：p(A+4+...+A)=p(a)+P(4)+...+P(4).

(4)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件3互為對(duì)立事件，則尸(A)=l-尸(3),P(B)=1-P(A),且

P(AUB)=P(A)+P(B)=1.

(5)概率的單調(diào)性：若A=3,則P(A)4P(8).

(6)若A,B是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則?0露3)=尸(4)+尸(3)-20C3).

【診斷自測(cè)】若隨機(jī)事件A、B互斥,A,3發(fā)生的概率均不等于0,且尸(A)=2-“，P(B)=4a-5,則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是__.

解題方法總結(jié)

1、解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)”與事件A中所包含的基本事件數(shù).

因此要注意清楚以下三個(gè)方面：

(1)本試驗(yàn)是否具有等可能性；

(2)本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；

(3)事件A是什么.

2、解題實(shí)現(xiàn)步驟：

(1)仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

(2)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；

(3)分別求出基本事件的個(gè)數(shù)〃與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)加；

,八到中八#?八4包含的基本事件的個(gè)數(shù).山由八,鉆蛔缶

(4)利用公式尸(A)=——二生——求出事件A的概率.

基本事件的總數(shù)

3、解題方法技巧：

(1)利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率

(2)利用分析法求解古典概型.

①任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個(gè)基本事件概率的和.

②求試驗(yàn)的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法.

\Z-----------HM-Ju］

題型一：簡(jiǎn)單的古典概型問題

【典例1-11下列試驗(yàn)是古典概型的是()

A.口袋中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任取一球?yàn)榘浊?/p>

B.在區(qū)間［-1,5］上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x,使尤2_3X+2>0

C.某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講

D.某人射擊中靶或不中靶

【典例1-2】下列實(shí)驗(yàn)中，是古典概型的有()

A.某人射擊中靶或不中靶

B.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一個(gè)

C.四名同學(xué)用抽簽法選一人參加會(huì)議

D.從區(qū)間［1,10］上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，求取到1的概率

【變式1-1］下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為()

①從區(qū)間［1,10］內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；②從1,2,3,…，10中任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；

③在正方形A8C。內(nèi)畫一點(diǎn)P,求點(diǎn)P恰好為正方形中心的概率；④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)

反面朝上的概率.

A.1B.2C.3D.4

【變式1-2】下列關(guān)于古典概型的說法正確的是()

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；

③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點(diǎn)的總數(shù)為“隨機(jī)事件A若包含左個(gè)樣本點(diǎn)，則尸(A)=人.

n

A.②④B.②③④C.①②④D.①③④

【變式1-3］以下試驗(yàn)不是古典概型的有()

A.從6名同學(xué)中，選出4名參加學(xué)校文藝匯演，每個(gè)人被選中的可能性大小

B.同時(shí)擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率

C.近三天中有一天降雪的概率

D.3個(gè)人站成一排，其中甲，乙相鄰的概率

題型二：古典概型與向量的交匯問題

【典例2-1】(2024?高三?上海?課堂例題)已知向量商=(x,y),5=(1,-2),從6張大小相同分別標(biāo)有號(hào)碼

1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取兩張，尤、，分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號(hào)碼，則滿足

無石＞0的概率是()

A.—B.-C.-D.-

12456

【典例2-2］從集合｛2,3,4,5｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)°,從集合｛1,3,5｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b,則向量慶=伍/)

與向量元=(1,-1)垂直的概率為.

【變式2-1］設(shè)機(jī)、〃分別為連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)，且向量方=(m,〃)，5=(1,-2),則Z與5的夾角為

銳角的概率是—.

【變式2-2】將一顆骰子擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為"，

向量力=（777,n）,q=（2,6）,則向量力與4共線的概率為

【變式2-3】連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為根和小記向量4=（%〃）與向量力=（1,-1）的夾角為e，則

公（0仁的概率是.（用數(shù)字作答）

【變式2-4］在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)。是對(duì)角線AC和的交點(diǎn)，RQ,M,N分別是線段

0Ao8,OC,OD的中點(diǎn)，在A,P,M,C中任意取一點(diǎn)E,在B,Q,N,O中任意取一點(diǎn)b，設(shè)點(diǎn)G滿足向量

OG=OE+OF，則在上述點(diǎn)G組成的集合中的點(diǎn)，落在平行四邊形A38外（不含邊界）的概率為

題型三：古典概型與幾何的交匯問題

【典例3-1】（2024?江西?二模）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù),

2

他們將1,3,6,10,15,…，+稱為三角形數(shù)；將1,4,9,16,25,n,稱為正方形

2

數(shù).現(xiàn)從200以內(nèi)的正方形數(shù)中任取2個(gè)，則其中至少有1個(gè)也是三角形數(shù)的概率為（）

□24

A.—B.—D

9191￡-孩

【典例3-2】傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)，他們將1,3,6,10,

?’稱為三角形數(shù)；將%%⑹25,.

15,.n2,稱為正方形數(shù).現(xiàn)從1到50的自然數(shù)

中任取1個(gè)，既不是正方形數(shù)，也不是三角形數(shù)的概率為（)

B送c19

A.37D.——

2525

【變式3-1］（2024.江西.二模）圓周上有8個(gè)等分點(diǎn)，任意選這8個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則四

邊形為梯形的概率是（）

A.31216

B.—D.

353535

【變式3-2］（2024?四川達(dá)州.二模）把腰底比為好匚:1（比值約為Q618,稱為黃金比）的等腰三角形叫

2

黃金三角形，長(zhǎng)寬比為夜:1（比值約為L(zhǎng)414,稱為和美比）的矩形叫和美矩形.樹葉、花瓣、向日葵、蝴

蝶等都有黃金比.在中國唐、宋時(shí)期的單檐建筑中存在較多的&:1的比例關(guān)系，常用的A4紙的長(zhǎng)寬比為和

美比.圖一是正五角星（由正五邊形的五條對(duì)角線構(gòu)成的圖形），A￡>=避匚42.圖二是長(zhǎng)方體，EFf，

2

EG=2￡W=2.在圖一圖二所有三角形和矩形中隨機(jī)抽取兩個(gè)圖形，恰好一個(gè)是黃金三角形一個(gè)是和美矩

形的概率為（）

【變式3-3】七巧板，又稱七巧圖、智慧板.某同學(xué)用邊長(zhǎng)為4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖

所示，包括5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形.若該同學(xué)從5個(gè)三角形中任取出2個(gè)，

則這2個(gè)三角形的面積之和不小于另外3個(gè)三角形面積之和的概率是（）

【變式3-4]以正方體AB。-4與G2的8個(gè)頂點(diǎn)中的某4個(gè)為頂點(diǎn)可組成一個(gè)三棱錐，在所有這些三棱

錐中任取一個(gè)，則該三棱錐各個(gè)面都不為直角三角形的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

58292929

題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問題

【典例4-1】（2024.高三.上海.期中）一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)函數(shù)：工（x）=/,

力（無）=5N，力（力=2,力⑴力（x）=sin仁+x],%（x）=xcosx.從中任意拿取2張卡片，則

兩張卡片上寫著的函數(shù)相加得到的新函數(shù)為奇函數(shù)的概率是.

【典例4-2】（2024?高三?河北邢臺(tái)?開學(xué)考試）歐拉是18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可

以看到歐拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)。（〃）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)小且與w互素（兩

個(gè)數(shù)只有公約數(shù)1）的正整數(shù)的個(gè)數(shù).例如：。⑴=1,研4）=2.現(xiàn)從°⑴,。⑵,夕⑶,…，0（10）中任選兩

個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)相同的概率是.

【變式4-1](2024?四川遂寧?三模)已知miIg2+lg5,log43，ds,tanl>,從這四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)加，

使函數(shù)/。)=丁+2,小+1有兩不相等的實(shí)數(shù)根的概率為.

一_3'

【變式4-2]已知加、Ig2+lg5,log4\tanl>,則使函數(shù)〃%)=犬+2祖x+z?有兩不相等的零點(diǎn)

的概率為—.

【變式4-3】已知函數(shù)/5)=若從集合｛xeN|xW10｝中隨機(jī)選取一個(gè)元素加，則函數(shù)

g⑺=/(〃尤)-叫恰有7個(gè)零點(diǎn)的概率是—.

x

【變式4-4】已知四個(gè)函數(shù)：(1)/(x)=x,(2)f2(x)=sinx,(3)力(x)=tanx,(4)f4(x)=eT,從

中任選2個(gè)，則事件“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為.

題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問題

【典例5-1]斐波那契數(shù)列(Fibonaccisequence)由數(shù)學(xué)家萊昂納多-斐波那契(LeonardoFibonacci)以兔子繁殖

為例子而引入，又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列｛?｝有如下遞推公式：

/、1/1+君丫(1-6丫

=1,?2=1,6/?=iz?_1+on_2(n>3,77eN*),通項(xiàng)公式為凡=7-------,故又稱黃金分割數(shù)

,52JI2J_

列.若A=｛alM2，a3，…M3“｝("eN*),3=A且3w0,則8中所有元素之和為偶數(shù)的概率為.(結(jié)果

用含"的代數(shù)式表達(dá))

【典例5-2】(2024.全國.模擬預(yù)測(cè))意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1,1,2,3,

5,8,…，該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即q+2=aM+q(“eN*),故此數(shù)列稱為斐波

那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”.現(xiàn)在從該數(shù)列前21項(xiàng)中，按照奇數(shù)與偶數(shù)這兩種類型進(jìn)行分層抽樣抽取6項(xiàng),

再從這6項(xiàng)中抽出2項(xiàng)，則至少含有一項(xiàng)是偶數(shù)的概率為一.

【變式5-1](2024.浙江溫州.二模)若數(shù)歹1]%,%，4，%滿足弓+4=。2+。3，則稱此數(shù)列為“準(zhǔn)等差數(shù)

列”.現(xiàn)從12…,9,10這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取4個(gè)不同的數(shù)，則這4個(gè)數(shù)經(jīng)過適當(dāng)?shù)呐帕泻罂梢詷?gòu)成，準(zhǔn)等差

數(shù)列"的概率是.

【變式5-2](2024?全國?模擬預(yù)測(cè))斐波那契數(shù)列(Fibonaccisequence),又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊

昂納多?斐波那契(LeonardoFibonacci)以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)

數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被以遞推的方法定義?=1,

%=1,a,=4一+卬.卜后3女^^定義集合入川知生…生⑵｝,BA且3*0,則B中所有元素之和為

奇數(shù)的概率為.

【變式5-3］對(duì)于數(shù)列｛%｝,若％V尤…《無”，則稱數(shù)列｛%｝為“廣義遞增數(shù)列”，若

%N%N無3?…N%,則稱數(shù)列｛%｝為“廣義遞減數(shù)列”，否則稱數(shù)列｛七｝為“擺動(dòng)數(shù)列”.已知數(shù)列｛%｝共4

項(xiàng)，且4=｛l,2,3,4｝（i=l,2,3,4）,則數(shù)列｛%｝是擺動(dòng)數(shù)列的概率為一.

題型六：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合

【典例6-1】（2024?安徽蕪湖?二模）從某工廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取11個(gè)，其尺寸值為43,45,45,45,

49,50,50,51,51,53,57（單位：mm）,現(xiàn)從這H個(gè)零件中任取3個(gè)，則3個(gè)零件的尺寸剛好為這

11個(gè)零件尺寸的平均數(shù)、第六十百分位數(shù)、眾數(shù)的概率為一.

【典例6-2】將寫有1、2.........9這9個(gè)數(shù)的卡片（6不可視作9）隨機(jī)分給甲、乙、丙三人，每人三張，

則“每人手中卡片上的三個(gè)數(shù)都能滿足：其中一個(gè)數(shù)為其他兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)”的概率為

【變式6-1］（2024?湖南永州?三模）從“1,2,3,4”這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)取出三個(gè)不同的數(shù)，則這三個(gè)數(shù)的平

均數(shù)恰為3的概率是—.

【變式6-2］某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號(hào)分別為1,2,3,4,5的五批疫苗,

供全市所轄的A,B,C三個(gè)區(qū)市民接種，每個(gè)區(qū)均能從中任選一個(gè)批號(hào)的疫苗接種，則三個(gè)區(qū)市民接種

的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同的概率是—；記A,B,C三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為X,則X

的期望是—.

【變式6-3］（2024.高三.山東德州.開學(xué)考試）編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球，有放回地取三次，每次取一個(gè)，

記機(jī)表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記〃表示三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則機(jī)與〃之差的絕對(duì)值不超過0.2的概

率是.

【變式6-4】泊松分布的概率分布列為P（X=A）=『T（AeN）,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，4是泊松分布

的均值.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8（",P）,當(dāng)“很大且2很小時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，其中

^=np,即尸（X=R）=e（〃eN*#eN）.現(xiàn)已知某種元件的次品率為0.01,抽檢100個(gè)該種元件，

則抽到的次品的個(gè)數(shù)小于2的概率約為.（參考數(shù)據(jù)：-?0.37）

e

題型七：有放回與無放回問題的概率

【典例7-1】（2024?山東日照.三模）從標(biāo)有1,2,3,4,5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一

張，則出現(xiàn)重復(fù)編號(hào)卡片的概率是（）

A.竺B.11C.烏D.空

25252525

【典例7-2］（2024?湖南常德?一模）將三個(gè)分別標(biāo)注有elx,的三個(gè)質(zhì)地均勻的小球放入一個(gè)不透明

Inx

的小盒中.無放回的隨機(jī)取出2個(gè)小球（每次取一球），分別記錄下小球的標(biāo)注為〃x）,g（x）.若

/i（x）=/（x）g（x）,則在xe（O,l）上單調(diào)遞減的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6933

【變式7-1】已知集合”={-1,0,1,-2},從集合M中有放回地任取兩元素作為點(diǎn)尸的坐標(biāo)，則點(diǎn)尸落在了

軸上的概率為（）

A.—B.-C.—D.-

164168

【變式7-2】從兩名男生（記為耳和巴）、兩名女生（記為G|和5）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡(jiǎn)

單隨機(jī)抽樣和有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為

（）

【變式7-3］敏感性問題多屬個(gè)人隱私.對(duì)敏感性問題的調(diào)查方案，關(guān)鍵是要使被調(diào)查者愿意作出真實(shí)回

答又能保守個(gè)人秘密.例如為了調(diào)查中學(xué)生中的早戀現(xiàn)象，現(xiàn)有如下調(diào)查方案：在某校某年級(jí)，被調(diào)查者

在沒有旁人的情況下，獨(dú)自一人回答問題.被調(diào)查者從一個(gè)罐子中隨機(jī)抽一只球，看過顏色后即放回，若

抽到白球，則回答問題A;若抽到紅球，則回答問題&且罐中只有白球和紅球.

問題4你的生日是否在7月1日之前？（本次調(diào)查中假設(shè)生日在7月1日之前的概率為:）

問題8：你是否有早戀現(xiàn)象？

已知一次實(shí)際調(diào)查中，罐中放有白球2個(gè)，紅球3個(gè)，調(diào)查結(jié)束后共收到1585張有效答卷，其中有393張

回答“是"，如果以頻率替代概率，則該校該年級(jí)學(xué)生有早戀現(xiàn)象的概率是（）（精確到0.01）

A.0.08B.0.07C.0.06D.0.05

【變式7-4】已知盒中裝有大小一樣，形狀相同的3個(gè)白球與7個(gè)黑球，每次從中任取一個(gè)球并不放回，

則在第1次取到白球的條件下，第2次取到的是黑球的概率為（）

【變式7-5】從兩名男生和兩名女生中任意抽取兩人，分別采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽

樣，在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人都是女生的概率分別為（）

【變式7-6］（2024.河南.模擬預(yù)測(cè)）袋子中裝有5個(gè)形狀和大小相同的球，其中3個(gè)標(biāo)有字母”,2個(gè)標(biāo)有字

母人甲先從袋中隨機(jī)摸一個(gè)球，摸出的球不再放回，然后乙從袋中隨機(jī)摸一個(gè)球，若甲、乙兩人摸到標(biāo)有

字母。的球的概率分別為p”Pz，貝U（）

A.Pi=P2B.2PIp?

C.P\=3pzD.2Pl=P2

【變式7-7】甲袋中裝有4個(gè)白球和6個(gè)黑球，乙袋中裝有3個(gè)白球和5個(gè)黑球，現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)取出一個(gè)

球放入乙袋中，充分混合后，再從乙袋中隨機(jī)取出一個(gè)球放回甲袋中，則甲袋中白球沒有減少的概率為

（）

題型八：概率的基本性質(zhì)

【典例8-1】設(shè)A,2是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，記氐豆為事件A,2的對(duì)立事件，且

P（A）=0.6,=0.3,P（AB+0.5,貝ij=

【典例8-2】事件A、8是相互獨(dú)立事件，若P（A）=m,P（B）=0.3,P（A+JB）=0.7,則實(shí)數(shù)加的值等

于.

【變式8-1】已知尸（A）=0.5,P（B）=0.6,尸（AuB）=0.9,則P（Ac3）=—.

【變式8-2】對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間。和事件A,B,其中“（0）=60,“（A）=30,“（8）=20,

w（Ac8）=10,則P（AU8）=.

【變式8-3］若隨機(jī)事件A,B互斥,A,B發(fā)生的概率均不等于0,且尸（A）=3-a,P（B）=2a-5,則

實(shí)數(shù)。的取值范圍為一.

3

1.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排

尾的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4323

2.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽

取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（）

52C11

A.6-B.3-2-D.3-

3.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4

名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為（）

A.1B,1C,1D.2

6323

4.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2

張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

5353

5.（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概

率為（）

1.某射擊運(yùn)動(dòng)員平時(shí)訓(xùn)練成績(jī)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:

命中環(huán)數(shù)678910

頻率0.10.150.250.30.2

如果這名運(yùn)動(dòng)員只射擊一次，以頻率作為概率，求下列事件的概率;

〃易錯(cuò)分析-答題模板\\

易錯(cuò)點(diǎn)：混淆等可能與非等可能

易錯(cuò)分析：不能理解“等可能”與“非等可能”的含義，在解題的過程中，不能準(zhǔn)確的找出符合題意的情

況導(dǎo)致最后結(jié)果錯(cuò)誤.

【易錯(cuò)題1】如圖，數(shù)軸上一質(zhì)點(diǎn)受隨機(jī)外力的作用從原點(diǎn)。出發(fā)，每隔一秒隨機(jī)、等可能地向左或向右

移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則移動(dòng)6次后，最終質(zhì)點(diǎn)位于數(shù)軸上的位置4的概率為—.

0---0---O---0---0---O---O----0-0---O---O---0---O

-6-5-4-3-2-10123456

【易錯(cuò)題2】在一個(gè)不透明的密封盒子中裝有8只昆蟲，其中蜜蜂和蝴蝶的數(shù)量各占一半.現(xiàn)在盒子上開一

小孔，每次只能飛出一只昆蟲，且任意一只昆蟲都等可能地飛出.則“從盒子中任意飛出2只昆蟲，至少有1

只是蝴蝶”的概率是—.

答題模板：古典概型的概率問題

1、模板解決思路

在解決這類問題時(shí)，首要步驟是確認(rèn)試驗(yàn)是否符合古典概型的特征。隨后，關(guān)鍵在于構(gòu)建樣本空間，

這一過程中需特別注意兩點(diǎn)：一是樣本中的元素是否存在順序性，因?yàn)轫樞虻牟煌瑫?huì)構(gòu)成不同的樣本空間;

二是取樣時(shí)是否允許元素重復(fù)，即取樣是放回還是不放回，這直接決定了樣本中元素是否可以重復(fù)出現(xiàn)。

明確了這兩點(diǎn)后，就可以計(jì)算出樣本空間的總樣本點(diǎn)數(shù)量，以及所求事件對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)數(shù)量，最后利用古

典概型的概率計(jì)算公式，得出所求事件的概率。

2、模板解決步驟

第一步：根據(jù)題意,判斷試驗(yàn)是否是古典概型，并寫出樣本空間，求出樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

第二步：求出事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

第三步：代入公式，求出P(A).

【經(jīng)典例題1】甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號(hào)1,2,3,4,5,6,7的卡片各1張，兩人輪流從

中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號(hào)之和等于12或者所有卡片被抽完時(shí)，游戲結(jié)

束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束的概率是—.

【經(jīng)典例題2】在某次國際商貿(mào)交流會(huì)展期間，舉辦城市為了提升安保級(jí)別，在平時(shí)正常安保的基礎(chǔ)

上再將甲、乙等6名特警人員分配到展區(qū)附近的4個(gè)不同的路口進(jìn)行執(zhí)勤，若每個(gè)特警只能分配去1個(gè)路

口且每個(gè)路口至少安排1名特警，則甲和乙不安排在同一個(gè)路口執(zhí)勤的概率是—.

第05講古典概型與概率的基本性質(zhì)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：古典概型..............................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：概率的基本性質(zhì)........................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................5

題型一：簡(jiǎn)單的古典概型問題.....................................................5

題型二：古典概型與向量的交匯問題...............................................6

題型三：古典概型與幾何的交匯問題...............................................7

題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問題...............................................8

題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問題...............................................9

題型六：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合..................................................10

題型七：有放回與無放回問題的概率..............................................11

題型八：概率的基本性質(zhì)........................................................12

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................13

05課本典例?高考素材............................................................13

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................14

易錯(cuò)點(diǎn)：混淆等可能與非等可能..................................................14

答題模板：古典概型的概率問題..................................................14

春情目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

本節(jié)內(nèi)容是概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查形式可以

2024年甲卷（理）第16題，5分

是選擇填空題，也可以在解答題中出現(xiàn).經(jīng)常出

2024年甲卷（文）第4題，5分

應(yīng)用型題目，與生活實(shí)際相結(jié)合，要善于尋找合

（1）古典概型2023年乙卷（文）第9題，5分

理的數(shù)學(xué)語言簡(jiǎn)化語言描述，凸顯數(shù)學(xué)關(guān)系，通

（2）概率的基本性質(zhì)2023年甲卷（文）第4題，5分

過分析隨機(jī)事件的關(guān)系，找到適合的公式計(jì)算概

2022年I卷第5題，5分

率.但整體而言，本節(jié)內(nèi)容在高考中的難度處于

2020年II卷第4題，5分

中等偏易.

復(fù)習(xí)目標(biāo)；

（1）理解古典概型及其概率計(jì)算公式.

（2）會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概率.

匐2

〃二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

古典慨型與慨率的基本

性質(zhì)

考點(diǎn)突破■題型探究

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:古典概型

（1）定義

一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：

①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.

（2）古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間。包含“個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的上個(gè)樣本點(diǎn)，則定義

事件A的概率P（A）=：=器.

【診斷自測(cè)】下列關(guān)于古典概率模型的說法中正確的是（）

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性

相等；④樣本點(diǎn)的總數(shù)為“隨機(jī)事件A若包含上個(gè)樣本點(diǎn)，則尸（A）=4.

n

A.②④B.③④C.①④D.①③④

【答案】D

【解析】在①中，由古典概型的概念可知：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，故①正確；

在②中，由古典概型的概念可知：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，故②錯(cuò)誤；

在③中，由古典概型的概念可知：每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，故③正確；

在④中，樣本點(diǎn)的總數(shù)為小隨機(jī)事件A若包含左個(gè)樣本點(diǎn)，則由古典概型及其概率計(jì)算公式知P（A）=',

n

故④正確.

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)2：概率的基本性質(zhì)

(1)對(duì)于任意事件A都有：0<P(A)Wl.

(2)必然事件的概率為1,即P(Q)=1；不可能事概率為0,即尸(0)=0.

(3)概率的加法公式：若事件A與事件3互斥，貝UP(AU3)=P(A)+P(B).

推廣：一般地，若事件a，4，…，4彼此互斥，則事件發(fā)生(即A，4-4中有一個(gè)發(fā)生)

的概率等于這"個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：p(4+4+...+A)=p(a)+P(4)+...+P(A).

(4)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件8互為對(duì)立事件，則P(A)=1-P(B),尸(B)=1-P(A),且

P(AUB)=P(A)+P(B)=1.

(5)概率的單調(diào)性：若4=3,則尸(A)WP(8).

(6)若A,B是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則~?^3)=尸(4)+。(3)-2(4。3).

【診斷自測(cè)】若隨機(jī)事件4B互斥,A,2發(fā)生的概率均不等于0,且尸(A)=2-°,P(B)=4?-5,則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是.

【答案】目

0<P(A)<l0<2-a<l

54

【解析】由題意，-0<P(B)<l即<0<4〃-5<1,解得?<aW].

P(A)+P(B)<13〃一3W1

<54

故答案為：

解題方法總結(jié)

1、解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)〃與事件A中所包含的基本事件數(shù).

因此要注意清楚以下三個(gè)方面：

(1)本試驗(yàn)是否具有等可能性；

(2)本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；

(3)事件A是什么.

2、解題實(shí)現(xiàn)步驟：

(1)仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

(2)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；

(3)分別求出基本事件的個(gè)數(shù)”與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)加；

（4）利用公式P（A）="包個(gè)黑箴個(gè)數(shù)求出事件A的概率.

基本事件1m的總數(shù)

3、解題方法技巧：

（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率

（2）利用分析法求解古典概型.

①任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個(gè)基本事件概率的和.

②求試驗(yàn)的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法.

（題型洞察

題型一：簡(jiǎn)單的古典概型問題

【典例1-1】下列試驗(yàn)是古典概型的是（）

A.口袋中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任取一球?yàn)榘浊?/p>

B.在區(qū)間［-1,5］上任取一個(gè)實(shí)數(shù)無，使尤2_3X+2>0

C.某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講

D.某人射擊中靶或不中靶

【答案】C

【解析】對(duì)A：取出白球與取出黑球發(fā)生的可能性不同，故不是古典概型，故A錯(cuò)誤;

對(duì)B：一次試驗(yàn)的結(jié)果有無限個(gè)，故不是古典概型，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：滿足古典概型特征，是古典概型，故C正確；

對(duì)D：兩個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性可能不同，故不是古典概型，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【典例1-21下列實(shí)驗(yàn)中，是古典概型的有（）

A.某人射擊中靶或不中靶

B.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一個(gè)

C.四名同學(xué)用抽簽法選一人參加會(huì)議

D.從區(qū)間［U0］上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，求取到1的概率

【答案】C

【解析】由古典概型性質(zhì)：基本事件的有限性及它們的發(fā)生是等可能的，

A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不滿足；

B：基本事件坐標(biāo)系中整數(shù)點(diǎn)是無限的，不滿足；

C：基本事件是四名同學(xué)是有限的，且抽到的概率相等，滿足；

D：基本事件是區(qū)間［1,10］上所有實(shí)數(shù)是無限的，不滿足；

故選：C

【變式1-1］下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（）

①從區(qū)間［1,10］內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；②從1,2,3,…，10中任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；

③在正方形A2C。內(nèi)畫一點(diǎn)尸，求點(diǎn)P恰好為正方形中心的概率；④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)

反面朝上的概率.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】古典概型的特征是樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的，并且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，故②

是古典概型；

①和③中的樣本空間中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不是有限的，故不是古典概型；

④由于硬幣質(zhì)地不均勻，因此樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性不相等，故④不是古典概型.

故選：A.

【變式1-2】下列關(guān)于古典概型的說法正確的是（）

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；

k

③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點(diǎn)的總數(shù)為“隨機(jī)事件A若包含上個(gè)樣本點(diǎn)，則尸（A）=-.