2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：利用“將軍飲馬”解決線段最值問題

利用“將軍飲馬”解決線段最值問題

方法突破練

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,1),B(-3,2),在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+P8的值最小，求此時(shí)

點(diǎn)P的坐標(biāo).

第1題圖

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,1),B(2,4),在直線x=3上找一點(diǎn)P,使得\PA-PB|的值最大，求\PA

第2題圖

3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，2(-2,0),8(1，3),,已知點(diǎn)C是直線l:y=x上一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)y-xAC+BC取得最

小值時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

第3題圖

4.如圖，已知直線y=-X+4與y軸、x軸分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1).點(diǎn)D,E分別是線段OB,A

B上的動(dòng)點(diǎn)，求△CDE周長(zhǎng)的最小值

第4題圖

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4(-3,-1),3(-1，-3),若D是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，(2是丫軸上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形A

BCD周長(zhǎng)的最小值.

第5題圖

設(shè)問進(jìn)階練

例如圖，拋物線y=-必+4x+2與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸為直線1,頂點(diǎn)為

點(diǎn)D,點(diǎn)C關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E.

⑴如圖①，若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng).BP+PE取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑵如圖②，連接CD,點(diǎn)Q是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接CQ,DQ,求△CDQ周長(zhǎng)的最小值；

(3)如圖③，若點(diǎn)M為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形DENM周長(zhǎng)的最小值.

例題圖③

綜合強(qiáng)化練

1.如圖，拋物線y=ax2+bx+3(a豐0)與x軸交于A,B(3,O)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，目AB=4,與y軸交于

點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證:BC1CD-,

⑶若點(diǎn)M為OB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為DB上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)M,N使得△CMN的周長(zhǎng)最小?若存在,請(qǐng)求

出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)及.ACMN周長(zhǎng)的最小值；若不存在,請(qǐng)說明理由.

作圖區(qū)答題區(qū)

y\\D

第1題圖

M

備用圖①

Jyf\IDv

K\v

備用圖②

2.如圖①拋物線y=a/+9-V3(a*0)與x軸交于點(diǎn)A,B(l,0)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,拋物

線的頂點(diǎn)為D,且。4=V3OC.

⑴求拋物線的解析式；

(2)如圖②，連接AC,BC,點(diǎn)M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接MA,MC,分別以AM,AC為邊，在它們的上方作等邊

A等邊△4CF,連接EF,求證:EF=CM;

⑶在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PD的值最小?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

作圖區(qū)答題區(qū)

D\|

圖②

第2題圖

備用圖

考向3利用"將軍飲馬"解決線段最值問題

一階方法突破練

1.解：作圖，確定線段和最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置，如解圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A',連接BA'交x軸于點(diǎn)P,點(diǎn)

P即為所求，連接AP.

1?點(diǎn)A與點(diǎn)A，關(guān)于x軸對(duì)稱，

.?.AP=A'P,

PA+PB=PA+PB=AB.

此時(shí)PA+PB的值最小.

利用直線解析式求坐標(biāo).

?.A(2,1),.'.A1(2,-1).

B(-3,2),.?.直線BA，的解析式為y=—|x+*當(dāng)y=0時(shí)，則0=-|%+*解得%=|.

，當(dāng)PA+PB取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為((|,0).

2.解：作圖，確定線段差最大時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置.如解圖，連接AB并延長(zhǎng)與直線x=3交于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求，

此時(shí)IPA-PB冏值最大，最大值為AB的長(zhǎng)，

利用勾股定理求線段的長(zhǎng).

?.A(1,1),B(2,4),

AB=J(1-2乃+(1-4產(chǎn)=V10.

二|PA-PB|的最大值為V10.

第2題解圖

3.解：如解圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A1連接A'B,交直線I于點(diǎn)C,連接A'C,則AC+BC=AC+BC

當(dāng)A',C,B三點(diǎn)共線時(shí),AC+BC的值最小,最小值為A'B的長(zhǎng),此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)C重

1.點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于直線R=x對(duì)稱,A(-2,0),

.?.A'(0,-2).

B(l,3)〃,.直線A'B的解析式為y=5x-2.

聯(lián)立解得

第3題解圖

上當(dāng)AC+BC取得最小值時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(屋).

4.解:如解圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB,OB的對(duì)稱點(diǎn)C',C",連接AC',C'E,C"D,C'C",C'C"分別交AB,OB于點(diǎn)E',D',

貝UCE=C'E,CD=C"D『CDE的周長(zhǎng)為CE+CD+DECE+CT)+DE>CC'

?.當(dāng)。,皿工”四點(diǎn)共線時(shí),4口￡的周長(zhǎng)取得最小值,此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)E'重合，點(diǎn)D與點(diǎn))重合,

“CDE周長(zhǎng)的最小值即為C'C"的長(zhǎng).

..直線y=-x+4,點(diǎn)C(O,1),

.AO=4,OC=LNOAB=45°,

.AC=3,

.?點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,第4題解圖

".zC'AB=45°,AC'=AC=3,

ZCAC'=90：

.?點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C",

.-.CC"=2,

..AC"=5,

..在RtAC'AC"中，C"'=Rc)+(")=后.

."CDE周長(zhǎng)的最小值為V34.

5.解：如解圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E、點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F,連接EF交x軸于點(diǎn)D,交y軸

于點(diǎn)C,連接AD：BC'.在x軸,y軸上分別任取一點(diǎn)D,C,連接AD,BC,CD,則AD'=D'E,BC'=C'F,.-.AB+BC+CD+

>AB+BC'+CD'+AD'=AB+CF+CD'+DE=AB+EF,：.當(dāng)點(diǎn)D,C分別與點(diǎn)D',C'重合時(shí)，四邊形AB

CD的周長(zhǎng)有最小值，最小值為AB+EF,7

?.A(-3,-l),B(-l,-3),

.-.E(-3,l),F(l,-3),

???AB=2V2,EF=4Vx

.-.AB+EF=6Vx

，四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值港C嬤圖

二階設(shè)問進(jìn)階練

例解：Q)如解圖①，作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E1,連接E'B與v軸交于點(diǎn)P,此時(shí)BP+PE取得最小值，為BE,

的長(zhǎng),

根據(jù)題意，令x=0廁y=2,

..C(0,2),令y=0,

解得x=2+乃或%=2-V6,

S(2+V6-0),

?.?拋物線的對(duì)稱軸為直線%=--不=2,點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，

.?.E(4,2),/.E'(-4,2),

..直線BE'的解析式為y=等久+管，當(dāng)x=o時(shí),y=誓，

二當(dāng)BP+PE取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,誓)；

圖①圖②

例題解圖

【一題多解】如解圖②，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B：連接B'E與v軸交于點(diǎn)P,此時(shí)BP+PE取得最小值，為B

'E的長(zhǎng)，根據(jù)題意，令x=0則y=2,，C(0,2),令y=0,解得.久=2+遍或％=2-連,B(2+旄，0)；/拋物線的對(duì)稱軸

為直線x=--^-=2,點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,，E(4,2)j?點(diǎn)B與點(diǎn)B，關(guān)于y軸對(duì)稱，:

B'(一2-遙，0)/.直線B'E的解析式為V=誓%+管，當(dāng)x=0時(shí).y=駕，:當(dāng)BP+PE取得最小值時(shí)，點(diǎn)P

的坐標(biāo)為(0，管).

(2)VCD長(zhǎng)為定值，

.?.當(dāng)CQ+DQ的值最小時(shí),ACDQ的周長(zhǎng)最小.

如解圖③，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C,連接CD交x軸于點(diǎn)Q,連接CQ,此時(shí)CQ+DQ的值最小，為CD的

長(zhǎng)，過點(diǎn)D作DDy軸于點(diǎn)F.

由拋物線解析式可知頂點(diǎn)D(2,6),

CF=4,DF=2,CD=VCF2+DF2=275.

,:點(diǎn)C與點(diǎn)C'關(guān)于x軸對(duì)稱〃.CQ=C'Q.

CQ+DQ=CQ+DQ=CD,

...C(0,2)〃..C'(0,-2)〃..C'F=8.

CD=JcF2+DF2=2V17,

."CDQ周長(zhǎng)的最小值為2店+2V17;

【一題多解】■■■CD長(zhǎng)為定值，，當(dāng)CQ+DQ的值最小時(shí)，ACDQ的周長(zhǎng)最小.如解圖④，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)

稱點(diǎn)D',連接CD'交x軸于點(diǎn)Q,連接DQ,此時(shí),CQ+DQ的值最小，為CD'的長(zhǎng)，過點(diǎn)C作CH_LDD'于點(diǎn)H,由拋物

線解析式可知頂點(diǎn)D(2,6),.'.D'(2,-6),.'.CH=2,HD'=8,.-.CD'=CH2+(HDj=2V17,CD=VCW2+DH2=2V5,

.'.△CDQ周長(zhǎng)的最小值為2遮+2V17.

(3)由(1)(2)知,D(2,6),E(4,2),

如解圖⑤，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E、作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D：連接DE交y軸于點(diǎn)M)交x軸于N',

連接DM，,EN,廁DM，=D'M,,EN,=EN；.D,(-2,6)E(4,-2),

,??四邊形DENM的周長(zhǎng)=DM+MN+NE+DE>DM'+MN'+NE+DE=DM'+MN'+N'E'+DE,

■■當(dāng)點(diǎn)M在M：點(diǎn)N在N時(shí)四邊形DENM的周長(zhǎng)取得最小值，最小值為DR+DE的長(zhǎng)，

DE-10,DE=

J(2-4尸+(6-26=2V5,

，四邊形DENM周長(zhǎng)的最小值為10+2V5.

三階綜合強(qiáng)化練

1.(1)解：；拋物線y=ax2+bx+3(a豐0)與x軸交于B(3,0),AB=4,.'.A(-l,0),

二將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，

得(a—b+3=0解得產(chǎn)=一1

-19a+36+3=0'蝌守lb=2'

拋物線的解析式為y=-x2+2x+3;

⑵證明：由(1)得拋物線的解析式為y=-x^+2x+3,

拋物線的對(duì)稱軸為直線%=--不=1((0,3),

.?拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4),

ACD=7(1-0)2+(4-3)2=V2,

BC=J(3-0/+(0-31=3A/2,

BD=J(1-3/+(4-0尸=2V5,

CD2+BC2=BD2ABCD為直角三角形，

.?.zBCD=90°,/.BC±CD;

(3)解:存在.

如解圖，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C',點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C",CC”交BD于點(diǎn)E,連接CC”,分別交OB,B

D于點(diǎn)M,N,

此時(shí)"CMN周長(zhǎng)最小，最小值為CN+MN+MC=C'N+MN+CM=CC；

由⑵得C(0,3),D(l,4),

.B(3,0),

，直線BD的解析式為y=-2x+6①，

直線CC"的解析式為y=|x+3circle2,

聯(lián)立①②，得-2x+6=|x+3,

解得x=a???、=￡,

??.E儲(chǔ)),.“住》

??點(diǎn)C與點(diǎn)C'關(guān)于x軸對(duì)稱，

212V10

???C(0--3),c'c''==+3:直線C'C"的解析式為y=3x-3③，令y=0,解得x=l,;.M(LO).

5

聯(lián)立①③得,-2x+6=3x-3,解得x=l，.-.y=用二N(追)

綜上所述，當(dāng)MQ,O),,N(爵,)時(shí)，此時(shí)《MN的周長(zhǎng)最小，最小值為誓.

2.(1)解:,.拋物線y=ax2+bx—V3(a豐0),

，令x=0,解得y=-V3,C(0--V3),OC=V3,

-'OA=V3OC,.-.OA=3,.,.A(-3,0),

，將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，

'_V3

宮=解得.CL——

得9a-36-0,3

,2遮

a+b—V3=0b=——

3

.,拋物線的解析式為y=y%2+^%-V3;

(2)證明:〔FAME和AACF為等邊三角形，

.-.AE=AM,AF=A