2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：計(jì)數(shù)原理（三大題型）（練習(xí)）（學(xué)生版+解析）

第01講計(jì)數(shù)原理

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.................................................2

題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.................................................2

題型三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用.................................................3

02重難創(chuàng)新練..................................................................3

03真題實(shí)戰(zhàn)練..................................................................5

題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

1.書架的第1層放有3本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.

從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為（）

A.3B.8C.12D.18

2.從A地到E地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2

次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為（）

A.3B.9C.24D.以上都不對(duì)

3.某校有5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求必須有人參加比賽，其中2名學(xué)生必須同時(shí)參加或同時(shí)不參加，其

他學(xué)生可以獨(dú)立決定是否參加，求不同的參賽組合數(shù)（）.

A.10種B.15種

C.20種D.25種

題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

4.學(xué)校為豐富高中生的課外生活，開設(shè)了興趣小組，有3名學(xué)生想要報(bào)名書法、繪畫、籃球、羽毛球興趣

小組，每人限報(bào)1項(xiàng)、則不同的報(bào)名方式種數(shù)有（）

A.3，B.36C.24D.43

5.如圖，只閉合兩個(gè)開關(guān)將一條電路從A處到B處接通，可構(gòu)成線路的條數(shù)為（）

A.8B.4C.5D.3

6.2024年中國(guó)足球甲級(jí)聯(lián)賽哈爾濱會(huì)展體育中心的主場(chǎng)火爆，一票難求，主辦方設(shè)定了三種不同的票價(jià)

分別對(duì)應(yīng)球場(chǎng)三個(gè)不同區(qū)域的座位，四位球迷相約看球賽，則四人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方式

共有（）

A.30種B.60種C.120種D.24種

7.（2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè)）用。代表紅球，匕代表藍(lán)球，。代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1

個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由（1+“）—（1+6）的展開式1+a+b+ab表示出來(lái)，如:

“1”表示一個(gè)球都不取、“?！北硎救〕鲆粋€(gè)紅球，而“ab”表示把紅球和藍(lán)球都取出來(lái)，以此類推,

下列各式中，其展開式可用來(lái)表示從3個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、3個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、2個(gè)有區(qū)別的黑球中取

出若干個(gè)球，且所有藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是（）

A.（1+a+a2+a3）0+b3）（l+c）~

B.++

C.（l+a）3（l+Z?+Z?2+Z>3）（l+c2）

D.（l+a）（l+Z?y（1+c+c?）

8.從6名班委中選出2人分別擔(dān)任正、副班長(zhǎng)，一共有多少種選法？（）

A.11B.12C.30D.36

9.5名同學(xué)分別從4個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)為（）

A.9B.20C.54D.45

題型三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

10.中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、

馬、羊、猴、雞、狗、豬中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同

學(xué)喜歡龍、牛和羊，乙同學(xué)喜歡龍和馬，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則

選法有種.

11.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）袋子中有數(shù)字“7”的卡片3張和數(shù)字“2”，“3”，“5”的卡片各1張，從中任

意取出4張卡片，最多能組成個(gè)不同的四位數(shù)（用數(shù)字回答）.

12.如果一個(gè)四位數(shù)各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和為8,則稱這個(gè)四位數(shù)為“幸運(yùn)數(shù)”，那么總共有個(gè)“幸運(yùn)

數(shù)”.

13.用0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被3整除的偶數(shù)有個(gè).（用數(shù)字作答）.

1.（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）將“1,2,2,3,4,5”這6個(gè)數(shù)字填入如圖所示的表格區(qū)域中，每個(gè)區(qū)域填一個(gè)

數(shù)字，1不在A區(qū)域且三列中只有中間一列區(qū)域的數(shù)字之和為7,若中間一列填2和5,則不同的填法有（）

2.（2024?廣東深圳.模擬預(yù)測(cè)）某高校要求學(xué)生除了學(xué)習(xí)第二語(yǔ)言英語(yǔ)，還要求同時(shí)進(jìn)修第三語(yǔ)言和第四

語(yǔ)言，其中第三語(yǔ)言可從A類語(yǔ)言：日語(yǔ)，韓語(yǔ)，越南語(yǔ)，柬埔寨語(yǔ)中任選一個(gè)，第四語(yǔ)言可從E類語(yǔ)言：

法語(yǔ)，德語(yǔ)，俄語(yǔ)，西班牙語(yǔ)，意大利語(yǔ)，則學(xué)生可選取的語(yǔ)言組合數(shù)為（）

A.20B.25C.30D.35

3.（2024.河南周口?模擬預(yù)測(cè)）2024年春節(jié)檔賀歲片《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《熊出沒(méi)?逆轉(zhuǎn)時(shí)空》異

?；鸨?，甲、乙等5人去觀看這三部電影，每人只觀看其中一部，甲、乙不觀看同一部電影，則選擇觀看

的方法有（）

A.243種B.162種C.72種D.36種

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如下圖所示，邊長(zhǎng)為。的正方體成周期性排列，在正方體的各個(gè)角以及每個(gè)面

的中心有原子分布的晶體結(jié)構(gòu)，我們稱之為面心立方結(jié)構(gòu).若要將這一個(gè)立方體上的14個(gè)點(diǎn)染上紅黃藍(lán)三種

顏色，使得被一條線段連接的兩個(gè)點(diǎn)不能染上同一種色，那么不同染色方案的種數(shù)是（旋轉(zhuǎn)和鏡像對(duì)稱后

5.（2024.天津和平?二模）為響應(yīng)黨的二十大報(bào)告提出的“深化全民閱讀”的號(hào)召，某學(xué)校開展讀書活動(dòng)，組

織同學(xué)從推薦的課外讀物中進(jìn)行選讀.活動(dòng)要求甲、乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩

人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

6.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）某志愿者小組有5人，從中選3人到A、8兩個(gè)社區(qū)開展活動(dòng)，其中1人到

A社區(qū)，則不同的選法有（）

A.12種B.24種C.30種D.60種

7.（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè)）小張同學(xué)喜歡吃4種不同品種的奶糖，她有5個(gè)不同顏色的塑料袋，每個(gè)

袋子中至少裝1種奶糖.小張同學(xué)希望5個(gè)袋子中所裝奶糖種類各不相同，且每一種奶糖在袋子中出現(xiàn)的

總次數(shù)均為2,那么不同的方案數(shù)為（）

炬手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬?zhèn)鬟f方案種數(shù)為.

14.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）二階魔方是一個(gè)2x2x2的正方體，由8個(gè)角塊組成，沒(méi)有中心塊和棱塊，結(jié)構(gòu)

相對(duì)簡(jiǎn)單.若空間中方向不同但狀態(tài)相同（即通過(guò)整體旋轉(zhuǎn)后相同）的情況只算一種，則任意二階魔方共有一

種不同的狀態(tài).（提示：任選其中1個(gè)角塊作為參考，則其余7塊能自由排列，在這7塊中，任意確定6塊，

最后1塊也就唯一確定了）

15.（2024.河南濮陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）第一屆全國(guó)學(xué)生（青年）運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式于2023年11月5日在廣西舉行,

舉辦本屆學(xué)青會(huì)是推動(dòng)新時(shí)代青少年和學(xué)校體育改革發(fā)展，增強(qiáng)青少年和學(xué)生體質(zhì)、促進(jìn)競(jìng)技體育后備人

才培養(yǎng)的重要措施.為了加強(qiáng)宣傳力度，某體育協(xié)會(huì)從甲、乙等6人中選派4人到A,B,C,。四個(gè)不同

的區(qū)域參加宣傳活動(dòng)，每人去一個(gè)區(qū)域，其中甲、乙至少有一人參加且甲不去A區(qū)域的選派方法共有種

（用數(shù)字作答）.

16.（2024?高二?吉林長(zhǎng)春?期末）有4人到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所

學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

17.（2024.福建泉州.模擬預(yù)測(cè)）圍棋在中國(guó)古時(shí)稱“弈“，是一種策略性二人棋類游戲.圍棋棋盤由縱橫各

19條等距離、垂直交叉的平行線構(gòu)成.則圍棋棋盤上的矩形數(shù)量為.（用數(shù)字作答）

㈤3

//真題實(shí)戰(zhàn)練\\

1.（2001年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（全國(guó)卷））如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間

的連線表示它們有網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系，連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)

點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)8傳遞信息，信息可以分開沿不同路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為（）

2.（1993年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（舊高考））同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來(lái)，然

后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有（）

A.6種B.9種C.11種D.23種

3.（2005年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（北京卷））從0,1,2,3這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不

同的數(shù)作為函數(shù)/（x）="/+bx+c的系數(shù)，可組成不同的一次函數(shù)共有個(gè)，不同的二次函數(shù)共有.

個(gè).（用數(shù)字作答）

4.（2005年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（北京卷））從-1，0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不

同的數(shù)作為函數(shù)〃好="2+法+。的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共

有個(gè).（用數(shù)字作答）

5.（2001年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（全國(guó)卷））圓周上有2〃個(gè)等分點(diǎn)以其中三個(gè)

點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為.

6.（2003年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試題（上海卷））8名世界網(wǎng)球頂級(jí)選手在上海大師賽上分成

兩組，每組各4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰

賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第三、四名，則該大師賽共有場(chǎng)比賽.

第01講計(jì)數(shù)原理

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.................................................2

題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.................................................2

題型三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用.................................................3

02重難創(chuàng)新練..................................................................3

03真題實(shí)戰(zhàn)練..................................................................5

題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

1.書架的第1層放有3本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.

從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為（）

A.3B.8C.12D.18

【答案】A

【解析】書架的第1層放有3本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，

第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為3+3+2=8.

故選：B.

2.從A地到E地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2

次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為（）

A.3B.9C.24D.以上都不對(duì)

【答案】A

【解析】由題意可知，可以乘汽車、火車、輪船三種交通工具，汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，

則由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有3+4+2=9種不同走法.

故選：B.

3.某校有5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求必須有人參加比賽，其中2名學(xué)生必須同時(shí)參加或同時(shí)不參加，其

他學(xué)生可以獨(dú)立決定是否參加，求不同的參賽組合數(shù)（）.

A.10種B.15種

C.20種D.25種

【答案】A

【解析】某校有5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中2名學(xué)生必須同時(shí)參加或同時(shí)不參加，

所以設(shè)這兩名同學(xué)為甲乙，

當(dāng)甲乙同時(shí)參加時(shí)，剩下的三名同學(xué)可能有：

沒(méi)有同學(xué)參加有1種情況，恰有一名同學(xué)參加有C；種情況，

恰有兩名同學(xué)參加有C：種情況，三名同學(xué)都參加有1種情況，

所以共有1+C；+C；+1=8種組合；

當(dāng)甲乙同時(shí)不參加時(shí)，剩下的三名同學(xué)可能有：

恰有一名同學(xué)參加有C。種情況，恰有兩名同學(xué)參加有C；種情況,

三名同學(xué)都參加有1種情況，所以共有C；++1=7種組合；

所以不同的參賽組合數(shù)為：8+7=15種，

故選:B

題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

4.學(xué)校為豐富高中生的課外生活，開設(shè)了興趣小組，有3名學(xué)生想要報(bào)名書法、繪畫、籃球、羽毛球興趣

小組，每人限報(bào)1項(xiàng)、則不同的報(bào)名方式種數(shù)有（）

A.3，B.36C.24D.43

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，每名學(xué)生都可以在書法、繪畫、籃球和羽毛球興趣小組中任選1個(gè)，

都有4種選法，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有4義4義4=43種不同的選法.

故選：D.

5.如圖，只閉合兩個(gè)開關(guān)將一條電路從A處到8處接通，可構(gòu)成線路的條數(shù)為（）

A.8B.4C.5D.3

【答案】A

【解析】根據(jù)題意

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一條電路從A處到8處接通，A處并聯(lián)電路開關(guān)閉合一個(gè)，有2種方法，

E處并聯(lián)電路開關(guān)閉合一個(gè)，只能閉合下面兩個(gè)中的一個(gè)，有2種方法，共有2x2=4種方法.

故選：B

6.2024年中國(guó)足球甲級(jí)聯(lián)賽哈爾濱會(huì)展體育中心的主場(chǎng)火爆，一票難求，主辦方設(shè)定了三種不同的票價(jià)

分別對(duì)應(yīng)球場(chǎng)三個(gè)不同區(qū)域的座位，四位球迷相約看球賽，則四人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方式

共有（）

A.30種B.60種C.120種D.24種

【答案】B

【解析】要使四人中恰有三人在同一區(qū)域，可以分成三步完成：

第一步，先從四人中任選三人，有C；種方法；

第二步再選這三人所在的區(qū)域，有種方法；

第三步，將另外一人從余下的兩個(gè)區(qū)域里任選，有C；種方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有C；.C；.C；=24種方法.

故選：D.

7.(2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè))用。代表紅球，卜代表藍(lán)球，。代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1

個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1+?)-(1+&)的展開式l+a+b+ab表示出來(lái)，如:

“1”表示一個(gè)球都不取、“?！北硎救〕鲆粋€(gè)紅球，而“ab”表示把紅球和藍(lán)球都取出來(lái)，以此類推，

下列各式中，其展開式可用來(lái)表示從3個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、3個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、2個(gè)有區(qū)別的黑球中取

出若干個(gè)球，且所有藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()

A.(l+a+/+/)(l+》3)(]+cy

B.(l+^il+b+b1+Z?3)(l+c)2

C.(l+渡(1+6+r+63)(1+02)

D.(l+a3)(l+&)3(1+c+c2)

【答案】C

【解析】第一步，從3個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球中取出若干球，

則有1+a+/+cP；

第二步，從3個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球中都取出或都不取出，要滿足題意，

只有1+戶;

第三步，從2個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)，

則有=+

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，則要滿足題意的取法有：

(l+a+a?+a3)(i+/)(]+c)2.

8.從6名班委中選出2人分別擔(dān)任正、副班長(zhǎng)，一共有多少種選法？()

A.11B.12C.30D.36

【答案】C

【解析】由題意，共有6x(6-1)=30種選法.

故選：C.

9.5名同學(xué)分別從4個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)為()

A.9B.20C.54D.45

【答案】B

【解析】因?yàn)槊棵瑢W(xué)都有4種選擇，

所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知不同選法的種數(shù)為：4x4x4x4x4=45.

故選：D.

題型三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

10.中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、

馬、羊、猴、雞、狗、豬中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同

學(xué)喜歡龍、牛和羊，乙同學(xué)喜歡龍和馬，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則

選法有種.

【答案】50

【解析】第一種情況是甲選龍，乙只能選馬，丙有10種方法，

第二種情況是甲選?；蝰R，甲有2種方法，乙也有2種方法，那么丙有10種方法，則共有2x2x10=40種

方法，

所以共有10+40=50種方法.

故答案為：50

11.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）袋子中有數(shù)字“7”的卡片3張和數(shù)字“2”，“3”，“5”的卡片各1張，從中任

意取出4張卡片，最多能組成個(gè)不同的四位數(shù)（用數(shù)字回答）.

【答案】72

【解析】如果取一張數(shù)字7的卡片，則數(shù)字2、3、5的卡片都要取出，則組成A：=24個(gè)不同的四位數(shù)；

如果取兩張數(shù)字7的卡片，則數(shù)字2、3、5的卡片要取出兩張，則組成=36個(gè)不同的四位數(shù)；

如果取三張數(shù)字7的卡片，則數(shù)字2、3、5的卡片要取出一張，則組成C；A：=12個(gè)不同的四位數(shù)；

所以最多能組成24+36+12=72個(gè)不同的四位數(shù).

故答案為：72.

12.如果一個(gè)四位數(shù)各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和為8,則稱這個(gè)四位數(shù)為“幸運(yùn)數(shù)”，那么總共有個(gè)“幸運(yùn)

數(shù)

【答案】120

【解析】①若有3個(gè)0,則為8000,共1個(gè)；

②若有2個(gè)0，則另外兩個(gè)數(shù)為。，7）,（2,6）,（3,5）,（4,4）,則有A；A；x3+A；=21個(gè)；

③若有1個(gè)0,則另外三個(gè)數(shù)為（1,1,6）,（1,2,5）,（1,3,4）,（2,2,4）,（2,3,3）,

則有A；A；x2+（3+A；）x3=63個(gè)；

④若沒(méi)有0,則為（1,1,1,5）,（1,1,2,4）,（1,1,3,3）,（1,2,2,3）,（2,2,2,2）,

貝第弋+1+與x2+送=35個(gè)；

綜上一共有1+21+63+35=120個(gè).

故答案為：120

13.用0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被3整除的偶數(shù)有個(gè).（用數(shù)字作答）.

【答案】46

【解析】依題意，若這四位數(shù)為偶數(shù)，則個(gè)位一定是024這三個(gè)之一；

若這四位數(shù)能被3整除，則這四位數(shù)之和為3的倍數(shù).

當(dāng)個(gè)位數(shù)為。時(shí)，剩下的三位數(shù)為1,2,3或2,3,4或3,4,5,此時(shí)共有：3A;18個(gè);

當(dāng)個(gè)位數(shù)為2時(shí)，剩下的三位數(shù)為0,1,3或0,3,4或1,4,5,

當(dāng)剩下的三位數(shù)含有。時(shí)，。不能在千位數(shù)，此時(shí)有2x2A；A；+A；=14j；

當(dāng)個(gè)位數(shù)為4時(shí)，剩下的三位數(shù)為0,2,3或0,3,5或1,2,5,

當(dāng)剩下的三位數(shù)含有。時(shí)，。不能在千位數(shù)，此時(shí)有2x2A；A；+A；=14j；

總共有：18+14+14=46個(gè).

故答案為：46.

㈤2

重難創(chuàng)新練

1.（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）將“1,2,2,3,4,5”這6個(gè)數(shù)字填入如圖所示的表格區(qū)域中，每個(gè)區(qū)域填一個(gè)

數(shù)字，1不在A區(qū)域且三列中只有中間一列區(qū)域的數(shù)字之和為7,若中間一列填2和5,則不同的填法有（）

A.20種B.24種C.36種D.48種

【答案】A

【解析】求不同填法需要4步，填中間一列有2種方法，再填1有3種方法，

與1同列的只能是3或4,有2種方法，最后兩個(gè)區(qū)域，填兩個(gè)數(shù)字有2種方法,

所以不同填法種數(shù)是2x3x2x2=24.

故選:B

2.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）某高校要求學(xué)生除了學(xué)習(xí)第二語(yǔ)言英語(yǔ)，還要求同時(shí)進(jìn)修第三語(yǔ)言和第四

語(yǔ)言，其中第三語(yǔ)言可從A類語(yǔ)言：日語(yǔ)，韓語(yǔ)，越南語(yǔ)，柬埔寨語(yǔ)中任選一個(gè)，第四語(yǔ)言可從E類語(yǔ)言:

法語(yǔ)，德語(yǔ)，俄語(yǔ)，西班牙語(yǔ)，意大利語(yǔ)，則學(xué)生可選取的語(yǔ)言組合數(shù)為（）

A.20B.25C.30D.35

【答案】C

【解析】第三語(yǔ)言可從A類語(yǔ)言4個(gè)中任選一個(gè)，有4種方法,

第四語(yǔ)言可從K類語(yǔ)言5個(gè)中任選一個(gè)，有5種方法,

所以共有4x5=20種.

3.（2024.河南周口.模擬預(yù)測(cè)）2024年春節(jié)檔賀歲片《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《熊出沒(méi)?逆轉(zhuǎn)時(shí)空》異

?；鸨?、乙等5人去觀看這三部電影，每人只觀看其中一部，甲、乙不觀看同一部電影，則選擇觀看

的方法有（）

A.243種B.162種C.72種D.36種

【答案】A

【解析】先安排甲、乙兩人，有A；種方法，再安排其余3人，每人有3種安排方法，故共有A；x3x3x3=162

（種）方法.

故選：B.

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如下圖所示，邊長(zhǎng)為。的正方體成周期性排列，在正方體的各個(gè)角以及每個(gè)面

的中心有原子分布的晶體結(jié)構(gòu)，我們稱之為面心立方結(jié)構(gòu).若要將這一個(gè)立方體上的14個(gè)點(diǎn)染上紅黃藍(lán)三種

顏色，使得被一條線段連接的兩個(gè)點(diǎn)不能染上同一種色，那么不同染色方案的種數(shù)是（旋轉(zhuǎn)和鏡像對(duì)稱后

重合的視為同一種）（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】不妨設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1,記紅黃藍(lán)三種顏色為a,b,c,

我們首先假設(shè)正方體的一對(duì)對(duì)頂點(diǎn)是在（o，。，。）和（LL1）,若將（0,0,0）染成。色，

那么（0,05,0.5）,（0.5,0.5,0）,（050,0.5）三個(gè)點(diǎn)必然都是｝色，

而（0,0,1）,（0,1,0）,（1,0,0）必然都是C色.如此遞推可以恰好染完整個(gè)正方體.

而當(dāng)方色固定的時(shí)候通過(guò)旋轉(zhuǎn)就可以得到ac互換的正方體.

從而只有三種不同的方案，也就是將面的中間分別染上紅黃藍(lán)三種顏色.

故選：A

5.（2024?天津和平?二模）為響應(yīng)黨的二十大報(bào)告提出的“深化全民閱讀”的號(hào)召，某學(xué)校開展讀書活動(dòng)，組

織同學(xué)從推薦的課外讀物中進(jìn)行選讀.活動(dòng)要求甲、乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩

人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

首先選取1種相同課外讀物的選法有仁=5種，

再選取另外兩種課外讀物需不同，則共有CC；=12種，

所以這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有5x12=60種.

故選：B.

6.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）某志愿者小組有5人，從中選3人到A、8兩個(gè)社區(qū)開展活動(dòng)，其中1人到

A社區(qū)，則不同的選法有（）

A.12種B.24種C.30種D.60種

【答案】C

【解析】求不同選法種數(shù)需2步，先從5人中選1人去A社區(qū)，再?gòu)挠嘞?人中選2人去B社區(qū)，

所以不同的選法有CK：=3。（種）.

故選：C

7.（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè)）小張同學(xué)喜歡吃4種不同品種的奶糖，她有5個(gè)不同顏色的塑料袋，每個(gè)

袋子中至少裝1種奶糖.小張同學(xué)希望5個(gè)袋子中所裝奶糖種類各不相同，且每一種奶糖在袋子中出現(xiàn)的

總次數(shù)均為2,那么不同的方案數(shù)為（）

A.3000B.3360C.1440D.1560

【答案】C

【解析】依次記四種奶糖為RY,X,Z,則每個(gè)字母出現(xiàn)2次，先分堆.

若是“8=4+1+1+1+1”，則其中的“4”必須是mxz,故有1種可能；

若是“8=3+2+1+1+1”，則考慮（鵬）（2※）監(jiān)）件）恪），故有C：C；=12種可能；

若是“8=1+1+2+2+2”，則考慮（z）（x）（衣）（x※乂※※），故有c爾=12種可能,

所以不同的方案數(shù)為（l+12+12）.A：=3000種.

故選:A.

8.（2024?陜西西安?三模）方程孫=2160的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為（）

A.40B.28C.22D.12

【答案】C

【解析】因?yàn)?160=24x33*5,所以2160的因數(shù)有5x4x2=40個(gè)，

故方程孫=2160的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為40.

故選：A

9.（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）將1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)隨機(jī)地排成一個(gè)數(shù)列，記第z?項(xiàng)為“（=1,2,,7）,

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.右%=7,ax+a2+a3<a5+a6+an,則這樣的數(shù)列共有360個(gè)

B.若該數(shù)列恰好先增后減，則這樣的數(shù)列共有64個(gè)

C.若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，則這樣的數(shù)列共有144個(gè)

D.右4>%>。3，V“4V。5，%>“6>%，則樣的數(shù)列共有71個(gè)

【答案】CCD

【解析】對(duì)于A：由于1+2+3+4+5+6=21為奇數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性可知這樣的數(shù)列有?=360個(gè)，

故A正確；

對(duì)于B：從2,3,4,5,6,7中選出1個(gè)數(shù)排在1的右側(cè)，其余排在1的左側(cè)，

得到先減后增的數(shù)列有C：個(gè)；

從2,3,4,5,6,7中選出2個(gè)數(shù)排在1的右側(cè)，其余排在1的左側(cè)，

得到先減后增的數(shù)列有C：個(gè)；

從2,3,4,5,6,7中選出3個(gè)數(shù)排在1的右側(cè)，其余排在1的左側(cè)，

得到先減后增的數(shù)列有Ct個(gè)；

從2,3,4,5,6,7中選出4個(gè)數(shù)排在1的右側(cè)，其余排在1的左側(cè)，

得到先減后增的數(shù)列有C：個(gè)；

從2,3,4,5,6,7中選出5個(gè)數(shù)排在1的右側(cè)，其余排在1的左側(cè)，

得到先減后增的數(shù)列有C1個(gè)；

故滿足條件的總個(gè)數(shù)為：爆+C；+C+C+C=62個(gè)，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C：若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，

則這樣的數(shù)列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，則有A：.A；=144個(gè)，故C正確；

對(duì)于D：若%=1，則先從其余6個(gè)數(shù)中任選2個(gè)數(shù)作為4,%且4>%,有C；種方法，

剩余4個(gè)數(shù)中最大的為%,剩下的3個(gè)數(shù)任取2個(gè)作為。6,%且。6>%,有種方法，

則這樣的數(shù)列有C^C；=45個(gè)，

若。3=2,則先從除去1之外的5個(gè)數(shù)中任選2個(gè)數(shù)作為4,%且4>出，有C；種方法，

剩余4個(gè)數(shù)中最大的為4，%=1，剩下的2個(gè)數(shù)任取1個(gè)作為4或%即可，有C；種方法，則這樣的數(shù)

列有C；C；=20個(gè)，

若。3=3,則先從除去1、2之外的4個(gè)數(shù)中任選2個(gè)數(shù)作為％,%且卬>電，有C：種方法，

剩余4個(gè)數(shù)位置固定的一種排法，其中&=2,%=1,則這樣的數(shù)列有C；=6個(gè)，

所以滿足條件的這樣的數(shù)列共有45+20+6=71個(gè)，故D正確；

故選：ACD.

10.（多選題）（2024?高二?山東德州?階段練習(xí)）帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，則（）

A.全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有4,種放法

B.放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有4種放法

C.將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不投入），共有20種放法

D.全部投入3個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，共有140種不同的放法

【答案】CC

【解析】對(duì)于A：由分步計(jì)數(shù)原理，

五個(gè)球全部投入4個(gè)不同的盒子里共有45種放法，故A正確；

對(duì)于B：由排列數(shù)公式，

五個(gè)不同的球放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有C；A：=240種放法，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：將其中的4個(gè)球投入一個(gè)盒子里（另一個(gè)球不投入）共有C；C；=20種放法，故C正確；

對(duì)于D：全部投入3個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，

共有C；A；+安A；=150種不同的放法，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.（多選題）（2024.重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖，16枚釘子釘成4x4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下

列說(shuō)法正確的有（不同的圖形指兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)頂點(diǎn)不同）（）

A.可以圍成20個(gè)不同的正方形

B.可以圍成24個(gè)不同的長(zhǎng)方形（鄰邊不相等）

C.可以圍成516個(gè)不同的三角形

D.可以圍成16個(gè)不同的等邊三角形

【答案】CBC

【解析】不妨設(shè)兩個(gè)釘子間的距離為1,

對(duì)于選項(xiàng)A,由圖知，邊長(zhǎng)為1的正方形有3x3=9個(gè)，邊長(zhǎng)為2的正方形有2x2=4個(gè)，

邊長(zhǎng)為3的正方形有1個(gè)，邊長(zhǎng)為血的正方形有2x2=4個(gè)，邊長(zhǎng)為6的有2個(gè)，共有20個(gè)，所以選項(xiàng)

A正確，

對(duì)于選項(xiàng)B,由圖知，寬為1的長(zhǎng)方形有3x3=9個(gè)，寬為2的長(zhǎng)方形有4x2=8個(gè)，

寬為3的長(zhǎng)方形有5個(gè)，寬為血的有2個(gè)，共有24個(gè)，所以選項(xiàng)B正確，

對(duì)于選項(xiàng)C,由圖知，可以圍成C：6-10C：-4C；=516個(gè)不同的三角形，所以選項(xiàng)C正確，

對(duì)于選項(xiàng)D,由圖可知，不存在等邊三角形，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：ABC.

12.（多選題）（2024?高二.山東濱州.期末）某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到A,B,C三家企業(yè)開

展“新冠肺炎”防護(hù)排查工作，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，則下列結(jié)論正確的是（）

A.所有不同分派方案共4?種

B.若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共36種

C.若每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到A企業(yè)，則所有不同分派方案共12種

D.若C企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共48種

【答案】ACD

【解析】選項(xiàng)A：所有不同分派方案共￥種.判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，

先把4名醫(yī)生分成3組（2人，1人，1人）再分配.

則所有不同分派方案共里4尻

=36（種）.判斷正確;

選項(xiàng)C：若每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到A企業(yè),

則A企業(yè)可以只有醫(yī)生甲，也可以有醫(yī)生甲和另一名醫(yī)生,

則所有不同分派方案共C：C；C：A；+C：A；=12（種）.判斷正確;

選項(xiàng)D：若C企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則C企業(yè)可以有1名醫(yī)生和沒(méi)有醫(yī)生兩種情況,

則不同分派方案共C；X2'+24=48（種）.判斷正確.

故選：BCD

13.（2024.河南新鄉(xiāng).模擬預(yù)測(cè)）2024年7月14日13時(shí)，2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)火炬開始在巴黎傳遞，其中

某段火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)由包含甲、乙、丙在內(nèi)的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2名火

炬手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬?zhèn)鬟f方案種數(shù)為.

【答案】10

【解析】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是從乙、丙中選1人，從除甲、乙、丙之外的2

人中選1人組成，所以最后一棒的安排方案有：1+C1C；=5種；

安排最后一棒后，剩余兩人安排在中間兩棒，方案有：A；=2種,

由分步計(jì)數(shù)乘法原理，不同的傳遞方案種數(shù)為：5x2=10種.

故答案為：10

14.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）二階魔方是一個(gè)2x2x2的正方體，由8個(gè)角塊組成，沒(méi)有中心塊和棱塊，結(jié)構(gòu)

相對(duì)簡(jiǎn)單.若空間中方向不同但狀態(tài)相同（即通過(guò)整體旋轉(zhuǎn)后相同）的情況只算一種，則任意二階魔方共有一

種不同的狀態(tài).（提示：任選其中1個(gè)角塊作為參考，則其余7塊能自由排列，在這7塊中，任意確定6塊，

最后