2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)易錯題之三角形（解析版）

易錯04三角形

三■角形三邊關(guān)系'易錯點一:忽略三角形構(gòu)成條件

角平分線，中線，高線，中垂線K易錯點二:混淆各種線的概念及畫法

三角形的高線詞爵、易錯點三:討論不全面，需分類討論

三三角形的重易錯點四:比例關(guān)系混淆

角6K

形等腰三角形問題、易錯點五:討論不全面，需分類討論

證明全等三角花］、.易錯點六:錯用SSA證明

相似三角形易錯點七:書寫要注意字母對應(yīng)

直角三角形的實際應(yīng)用卜、易錯點八:混淆角的專業(yè)術(shù)語

易錯點一：忽略三角形構(gòu)成條件

三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.

易錯提醒：在解題時，要根據(jù)三角形存在的條件，驗證求得的解，否則容易造成多解.

例1.一個三角形的三邊長都是整數(shù)，它的周長為12,則這個三角形的形狀是（）

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.以上三種情況都有可能

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理等知識點，設(shè)最長邊為x,另外兩邊之和為

y,則x+y=12；根據(jù)題意求出x的取值范圍是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)最長邊為X,另外兩邊之和為y,則x+y=12

由三角形的三邊關(guān)系得：y>x,

/.x+y>2xf即：x<6

???三角形的三邊長都是整數(shù)，

12廣

—<］,艮［1%之4,

3

4<x<6

.,.尤可以取4或5,

當(dāng)尤=4時，三邊只能是4,4,4,為等邊三角形；

當(dāng)x=5時，三邊有兩種情況：①3,4,5,為直角三角形，②5,5,2,為等腰三角形.

故選：D

易錯警示：三角形三邊之間的不等關(guān)系，注意其中的“任何兩邊”。求最短距離的方法。

例2.已知等腰AABC的底邊長為5.其腰長恰好是方程爐-2（m+1卜+6〃工-2=0的根，則根的值是

（）

A.2B.4C.1D.3

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，以及三角形的三邊關(guān)系.根據(jù)一元二次

方程根的判別式，求得加=1或〃2=3,再將，"的分別代入一元二次方程求出腰長，結(jié)合三角形的三邊關(guān)

系，即可確定根的值.

【詳解】解：X2—2（m+l）x+6加-2=0,

?：a=\,6=-2（〃z+l）,c=6m-2,

A=Z?2-4<7C=4（77；+1）--4（6m—2）=0,

解得：加=1或〃?=3,

當(dāng)機(jī)=1時，%2-4x+4=0,解得：x=2,

Q2+2<5,不滿足三角形的三邊關(guān)系，

:.m=l（舍去）；

當(dāng)祖=3時，x2-8x+16=0>解得：無=4,

?.?4+4>5,滿足三角形的三邊關(guān)系，

即機(jī)的值是3,

故選：D.

變式1.若菱形ABCD的一條對角線長為8,邊A3的長為方程Y-8元+15=0的一個根，則菱形A3CD的

周長為（）

A.24B.12C.20D.12或20

【答案】c

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、三角形的三邊關(guān)系；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由三

角形的三邊關(guān)系得出是解決問題的關(guān)鍵.解方程得出x=3或x=5,分兩種情況：①當(dāng)AB=4>=3

時，3+3<8,不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)AB=AD=5時，5+5>8,即可得出菱形ABCD的周長.

【詳解】解：如圖所示：

:四邊形ABCD是菱形，

AB=BC=CD=AD,

???X2-8X+15=0,

因式分解得：(x-3)(x-5)=0,

解得：尤=3或x=5,

分兩種情況：

①當(dāng)AB=AD=3時，3+3<8,不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)AB=AD=5時，5+5>8,

菱形ABCD的周長=4AB=20.

故選：C

變式2.定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的3倍，這樣的三角形叫做“3倍長三角形”.若等腰“RC

是“3倍長三角形"，底邊BC的長為3,則等腰AABC的周長為—.

【答案】21

【分析】本題考查了等腰三角形的定義以及三角形三邊關(guān)系，讀懂題意，理解“3倍長三角形”是解本題的

關(guān)鍵.由等腰AABC是“3倍長三角形”，可知AB=33C或5c=3AB,^AB=3BC=9,可得AB的長為

9；若3C=3AB=3,因為1+1<3,故此時不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；再根據(jù)周長的多余即可得

答案.

【詳解】解：,??等腰AABC是“3倍長三角形”，

:.AB=3BC^BC=3AB,

若AB=33C=9,則AASC三邊分別是9、9、3,符合題意，

等腰三角形ABC的周長為9+9+3=21；

若3c=3AB=3,則AB=1,AABC三邊分別是1、1、3,

vl+l<3,

此時不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；

綜上所述，等腰三角形ABC的周長為21.

故答案為：21.

變式3.等腰三角形的兩邊長為8,當(dāng)。每取一個值時，該等腰三角形都只有一個，則。的取值范圍

是.

【答案】0<a<4

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形中兩腰相等，以及三角形的三邊關(guān)系.根據(jù)三角形三邊

關(guān)系列出不等式，通過解不等式即可得到答案

【詳解】解：若。是腰長，則2a>8,即。>4；

若。是底邊長，貝

因為。不能既是腰長又是底邊長，所以0<aW4.

故答案為：0<aW4.

變式4.已知關(guān)于x的方程,%2—(左+2)x+2左=0.

(1)求證：無論左為任意實數(shù)值方程，總有實數(shù)根；

(2)若等腰三角形ABC的一邊。=1,另兩邊6、c恰是這個方程的兩個根，求三角形ABC的周長.

【答案】(1)證明見解析

⑵5

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，等腰三角形的定義和構(gòu)成三角形的

條件：

(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可；

(2)分當(dāng)?shù)妊切蔚难L為1時，則x=l是方程￡一億+2)x+2左=0的一個根，當(dāng)?shù)走呴L為1時，則

原方程有兩個相等的實數(shù)根，兩種情況求出人的值進(jìn)而求出另一個根，再根據(jù)構(gòu)成三角形的條件求解即

可.

【詳解】(1)證明：由題意得，△=「-伏+2)7-8左

=)？+4左+4—81

=二_4左+4

=(^-2)2>0,

二無論人為任意實數(shù)值方程，總有實數(shù)根；

(2)解：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為1時，則尤=1是方程f-化+2.+2左=0的一個根,

1一(左+2)+2左=0,

k=l,

.?.原方程為V-Bx+ZnO,

解得x=l或x=2,

.?.底邊長為2,

V1+1=2,

,此時不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

當(dāng)?shù)走呴L為1時，則原方程有兩個相等的實數(shù)根，

A=(%-2)2=0,

k=2,

.?.原方程為f-4x+4=0,

解得再=%=2,

：1+2>2,

.??此時能構(gòu)成三角形，

AABC的周長為2+2+1=5.

1.等腰三角形ABC中，底邊BC=10,且8。|=3,則AB=.

【答案】13或7/7或13

【分析】本題考查等腰三角形的定義，絕對值，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，先根據(jù)|A3-3。=3計算出的

值，再判斷是否符合三角形三邊關(guān)系即可.

【詳解［解：..?|筋—3。|=3,

AB-BC=±3,

■-BC=10,

A3=13或7,

當(dāng)AB=13時，三條邊長為13,13,10；當(dāng)AB=7時，三條邊長為7,7,10,

均符合三角形三邊關(guān)系，滿足題意，

故答案為：13或7.

2.已知，a、6是等腰三角形的兩邊，且Ja-3+(b-6)2=0,則這個三角形周長是___.

【答案】15

【分析】本題考查等腰三角形性質(zhì)，二次根式和完全平方的非負(fù)性，構(gòu)成三角形三邊關(guān)系.根據(jù)題意先求

出。、。的值，再利用等腰三角形定義分類討論三角形邊的情況即可.

【詳解】解：：G^+S-6)2=0,

「。一3=0,,

\，解得：a=3,b=6,

也_6=0

Vo.6是等腰三角形的兩邊，

①當(dāng)。為腰時，則》為底，三角形為：3,3,6,

?；3+3=6不符合構(gòu)成三角形三邊關(guān)系，

.?.此種情況舍去；

②當(dāng)。為底時，則》為腰，三角形為：3,6,6,

,此時符合構(gòu)成三角形三邊關(guān)系，即周長為：3+6+6=15,

故答案為：15.

3.等腰三角形A3c的周長為7cm,AB=3cm,則BC的長為—.

【答案】1cm或2cm或3cm

【分析】本題考查了等腰三角形性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，根據(jù)題干可以分為三種情況：①當(dāng)A3為底邊

時、②當(dāng)3c為底邊時、③當(dāng)C4為底邊時，根據(jù)以上三種情況討論邊的取值即可解題.

【詳解】解：等腰三角形A3C的周長為7cm,AB=3cm,

分以下三種情況：

①當(dāng)為底邊時，

BC=04=(7-明+2=2(cm),

此時三邊長為別為3cm、2cm、2cm,滿足三角形三邊關(guān)系；

②當(dāng)3c為底邊時，

AB=CA=3cm,

.?.5C=7—2AB=l(cm),

此時三邊長為別為3cm、3cm、1cm,滿足三角形三邊關(guān)系；

③當(dāng)C4為底邊時，

AB=BC=3cm,

.?.G4=7—2AB=l(cm),

此時三邊長為別為3cm、3cm、1cm,滿足三角形三邊關(guān)系；

故答案為1cm或2cm或3cm.

4.如果AABC是等腰三角形，且卜3-4|+|9-AC|=O,則的周長為().

A.13B.17C.17或22D.22

【答案】D

【分析】本題考查了絕對值非負(fù)性的應(yīng)用，構(gòu)成三角形的條件，等腰三角形的性質(zhì)；由絕對值非負(fù)性可求

AB=4,AC=9,分類討論①當(dāng)BC=AB=4時，②當(dāng)3C=AC=9時，即可求解；理解非負(fù)性，能個根

據(jù)等腰三角形的腰的不同進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解］解：..,"4+|9_AC|=O,

AB-4=0,AC—9=0,

AB=4,AC=9,

金C是等腰三角形，

二①當(dāng)3c=AB=4時，

三邊長為：4,4,9,

?/4+4<9,

，不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)3C=AC=9時，

三邊長為：4,9,9,

能構(gòu)成三角形，

故三角形的周長為4+9+9=22；

綜上所述：三角形的周長為22；

故選：D.

5.已知a、b、。是44BC的三邊，S.c2+ab-b2-ac=0,則AABC一定是()

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，熟練掌握因式分解的方法是

解本題的關(guān)鍵.已知等式變形后分解因式，利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個為0,得到6=C,

即可確定出三角形形狀.

【詳解】解：；)+3-/-℃=0,

(ab—cic)一-c?)=0,

a(6-c)-(b+c)。-c)=0,

(b—c)(a—b—c)=0,

??b-c—0a—b-c=0,

b=c^a=b+c,

b、c是“IBC的三邊，

b+c>a,

a=6+c不成立，只能是6=c,

/.“IBC一定是等腰三角形.

故選：C.

6.已知三角形中兩邊邊長值分別是￡一舐+15=0的兩根，設(shè)其剩下的邊邊長值為機(jī)，則機(jī)的取值范圍

是一

【答案】2<小<8

【分析】本題考查了解一元二次方程以及三角形三邊關(guān)系，先利用因式分解法解方程，再根據(jù)三角形三邊

關(guān)系可得答案.

【詳解】解：?.?尤2-8x+15=0,

\(九-5)(x-3)=0,

貝"5=0或x-3=0,

解得%=5,x2=3,

則該三角形第三邊m的取值范圍是5-3<%<5+3,即2<m<8,

故答案為：2<相<8.

7.一個等腰三角形的周長為30cm.

(1)已知腰長是底邊長的2倍，求各邊的長；

（2）已知其中一邊的長為7cm.求其它兩邊的長.

【答案】（1）這個等腰三角形的各邊的長為12cm,12cm,6cm；

（2）另外兩邊的長為11.5cm,11.5cm.

【分析】本題考查了等腰三角形的定義和三角形的三邊關(guān)系.

（1）設(shè)底邊長為xcm,則腰長為2xcm,根據(jù)等腰三角形的周長為30cm列方程求出無，即可得出答案；

（2）分情況討論：①當(dāng)?shù)走呴L為7cm時，②當(dāng)腰長為7cm時，分別根據(jù)等腰三角形的周長為30cm列式計

算即可.

【詳解】（1）解：設(shè)底邊長為xcm,則腰長為2xcm,

?.?三角形的周長是30cm,

/.2x+2x+x=30,

解得：x=6,則2x=12,

.?.這個等腰三角形的各邊的長為12cm,12cm,6cm；

（2）解：①當(dāng)?shù)走呴L為7cm時，

則腰長為：（30-7）+2=11.5（cm）,

所以另外兩邊的長為11.5cm,11.5cm,且符合三角形三邊關(guān)系定理；

②當(dāng)腰長為7cm時，

則底邊長為：30-7x2=16（cm）,

所以另外兩邊長為7cm,16cm,7+7<16,不符合三角形三邊關(guān)系定理.

綜上，另外兩邊的長為H.5cm,11.5cm.

易錯點二：混淆各種線的概念及畫法

三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段；

三角形的角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段;

三角形的高線：從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段

垂直平分線（中垂線）：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線

易錯提醒：一是要對各種線的概念進(jìn)行熟記；二是能夠根據(jù)題意畫出規(guī)范圖形

?Q??

例3.如圖，CD,CE,角平分線、中線，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.^?ACF=SABCFB.ZACE=-ZACB

2

C.AB=2BED.CDLBE

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形高，中線，角平分線的定義，熟知相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形

高，中線，角平分線的定義進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：是4RC的中線，

/.AF=BF,

=^AFCD=^BFCD=S^BFC,A選項正確，不符合題意；

???CE是^ABC的角平分線,、

AZACE^-ZACB,B選項正確，不符合題意；

2

CP是"1BC的中線，

:.AB=2BFA2BE,C選項錯誤，符合題意；

???co是AABC的高，

CDVBE,D選項正確，不符合題意；

故選D.

:易錯警示：注意三角形的概念以及三角形的角平分線，中線，高線的特征與區(qū)別。

例4.在RtaABC中，已知NC=90。，有一點。同時滿足以下三個條件：①在直角邊BC上；②在—C4B

的角平分線上；③在直角邊A3的垂直平分線上，則-3等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用以及角平分線的性質(zhì)，能求出==是解此

題的關(guān)鍵，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到ZM=DB,得到N3=NDW,根據(jù)角平分線的定義得至I

ZDAB=ADAC,根據(jù)三角形內(nèi)角和計算即可.

【詳解】解：是“LBC的A3邊的垂直平分線，

；?AD=BD,

/.ZB=ZDAB,

'：平分/BAC,

?.ZDAB=ZDAC,

：.ZB=ZDAB=ZDAC,

VZC=90°,?B1DAB?DAC?C180?

?.ZB=30°,

故選：B.

變式1.如圖，在44BC中，ZC=90°,D,E是AC上兩點，S.AE=DE,BD平分NEBC,那么下列說

法中不正確的是（）

A.物是△極）的中線B.3D是ABCE的角平分線

C.Z1=Z2=Z3D.BC是ABDE的高

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的高線，三角形的角平分線定義，三角形的中線等知識點，能熟記知識點的內(nèi)

容是解此題的關(guān)鍵.利用已知條件和三角形中線即可判斷出A選項的正誤；利用已知條件和角平分線的定

義即可判斷出B選項的正誤；利用角平分線的性質(zhì)只能得到一2=/3,但沒有辦法得到4=/2,這樣就

很容易判斷出C選項的錯誤；由于NC=90。，結(jié)合“從一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點到垂

足之間的線段叫做三角形的高”即可判斷出8c是否是的高，這樣也能得出D選項的正誤.

【詳解】A、由圖可知：8E是△ABD的中線，正確，不符合題意；

B、由圖可知：8。是ABCE的角平分線，正確，不符合題意；

C、Q3。是A3CE的角平分線，

.-.Z3=Z2,

???BE是中線，

.?.N1/N2,

N1=N2=N3不正確，符合題意.

D、由圖可知：

???ZC=90°

.?.BC是AABE的高，正確，不符合題意；

故選C.

變式2.如圖，已知AABC,按下列要求畫圖:

(1)畫出/ABC的平分線，并指出相等的角；

(2)畫出8C邊上的中線，并指出相等的線段；

(3)畫出2C邊上的高，并指出圖中所有的直角三角形.

⑶圖中的直角三角形有△AEB,八4/石和

【詳解】(1)8。是NABC的平分線.ZABD=ZCBD.

(2)AE是BC邊上的中線.BE=CE.

(3)是BC邊上的高.?：AF±BC,：.ZAFC=90°,圖中的直角三角形有△AFB,/XAFE和

△AFC.

變式3.如圖，在長度為1個單位長度的小正方形網(wǎng)格中，AABC的三個頂點均在格點上.將AABC經(jīng)過一

次對稱后得到AA'3'C'，圖中標(biāo)出了點A的對應(yīng)點4.

(1)補全AARC；

⑵畫出AC邊上的中線B。；

⑶畫出AC邊上的高線8E；

(4)求“BC的面積.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

(4)8

【分析】(1)連接A4'，作利用格點找出A4'的垂線，即為對稱軸，再作出點8,點C的對稱點，順次連

接即可得到AAB'C；

(2)利用格點找出AC的中點￡),連接3D即可；

(3)利用格點作△加H,使得,BH交AD于點、E,利用全等三角形的性質(zhì)可證

BHJ.AD,BE即為所求；

(4)利用格點和三角形面積公式計算即可.

【詳解】(1)解：AABC如下圖所示；

(2)解：AC邊上的中線BD如下圖所示;

(3)解：AC邊上的高線BE如下圖所示;

理由如下：

由格點可知/'=BF=AB,

又/HFB=/DBA=9U°,

:.AABD%BFH(SAS),

?./HBF=/DAB,

???ZADB-^ZDAB=9Q0,

???ZADB+/HBF=9伊,

ZDEB=90°f

班為AC邊上的高線；

⑷解:S.=S/+Sj=*!j24+；創(chuàng)24=8,

即AABC的面積為8.

【點睛】本題考查格點作圖，涉及作軸對稱圖形、作三角形的中線、高線、全等三角形的判定與性質(zhì)等，

第3問有一定難度，解題的關(guān)鍵是利用格點構(gòu)造AABZ運△班H.

變式4.如圖所示，AE為“LBC的角平分線，C￡＞為“LBC的高，若N3=30。，NACB=75°,求N/WC的

【分析】首先根據(jù)三角形高的定義可知/ADC=90。，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理解得NBAC的值，結(jié)合

AE為AABC的角平分線，可得/5鉆=37.5。，然后根據(jù)“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角

和“，由//4尸。=4/1￡+/4。。求解即可.

【詳解】解：：C￡＞為“1BC的高，

ZA￡＞C=90°,

VZB=30°,ZACB=75°,

：.ABAC=180°-ZB-ZACB=180°-30°-75°=75°,

,/AE為AABC的角平分線，

ZBAE=-ABAC=37.5°,

2

ZAFC=ABAE+ZADC=37.5°+90°=127.5°.

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義和性質(zhì)、三角形的角平分線和三角形的高

等知識，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用是解題關(guān)鍵.

1.如圖，A、B.C分別為某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)中的三地，每兩地之間都修建了一條筆直的公路，現(xiàn)在要在4、

3、C三地之間建一個加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應(yīng)建在（）.

A.AC.兩邊高線的交點處B.么兩內(nèi)角平分線的交點處

C.AC、BC兩邊中線的交點處D.AC,8C兩邊垂直平分線的交點處

【答案】B

【分析】本題考查角平分線性質(zhì).角平分線上的點到線段兩端的距離相等，利用性質(zhì)即可得到本題答案.

【詳解】解：?.?要在4、2、C三地之間建一個加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，

，將加油站建在么兩內(nèi)角平分線的交點處即可到三邊的距離相等，

故選：B.

2.如圖，三條公路把48、C三個村莊連成一個三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)修建一個

集貿(mào)市場，使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個集貿(mào)市場應(yīng)建在（）

A.在AC、BC兩邊高線的交點處B.在ZA、N3兩內(nèi)角平分線的交點處

C.在AC、3c兩邊中線的交點處D.在AC、3c兩邊垂直平分線的交點處

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形三個內(nèi)角的角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等即可選擇.

【詳解】根據(jù)三角形的角平分線性質(zhì)，集貿(mào)市場應(yīng)建在NA、兩內(nèi)角平分線的交點處.

故選：B.

【點睛】本題考查三角形的角平分線性質(zhì)，掌握三角形三個內(nèi)角的角平分線相交于一點，并且這一點到三

條邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵.

3.如圖，在AABC中，AC=BC,AB=6,AABC的面積為12,CD,AB于點。，直線跖垂直平分BC

交AB于點E,交BC于點RP是線段E尸上的一個動點，則的周長的最小值是（）

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，兩點之間連線段最短等；連接PC,由

三角形面積得CD=4,由等腰三角形的性質(zhì)得BO=gA3=3,由線段垂直平分線的性質(zhì)得PC=Pfi,由

兩點之間連線段最短當(dāng)C、P、O三點共線時，PC+PD最小，

止匕時PC+PD=CD=4,即可求解；掌握相關(guān)的性質(zhì)，“將軍飲馬''典型問題的解法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接尸C,

:.-ABCD=12,

2

.-.-x6-cr>=12,

2

解得：CD=4,

AC=BC,

:.BD=-AB=3,

2

??,直線斯垂直平分交A8于點E,

:.PC=PB,

當(dāng)C、P、。三點共線時，PC+PD最小,

止匕時尸C+PD=CD=4,

.?.PB+PD的最小值為4,

的周長的最小值為:

BD+PB+PD

=3+4

=7；

故選：B.

4.如圖，在"LBC中，/54C=90。，AB=6,AC=8,BC=10,AD是高，的是中線，C尸是角平分

線，CF交AD于點G,交BE于點H,下面結(jié)論：①AME的面積=ABCE的面積；@ZAFG=ZAGF；

③NE4G=2NACF；④AD=2.4.其中正確結(jié)論的序號是—.

【答案】①②③

【分析】本題考查了三角形的中線、高、角平分線；根據(jù)三角形角平分線和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量

關(guān)系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定AABE和ABCE的面積關(guān)系以及求出AD的長度.

【詳解】解：；BE是AABC的中線

:.AE=EC

:.ABE的面積等于ABCE的面積

故①正確；

-.■ZBAC^90°,AD是"LBC的高

:.ZAFG+ZACG=90°,ZDCG+ZDGC=90°

?.?CP是AABC的角平分線

/.ZACG=ZDCG

:.ZAFG=ZDGC

又?；NDGC=ZAGF

:.ZAFG=ZAGF

故②正確；

ZFAG+NDAC=ZDAC+ZACD=90°

:.ZFAG^ZACD

ZACD=ZACF+NDCF=2ZACF

:.ZFAG=2ZACF

故③正確;

2S.=ABAC=BCAD

△ADRCr

BC10

故④錯誤;

故答案為：①②③.

5.如圖，是由小正方形組成的6x6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，AABC的三個頂點都是格點，僅

用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖.(畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示).

(1)如圖1,請畫出44BC的高CO和中線A￡；

(2)如圖2,A￡＞是的角平分線，請畫出的角平分線BE,并在射線BE上畫點歹，使

BE=2AF.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)連接CM,與AB相交于點O,C。即為的高，連接FH,與BC相交于點E,連接

AE,AE即為44BC中線；

(2)找到格點4,連接交于點T,連接并延長交AC于點E,8E即為—ABC的角平分線；找到格

點N,連接A?交AD于點M,連接。河并延長，交BE于點F,則點尸即為所求.

【詳解】(1)解：如圖所示，

圖1

（2）解：如圖所示，找到格點4,連接CH交于點T,連接87并延長交AC于點E,BE即為—ABC的角

平分線；

找到格點N,連接AE交AD于點加，連接OM并延長，交BE于點F,則點歹即為所求；

圖2

理由如下：；44BC是等腰直角三角形，

/.ZBAC=45°,

?.?四邊形AC3”是正方形，則NACH=N3CH=45。,

則CH是NACB的角平分線，

???T是角平分線的交點，

則BE是ZABC的角平分線；

AD是NBAC的角平分線，

ZBAD=22.5°

：.ZADN=22.5°+45°=67.5°

又“GV是等腰直角三角形，

ZANC^45°

：.NNAD=67.5°=ZADN,

：.NA=ND

?.?3瓦NE關(guān)于AC對稱，

ZEVC=Z￡BC=22.5°

/.ZNMC=180°-ADC-MND=90°,

：.AM=MD,

???。，M分別是AB,AD的中點，

???OF//BC

：.ZMFE=ZEBC=22.5°,ZFME=ZENC=22.5°,即ZEMF=ZFME

：.ME=FE,

：.BF=NM

在中，

AB=AN

<ZANF=NABF

BF=NM

；.AABF^ANM

：.ZAFB=ZAMN=90°

：.OF=-AB=OA

2

ZAOF=ZABC=45°

：.ZAFM=1(180°-45°)=67.5°

又,.,"F〃5C

：.ZAMF=ZADC=61.5°

：.ZAMF=ZAFM

：.AF=AM=-AD

2

在△ADC,△BCE中，

ZDAC=ZCBE=22.5°

<ZACD=ZBCE=90°

AC=BC

：.AADC沿ABCE

：.AD=BE

:.BE=2AF.

【點睛】本題考查了無刻度直尺作圖，作三角形的中線，高線，角平分線，全等三角形的性質(zhì)與判定，軸

對稱的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在AABC中，為3c邊上的高，/ABC的平分線交AD于點石，交AC于點尸.若

ZDAC=24°,ZABC=50°,求ZAFB的度數(shù).

【答案】ZAFB=91。

【分析】本題主要考查了角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義及性質(zhì)，由角平分線的

定義得出/CM=25。，由三角形內(nèi)角和定理得出NC=66。，最后由三角形外角的定義及性質(zhì)進(jìn)行計算即

可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?ZABC=50。，m平分NABC,

ZCBF=-ZABC=1x50。=25°,

22

?.?AD為3C邊上的高，

:.ZADC^90°,

■：ZDAC=24°,

,-.ZC=90°-ZDAC=90°-24°=66°,

ZAFB=ZCBF+ZC=250+66°=91°.

7.如圖，在AABC中，AD,AF分別為AABC的中線和高，班為△ABD的角平分線.

(1)若N3ED=60。，ZBAD=40°,求尸的大小.

⑵若AABC的面積為40,BD=5,求AF的長.

［答案］⑴50。

(2)8

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)和三角形面積公式.本題的關(guān)鍵是充分應(yīng)用三角形

的角平分線、高和中線的定義.

（1）先利用三角形的外角性質(zhì)計算出NABE=20。，再利用角平分線定義得到WC=2ZABE=4O。，然后根

據(jù)高的定義和互余兩角的性質(zhì)求出廠的度數(shù)；

（2）先根據(jù)三角形中線定義得到3c=230=10,然后利用三角形面積公式求AF的長.

【詳解】（1）解：■.■ZBED=ZABE+ZBAE,

.-.ZABE=60°-40°=20°,

?.?BE平分NABC,

ZABC=2ZABE=40°,

:AF為高,

:.ZAFB=9QP,

Zfl4F=90°-ZABF=90°-40°=50°；

（2）解：為中線，

:.BC=2BD=10,

S^ABC=萬AF-BC,

易錯點三：討論不全面，需分類討論

易錯提醒：不同的三角形，高的位置也不同，所以要分類討論，可以按照銳角三角形、直角三角形和鈍角

三角形三種情況討論，以免漏解.

@Q@?

例5.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40。，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.130°D.50°或130°

【答案】D

【分析】首先想到等腰三角形分為銳角、直角、鈍角等腰三角形，當(dāng)為等腰直角三角形時不可能出現(xiàn)題中

所說情況所以舍去不計，我們可以通過畫圖來討論剩余兩種情況.

【詳解】解：①當(dāng)為銳角三角形時可以畫圖，

高與另一邊腰成40。夾角，由三角形內(nèi)角和為180?？傻?，三角形頂角為50°

②當(dāng)為鈍角三角形時可以畫圖，

此時垂足落到三角形外面，因為三角形內(nèi)角和為180°,

由圖可以看出等腰三角形的頂角的補角為50。，

則三角形的頂角為130°.

綜上，等腰三角形頂角度數(shù)為50?；?30。

故選：D.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時，考慮問題要全面，必要的時候

可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中.

例6.若等腰三角形腰上的高是腰長的一半，則這個等腰三角形的底角是（）

A.75°或15°B.75°C.15°D.75°和30°

【答案】A

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時；當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時，分別進(jìn)行計算即

可.

【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖：

:.ZBDA=90°,

BD=-AB,

2

.".ZBAD=30°,

?.?AB=AC,

.\ZABC=ZC,

?.?ZABC+ZC+ZA=180°，

??.NABC="=幽一4」8。。-3。工75。,

22

??.這個等腰三角形的底角是75。；

當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖:

在AABC中，AB=AC,BDLAC,

:.ZBDA=90°,

?「BD=-AB

2f

.\ZBAD=30°,

?.?AB=AC,

.\ZABC=ZC,

???ZABC+ZC=ZBAD,

/.ZABC=ZC=-ZBAD=15°,

2

??.這個等腰三角形的底角是15。；

綜上所述：這個等腰三角形的底角是75?；?5。，

故選：A.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形

外角的定義及性質(zhì)，采用分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵.

變式1.已知在AASC中，ZA=50°,高8。和高CE所在的直線交于P點，則N3PC的度數(shù)為一.

【答案】130?；?0°

【分析】本題考查了三角形高的定義，直角三角形兩銳角互余，三角形的外角定理，熟練掌握三角形高的

定義，直角三角形兩銳角互余，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①當(dāng)點尸在內(nèi)時，②當(dāng)點P在“RC外時，即可求解.

【詳解】解：①當(dāng)點P在AABC內(nèi)時，如圖1：

:BD、CE為AABC的高，4=50。，

?.ZABD=90°-50°=40°,NCEB=90°,

：.ZBPC=ZABD+ZCEB=40°+90°=130°:

②當(dāng)點尸在AABC外時，如圖2：

"：BD、CE為AABC的高，ZA=50°,

ZABD=90°-50°=40°,NCEB=90°,

：.ZBPC=90°-ZABD=50°；

故答案為：130?；?0°.

變式2.在AABC中，3。是AC邊上的高，ZABD=30°,求/BAC的度數(shù).

【答案】N3AC的度數(shù)為60。或120。.

【分析】分/BAC是銳角和NBAC是鈍角兩種情況進(jìn)行討論，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：當(dāng)/54C是銳角時，如圖(1),

是高，

ABAC=90°-ZABD=90°-30°=60°；

當(dāng)NBAC是鈍角時，如圖⑵,

：.NBAD=90°-ZABD=90°-30°=60°,

貝I]ABAC=180°—/BAD=180°-60°=120°.

綜上，/3AC的度數(shù)為60?；?20。.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，正確分兩種情況進(jìn)行討論是關(guān)鍵.

變式3.在AABC中，AB=13,AC=15,高">=12,則3c的長是（）

A.14B.4C.14或4D.14或6

【答案】C

【分析】本題主要考查了勾股定理的運用，分①當(dāng)高AD在"LBC的內(nèi)部時②當(dāng)高在“的外部

時，然后由勾股定理即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的應(yīng)用及分類討論思想.

【詳解】①當(dāng)高AD在的內(nèi)部時，如圖1,

圖1

...BC邊上的圖，AD=12,

/.ZADB^ZADC^90°,

在Rt&lBD中，AB=13,根據(jù)勾股定理得，BD=^AB--AD1=A/132-122=5(cm),

在RtZ\ACD中，AC=15,根據(jù)勾股定理得，CD=4AC2-AD2=7152-122=9(cm),

/.BC^BD+CD=5+9^14(cm)；

②當(dāng)高AD在AABC的外部時，如圖2,

圖2

BC邊上的高A￡>=12,

Z.ZADB=ZADC=9Q°,

在RtZXABD中，AB=13,根據(jù)勾股定理得，BD=>jAB2-AD2=V132-122-5(cm),

在RSACD中，AC=15,根據(jù)勾股定理得，CD=4AC?-AD?=JS*=9(cm)

/.5C=CD-BD=9-5=4(cm),

綜上所述，3C的長為14cm或4cm,

故選：C.

變式4.在AABC中，AD為邊BC上的高，ZABC=50°,ZC4D=30°,則—3AC的度數(shù)是一度.

【答案】10或70

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，角的和差，分AD位于"RC內(nèi)部和外部兩種情況討論，進(jìn)行運

算即可求解，掌握分類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖1,當(dāng)AD位于AABC內(nèi)部時，

01

■:AD1BC,

：.ZADB=90°,

?IZABC=50°f

：.ZBAD=90°-50o=40°,

???ZBAC=ZBAZ)+ZG4Z)=40o+30o=70o；

如圖2,當(dāng)AD位于AABC外部時，

圖2

AD1BC,

??.ZADB=90°,

,/ZABC=50°f

：.ZBAD=90°-50o=40°,

???ABAC=ZBAD-ZCAD=40°-30°=10°；

???ZBAC的度數(shù)是10°或70°,

故答案為：10或70.

1.已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為35。，那么這個等腰三角形的頂角等于()

A.55°或125°B.55°C.125°D.35?；?5°

【答案】A

【分析】分別從AABC是銳角三角形與鈍角三角形去分析求解即可求得答案.

【詳解】解：如圖(1),當(dāng)AABC是銳角三角形時，

vAB=AC,BDLAC,

:.ZADB=90°,

=35°,

ZA=90°-ZABD=90°-35°=55°；

如圖(2),當(dāng)AABC是鈍角三角形時，

vAB=AC,BD1AC,

二/應(yīng)心=90。，

■：ZABD=35°,

ZBAD=90°-ZABD=90°-35°=55°,ABAC=180°-ABAD=180°-55°=125°；

綜上所述，它的頂角度數(shù)為：55。或125。，

故選：A.

(1)(2)

【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵.

2.若等腰三角形一腰上的高與另一個腰的夾角為60。,則這個等腰三角形的底角是()

A.75°或15°B.75°C.15°D.75°或30°

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后分別從銳角三角形與鈍角三角形分析求解即可求出答案.

【詳解】

D

/BC

BC

(1)()

根據(jù)題意得：AB=AC,BD±AC

如圖(1),ZABD=60°

則NA=30°

ZABC=ZC=75°

如圖(2),NABD=60°

ZBAD=30°

NABC=NC=gZBAD=15°

故這個等腰三角形的底角是75。或15°

故選A

【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是本題的關(guān)鍵.

3.直角三角形的兩邊分別為2和3,則斜邊上的高為

【答案】述或巫

313

【分析】本題主要考查了勾股定理，求三角形的高的長，設(shè)斜邊上的高為H分當(dāng)長為3的邊為斜邊時，

當(dāng)長為3的邊為直角邊時，兩種情況利用勾股定理求出第三邊的長，再利用等面積法求出h的長即可得到

答案.

【詳解】解：設(shè)斜邊上的高為〃，

當(dāng)長為3的邊為斜邊時，則第三邊長為斤，=石，

由三角形面積公式可得gx2x^=gx3?,

?/_2?

??fl-----;

3

當(dāng)長為3的邊為直角邊時，則第三邊的長為序方=而，

由三角形面積公式可得;x2x3=gxJF./7,

6A/13

13

綜上所述，斜邊上的高為述或5叵,

313

故答案為：正或巫.

313

4.已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50。，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為_；已知等腰三角

形一腰上的中線把三角形周長分為12cm和15cm兩部分，則這個等腰三角形的底邊的長為

【答案】40?；?40。11cm或7cm

【分析】（1）分兩種情況討論：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時；當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時；先求出頂

角N8AC,即可求出底角的度數(shù).

（2）分兩種情況討論：當(dāng)AB+AO=12,BC+OC=15或AB+AO=15,8C+QC=12,所以根據(jù)等腰三角形

的兩腰相等和中線的性質(zhì)可求得，三邊長為8,8,11或10,10,7.所以8C的長為7cm或11cm.

【詳解】（1）當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖1,

ZA=90°-50°=40°,

.?.三角形的頂角為40。；

當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖2,

VZABD^50°,BD±AC,

：.NBA。=90°-50°=40°,

,/ZBAD+ZBAC=1^°,

：.ZBAC=140°

.?.三角形的頂角為140。；

綜上，三角形的頂角為40?；?40。；

(2)如圖3,

設(shè)AD=xcm,則當(dāng)2x+尤=12時，x—4,BPAB—AC—8cm,

:周長是12+15=27cm,

.*.BC=11cm；

當(dāng)2x+x=15時，x=5,即AB=AC=10cm,

:周長是12+15=27cm,

.".BC—Tcm,

綜上可知，底邊BC的長為7cm或11cm.

故答案為40。或140。；7cm或11cm.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時，考慮問題要全面，必要的時候

可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中.

5.在AABC中，己知BC邊上的高AD=8cm,BD=15cm,CD=6cm,則AABC的面積為.

【答案】84cm,或36cm2

【分析】本題考查了三角形的高，利用分類討論的思想解決問題是關(guān)鍵.分兩種情況討論：①AO在

△ABC內(nèi)部；②AD在AABC外部，分別求出BC的長，即可求出AABC的面積.

【詳解】解：①如圖，當(dāng)AD在AABC內(nèi)部時，BC=BD+CD=21cm,

11,

2

SABC=-BC.A￡>=-x21x8=84(cm)；

②如圖，當(dāng)AD在AABC外部時，BC=BD—CD=9cm,

A

11

92

S/WC=-BC-AD=-x9x8=36(cm)；

綜上可知，的面積為84cm2或36cm2,

答案：84cm2或36cmL

6.已知AABC的面積為20cm2,AD為BC邊上的高，且AD=8cm,CD=2cm,求BD的長度.

【答案】BD的長度為3或7

【分析】分兩種情況，利用三角形面積公式即可求得.

【詳解】解：如圖1,

；.AD_LBC,

.,.SAABC=|BC?AD=1(BD+CD)-AD,

.\20=1(BD+2)x8,

；.BD=3；

如圖2,

:AD為BC邊上的高，

；.AD_LBC,

.".SAABC=|BC-AD=1(BD-CD)-AD,

.\20=1(BD-2)x8,

，BD=7；

故BD的長度為3或7.

【點睛】本題考查了三角形的面積，注意分類討論.

易錯點四：比例關(guān)系混淆

三角形的重心：三角形三條邊中線的交點，重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍.

易錯提醒：比例關(guān)系要記熟，線段位置容易寫相反導(dǎo)致比例出錯

例7.如圖，點P是AASC的重心，點。是邊AC的中點，PE//AC交BC于點、E,DF〃BC交EP于點

F.若四邊形CDFE的面積為6,貝的面積為()

A.12B.14C.18D.24

【答案】C

【分析】本題考查了三角形重心的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，連接3D,根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可

知：P在8。上，由三角形中線平分三角形的面積可知SOBC=