2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：排列、組合（十九大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第02講排列、組合

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：排列與排列數(shù)..........................................................4

知識點2：組合與組合數(shù)..........................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................5

題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計算.......................................7

題型二：直接法.................................................................8

題型三：間接法.................................................................8

題型四：捆綁法.................................................................9

題型五：插空法.................................................................9

題型六：定序問題（先選后排）..................................................10

題型七：列舉法................................................................12

題型八：多面手問題............................................................13

題型九：錯位排列..............................................................13

題型十：涂色問題..............................................................14

題型十一：分組問題............................................................16

題型十二：分配問題............................................................17

題型十三：隔板法..............................................................18

題型十四：數(shù)字排列............................................................18

題型十五：幾何問題............................................................19

題型十六：分解法模型與最短路徑問題............................................20

題型十七：排隊問題............................................................22

題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型................................................23

題型十九：環(huán)排問題............................................................24

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................25

05課本典例?高考素材............................................................58

06易錯分析?答題模板............................................................26

易錯點：忽視順序，重復(fù)計算出錯................................................26

答題模板：分組分配問題........................................................27

考情;秀汨?日標(biāo)旦祐

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

從近五年的全國卷的考查情況來看，

本節(jié)是高考的熱點，也是高考?？純?nèi)容，

以考查基本概念和基本方法為主，涉及特

2023年乙卷(理)第7題，5分

(1)排列與組合的概念殊元素與特殊位置、兩元索相鄰或不相

2023年甲卷(理)第9題，5分

(2)排列數(shù)、組合數(shù)的公式及鄰、分組、分配等問題，分值為5分.本

2023年n卷第3題，5分

性質(zhì)節(jié)內(nèi)容與生活實際聯(lián)系緊密，考生可適當(dāng)

2023年I卷第13題，5分

留意常見的排列組合現(xiàn)象，如體育賽事排

賽、彩票規(guī)則等，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維意

識.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)理解排列、組合的概念.

(2)能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.

(3)能利用排列組合解決簡單的實際問題.

匐2

〃二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

定義：從〃個不同元素中取出〃1（〃7三〃）個元素排成一列，

/叫做從〃個不同元素中取出帆個元素的一個排列.

從〃個不同元素中取出〃，（〃出〃）個元素的所有排列的個數(shù)，

\、叫做從〃個不同元素中取出〃，個元素的排列數(shù)，用符號表示.

定義：從〃個不同元素中取出〃“〃區(qū)〃）個元素并成一組，

叫做從〃個不同元素中取出帆個元素的一個組合.

從〃個不同元素中取出〃，（〃建〃）個元素的所有組合的個數(shù)，

叫做從〃個不同元素中取出〃，個元素的組合數(shù)，用符號U表示.

組合與組合數(shù)組合數(shù)公式：q毋=〃（〃-1）（〃-2）“?（E+1）

4///：

組合數(shù)的主要性質(zhì)

者占突曲?題理探密

/---------------------LTU-LTU-U,

f知識固本J

知識點1:排列與排列數(shù)

(1)定義：從“個不同元素中取出，"(mV")個元素排成一列，叫做從“個不同元素中取出m個元素

的一個排列.從〃個不同元素中取出加(加4“)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從〃個不同元素中取出根個

元素的排列數(shù)，用符號線'表示.

!

(2)排列數(shù)的公式：=n(n-l)(n-2)(n-m+l)=-——1―.

\n-my.

特例：當(dāng)機=〃時，=n!=n(n-l)(n-2)3-2-1；規(guī)定：0!=1.

(3)排列數(shù)的性質(zhì)：

①然=②A：=—47+1；③用=M蝎+-

n—mn—m

(4)解排列應(yīng)用題的基本思路：

通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無特殊限制條件(特殊位置，特殊元

素).

注意：排列數(shù)公式的兩種不同表達形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，人：="(〃-1>-("-m+1)常

用于具體數(shù)字計算；而在進行含字母算式化簡或證明時，多用A：=」一.

(n—m)!

【診斷自測】用L5,6,7,9這五個數(shù)字組成三位數(shù)(不同數(shù)位可以用相同數(shù)字)，其中個位數(shù)字、十位數(shù)字

和百位數(shù)字的和為偶數(shù)的三位數(shù)的個數(shù)為—(用數(shù)字作答).

知識點2：組合與組合數(shù)

(1)定義：從〃個不同元素中取出，力(mV”)個元素并成一組，叫做從"個不同元素中取出機個元素

的一個組合.從〃個不同元素中取出能(mV”)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從〃個不同元素中取出7”個

元素的組合數(shù)，用符號C；表示.

(2)組合數(shù)公式及其推導(dǎo)

求從〃個不同元素中取出〃2個元素的排列數(shù)4",可以按以下兩步來考慮：

第一步，先求出從這〃個不同元素中取出機個元素的組合數(shù)c：；

第二步，求每一個組合中m個元素的全排列數(shù)；

根據(jù)分步計數(shù)原理，得到然=C：-4：;

n

因此C'=^="5T）（._2）5—〃+i）

“一A廠m\

nl

這里*mEN+,且加這個公式叫做組合數(shù)公式.因為這=/、，所以組合數(shù)公式還可表

示為：c：="..特例：C：=C：=1.

注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問題時，一般都是

按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題.公式c：=〃（〃T）5一2）…+D常用于具體數(shù)字計算,

ml

VII

C；=---常用于含字母算式的化簡或證明.

（3）組合數(shù)的主要性質(zhì)：①C：=C尸；②C；+C：T=C；；+'l.

（4）組合應(yīng)用題的常見題型：

①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型

②“至少，，或“最多，，含有幾個元素的題型

排列和組合的區(qū)別

組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同.

注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別

在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題.排列

是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后

排列”.

【診斷自測】關(guān)于排列組合數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是（）

1

A.C：=crB.C：+1=C：-'+C：C.D.A：+mA：：=A：+1

解題方法總結(jié)

1、如圖，在圓中，將圓分”等份得到〃個區(qū)域，M2,M3,,M?（n..2）,現(xiàn)取以上..2）種顏色

對這"個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有（-1）。（左-1）+（左-1）"種.

3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項

（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)

在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，

即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類

討論.

4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素,

被限制的位置稱為特殊位置.這一類問題通常以三種途徑考慮：

（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元

素；

（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位

置；

（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù).

5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將w個不同元素排成一排，其中某人個元素排在相鄰位

置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這左個元素“捆綁在一起“，看成一個整體，當(dāng)作一個元素同其他元

素一起排列，共有黑型；種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進行排列，共有履種排法.根據(jù)分

步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有娼:;.種.

6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將〃個不同元素排成一排，其中某人個元素互不相鄰

Ck<n-k+l）,求不同排法種數(shù)的方法是：先將（〃-左）個元素排成一排，共有四二:種排法；然后把發(fā)

個元素插入”-左+1個空隙中，共有履種排法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有

娼?%

題型洞察

題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計算

【典例1-1】下列等式錯誤的是()

A機兒!/

A.Cm=—2-B.―,―^=("-2)!

〃n\小T

n\

：

C.A(〃一根)!D.比：=心

【典例1-2】已知犯“eN*,下列排列組合公式中，不一定正確的是()

A.C：=crB.A：=C：A：

C.C：=dD.-------A：+1=A：

n\n-m

【變式1-1］不等式A；<6A;的解集是()

A.{8}B.{8,9,10,11}C.{x［7<x<12}D.{x|7<x<8}

【變式1-2］我們曾用組合模型發(fā)現(xiàn)了組合恒等式：C：=cr，CM=C；：+C：T,這里所使用的方法,

實際上是將一個量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同得到等式，這是一種非常有用的思想方法，叫作

“算兩次”，對此我們并不陌生，如列方程時就要從不同的側(cè)面列出表示同一個量的代數(shù)式，幾何中常用的

等積法也是“算兩次”的典范.再如，我們還可以用這種方法，結(jié)合二項式定理得到很多排列和組合恒等式,

如由等式(I+x)2'=(l+x)"(x+l)"可知，其左邊的x"項的系數(shù)和右邊的v項的系數(shù)相等，得到如下恒等式

為()

A.?)2+?)2+?y++(C：)2=CJ

B.A：+mA：-'=A：+1

c.C；Q+C：C儼+C；C：2++C?=C葭

D.=

【變式1-3］下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的計算，正確的是()

rnI

A.A：=—B.("+2)S+1)A：=A：：；

"n\

C.c；+c；+c；+…+或。。=43D.Q/+CT是一個常數(shù)

【變式1-4］(多選題)下列等式正確的是()

rj_1_1

C42_1ac^+i

A.B.

nm+1n+

5+1)!n\(n-k+i\-n\.、

C.A：：：-A：=?2A：：1D.

k\k\')

題型二：直接法

【典例2-1】（2024?浙江?高三慈溪中學(xué)校聯(lián)考）從2位男生，4位女生中安排3人到三個場館做志愿者,

每個場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（）種.

A.16B.20C.96D.120

【典例2-2】（2024.四川成都?高三統(tǒng)考）某校在重陽節(jié)當(dāng)日安排4位學(xué)生到三所敬老院開展志愿服務(wù)

活動，要求每所敬老院至少安排1人，則不同的分配方案數(shù)是（）

A.81B.72C.48D.36

【變式2-114張卡片的正、反面分別寫有數(shù)字1,2；1,3；4,5；6,7.將這4張卡片排成一排，

可構(gòu)成不同的四位數(shù)的個數(shù)為（）

A.288B.336C.368D.412

【變式2-2］（云南省紅河州第一中學(xué)2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）一個宿舍的6名同學(xué)被邀請

參加一個節(jié)目，要求必須有人去，但去幾個人自行決定.其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，則

該宿舍同學(xué)的去法共有（）

A.15種B.28種C.31種D.63種

【變式2-316名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙

場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.60種B.90種C.120種D.360種

題型三：間接法

【典例3-1】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，漢口江

灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（）

A.65B.73C.70D.60.

【典例3-2】以一個正三棱柱的頂點為頂點的四面體共有（）

A.6個B.12個C.18個D.30個

【變式3-1］（2024?湖南長沙?雅禮中學(xué)校聯(lián)考二模）從正360邊形的頂點中取若干個，依次連接，構(gòu)

成的正多邊形的個數(shù)為（）

A.360B.630C.1170D.840

【變式3-2］將7個人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端,

則不同的站法有（）.

A.1860種B.3696種C.3600種D.3648種

【變式3-3］（2024.廣西梧州.統(tǒng)考一模）某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個

不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（）種

A.9B.36C.54D.108

【變式3-4】某學(xué)校計劃從包含甲、乙、丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊去西部支教，若甲、乙、

丙三位教師至少一人被選中，則組隊支教的不同方式共有（）

A.21種B.231種C.238種D.252種

題型四：捆綁法

【典例4-1】春節(jié)是團圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”.通過海選，現(xiàn)有6個

自編節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節(jié)目的演出順序有如下要求：“雜技節(jié)目”排

在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（）

A.240種B.188種C.144種D.120種

【典例4-2］（2024?廣東?模擬預(yù)測）甲、乙等6人圍成一圈，且甲、乙兩人相鄰，則不同的排法共有

（）

A.6種B.12種C.24種D.48種

【變式4-1］（2024?高三.山東德州?開學(xué)考試）為積極落實“雙減”政策，豐富學(xué)生的課外活動，某校開

設(shè)了舞蹈、攝影等5門課程，分別安排在周一到周五，每天一節(jié)，舞蹈和攝影課安排在相鄰兩天的方案種

數(shù)為（）

A.48B.36C.24D.12

【變式4-2】某校畢業(yè)典禮由6個節(jié)目組成，節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙，丁必須排在一起，

則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有（）

A.120種B.156種C.188種D.240種

【變式4-3］現(xiàn)有三對雙胞胎共6人排成一排，則有且只有一對雙胞胎相鄰的排法種數(shù)是（）

A.180B.240C.288D.300

題型五：插空法

【典例5-1】我校田徑隊有十名隊員，分別記為A,且CRERGHJ.K,為完成某訓(xùn)練任務(wù)，現(xiàn)將

十名隊員分成甲、乙兩隊.其中將AB,C,￡?,E五人排成一行形成甲隊，要求A與2相鄰，C在。的左邊,

剩下的五位同學(xué)排成一行形成乙隊，要求歹與G不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為（）

A.432B.864C.1728D.2592

【典例5-2】（2024?四川成都?模擬預(yù)測）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠的意義和

價值.它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現(xiàn)將3個紅色的“將”“車”“馬”棋

子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有（）

A.120種B.24種C.36種D.12種

【變式5-1］（2024?高三?山東濟南.開學(xué)考試）由0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中

任意兩個偶數(shù)都不相鄰，則滿足條件的六位數(shù)的個數(shù)為（）

A.60B.108C.132D.144

【變式5-2］（2024?高三?河北邢臺?開學(xué)考試）有4名男生、3名女生和2個不同的道具（記作A和8）

參與一個活動，活動要求：所有人（男生和女生）必須站成一排，女生必須站在一起，并且她們之間按照

身高從左到右由高到低的順序排列（假設(shè)女生的身高各不相同）；兩個道具A和3必須被分配給隊伍中的

兩個人（可以是男生，也可以是女生），但這兩人不能站在一起.滿足上述所有條件的排列方式共有（）

A.2400種B.3600種C.2880種D.4220種

【變式5-3］（2024.高三?浙江.開學(xué)考試）將若干個除顏色外完全相同的紅色小球和黑色小球排成一列,

要求所有的紅球互不相鄰，當(dāng)小球的總數(shù)為8時，滿足條件的不同排列方法的總數(shù)之和為（）

A.20B.36C.54D.108

【變式5-4】某種產(chǎn)品的加上需要經(jīng)過A,B,C,D,E,F,G七道工序，要求A,8兩道工序必須相

鄰，C,。兩道工序不能相鄰，則不同的加工順序有（）

A.960種B.836種

C.816種D.720種

題型六：定序問題（先選后排）

【典例6-1】己知%=,則滿足岡+園+聞++屈=2的有序數(shù)組（外,三,馬，三）共有

（）個

九2一九

A.2n2-InB.2n2+2nC.--------D.n2-n

2

【典例6?2】甲乙丙丁戊五人并排站成一排，如果乙必須站在甲的右邊（甲乙可以不相鄰），那么不同

的排法共有（）種.

A.120B.60C.50D.30

【變式6?1】習(xí)近平總書記在全國教育大會上發(fā)表重要講話，稱教育是國之大計，黨之大計.哈九中

落實講話內(nèi)容，組織研究性學(xué)習(xí).在研究性學(xué)習(xí)成果報告會上，有A、B、。、D、E、廠共6項成果要匯報,

如果8成果不能最先匯報，而A、。、。按先后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的匯報安排種數(shù)為（）

A.100B.120C.300D.600

【變式6-217人排隊，其中甲、乙、丙3人順序一定（可以相鄰，也可以不相鄰），共有一種不同的

排法.

【變式6-3】某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所

示的10個燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個燈籠中的謎語來猜（無論猜中與否，選

中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【變式6-4】現(xiàn)有學(xué)號分別為1號、2號、3號、……、9號的9位同學(xué)依次站成一排，老師請他們從1

號同學(xué)開始依次從如圖所示的裝有標(biāo)號為1至9號球的三個圓柱形容器中隨意選擇一個有球的容器并取出最

上面的一個球，再根據(jù)自己手中所拿球的號碼，按照球號從小到大的順序從左到右重新站成一排，則所有

可能的不同站法有種（用數(shù)字作答）.

【變式6-5】四根繩子上共掛有10只氣球，繩子上的球數(shù)依次為1,2,3,4,每槍只能打破一只球，而且規(guī)

定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是.

【變式6-6］把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)，共有種不同的分法.

【變式6-7】花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.

如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（）

A.2520B.5040C.7560D.10080

題型七：列舉法

【典例7-1］數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明.四平方和定理

的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)

22222222

12=3+1+1+1=2+2+2+0.設(shè)25="+〃+°2+相，其中b＞。，/均為自然數(shù)，則滿足條件

的有序數(shù)組（a/,c,d）的個數(shù)是（）

A.28B.24C.20D.16

【典例7-2】已知字母X,y,z各有兩個，現(xiàn)將這6個字母排成一排，若有且僅有一組字母相鄰（如

內(nèi)陽z）,則不同的排法共有（）種

A.36B.30C.24D.16

【變式7-1］（2024?海南?？?統(tǒng)考一模）形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位上的數(shù)字，千位上

的數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1,2,3,4,5可組成數(shù)字不重復(fù)的五位“波浪數(shù)”的個數(shù)為（

A.20B.18C.16D.11

【變式7-2】某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形A5CD（邊長為2

個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走了幾個單位，如果擲出

的點數(shù)為平=1,2,…,6）,則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子

恰好又回到起點A處的所有不同走法共有（）

A.21種B.22種C.25種D.27種

【變式7-3】中國古代十進制的算籌計數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同

長短的小木棍.如圖，是利用算籌表示數(shù)1?9的一種方法.例如：3可表示為“三”，26可表示為現(xiàn)

有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1?9這9數(shù)字表示兩位數(shù)的個數(shù)為（）

123456789

A.13B.14C.15D.16

題型八：多面手問題

【典例8-1】我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交流訪問團，其中3人只會唱歌，2人

只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞.現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）種不同

的選法.

A.675B.575C.512D.545

【典例8-2】某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英

語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（）種不同的選法

A.225B.185C.145D.110

【變式8-1】“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動之一，在我國南方普

遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊員中有3人只會劃左槳，3

人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，

則不同的選派方法共有（）

A.26種B.30種C.37種D.42種

【變式8-2】某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右

舷.現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（）

A.56種B.68種

C.74種D.92種

【變式8-3】某龍舟隊有8名隊員，其中3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右

槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（）

A.26種B.30種C.37種D.42種

題型九：錯位排列

【典例9-1】編號為1、2、3、4、5的5個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且

只有兩個人的編號與座位號一致的坐法有（）

A.10種B.20種C.30種D.60種

【典例9-2】將編號為1、2、3、4、5、6的小球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子中,

每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（）

A.90B.135C.270D.360

【變式9-1】將編號為1、2、3、4、5、6的六個小球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子里，每個盒子放

一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的方法總數(shù)是（）

A.20B.40C.120D.240

【變式9-2］“數(shù)獨九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九

個自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數(shù)，且9個空格的數(shù)字各不相間，若中

間空格已填數(shù)字5,且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從

大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（）

5

A.72B.108C.144D.196

【變式9-3】元旦來臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出

的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（）

A.6種B.9種C.H種D.23種

題型十：涂色問題

【典例10-1］（2024?安徽淮北?二模）在3x3的方格中，每個方格被涂上紅、橙、黃、綠四種顏色之一,

若每個2x2的方格中的四個小方格的顏色都不相同，則滿足要求的不同涂色方法的種數(shù)為一.

【典例10-21提供6種不同顏色的顏料給圖中A,B,C,D,E,F六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不能

涂相同顏色，則不同的涂色方法共有一種.

C

A

DF

B

E

【變式10-1］（2024.重慶.模擬預(yù)測）重慶位于中國西南部、長江上游地區(qū)，地跨青藏高原與長江中下

游平原的過渡地帶.東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西.現(xiàn)用4種顏色標(biāo)注6個省份的地

圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有種涂色方式.

陜西

【變式10-2］（2024?高三?廣西南寧?開學(xué)考試）在如圖方格中，用4種不同顏色做涂色游戲，要求相鄰

區(qū)域顏色不同，每個區(qū)域只能涂一種顏色.

①若區(qū)域A,尻C,。涂2種顏色，區(qū)域E,EG,”涂另外2種顏色，則有一種不同涂法.

②若區(qū)域A,B,C,D涂4種顏色（A,民涂的顏色互不相同），區(qū)域E,EG,“也涂這4種顏色

（E,EG,”涂的顏色互不相同），則有_種不同涂法.

【變式10-3】網(wǎng)課期間，小王同學(xué)趁課余時間研究起了七巧板，有一次他將七巧板拼成如下圖形狀，

現(xiàn)需要給下圖七巧板右下方的五個塊涂色（圖中的1,2,3,4,5）,有4種不同顏色可供選擇，要求有公

共邊的兩塊區(qū)域不能同色，有一種不同的涂色方案.

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【變式10-4］（2024.江西鷹潭.一模）用四種不同的顏色為正六邊形（如圖）中的六塊區(qū)域涂色，要求

有公共邊的區(qū)域涂不同顏色，一共有種不同的涂色方法.

【變式10-5】（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，用4種不同的顏色給圖中的8個區(qū)域涂色，每種顏色至少

使用一次，每個區(qū)域僅涂一種顏色，且相鄰區(qū)域所涂顏色互不相同，則區(qū)域A,B,C,。和4，B1,

C，A分別各涂2種不同顏色的涂色方法共有種；區(qū)域A,B,C,。和4，B],G，2分別各涂

【變式10-6]（2024?湖北十堰?模擬預(yù)測）四色定理又稱四色猜想、四色問題，是世界近代三大數(shù)學(xué)難

題之一.地圖四色定理最先是由一位叫古德里的英國大學(xué)生提出來的.四色定理的內(nèi)容是：“任何一張地

圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色.”某同學(xué)在橫格紙上研究填涂藍、紅、黃、

綠4種顏色問題，如圖，第1行有1個格子，第2行有2個格子，…，第”行有〃個格子，將4種顏色在

每行中分別進行涂色，每行相鄰的格子顏色不同，記處為第上行不同涂色種數(shù)，則%=_，力氣=

k=l

第〃行

n個格子

題型十一：分組問題

【典例11-1】有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）

A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；

B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；

C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；

D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；

【典例11-21（多選題）（2024?遼寧葫蘆島?高三葫蘆島第一高級中學(xué)?？计谀┚疟緯纸o三位同

學(xué)，下列說法正確的是（）

A.九本書內(nèi)容完全一樣，每人至少一本有28種不同的分法

B.九本書內(nèi)容都不一樣，分給三位同學(xué)有39=19683種不同的分法

C.九本書內(nèi)容完全一樣，分給三位同學(xué)有55種不同的分法

D.九本書內(nèi)容都不一樣，甲同學(xué)至少一本，乙同學(xué)至少二本有3。=729種不同的分法

【變式11-1］有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方法?

（1）分成1本、2本、3本三組；

（2）分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；

（3）分成每組都是2本的三組；

（4）分給甲、乙、丙三人，每個人2本.

【變式11-2】某校高三年級有6個班，現(xiàn)要從中選出10人組成高三女子籃球隊參加高中籃球比賽,

且規(guī)定每班至少要選1人參加.求這10個名額有多少種不同的分配方法.

題型十二：分配問題

【典例12-116名大學(xué)生分配到4所學(xué)校實習(xí)，每名大學(xué)生只分配到一所學(xué)校，每所學(xué)校至少分配1

名大學(xué)生，則不同的分配方案共有（）

A.65B.1560C.2640D.4560

【典例12-2］（2024.高三.河北邯鄲?開學(xué)考試）在第33屆夏季奧運會期間，中國中央電視臺體育頻道

在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個人參加當(dāng)天A,B,C三個比賽場地的現(xiàn)場報道，且每個場地至少安排

一人，甲不在A場地的不同安排方法數(shù)為（）

A.32B.24C.18D.12

【變式12-1］（2024?高三?江蘇南通?開學(xué)考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比

較熱門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小

華兩位同學(xué)準(zhǔn)備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名

偵探柯南》，則兩位同學(xué)不同的觀影方案種數(shù)為（）

A.12B.24C.28D.36

【變式12-2］（2024?高三.重慶.開學(xué)考試）第41屆全國青少年信息學(xué)奧林匹克競賽（CCFNOI2024）于

2024年7月16?22日在重慶市育才中學(xué)成功舉辦.在本次競賽組織過程中，有甲、乙等5名育才新教師參

加了接待、咨詢、向?qū)齻€志愿者服務(wù)項目，每名新教師只參加一個服務(wù)項目，每個服務(wù)項目至少有一名

新教師參加.若5名新教師中的甲、乙兩人不參加同一個服務(wù)項目，則不同的安排方案有（）種

A.108B.114C.150D.240

【變式12-3】（2024.高三.湖南永州?開學(xué)考試）在2024年巴黎奧運會中，甲、乙、丙、丁、戊5人參

與接待、引導(dǎo)和協(xié)助三類志愿者服務(wù)工作，每類工作必須有志愿者參加，每個志愿者只能參加一類工作，

若甲只能參加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的種數(shù)是（）

A.38B.42C.50D.56

【變式12-4］（2024?高三?廣東?開學(xué)考試）某中學(xué)數(shù)學(xué)組來了5名即將畢業(yè)的大學(xué)生進行教學(xué)實習(xí)活動,

現(xiàn)將他們分配到高一年級的1,2,3三個班實習(xí)，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（）

A.30種B.90種C.150種D.180種

【變式12-5］（2024.河南.二模）將甲，乙等5人全部安排到四個工廠實習(xí)，每人只去一個工

r,每個工廠至少安排1人，且甲，乙都不能去A工廠，則不同的安排方法有（）

A.72種B.108種C.126種D.144種

題型十三：隔板法

【典例13-1】（2024?湖北?二模）已知羽y,zeN*,且y>2,z>3,貝I方程無+y+z=10的解的

組數(shù)為—.

【典例13-2］各數(shù)位數(shù)字之和等于8（數(shù)字可以重復(fù)）的四位數(shù)個數(shù)為

【變式13-115個相同的籃球，分給甲、乙、丙三位同學(xué)（每人至少分得一個），不同分法的總數(shù)

為一

【變式13-2］在中國革命史上有許多與“8”有關(guān)的可歌可泣的感人故事，如“八子參軍”、“八女投江”等,

因此數(shù)字“8”是當(dāng)之無愧的新時代“英雄數(shù)字”.如果一個四位數(shù)，各個位置上數(shù)字之和等于8