2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓錐曲線背景下的新定義問題（八大題型）（學(xué)生版+解析）

拔高點突破03圓錐曲線背景下的新定義問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：定義新曲線.............................................................2

題型二：雙扭線.................................................................3

題型三：卡西尼卵形線...........................................................5

題型四：心形線.................................................................6

題型五：四葉草曲線.............................................................7

題型六：定義新圖形.............................................................9

題型七：定義新性質(zhì)............................................................11

題型八：綜合問題..............................................................13

03過關(guān)測試....................................................................15

方法技巧與總結(jié)

圓錐曲線背景下的新定義問題，關(guān)鍵在于理解新定義的本質(zhì)，并將其與常規(guī)圓錐曲線知識相結(jié)合。

方法總結(jié)如下：

1、明確新定義：首先仔細(xì)閱讀題目，明確新定義的內(nèi)容、符號及其含義。

2、聯(lián)系常規(guī)知識：將新定義與圓錐曲線的第一、第二定義或標(biāo)準(zhǔn)方程等常規(guī)知識聯(lián)系起來，找出它

們的相似之處或轉(zhuǎn)換關(guān)系。

3、建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)新定義，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型或方程，利用解析幾何或代數(shù)方法進(jìn)行求解。

4、驗證與推理：在求解過程中，注意驗證每一步推理的正確性，確保最終答案符合題目要求。

5、靈活應(yīng)用：對于復(fù)雜問題，可能需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)知識和方法，靈活應(yīng)對。

//

題型一：定義新曲線

【典例1-1】若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90。，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，這樣的橢

圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（）

A.￡=1B,r￡尤―T

++=1CD=i

843562-f4

【典例1-2］（多選題）泰戈爾說過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離,不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星;

世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓.已知點尸（1,。），直線/:x=4,動點P到

點尸的距離是點尸到直線1的距離的一半.若某直線上存在這樣的點P,則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則

下列結(jié)論中正確的是（）

22

A.點P的軌跡方程是土+乙=1

43

B.直線/］：工+2＞一4=0是“最遠(yuǎn)是巨離直線”

C.平面上有一點A（-U）,則1叢1+上尸W的最小值為5

D.點P的軌跡與圓C:x2+y2-2x=0是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點）

【變式1-1］（多選題）2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新/og。.設(shè)計師的靈

II22

感來源于曲線c：+"l"=l.其中星形線E：|x|i+|y|i=1常用于超輕材料的設(shè)計.則下列關(guān)于星形線說法

正確的是（）

A.E關(guān)于y軸對稱

B.E上的點到x軸、y軸的距離之積不超過。

O

c.E上的點到原點距離的最小值為:

D.曲線E所圍成圖形的面積小于2

題型二：雙扭線

【典例2-1］（多選題）（2024?高三.湖北鄂州?期末）中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，

可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié).中國結(jié)的意義在于它所

顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻

可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.曲線C：（f+y2『=9（x2-y2）是

A.曲線C的圖象關(guān)于原點對稱

B.曲線C經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）

C.曲線C上任意一點到坐標(biāo)原點。的距離都不超過3

D.若直線>=丘與曲線C只有一個交點，則實數(shù)%的取值范圍為［1,+w）

【典例2-2】“四二一廣場”是重慶第一中學(xué)校的文化地標(biāo)（如圖1）,廣場中心的建筑形似火炬宛若花開，

三朵“花瓣”都是拓?fù)鋵W(xué)中的莫比烏斯帶（如圖2）.將莫比烏斯帶投影到平面上，會得到無窮大符號“oo”.在

平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)線段AB長度為2a（。>0）,坐標(biāo)原點。為中點且點A,8均在無軸上，若動點

產(chǎn)滿足=那么點p的軌跡稱為雙紐線，其形狀也是無窮大符號“oo”（如圖3）.若。=1,點P

3

在第一象限且cos/PO8=',貝（）

圖1圖2圖3

A-1B.D.2

【變式2-1］（2024?陜西榆林?三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點耳（-。,0）,西（。,0）距離之積等于

/（a>0）的點的軌跡稱為雙紐線.若。=2,點/（工,%）為雙紐線C上任意一點，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是

()

①C關(guān)于x軸不對稱

②c關(guān)于y軸對稱

③直線y=x與c只有一個交點

④c上存在點尸，使得歸耳|=「局

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式2-2］在平面上，定點月、尸2之間的距離|￡《|=2c.曲線C是到定點小尸2距離之積等于，（c>。）

的點的軌跡.以點K、鳥所在直線為X軸，線段耳耳的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.已知點Mx。，%）是

曲線C上一點，下列說法中正確的有（）

①曲線C是中心對稱圖形：

②曲線C上有兩個點到點月、尸2距離相等；

③曲線C上的點的縱坐標(biāo)的取值范圍是

④曲線C上的點到原點距離的最大值為怎

A.①②B.①③C.①③④D.①②③④

【變式2-3］（2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模）2022年卡塔爾世界杯中的數(shù)字元素——會徽（如圖）正視圖近似伯

努利雙紐線.定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點E（-〃,0）旦（〃,0）的距離之積等于/（a>0）的點的軌

跡稱為雙紐線C.已知P（%,%）是雙紐線C上的一點，下列說法錯誤的是（）

A.雙紐線C關(guān)于原點。成中心對稱

a,,a

B.——<y<—

202

C.雙曲線c上滿足耳|=|p四的點P有兩個

D.|OP|的最大值為

題型三：卡西尼卵形線

【典例3-1］（多選題）我們在解析幾何學(xué)習(xí)過程中知道橢圓、雙曲線定義分別是到兩定點距離之和、距離之

差的絕對值等于某個定值.天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星運(yùn)行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)了到兩定點距離之積為常數(shù)

的點的軌跡，我們稱之為卡西尼卵形線.已知兩定點耳（-2,0）,月（2,0）,動點P（%%）滿足|尸耳|忖閶=4,

設(shè)尸的軌跡為曲線C,則下列命題正確的是（）

A.曲線C過原點

B.尸的橫坐標(biāo)最大值是20

3

C.P的縱坐標(biāo)最大值是不

D.21n（尤;+1）

【典例3-2】天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常

數(shù)的點的軌跡是卡西尼卵形線（CassiniOval）.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點為耳（-c,0）,g（c,0）,點。

為坐標(biāo)原點,動點P（x,y）滿足歸耳|忖閭=/（。20且為常數(shù)），化簡得曲線E：

222224

x+y+c^yj4xc+a.下列命題中正確序號是.

①曲線E既是中心對稱又是軸對稱圖形；

②儼蜀+|P閭的最小值為2a；

③當(dāng)a=c時，|PO|的最大值為友〃；

@月尸層面積不大于;

【變式3-1】卵形線是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內(nèi)與兩個

定點（叫做焦點）的距離之積等于常數(shù)的點的軌跡.某同學(xué)類比橢圓與雙曲線對卡西尼卵形線進(jìn)行了相關(guān)性

質(zhì)的探究，設(shè)耳（-C,。），居（3。）是平面內(nèi)的兩個定點，1尸耳“尸乙1="（。是定長），得出卡西尼卵形線的

相關(guān)結(jié)論：①該曲線既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形；②若〃=c,則曲線過原點；③若0<a<c,則曲

線不存在；④若0<c<a,貝|。2-。24/+、24。2+。2其中正確命題的序號是.

【變式3-2］（2024?河南濮陽?模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)史上，平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱

為卡西尼卵形線.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點P（x,y）到兩個定點耳（TO）,乙。,0）的距離之積等于3,

化簡得曲線C：/+/+1=32+9,下列結(jié)論不正確的是（）

A.曲線C關(guān)于y軸對稱

B.|尸耳用尸閭的最小值為2/

3

C.可尸與面積的最大值為1

D.|0P|的取值范圍為［3,2］

題型四：心形線

【典例4-1］（多選題）（2024?高三.浙江.開學(xué)考試）數(shù)學(xué)家笛卡爾研究了很多曲線，傳說笛卡爾給公主克里

斯蒂娜寄的最后一封信上只有一個數(shù)學(xué)表達(dá)式：r=a（l-sin。），克里斯蒂娜用極坐標(biāo)知識畫出了該曲線圖

”，明白了笛卡爾的心意.已知利用關(guān)系式.〃和〃=產(chǎn)亨可將信中表達(dá)式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的

曲線方程.如圖，該曲線圖象過點（。,-2）,則（）

B.曲線經(jīng)過點（-1,0）

C.當(dāng)點（%,%）在曲線上時，一苧芋

D.當(dāng)點（%,為）在曲線上時，一24%4：

【典例4-2］（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）“心形線”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，某研究小組用函數(shù)圖象：

22

G:尸4+，一/+4.丫，C2:y=4+y/-x-4x和拋物線C3:x=2py的部分圖象圍成了一個封閉的“心形線”,

過G焦點尸的直線/交G（包含邊界點）于A,8兩點，P是C1或G上的動點，下列說法正確的是（）

p

「o|X

A.拋物線C,的方程為C3：/=4y

B.|PB|+|EB|的最小值為5

c.SPAB的最大值為7

D.若尸在G上，則P4PB的最小值為T

【變式4-1]（多選題）（2024.高三.海南省直轄縣級單位.開學(xué)考試）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲

線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是其中一種，因其形狀像心形而得名，其平面直角坐標(biāo)方程

可表示為爐+/+歿=+y2M>o,圖形如圖所示.當(dāng)°=1時，點鳥（孫％）在這條心形線C

上，且玉%k0,則下列說法正確的是（）

A.若西//（成,則附|=2

B.若0[〃0￡,貝“附網(wǎng)=1

C網(wǎng)+網(wǎng)<4

D.C上有4個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）

題型五：四葉草曲線

【典例5-1】（2024?云南昆明?模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線C:（尤2+y]=4/y2被稱為

幸運(yùn)四葉草曲線”（如圖所示）.給出下列四個結(jié)論：

①曲線c關(guān)于直線丁=一工對稱；

②存在一個以原點為中心、邊長為1的正方形，使得曲線c在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）；

③存在一個以原點為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內(nèi)（含邊界）；

④曲線C上存在一個點M,使得點M到兩坐標(biāo)軸的距離之積等于1.

其中，正確結(jié)論的序號是.

【典例5-2】（2024.云南昆明?模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線。［M+^丫=^^^^被稱為

“幸運(yùn)四葉草曲線''（如圖所示）.給出下列四個結(jié)論：

①曲線C關(guān)于直線y=ax（aN0）交于不同于原點。的%）,以々，％）兩點，則%+%+必+%=0

②存在一個以原點為中心、邊長為1的正方形，使得曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）；

③存在一個以原點為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內(nèi)（含邊界）；

④曲線C上存在一個點使得點”到兩坐標(biāo)軸的距離之積大于;.

其中，正確結(jié)論的序號是.

【變式5-1］（2024?四川內(nèi)江?三模）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如圖：四葉草曲線C就是其

中一種，其方程為（尤②+/）'=/丁.給出下列四個結(jié)論：

y

①曲線c有四條對稱軸；

②曲線c上的點到原點的最大距離為：；

③在第一象限內(nèi)，過曲線C上一點作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積的最大值為:；

O

④四葉草面積小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

【變式5-2](多選題)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方

B.曲線C上的點到原點的最大距離為g

C.曲線C第一象限上任意一點作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積最大值為。

O

D.四葉草面積小于?TT

題型六：定義新圖形

【典例6-1】(2024?浙江舟山?模擬預(yù)測)阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用.如圖，在平

面直角坐標(biāo)系xOy中，螺線與坐標(biāo)軸依次交于點

A(-LO),4(0,-2),4(3,0),4(0,4),A(-5,0),4(0,-6),4(7,0),4(0,8),并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去.

⑴求44,4A+4.

⑵求證：不存在正整數(shù)〃，使得三角形44+4+2的面積為2022;

（3）求證：對于任意正整數(shù)力，三角形AA+A+2為銳角三角形.

222

【典例6-2］（2024.河北衡水?一模）在空間直角坐標(biāo)系下，由方程去+方+亍=1（。＞0,。＞0,。＞0）所表示

的曲面叫做橢球面（或稱橢圓面）.如果用坐標(biāo)平面2=0,〉=0,*=0分別截橢球面，所得截面都是橢圓（如

圖所示），這三個截面的方程分別為/b2,c上述三個橢圓叫做橢球面的王

z=0y=0x=0

截線（或主橢圓）.已知橢球面的軸與坐標(biāo)軸重合，且過橢圓j9'16一’與點則這個橢球面

z=0

【變式6-1］（2024?山東青島.三模）在平面內(nèi)，若直線/將多邊形分為兩部分，多邊形在/兩側(cè)的頂點到直

22

線/的距離之和相等，則稱/為多邊形的一條“等線”，己知O為坐標(biāo)原點，雙曲線E:3-==1（°＞0,6＞0）

ah

的左、右焦點分別為耳，居,E的離心率為2,點P為E右支上一動點，直線機(jī)與曲線E相切于點尸，且與E

的漸近線交于48兩點，當(dāng)軸時，直線y=l為，尸月居的等線.

（1）求E的方程；

⑵若y=屬是四邊形AFtBF2的等線，求四邊形AFtBF2的面積；

(3)設(shè)OG=(OP,點G的軌跡為曲線「，證明:「在點G處的切線〃為AAG4的等線

【變式6-2](2024?河南信陽?模擬預(yù)測)在空間解析幾何中，可以定義曲面(含平面)S的方程，若曲面S

和三元方程E(x,%z)=0之間滿足：①曲面S上任意一點的坐標(biāo)均為三元方程歹(x,y,z)=。的解；②以三

元方程F(x,y,z)=0的任意解(%,%,z0)為坐標(biāo)的點均在曲面S上，則稱曲面S的方程為尸(蒼y,z)=0,方

程P(x,y,z)=0的曲面為S.已知空間中某單葉雙曲面C的方程為y+^-^=l,雙曲面C可視為平面xOz

中某雙曲線的一支繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面，已知直線/過C上一點Q(l』,2),且以d=(-2,0,T)為方

向向量.

(1)指出xOy平面截曲面C所得交線是什么曲線，并說明理由；

(2)證明：直線/在曲面C上；

(3)若過曲面C上任意一點，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面C上.設(shè)直線廠在曲面C上，且過點

T(0,O,2),求異面直線/與廠所成角的余弦值.

題型七：定義新性質(zhì)

【典例7-1】(2024?江西新余?二模)通過研究，已知對任意平面向量Afi=(x,y),把AB繞其起點A沿逆時針

方向旋轉(zhuǎn)。角得到向量入尸=(%3。-外皿仇派由9+"05。)，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，角得到點P,

(1)已知平面內(nèi)點4卜后,2相)，點3(班,-26),把點3繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)冷得到點P,求點尸的坐標(biāo)：

(2)已知二次方程x2+y2-xy=l的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓/+￡=1(。>6>0)繞原點。逆

時針旋若所得的斜橢圓C,

(i)求斜橢圓C的離心率;

2

(ii)過點。作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線4交斜橢圓C于點M、N,過原點。作直線乙與直線

72]

+

4垂直，直線/2交斜橢圓C于點G、H,判斷\MN\\OHf是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說

明理由.

【典例7-2］（多選題）黃金分割比例叵口具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性，和諧性，蘊(yùn)含著豐富的美學(xué)價

2

值.這一比值能夠引起人們的美感，是建筑和藝術(shù)中最理想的比例.我們把離心率e=避二i的橢圓稱為

2

“黃金橢圓”，則以下說法正確的是（）

A.橢圓萬+看^=1是，黃金橢圓”

22

B.若橢圓彳+2=1（〃>6>0）的右焦點為b（0,0）,且滿足尸="，則該橢圓為“黃金橢圓”

ab

22

C.設(shè)橢圓?+2=1（。>6>0）的左焦點為死上頂點為8,右頂點為A,若廠=90。，則該橢圓

ab

為“黃金橢圓”

22

設(shè)橢圓斗+方（。>>>）的左、右頂點分別是左、右焦點分別是耳,

D.=104B,F2,若

=|A圖?山邳，則該橢圓為“黃金橢圓”

【變式7-1］（2024?遼寧大連?模擬預(yù)測）曲率半徑可用來描述曲線上某點處曲線彎曲變化程度，曲率半徑

22

越大，則曲線在該點處的彎曲程度越小.已知橢圓<7:』+2=1（°>6>0）上點。（%,%）處的曲率半徑公式

ab

3

為.若橢圓c上所有點相應(yīng)的曲率半徑的最大值是最小值的20倍，則橢圓C的離心

率為___.

【變式7-2］（2024.高三.北京順義.期末）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租車往往不

能沿直線到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走.在平面直角坐標(biāo)系中，定義〃（P，Q）=|占-引+E-叼為

兩點尸（乙%）、Q（%,%）之間的“出租車距離”.

給出下列四個結(jié)論：①若點0（0,0）,點4（1,2）,則d（O,A）=3；

②到點。（。,0）的“出租車距離”不超過1的點的集合所構(gòu)成的平面圖形面積是萬；

③若點A。,2）,點2是拋物線上的動點，則d（A3）的最小值是1；

④若點4(1,2),點B是圓。+丫2=1上的動點,則d(AB)的最大值是3+忘.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

【變式7-3](2024?山東棗莊?模擬預(yù)測)設(shè)&(%,%),3優(yōu)，%)為平面上兩點，定義

d(A3)=歸一法|+帆一必卜已知點P為拋物線C:f=2py(0>O)上一動點，點Q(3,0),d(P,Q)的最小值為

2,則。=；若斜率為|■的直線/過點0,點M是直線/上一動點，則d(P,M)的最小值為.

題型八：綜合問題

【典例8-1】(2024?新疆烏魯木齊?二模)在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點A&,%),3(尤2，%)之間

的“距離”為|的=卜-，+[%-%|，我們把到兩定點耳(一60),瑪(c,0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)2a(a>c)

的點的軌跡叫“橢圓”.

⑴求“橢圓”的方程；

(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；

⑶設(shè)c=l,a=2,作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為CC的左頂點為A,過瑞作直線交C于

M,N兩點，4WN的外心為。，求證：直線。。與的斜率之積為定值.

【典例8-2】(2024.湖南.二模)直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如尤=沙+1表示過點(1,。)

的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一

點處的切線都是該直線族中的某條直線.

22

⑴若圓C1：x+y=l是直線族mx+ny=l(m,neR)的包絡(luò)曲線，求利，〃滿足的關(guān)系式；

(2)若點Pg,yo)不在直線族：。(2。-4)x+4y+(a-2)2=0(GeR)的任意一條直線上，求為的取值范圍和

直線族。的包絡(luò)曲線E;

⑶在(2)的條件下，過曲線E上A8兩點作曲線E的切線乙4,其交點為P.已知點C(0,l),若A,民C三

點不共線，探究NPC4=NPCB是否成立？請說明理由.

【變式8-1](2024?河南南陽?一模)在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上,

該圓的圓心是橢圓（雙曲線）的中心，半徑等于橢圓（雙曲線）長半軸（實半軸）與短半軸（虛半軸）平方和（差）的算

22

術(shù)平方根，則這個圓叫蒙日圓.已知橢圓E:=+與=l（a＞方＞0）的蒙日圓的面積為13兀，該橢圓的上頂點和

ab

下頂點分別為6,且出4=2,設(shè)過點的直線4與橢圓E交于A8兩點（不與兩點重合）

且直線4：x+2j-6=0.

（1）證明：APltBE的交點P在直線y=2上；

⑵求直線M，期,4圍成的三角形面積的最小值.

【變式8-2］（2024.山東荷澤.模擬預(yù)測）行列式是代數(shù)學(xué)中線性代數(shù)的重要分支，是一個方陣所對應(yīng)的一

個標(biāo)量值.行列式具有簡潔、對稱、優(yōu)美的特點，可以用來求直線方程，求三角形的面積，解線性方程組等.

利用行列式進(jìn)行求解，則可以簡化運(yùn)算步驟，提高做題速度.其中二階行列式定義為：

aa

Ui2一17人，一\、，AL,“22”23一%1%3,、，%1〃22

=a”%2一；二*以1仃列式定乂為：〃21〃22“23—。口X—。受X+X

12一一/、

例如：35=1X5-2X3=-1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知VABC的三個頂點坐標(biāo)為

Ww，%）,c（w，%）則VA3C的面積公式可表示為:

⑴已知。（0,0）,M（-3,-2）,N（l,-6）,求■僅W的面積.

⑵已知點A（-2,0）,3（0,2）,若點C是圓/-2》+丫2=0上的動點，求VABC面積的最小值.

22

（3）已知橢圓,+方=1（。＞6＞0）,它的左焦點坐標(biāo)為卜26,0）,右頂點坐標(biāo)為（4,0）,設(shè)點。的坐標(biāo)為

（2,1）,過原點。的直線交橢圓于點瓦歹，求④的面積的最大值.

【變式8-3］（2024.吉林.模擬預(yù)測）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如左'（3-2）-&-1）=。

表示過點（2,1）且斜率存在的直線族，y=x+f'表示斜率為1的直線族.直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中

的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.

⑴若直線族蛆+利+1=0（〃5€1i）的包絡(luò)曲線是圓0:尤2+/=16,求利〃滿足的關(guān)系式；

⑵若點“伍,為）不在直線族①:2尢v-8y-力=0（2eR）的任意一條直線上，對于給定的實數(shù)看,求治的

取值范圍和直線族①的包絡(luò)曲線E；

（3）在（2）的條件下，過直線尤-4y-8=0上一個動點尸作曲線E的兩條切線，切點分別為A,B,求原點。

到直線A8距離的最大值.

1.數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線。：（/+y）3=4無2y2被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）.給出下列

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過1；

③存在一個以原點為中心、邊長為血的正方形，使曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）.

其中，正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

2.（多選題）（2024?高三?河南?開學(xué)考試）雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重

要的地位，同時也具有特殊的有價值的藝術(shù)美.它既是形成其它一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)

家設(shè)計作品的主要幾何元素.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8"，如圖曲線C：（尤2+丫2）2=9（Y-必）

是雙紐線，下列說法正確的是（）

A.曲線C的圖象關(guān)于原點對稱

B.曲線C經(jīng)過7個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）

C.曲線C上任意一點到坐標(biāo)原點。的距離都不超過3

D.若直線丁=丘與曲線C只有一個交點，則實數(shù)上的取值范圍為U,+s）

3.（多選題）（2024?高三?廣東?開學(xué)考試）到兩個定點的距離之積為大于零的常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵

形線.設(shè)K（-c,0）和月（c,0）且c>0,動點M滿足|崢閭=/（°>0）,動點加的軌跡顯然是卡西尼卵形

線，記該卡西尼卵形線為曲線C,則下列描述正確的是（）

A.曲線C的方程是優(yōu)+力2-2°212-力=1―4

B.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱

C.曲線C與％軸沒有交點

D.△町工的面積不大于

4.（多選題）卵形曲線也叫卵形線，是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線.卡西尼卵形線是

平面內(nèi)與兩個定點（叫做焦點）距離之積等于常數(shù)的點的軌跡.設(shè)焦點耳（-c，0），&（c，。）是平面內(nèi)兩個定點,

2

\PFi\-\PF2\=a是定長），特別地，當(dāng)。=。時的卡西尼卵形線又稱為伯努利雙紐線，某同學(xué)通過類比

橢圓與雙曲線的研究方法，對伯努利雙紐線進(jìn)行了相關(guān)性質(zhì)的探究，得到下列結(jié)論，其中正確的是（）

A.曲線過原點

B.關(guān)于原點中心對稱且關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對稱

C.方程為（爐+*2=2/（/_9）

D.曲線上任意點P（x。，%）,Xoe[-a,a],y0

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓E:，+y2=i外一動點尸作E的兩條切線〃4,且

（1）求動點尸的軌跡C的方程；

（2）對于給定非空點集若”中的每個點在N中都存在距離最小的點，且所有最小距離的最大值存在,

則記此最大值為d（M,N）.已知直線/與曲線C相交于A8兩點，若M,N分別是線段A3和曲線C上所有點

構(gòu)成的集合，。為曲線C上一點，當(dāng)二的面積最大時，求d（M,N）.

6.在xOy平面上，我們把與定點月(-。,0),工30)(a＞0)距離之積等于"的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線,

用名為該曲線的兩個焦點.已知曲線c:，+嚴(yán)2=9(%2-/)是一條伯努利雙紐線.

(1)求曲線C的焦點￡,月的坐標(biāo)；

(2序IJ斷曲線C上是否存在兩個不同的點A、B(異于坐標(biāo)原點。)，使得以A8為直徑的圓過坐標(biāo)原點

O.如果存在，求點A、3坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

7.中國結(jié)是一種手工編制工藝品，因其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的審美觀念，廣受中國人喜愛.

它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字結(jié)”對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的伯努利雙紐

線.在xOy平面上，我們把與定點F,,F2(?,0)(a＞0)距離之積等于標(biāo)的動點的軌跡稱為伯努利雙紐

線，F(xiàn)t,瑞為該曲線的兩個焦點.數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利曾將該曲線作為橢圓的一種類比開展研究.已知曲

線C:(爐+9丫=9(x2-/)是一條伯努利雙紐線.

(1)求曲線C的焦點及，尸2的坐標(biāo)；

(2)試判斷曲線C上是否存在兩個不同的點A,B(異于坐標(biāo)原點。)，使得以A6為直徑的圓過坐標(biāo)原點O.

如果存在，求出A,8坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

22

8.(2024.全國?模擬預(yù)測)定義：一般地，當(dāng)，＞0且3時，我們把方程宗+2=?。?＞0)表示的橢

222

圓a稱為橢圓下方=1(。＞方＞0)的相似橢圓.已知橢圓C：,+丁=1,橢圓C，(彳＞0且"1)是橢圓

C的相似橢圓，點尸為橢圓C”上異于其左、右頂點M,N的任意一點.

(1)當(dāng)2=2時，若與橢圓c有且只有一個公共點的直線=4恰好相交于點P,直線4,4的斜率分別為勺，勺,

求k他的值；

(2)當(dāng)彳=/(e為橢圓C的離心率)時，設(shè)直線與橢圓C交于點直線PN與橢圓C交于點2石,

求|AB|+|DE|的值.

22

9.已知橢圓「:=+與=l(a>b>0)的左、右焦點分別為耳、F2,直線/的斜率為左，在y軸上的截距為利

ab

(1)設(shè)左=1,若r的焦距為2,/過點片，求/的方程；

⑵設(shè)m=o,若,點J是r上的一點，且附|+|%=4,/與「交于不同的兩點A、B,。為r的上頂點,

求么ABQ面積的最大值；

(3)設(shè)〃是/的一個法向量，Af是/上一點，對于坐標(biāo)平面內(nèi)的定點N,定義m=”.MN用a、b、k、m表

\n\

示年與乙，并利用冬?5&與片的大小關(guān)系，提出一個關(guān)于/與r位置關(guān)系的真命題，給出該命題的證明.

10.在平面直角坐標(biāo)系X0y中，對于直線/:分+勿+C=。和點6(%,乂)，￡(程力)，記

77=(^+byx+c)(ax2+by2+c),若〃<0,則稱點《，鳥被直線/分離，若曲線c與直線/沒有公共點，且

曲線C上存在點片，鳥被直線/分隔，則稱直線/為曲線C的一條分隔線.

(1)求證：點A(l,2),3(-1,0)被直線x+y-l=o分隔；

(2)若直線>=區(qū)是曲線/-4y2=1的分隔線，求實數(shù)4的取值范圍；

(3)動點M到點Q(0,2)的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1,設(shè)點M的軌跡為曲線E,求證：通過原點的直

線中，有且僅有一條直線是￡的分隔線.

11.設(shè)直線/：>=g(x),曲線S:y=F(無).若直線/與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線/與曲線S相

切且至少有兩個切點；②對任意尤eR都有g(shù)(x)N2x).則稱直線/為曲線S的“上夾線”.

(1)已知函數(shù)/(x)=x-2sinx.求證：>=x+2為曲線/(x)的“上夾線”；

(2)觀察下圖：

根據(jù)上圖，試推測曲線S:y=%isinx(">0)的“上夾線”的方程，并給出證明.

12.在平面直角坐標(biāo)系。孫中，定義：如果曲線G和C?上分別存在點M,N關(guān)于X軸對稱，則稱點M和

點N為G和的一對“關(guān)聯(lián)點”.

⑴若C:X?+盯+V=6上任意一點P的“關(guān)聯(lián)點”為點Q,求點Q所在的曲線方程和|。尸|+|。。|的最小值；

(2)若C,:(x2+/『=4江(y2x>0)上任意一點S的“關(guān)聯(lián)點”為點T,求叼的最大值；

⑶若J:y=2Inx-2依和Q:y=1-(a+1)/在區(qū)間(0,+句上有且僅有兩對“關(guān)聯(lián)點”，求實數(shù)〃的取值范

圍.

22

13.定義：若橢圓C：n=l(a>"0)上的兩個點401，%),8(久2，%)滿足學(xué)+黃=。，則稱身為

該橢圓的一個“共輾點對”.

22

如圖，A3為橢圓C：土+工=1的“共朝點對”，已知4(3,1),且點8在直線/上，直線/過原點.

(1)求直線/的方程;

(2)已知P,Q是橢圓C上的兩點，。為坐標(biāo)原點，且PQ〃Q4.

(i)求證：線段PQ被直線/平分；

(ii)若點8在第二象限，直線/與PQ相交于點“，點N為尸8的中點，求比團(tuán)V面積的最大值.

14.(2024.高三.湖北.開學(xué)考試)類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標(biāo)系中，可以定義曲面

(含平面)s的方程，若曲面S和三元方程P(x,y,z)=0之間滿足：①曲面s上任意一點的坐標(biāo)均為三元方

程廠(％%2)=0的解；②以三元方程0的任意解(xo，%,z0)為坐標(biāo)的點均在曲面s上，則稱曲面

S的方程為尸(x,y,z)=0,方程網(wǎng)x,y,z)=0的曲面為S.已知曲面C的方程為==

(1)寫出坐標(biāo)平面xOz的方程(無需說明理由)，并說明xOz平面截曲面C所得交線是什么曲線；

(2)已知直線/過曲面C上一點2),以d=(1,0,2)為方向量，求證：直線/在曲面C上(即/上任意

一點均在曲面C上)；

(3)已知曲面C可視為平面xOz中某雙曲線的一支繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面；同時，過曲面C上任意一

點，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面C上.設(shè)直線/'在曲面C上，且過點7(1,0,0),求異面直線/

(第二間中的直線/)與/'所成角的余弦值.

15.定義非零向量OM=(a,b)的“相伴函數(shù)”為/(x)=asinx+灰:o&x(xeR),向量OM=(a,6)稱為函數(shù)

/(x)=asiiu+Z7Cosx的“相伴向量”(其中。為坐標(biāo)原點).記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S.

⑴設(shè)力(x)=cos[x+j-2cos(x+a)(aeR),求證：〃(x)eS；

(2)求(1)中函數(shù)h(久)的“相伴向量''模的取值范圍；

(3)已知點河(。⑼9片0)滿足：(0-石)2+(人1)2=1,向量OM的“相伴函數(shù)”/(x)在x=x0處取得最大值.

當(dāng)點M運(yùn)動時，求tan2%的取值范圍.

22

16.（2024?高三?四川達(dá)州?開學(xué)考試）定義：若橢圓（7:=+2=1（0>匕>0）上的兩個點4（%,%）,3（尤2，%）

ab

滿足竿+筍=。，則稱為該橢圓的一個“共軻點對”，記作[A8].已知橢圓c的一個焦點坐標(biāo)為

耳（-1,0）,且橢圓過點

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：有兩個點2滿足“共軌點對”[AB],并求出2的坐標(biāo)；

⑶設(shè)（2）中的兩個點3分別是用,與，設(shè)。為坐標(biāo)原點，點尸，。在橢圓C上，且與，尸，灰,。順時針排列

且尸?！?。4,證明：四邊形”?不。的面積小于4石.

17.（2024?廣東汕頭?三模）已知拋物線G：y2=4◎和C2：Y=4y,其中a>0.G與G在第一象限內(nèi)的交點

為p.a與G在點P處的切線分別為乙和i2,定義it和i2的夾角為曲線c,G的夾角.

3

（1）若G，C2的夾角為，，tanO=T，求”的值；

4

（2）若直線4既是G也是G的切線，切點分別為。，尺，當(dāng)-PQR為直角三角形時，求出相應(yīng)。的值.

18.（2024.高三.上海徐匯?期中）如圖定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫做橢圓的“伴隨圓”，過

橢圓上一點加作x軸的垂線交其“伴隨圓”于點N（M、N在同一象限內(nèi)），稱點N為點M的“伴隨

點”.已知橢圓E:[+'=l（a>b>0）上的點[6,的“伴隨點”為（73,1）.

⑴求橢圓“及其“伴隨圓”的方程；

(2)求sOMN的最大值，并求此時“伴隨點”N的坐標(biāo);

22

19.(2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測)已知橢圓E:=+3=l(a>6>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角

a'b'

形的三個頂點，且橢圓E過7(2,1),直線/：y=x+機(jī)與橢圓E交于A、B.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線窗、76的斜率分別為％,k2,證明：勺+&=。；

(3)直線「是過點T的橢圓E的切線，且與直線/交于點P,定義NP7B為橢圓￡的弦切角，NTAB為弦TB

對應(yīng)的橢圓周角，探究橢圓E的弦切角NP7B與弦窗對應(yīng)的橢圓周角N7AB的關(guān)系，并證明你的論.

拔高點突破03圓錐曲線背景下的新定義問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：定義新曲線.............................................................2

題型二：雙扭線.................................................................3

題型三：卡西尼卵形線...........................................................5

題型四：心形線.................................................................6

題型五：四葉草曲線.............................................................7

題型六：定義新圖形.............................................................9

題型七：定義新性質(zhì)............................................................11

題型八：綜合問題..............................................................13

03過關(guān)測試....................................................................15

亡法牯自與.柒年

//\\

圓錐曲線背景下的新定義問題，關(guān)鍵在于理解新定義的本質(zhì)，并將其與常規(guī)圓錐曲線知識相結(jié)合。

方法總結(jié)如下：

1、明確新定義：首先仔細(xì)閱讀題目，明確新定義的內(nèi)容、符號及其含義。

2、聯(lián)系常規(guī)知識：將新定義與圓錐曲線的第一、第二定義或標(biāo)準(zhǔn)方程等常規(guī)知識聯(lián)系起來，找出它

們的相似之處或轉(zhuǎn)換關(guān)系。

3、建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)新定義，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型或方程，利用解析幾何或代數(shù)方法進(jìn)行求解。

4、驗證與推理：在求解過程中，注意驗證每一步推理的正確性，確保最終答案符合題目要求。

5、靈活應(yīng)用：對于復(fù)雜問題，可能需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)知識和方法，靈活應(yīng)對。

//

題型一：定義新曲線

【典例1-1】若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90。，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，這樣的橢

圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（）

X2y2,x2y2,0x2y2「x2y2?

AA.——+—=1Bn.——+—=1C.—+—=1D.——+—=1

84356269

【答案】A

【解