2025年中考數(shù)學專項復習：特殊三角形（13類重點考向）（原卷版）

專題15特殊三角形

目錄一覽

知識目標（新課程標準提煉）

中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）

重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一等腰三角形的性質與判定

A考向二三角形的內角和

A考向三全等三角形的判定與性質

A考向四含30。角的直角三角形

A考向五直角三角形斜邊上的中線

A考向六勾股定理

A考向七勾股定理的證明

A考向八勾股數(shù)

A考向九勾股定理的應用

A考向十勾股定理一最短路徑問題

A考向十一等腰直角三角形

A考向十二三角形中位線定理

A考向十三三角形的綜合題

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）

H知識目標

i,了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的高線、

中線及頂角平分線互相重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形；

2,探索等邊三角形的性質定理：等邊三角形的各角都等于60。，及等邊三角形的判定定理：三個角都相等的

三角形（或有一個角是60。的等腰三角形）是等邊三角形.

3,了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質定理：直角三角形的兩個銳角互余；直角三角形

斜邊上的中線等于斜邊的一半；掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形;

4.探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題.

中考解密

該板塊內容重在掌握基本知識的基礎上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，分值為10分左右，預計

2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查等腰（等邊）三角形和勾股定理與中位線性質、三

角形全等、三角形內外角性質、尺規(guī)作圖等知識點結合考察，這部分知識需要學生扎實地掌握基礎，并且

會靈活運用.在解答題中會出現(xiàn)等腰三角形與直角三角形的性質和判定,這部分知識主要考查基礎。

生重點考向

A考向一等腰三角形的性質與判定

1.等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸.

2.等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45。.

3.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.

4.等腰三角形的三邊關系：設腰長為a,底邊長為b,則2<a.

2

]80°—//

5.等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為NA,底角為NB、NC,則/A=180O-2/B,NB=/C=-------------.

2

6.等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等

關系的重要依據(jù).

7.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形.

河北5一西遺形7萬三的預正如囪廝示「對鬲分7萬的飛度施國造形布獲曲西奏而斐花廠ifim

為等腰三角形時，對角線的長為（）

2.（2023?大慶）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△48C是等腰三角形，AB^AC,AF：BF=3：4,點

G、H、尸分別是邊/2、AC.3c的中點；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE//IJ//MN//CD,制造窗戶

框的材料總長為16米（圖中所有黑線的長度和），設米，3E=y米.

（1）求夕與X之間的函數(shù)關系式，并求出自變量X的取值范圍；

（2）當x為多少時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），并計算窗戶的最大面積.

3.（2023?濰坊）如圖，在及42。中，CD平分AELCD,垂足為點E,過點￡作E尸〃BC,交/C

于點RG為的中點，連接尸G.求證：FG=^AB.

A考向二三角形的內角和

廨題技I句易錯易意一一

1.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質.

2.等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸.

3.等邊三角形的內心、外心、重心和垂心重合.

4.在等腰三角形中，只要有一個角是60。，無論這個角是頂角還是底角，這個三角形就是等邊三角形.

5.等腰（等邊）三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底

邊上的高重合.

4.（2023?細雨）而鼠舌寫揚△/23吊,而莫55面王拓市甌隨哀Bd至舌、E,硬不二CD,香D足二福;

貝口2=（

A

5.（2023?涼山州）如圖，邊長為2的等邊A/BC的兩個頂點N、5分別在兩條射線。河、ON上滑動，若

OMLON,則OC的最大值是______________

"fIaC

°AM

6.（2023?雅安）如圖，四邊形/BCD中，4B=AD,BC=DC,ZC=60°,AE〃CD交BC于點、E,BC=8,

AE1=6,則AB的長為_______________.

A

c

A考向三全等三角形的判定與性質

7.（2023?衢州）如圖是脊柱側彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角/O的大小，需將/。轉化

為與它相等的角，則圖中與N。相等的角是（）

凸面凹面

寬+普當cobb>10°為脊柱側彎

寬言味。鶴>0

A.ZBEAB.ZDEBC.NECAD.ZADO

8.（2023?攀枝花）如圖，在A/BC中，//=40。，ZC=90°,線段43的垂直平分線交于點。，交AC

于點￡,則/即C=

A考向四含30。角的直角三角形

解題技巧/易錯易混

在直角三角形中，30。的角所對的直角邊等于斜邊的一半，這個性質常常用于計算三角形的邊長，也是證明

一邊（30。角所對的直角邊）等于另一邊（斜邊）的一半的重要依據(jù).當題目中已知的條件或結論傾向于該

性質時，我們可運用轉化思想，將線段或角轉化，構造直角三角形，從而將陌生的問題轉化為熟悉的問題.

5.…一，56西?賈麗）一二百萬6一百廠與6方用國國際夭及施產亞薄寬今”茬貫而弁落「茬'“百動花豆庫庫;洋宥許塞

幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120。，腰長為12加，則底邊上

的高是（）

10.（2022?十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形4BCD中，AB=AD,N3+ND=180。，點E,歹分別在8C,

CDh,若NBAD=2/EAF,則EF=BE+DF.

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形/BCD.已知CD=CB=100〃?，

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,道路ND,N5上分別有景點M,N,且。河=100根，BN=5Q

1）加，若在四，N之間修一條直路，則路線V—N的長比路線N的長少m

（結果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：Vs?i.7）.

A考向五直角三角形斜邊上的中線

11.（2023?株洲）一技術人員用刻度尺（單位：c〃?）測量某三角形部件的尺寸.如圖所示，已知

90。，點。為邊48的中點，點/、3對應的刻度為1、7,則CD=（）

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

12.（2022?杭州）如圖，在Rt/UCB中，/NCB=90。，點M為邊N3的中點，點￡在線段上，EFA.

/C于點/，連接CM,CE.已知/N=50。，/ACE=30。.

（I）求證：CE=CM.

（2）若NB=4,求線段/C的長.

A考向六勾股定理

解題技巧/易錯易混

1.應用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時，斜邊只能是C.若b為斜邊，則關系

式是a2+c2=b2；若a為斜邊,則關系式是b?+c2=a2.

2.如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解

時必須進行分類討論，以免漏解.

而話.亨夏一）-蔣二前直箱三鬲板和二把貨度為-2cl的直穴接如西方式至放「先把%6嘀fza鬲的頂點友

它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜

邊分別交直尺上沿于4,3兩點，則的長是（）

14.（2023?淮安）在四邊形/5CD中，AB=BC=2,//BC=120。，比7為內部的任一條射線（N

CB8不等于60。），點。關于3H的對稱點為C,直線NC與瓦/交于點尸，連接CC、CF,則ACCE

面積的最大值是.

A考向七勾股定理的證明

15.（2023?湖北）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是

由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形.設圖中DF=b,連接NE,BE,

,22

若△/￡>￡與A3昉■的面積相等，則且_:_=

2,2

16.（2022?內江）勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學著作《周髀算經》中，漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股

定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖圖②由弦圖變化得到，它是由八個全

等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形/BCD、正方形EFGH、正方形的面積分別為Si、$2、

A考向八勾股數(shù)

17.（2023?南通）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的

是中國古代數(shù)學著作《九章算術》.現(xiàn)有勾股數(shù)a,b,c,其中a,6均小于c,。=工"-工，

2222

m是大于1的奇數(shù)，則b=（用含m的式子表示）.

18.（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經》：“勾廣三，股修四，徑隅五”.觀察下列勾股

數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25；....這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1.柏拉圖

研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6,8,10；8,15,17；…，若此類勾股數(shù)的勾為

2m（m>3,加為正整數(shù)），則其弦是（結果用含加的式子表示）.

A考向九勾股定理的應用

19.（2023?恩施州）《九章算術》被稱為人類科學史上應用數(shù)學的“算經之首”.書中記載：“今有戶不知高、

廣，竿不知長短.橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出.問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，

不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門

對角線恰好相等.問門高、寬和對角線的長各是多少（如圖）？答：門高、寬和對角線的長分別是

尺.

DC

高龍/'

A廣B

20.（2023?東營）——艘船由/港沿北偏東60。方向航行30的z至3港，然后再沿北偏西30。方向航行40初?

至C港，則/,C兩港之間的距離為km.

21.（2022?常州）如圖，將一個邊長為20cm的正方形活動框架（邊框粗細忽略不計）扭動成四邊形/BCD,

對角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達到36c〃?時才會斷裂.若/34D=60。，則橡皮筋/C斷

裂（填“會”或“不會”,參考數(shù)據(jù)：V3=1.732）.

A考向十勾股定理一最短路徑問題

22.（2022?金華）如圖，圓柱的底面直徑為48,高為NC,一只螞蟻在。處，沿圓柱的側面爬到3處，現(xiàn)

將圓柱側面沿NC“剪開”，在側面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（）

23.（2023?廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9c加，底面周長為16c冽，在杯內壁離杯底4c冽的點4處

有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1c冽，且與蜂蜜相對的點5處，則螞蟻從

外壁B處到內壁A處所走的最短路程為cm.（杯壁厚度不計）

B

A考向H—等腰直角三角形

24.（2023?麗水）如圖，在四邊形/BCD中，AD//BC,NC=45。，以AB為腰作等腰直角三角形2/E,

頂點￡恰好落在CD邊上，若/。=1,則CE的長是（）

C.2D.1

25.（2023?蘇州）如圖，NB4c=90。,/8=/C=3衣，過點。作CD_L3C,延長C8到￡,使

3

連接ED.若ED=2AE,則2E=.（結果保留根號）

A考向十二三角形中位線定理

26.（2023?陜西）如圖，是A/BC的中位線，點尸在。5上，DF=2BF.連接EF并延長，與C3的延

長線相交于點若BC=6,則線段CN的長為（）

「15D.8

22

27.（2023?湖州）如圖，在ZUBC中，AB=AC,/D_L3C于點D,點￡為48的中點，連結已知

10,40=12,求BD,DE的長.

A

E

BDC

A考向十三三角形的綜合題

28.（2023?大慶）如圖，在ZUBC中，將繞點/順時針旋轉a至/將NC繞點/逆時針旋轉0至

（00<a<180°,0°<p<180°）,得到△/夕C,使NB4C+乙BNC=180。,我們稱△期C是ZUBC的“旋

補三角形"，△/9C的中線ND叫做A/BC的“旋補中線”，點/叫做“旋補中心”.下列結論正確的

有.

①△NBC與△/夕。面積相同；

②BC=2AD；

③若N3=/C,連接82'和CC',則N93C+/CC?=180°；

④若A8=/C,4B=4,BC=6,則3'C'=10.

29.（2023?重慶）如圖，△A8C是邊長為4的等邊三角形，動點E,尸均以每秒1個單位長度的速度同時

從點/出發(fā)，￡沿折線/一2-C方向運動，下沿折線方向運動，當兩點相遇時停止運動.設運

動的時間為f秒，點E,歹的距離為y.

（1）請直接寫出y關于t的函數(shù)關系式并注明自變量/的取值范圍；

（2）在給定的平面直角坐標系中，畫出這個函數(shù)圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質；

（3）結合函數(shù)圖象，直接寫出點￡,尸相距3個單位長度時/的值.

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O

1.（2023?衢州）如圖是脊柱側彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出C。防角的大小，需將/。轉化

A.ZBEAB.ZDEBC.ZECAD./ADO

2.（2022?岳陽）如圖，已知/〃/￡CDLZ于點D,若NC=40。，則N1的度數(shù)是（）

C

3.（2022?紹興）如圖，把一塊三角板N2C的直角頂點3放在直線斯上，NC=30。，AC//EF,則Nl=

4.（2021?黑龍江）如圖，矩形4BCD的邊CD上有一點￡,/DAE=225。,EFLAB,垂足為R將

繞著點尸順時針旋轉，使得點/的對應點〃r落在M上，點￡恰好落在點3處，連接下列結論：

①3AU/E；②四邊形EEBC是正方形；③NEBM=30。；?S^BCEM-S^BFM=（2%年+1）：1.其中結

論正確的序號是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.③④

5.（2022?大連）如圖，在A/BC中，ZACB=90°.分別以點/和點C為圓心，大于工/C的長為半徑作弧,

2

兩弧相交于M,N兩點，作直線直線"N與48相交于點。，連接CD,若AB=3,則CD的長是

6.（2023?日照）已知直角三角形的三邊a,b,c滿足c>°>6,分別以a,b,c為邊作三個正方形，把兩

個較小的正方形放置在最大正方形內，如圖，設三個正方形無重疊部分的面積為Si,均重疊部分的面積

為S2,則（）

A.Si>S2B.Si<&

C.Si=s2D.S1,S2大小無法確定

7.（2023?樂山）我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等

的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如果大正方形面積為25,小正方形面積為1,則

8.（2022?湘潭）中國古代數(shù)學家趙爽在為《周髀算經》作注解時，用4個全等的直角三角形拼成正方形（如

圖），并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖若“弦圖”中小正方形面積與每個直角三角形面積

均為1,a為直角三角形中的一個銳角，則tana=（）

a

A.2B.3C.工D.恒

225

9.（2023?瀘州）《九章算術》是中國古代重要的數(shù)學著作，該著作中給出了勾股數(shù)a,b,c的計算公式：

a=—（m2-n2），b=mn,c=—（/+/）,其中加>">0,m,〃是互質的奇數(shù).下列四組勾股數(shù)中，

22

不能由該勾股數(shù)計算公式直接得出的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.7,24,25

10.（2021?常德）閱讀理解：如果一個正整數(shù)加能表示為兩個正整數(shù)a,6的平方和，即〃?=4+62,那么

稱加為廣義勾股數(shù)，則下面的四個結論：①7不是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個廣義勾股數(shù)

的和是廣義勾股數(shù)；④兩個廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù).依次正確的是（）

A.②④B.①②④C.①②D.①④

11.（2022?長沙）如圖，在△NBC中，按以下步驟作圖：

①分別以點/、3為圓心，大于LB的長為半徑畫弧，兩弧交于尸、。兩點；

2

②作直線PQ交AB于點D；

③以點。為圓心，4D長為半徑畫弧交于點連接/"、BM.

A.4B.2C.V3D.我

12.（2023?西寧）在A/BC中，AB=AC,/R4c=100。，點D在邊上，連接4D,若2UAD為直角三

角形，則N4D8的度數(shù)是.

13.（2023?吉林）如圖，在A/BC中，AB=AC.分別以點8和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，

兩弧交于點D,作直線交8C于點E.若NR4C=110。，則NA4E的大小為度.

14.（2023?山西）如圖，在四邊形48CD中，NBCD=9Q°,對角線NC,8。相交于點。.若4B=4C=5,

BC=6,ZADB=2ZCBD,則的長為

15.（2023?武漢）如圖，平分等邊△/2C的面積，折疊AADE得到AFDE,/C分別與。尸，即相交于G,

女兩點.若DG=m,EH—n,用含加，”的式子表示G/Z的長是.

16.（2023?江西）將含30。角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知/a=60。，點8,C表示的

刻度分別為lc%，3cm,則線段48的長為cm.

17.（2023?攀枝花）如圖，在A/BC中，ZA=4Q°,ZC=90°,線段N3的垂直平分線交于點。，交

/C于點￡,則/MC=

C

E

ADB

18.（2021?陜西）如圖，在R34BC中，ZC=90°,/B=30。,4B=8.若￡、尸是BC邊上的兩個動點,

以EF為邊的等邊4EFP的頂點P在MBC內部或邊上，則等邊P的周長的最大值為.

19.（2023?荊州）如圖，CD為RtA/BC斜邊上的中線，￡為/C的中點.若/C=8,CD=5,貝（IDE

20.（2023?泰州）小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正

南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走9里到達

城堡邊，再往前走6里到達樹下.則該城堡的外圍直徑為_______里.

21.（2023?無錫）《九章算術》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從

之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其

長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等.問門高、

寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是.

22.（2022?泰州）如圖所示的象棋盤中，各個小正方形的邊長均為1.“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復

23.（2023?德陽）如圖，在底面為正三角形的直三棱柱中，48=2?,44尸2,點M為/C

的中點，一只小蟲從囪沿三棱柱/BC-NiBiG的表面爬行到M處，則小蟲爬行的最短路程等于—.

24.（2023?沈陽）如圖，在R3/BC中，ZACB=90°,AC=BC=3,點。在直線/C上，/。=1,過點。

作DE//AB交直線BC于點E,連接BD,點、O是線段8。的中點，連接OE,則OE的長為.

25.（2022?黔西南州）如圖，在△ABC和中，ZBAC^ZDAE=90°,ZB=60°,ZD=45°,4c與

DE相交于點F.若BC//AE,則AAFE的度數(shù)為.

26.（2023?廣州）如圖，在R348C中，ZACB=90°,AB=10,/C=6,點M是邊/C上一動點，點

￡分別是/瓦”5的中點，當/〃=2.4時，OE的長是.若點N在邊3c上，且CN=4W,點

F,G分別是MN,/N的中點，當NM>2.4時，四邊形。EFG面積S的取值范圍是.

27.（2023?金華）如圖，把兩根鋼條0區(qū),的一個端點連在一起，點C,。分別是0/,03的中點，若

CD=4cm,則該工件內槽寬48的長為cm.

28.