中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識(shí)菱形的性質(zhì)與判定(練習(xí))含答案及解析_第1頁(yè)
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第五章四邊形第25講菱形的性質(zhì)與判定TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01利用菱形的性質(zhì)求角度??題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)??題型03利用菱形的性質(zhì)求周長(zhǎng)??題型04利用菱形的性質(zhì)求面積??題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)??題型06利用菱形的性質(zhì)證明??題型07菱形的折疊問(wèn)題??題型08添加一個(gè)條件使四邊形是菱形??題型09證明四邊形是菱形??題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度??題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)??題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求周長(zhǎng)??題型13根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積??題型14根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題??題型15與菱形有關(guān)的新定義問(wèn)題??題型16與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題??題型17與菱形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題??題型18與菱形有關(guān)的最值問(wèn)題??題型19含60°角的菱形??題型20菱形與函數(shù)綜合??題型21與菱形有關(guān)的存在性問(wèn)題??題型22與菱形有關(guān)的材料閱讀類問(wèn)題??題型01利用菱形的性質(zhì)求角度1.(2024·廣東·模擬預(yù)測(cè))如圖所示,在菱形ABCD中,以點(diǎn)B為圓心,一定長(zhǎng)為半徑畫弧分別交BC,BD于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,連接BP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)Q.若∠C=40°,則2.(2024·重慶·模擬預(yù)測(cè))如圖,在菱形ABCD中,AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F,點(diǎn)E為垂足,連接DF.若∠BAD=α,則∠CDF為(

)A.α B.32α C.180°?33.(2024·浙江·模擬預(yù)測(cè))如圖,點(diǎn)E為菱形ABCD中AB邊上一點(diǎn),連結(jié)DE,DE=DA,將菱形沿DE折疊,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在BC邊上,則∠A的度數(shù)為.4.(2024·黑龍江哈爾濱·二模)如圖,已知四邊形ABCD為菱形,以AB為直徑作⊙O,過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交CD于點(diǎn)E.若∠ABC=50°,則∠CAE的度數(shù)為.??題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)5.(2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè))如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,點(diǎn)M和N分別是AB和AD上一點(diǎn),沿MN將△AMN折疊,點(diǎn)A恰好落在邊BC的中點(diǎn)E上.若AB=4,則AM的長(zhǎng)為(

A.2.4 B.2.8 C.3 D.3.26.(2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè))如圖,菱形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上,∠AEF=90°,∠AFE=∠D,若CE=6,CF=27.(2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè))菱形是日常生活中常見的圖形,如伸縮衣架(如圖1)等,為兼顧美觀性和實(shí)用性,活動(dòng)角α的取值范圍宜為60°≤α≤120°(如圖2),亮亮選購(gòu)了折疊后如圖3所示的伸縮衣架,則其拉伸長(zhǎng)度AB的適宜范圍最接近()A.30≤AB≤45 B.45≤AB≤45C.45≤AB≤303 D.8.(2024·山西·模擬預(yù)測(cè))如圖,在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,∠ABC=60°,,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是OB的中點(diǎn),點(diǎn)F是CD的中點(diǎn),連接EF交AC于點(diǎn)G,則線段GF的長(zhǎng)為??題型03利用菱形的性質(zhì)求周長(zhǎng)9.(2024·云南曲靖·一模)菱形ABCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8,邊AB的長(zhǎng)是方程x2?7x+10=0的一個(gè)根,則菱形ABCD的周長(zhǎng)為(A.16 B.20 C.16或20 D.3210.(2024·貴州黔東南·一模)如圖,菱形ABCD中,∠B=60°,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn),連接AE,EF,AF,△AEF的周長(zhǎng)為33cm,則菱形

A.5cm B.6cm C.4311.(2024·江蘇南京·三模)如圖,菱形ABCD的頂點(diǎn)B,C,D在⊙O上,且AB與⊙O相切,若⊙O的半徑為1,則菱形ABCD的周長(zhǎng)為.

12.(2024·四川樂(lè)山·二模)如圖,菱形的周長(zhǎng)為24cm,相鄰兩個(gè)的內(nèi)角度數(shù)之比為1:2A.6cm B.63cm C.12??題型04利用菱形的性質(zhì)求面積13.(2024·江西吉安·模擬預(yù)測(cè))已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)是5,兩條對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,且AO、BO的長(zhǎng)分別是關(guān)于(1)求m的值;(2)求菱形ABCD的面積.14.(2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè))如圖,已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為40,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,且AO+BO=14,則該菱形的面積等于(

)A.24 B.56 C.96 D.4815.(2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè))已知:菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC=8,BD=6,將線段AO繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)O落在菱形ABCD的邊上,點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,連接BP,CP,則△BCP的面積為.16.(2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè))將矩形ABCD和菱形AFDE按如圖放置,若圖中矩形面積是菱形面積的2倍,則下列結(jié)論正確的是(

)A.∠EAF=60° B.AB=AF C.AD=2AB D.AB=EF??題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)17.(2024·山西·模擬預(yù)測(cè))如圖,O是菱形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn),以O(shè)為原點(diǎn),建立如圖平面直角坐標(biāo)系,若AD∥x軸,AD=8,∠A=60°,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(

)A.53,5 B.53,?5 C.18.(2024·山東臨沂·三模)如圖,在直角坐標(biāo)系中,菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為?23,0,∠AOC=60°.將菱形OABC沿x軸向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再沿y軸向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到菱形O'A'A.1?33,2 B.?23,3 19.(23-24八年級(jí)下·山西臨汾·階段練習(xí))如圖,反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象與正比例函數(shù)y=43(1)a=______,k=______,點(diǎn)D坐標(biāo)為______.(2)不等式kx(3)已知AB∥x軸,以AB,AD為邊作菱形ABCD,求菱形20.(2024·山東濟(jì)寧·二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B在第一象限,點(diǎn)C在x軸正半軸上,且AC與OB互相垂直平分,D為垂足,連接OA,AB,BC.反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,與OA相交于E.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4)A.2,43C.145,??題型06利用菱形的性質(zhì)證明21.(2024·貴州·模擬預(yù)測(cè))如圖,在菱形ABCD中,AE⊥CD交CD于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且E為AF的中點(diǎn),連接AC,(1)求證:AC=CD;(2)求AEBE22.(2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè))如圖所示,菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O,分別過(guò)點(diǎn)C、D作CE∥BD,DE∥AC,CE和(1)求證:四邊形ODEC是矩形;(2)當(dāng)∠ADB=60°,AD=22時(shí),求CE23.(2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè))如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,以點(diǎn)C為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫弧交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接(1)求證:AC∥DE;(2)若AB=4,∠ABC=60°,求??題型07菱形的折疊問(wèn)題24.(2024·廣東·模擬預(yù)測(cè))如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6,E是AB上一點(diǎn),把四邊形ADCE沿CE折疊后得到四邊形A'D'CE,CD

A.52 B.3 C.6?33 25.(2024·浙江·模擬預(yù)測(cè))如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,將菱形折疊,使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G處(不與B,D重合),折痕為EF,若DG=2,BG=4,則點(diǎn)E到BD的距離為.

26.(2024·海南??凇つM預(yù)測(cè))如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,將△ABP沿著AP折疊,得到△AEP,連接DE,若∠BAP=16°,則∠ADE=;若點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),AB=4,則CF的最小值為.

27.(2023·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè))某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上開展了“菱形折疊”研究活動(dòng).第一步:每人制作內(nèi)角不同,邊長(zhǎng)都為2的菱形若干個(gè),四個(gè)頂點(diǎn)為A,B,C,D(為保持一致,活動(dòng)中,小組內(nèi)制作圖形各點(diǎn)名稱命名規(guī)則相同);第二步:對(duì)折找到一條對(duì)角線BD并展開;第三步:將邊AB折疊到對(duì)角線BD所在直線上,頂點(diǎn)A的落點(diǎn)為F,所得折痕與邊AD交于點(diǎn)E;第四步:測(cè)量∠A,∠FDE,∠FED的度數(shù),(1)小組長(zhǎng)在研究大家測(cè)得的數(shù)據(jù)后仔細(xì)分析,發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)∠A的度數(shù),計(jì)算得到∠FED和∠FDE的度數(shù).如圖①,若一位同學(xué)制作的菱形中∠A=30°,請(qǐng)你給出此時(shí)∠FDE和∠FED的度數(shù):∠FDE=_____________°,∠FED=_____________°;(2)若∠A<60°,請(qǐng)?zhí)骄俊螦的度數(shù)為多少時(shí),△DEF為等腰三角形,并說(shuō)明理由;(3)請(qǐng)直接寫出△DEF為直角三角形時(shí)DF的長(zhǎng).??題型08添加一個(gè)條件使四邊形是菱形28.(2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測(cè))如圖,在?ABCD中(AD>AB),∠ABC為銳角,將△ABC沿對(duì)角線AC方向平移,得到△A'B'C',連接AB29.(2024·湖南·模擬預(yù)測(cè))已知四邊形ABCD的對(duì)角線BD垂直平分對(duì)角線AC于點(diǎn)O,要使四邊形ABCD為菱形,則可添加的條件是(添加一個(gè)條件即可,不添加其他的點(diǎn)和線).30.(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè))如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,過(guò)O的直線分別交AD、BC于點(diǎn)M、N.(1)求證:OM=ON(2)連接BM,DN.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使四邊形BNDM為菱形.(不需要說(shuō)明理由)31.(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè))如圖,BE是△ABC的角平分線,點(diǎn)D在AB上,且DE∥BC.(1)求證:DB=DE;(2)在BC上取一點(diǎn)F,連接EF,添加一個(gè)條件,使四邊形BDEF為菱形,直接寫出這個(gè)條件.??題型09證明四邊形是菱形32.(2024·廣東·模擬預(yù)測(cè))如圖,AD是△ABC的角平分線,過(guò)點(diǎn)D分別作AC和AB的平行線,交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.試判斷四邊形AEDF的形狀,并給出證明.

33.(2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè))如圖,在?ABCD中,AE⊥BC,垂足為E,AF⊥CD,垂足為F,BD與AE,AF分別相交于點(diǎn)G,H,AG=AH.求證:四邊形ABCD是菱形.34.(2022九年級(jí)·上海·專題練習(xí))如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是邊CD上任意一點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合),過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE,交邊CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接EF交邊AB于點(diǎn)G,連接AC.

(1)求證:△AEF∽△DAC;(2)如果FE平分∠AFB,連接CG,求證:四邊形AGCE為菱形.35.(2024·湖南·二模)如圖,BD是?ABCD的對(duì)角線,在△ABD和△CDB中,DE,BF分別是邊AB,CD的中線,EF⊥BD.(1)求證:四邊形DEBF是菱形;(2)求證:△ABD是直角三角形.??題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度36.(2024·河南南陽(yáng)·二模)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接OD,OB,若OD∥BC,且OD=BC,則∠BOD的度數(shù)是(A.60° B.115° C.130° D.120°37.(2024·陜西榆林·二模)如圖,在⊙O中,作正方形ABCD和等邊△CDE,其中點(diǎn)A、B、E三點(diǎn)在⊙O上,則劣弧AE所對(duì)的圓心角為(

)A.135° B.150° C.120° D.105°38.(2023·黑龍江哈爾濱·中考真題)已知四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E在對(duì)角線BD上,點(diǎn)F在邊BC上,連接AE,EF,DE=BF,

(1)如圖①,求證△AED≌(2)如圖②,若AB=AD,AE≠ED,過(guò)點(diǎn)C作CH∥AE交BE于點(diǎn)H,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖②中四個(gè)角(??題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)39.(2023·廣東深圳·三模)如圖,在ABCD中,以點(diǎn)D為圓心,CD的長(zhǎng)為半徑作弧交AD于點(diǎn)G,分別以點(diǎn)C,G為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)E,作射線DE交BC于點(diǎn)F,交CG于點(diǎn)O,若AB=13,GC=24,則DF的長(zhǎng)為()A.10 B.9 C.12 D.6.540.(2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè))如圖,在△ABC中,AB=6,BC=4,點(diǎn)D在邊BC上,點(diǎn)E在邊AB上,將△BDE沿直線DE翻折,點(diǎn)B恰好落在邊AC上的點(diǎn)F處,若DF∥AB,則CD的長(zhǎng)為(

)A.1.6 B.2 C.2.4 D.341.(2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè))如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC平分∠BAD,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接OE.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若AB=5,BD=2,求OE42.(2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè))如圖,在平行四邊形ABCD中,O是對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),延長(zhǎng)邊CD到點(diǎn)F,使DF=DC,過(guò)點(diǎn)F作EF∥AC,交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接OF,(1)求證:△ODC≌△EDF;(2)連接AF,若OD=DC且∠BEC=45°,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖2中長(zhǎng)度為2OA??題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求周長(zhǎng)43.(2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè))如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,DE∥AC,(1)求證:四邊形OCED是菱形;(2)若BC=3,OA=1344.(2024·山東青島·二模)如圖,四邊形ABCD是正方形,BE∥DF,分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)E,F(xiàn),連接ED,

(1)求證:四邊形BEDF是菱形:(2)若AE=2,CE=6,求菱形BEDF的周長(zhǎng)和面積.45.(2024·江西撫州·一模)如圖1,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB=AC,∠DAC是△ABC的一個(gè)外角,AE平分∠DAC.(1)求證:AE是⊙O的切線;(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AE于點(diǎn)F,若AF=BC.①請(qǐng)判斷四邊形ABCF的形狀,并說(shuō)明理由;②當(dāng)AB=2時(shí),求圖中陰影部分的周長(zhǎng).??題型13根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積46.(2024·吉林長(zhǎng)春·一模)如圖,矩形AEBO的對(duì)角線AB、OE交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)AO到點(diǎn)C,使OC=OA,延長(zhǎng)BO到點(diǎn)D,使OD=OB,連接AD、DC、BC.(1)求證:四邊形ABCD是菱形.(2)若OE=20,∠BCD=60°,則菱形ABCD的面積為47.(2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè))定理證明:

(1)如圖1,PA,PB是⊙O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,求證:PA=PB;定理應(yīng)用:(2)如圖2,△ABC是⊙O的內(nèi)接等腰三角形,AB=AC=2,∠D=60°,DC是⊙O的切線,若DA∥BC,求四邊形48.(2024·貴州貴陽(yáng)·一模)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,D為AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC,且DE=BC,連接CD(1)請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法,并進(jìn)行證明;(2)若BC=2,連接AE,EC,求△AEC的面積.49.(2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè))在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)M在BA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)N在BC的延長(zhǎng)線上,AD平分∠CAM,CD∥AB.(1)如圖1,求證:四邊形ABCD是平行四邊形;(2)如圖2,當(dāng)∠ABC=60°時(shí),連接BD,交AC于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BD,交BN于點(diǎn)E,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖中與△CDE面積相等的4個(gè)三角形.??題型14根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題50.(2024·內(nèi)蒙古·二模)如圖.在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使CF=BC,連接AF,DF,AF分別交CD,BD于點(diǎn)G,O,則下列結(jié)論:①四邊形ACFD是平行四邊形

②BD2+FD2=BF2

51.(2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè))如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,點(diǎn)M,N是邊AD,AB上任意兩點(diǎn),將菱形ABCD沿MN翻折,點(diǎn)A恰巧落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)E處,下列結(jié)論:①△MED∽△ENB;②若∠DME=15°,則∠ENB=105°;③若菱形邊長(zhǎng)為4,M是AD的中點(diǎn),連接MC,則MC=23;④若DE:BE=2:5,則AM:AN=3:4,其中正確結(jié)論是52.(2024·天津河西·二模)已知菱形ABCD,AB=10cm,∠A=60°,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別在菱形ABCD的四條邊上,AH=AE=CG=CF.連接EF,F(xiàn)G,GH,HE.有下列結(jié)論:①四邊形EFGH是矩形;②AE長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值,使得四邊形EFGH的面積都為10cm2

A.0 B.1 C.2 D.353.(2024·山東棗莊·二模)如圖,OABC是平行四邊形,對(duì)角線OB在y軸正半軸上,位于第一象限的點(diǎn)A和第二象限的點(diǎn)C分別在雙曲線y=k1x和y=k2x的一個(gè)分支上,分別過(guò)點(diǎn)A、C作x軸的垂線段,垂足分別為點(diǎn)M和點(diǎn)N,給出如下四個(gè)結(jié)論:①AMCN=k1k2;②陰影部分的面積是12A.①③ B.①②④ C.②③④ D.①④54.(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上(不與點(diǎn)C重合),連接AP,AP的垂直平分線交AP于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接FP,CE,OE,現(xiàn)有以下結(jié)論:①點(diǎn)A,E之間的距離為定值;②FP=2FE;③CEBC的值可以是13;④∠EOF=30°或150°.其中正確的是??題型15與菱形有關(guān)的新定義問(wèn)題55.(2024·山東菏澤·一模)將菱形的兩個(gè)相鄰的內(nèi)角記為m°和n°m>n,定義mn為菱形的“接近度”,則當(dāng)“接近度”為56.(2023·江蘇鹽城·一模)定義:若四邊形中某個(gè)頂點(diǎn)與其它三個(gè)頂點(diǎn)距離相等,則這個(gè)四邊形叫做等距四邊形,這個(gè)頂點(diǎn)叫做這個(gè)四邊形的等距點(diǎn).

(1)判斷:一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形________等距四邊形.(填“是”或“不是”)(2)如圖2,在5×5的網(wǎng)格圖中有A、B兩點(diǎn),請(qǐng)?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找出C、D兩個(gè)格點(diǎn),使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形以A為等距點(diǎn)的“等距四邊形”,畫出相應(yīng)的“等距四邊形”(互不全等),并寫出該等距四邊形的端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng).端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)為________.(3)如圖,在海上A,B兩處執(zhí)行任務(wù)的兩艘巡邏艇,根據(jù)接到指令A(yù),B兩艇同時(shí)出發(fā),A艇直接回到駐地O,B艇到C島執(zhí)行某項(xiàng)任務(wù)后回到駐地O(在C島執(zhí)行任務(wù)的時(shí)間忽略不計(jì)),已知A,B,C三點(diǎn)到O點(diǎn)的距離相等,AO∥BC,BC=100km,tanA=32,若A艇速度為65km57.(2024·湖南長(zhǎng)沙·一模)定義:對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”.(1)若?ABCD是圓的“奇妙四邊形”,則?ABCD是_________(填序號(hào)):①矩形;②菱形;③正方形(2)如圖1,已知⊙O的半徑為R,四邊形ABCD是⊙O的“奇妙四邊形”.求證:AB(3)如圖2,四邊形ABCD是“奇妙四邊形”,P為圓內(nèi)一點(diǎn),∠APD=∠BPC=90°,∠ADP=∠PBC,BD=4,且AB=3DC.當(dāng)DC的長(zhǎng)度最小時(shí),求58.(2024·四川達(dá)州·一模)數(shù)學(xué)活動(dòng):某數(shù)學(xué)興趣小組想探究任意四邊形的中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形的邊、對(duì)角線的關(guān)系;定義:順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.[操作]如圖1,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn),順次連接點(diǎn)E,F(xiàn),G,H得到中點(diǎn)四邊形EFGH.[猜想](1)填空:任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是___________________;[證明](2)請(qǐng)補(bǔ)全以下求證內(nèi)容,并完善證明過(guò)程;已知:點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn),順次連接點(diǎn)E,F(xiàn),G,H得到中點(diǎn)四邊形EFGH.求證:______________________.證明:[應(yīng)用](3)如圖2,在四邊形ABCD中,AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)分別為P,Q,M,N,在AB上取一點(diǎn)E,連接DE,CE,△ADE和△BCE恰好是等邊三角形,當(dāng)點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為2時(shí),求四邊形MNPQ的周長(zhǎng).??題型16與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題59.(2024·廣東汕尾·模擬預(yù)測(cè))如圖,已知菱形ABC1D1的邊長(zhǎng)AB=1cm,∠D1AB=60°,連接對(duì)角線AC1,以AC1為邊作第二個(gè)菱形AC1C60.(2024·山東泰安·二模)含60°角的菱形A1B1C1B2,A2B2C2B3,A3B3C3B4,……,按如圖所示的方式放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A1,A2,A3,……,和點(diǎn)B1A.3×22022,C.3×22024,61.(23-24九年級(jí)上·山東青島·期中)如圖,依次連接第一個(gè)矩形各邊上的中點(diǎn),得到一個(gè)菱形,在依次連接菱形各邊上的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形,按照此方法繼續(xù)下去,已知第一個(gè)矩形的面積是1,則第n個(gè)矩形的面積是.62.(2024·河南鄭州·三模)綜合實(shí)踐【問(wèn)題】

小張、小王、小袁在《解析與檢測(cè)》中發(fā)現(xiàn)這樣一道題:如圖1,在矩形ABCD中,O為對(duì)角線BD的中點(diǎn),∠ABD=60°,動(dòng)點(diǎn)E在線段OB上,動(dòng)點(diǎn)F在線段OD上,點(diǎn)E,F同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),分別向終點(diǎn)B,D運(yùn)動(dòng),且始終保持OE=OF.點(diǎn)E關(guān)于AD,AB的對(duì)稱點(diǎn)為E1,E2;點(diǎn)F關(guān)于BC,CD的對(duì)稱點(diǎn)為【探究】(1)小張覺得在點(diǎn)E,F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,四邊形E1E2(2)小王覺得小張說(shuō)的不全面,于是三人繼續(xù)探索:①小王看到四邊形E1E2F1F2的四邊分別經(jīng)過(guò)了原矩形的四個(gè)頂點(diǎn),并說(shuō)道:在圖1中,連接DE1和D②小王發(fā)現(xiàn),點(diǎn)E,F在點(diǎn)O時(shí),四邊形E1E2F1F2為菱形;點(diǎn)E,F分別運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B,D時(shí),四邊形E1E2F1F【應(yīng)用】(3)經(jīng)過(guò)探索,三人得出了四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是菱形、平行四邊形、矩形、平行四邊形、菱形的結(jié)論.如圖3,在原題的基礎(chǔ)上,將條件∠ABD=60°變?yōu)锳B=6??題型17與菱形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題63.(2024·貴州·模擬預(yù)測(cè))綜合與探究:在四邊形ABCD中,P為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,CD上.(1)【動(dòng)手操作】如圖①,若四邊形ABCD為正方形,P為對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),E,F(xiàn)分別為AD,CD的中點(diǎn)時(shí),連接PE,PF,根據(jù)題意在圖①中畫出PE,PF,則∠EPF為________________度;(2)【問(wèn)題探究】如圖②,四邊形ABCD為菱形,∠ADC=120°,P為對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),且∠EPF=60°,探究線段DE,DF(3)【問(wèn)題解決】如圖③,在(2)的條件下,若點(diǎn)P在對(duì)角線BD上,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8,PA=7,DF=1,求DE的長(zhǎng).64.(2024·湖南長(zhǎng)沙·二模)如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(且與點(diǎn)B、C不重合),連接AE交BD于點(diǎn)G.(1)若AE⊥BC,∠BAE=18°,求∠BGE的度數(shù);(2)若AG=BG,求證BE(3)過(guò)點(diǎn)G作GM∥BC交AB于點(diǎn)M,記.S△AMG為S1,S四邊形DGEC為S①求證:1BE②求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.65.(22-23九年級(jí)上·福建三明·期中)如圖1,點(diǎn)O是?ABCD的對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB,OM⊥BC,垂足分別為H,M,若OH≥OM,我們稱λ=OHOM是(1)如圖2,當(dāng)λ=1,求證:?ABCD是菱形;(2)如圖3,當(dāng)∠ABC=90°,且AB=OB,求?ABCD的λ值;(3)如圖4,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā).沿線段BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q自C出發(fā),沿線段CA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位,連結(jié)PQ,以PQ、AQ為鄰邊作?AQPE,若?AQPE的中心距比λ=10.求點(diǎn)P??題型18與菱形有關(guān)的最值問(wèn)題66.(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè))已知菱形ABCD的面積為123,E是邊BC上的中點(diǎn),P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn),連接AE,若AE平分∠BAC,則PE+PC的最小值為67.(2024·吉林長(zhǎng)春·二模)如圖,在菱形ABCD中,AC=16,BD=12,E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E分別作EF⊥OC于點(diǎn)F,EG⊥OD于點(diǎn)G,連接FG.(1)求證:四邊形OGEF為矩形.(2)求GF的最小值.68.(2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè))如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠DAB=60°,M,N分別是AD,AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則DN+MN的最小值為(

)A.1 B.2 C.3 D.269.(2024·江西九江·二模)課本再現(xiàn)如圖1,四邊形ABCD是菱形,∠ACD=30°,BD=6.(1)求AB,AC的長(zhǎng).應(yīng)用拓展(2)如圖2,E為AB上一動(dòng)點(diǎn),連接DE,將DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到DF,連接EF.①直接寫出點(diǎn)D到EF距離的最小值;②如圖3,連接OF,CF,若△OCF的面積為6,求BE的長(zhǎng).??題型19含60°角的菱形70.(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè))如圖,在菱形ABCD中,AE⊥BC于點(diǎn)E,AF⊥CD于點(diǎn)F,連接EF.(1)求證:AE=AF;(2)若∠B=60°,求71.(2024·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè))如圖,四邊形ABCD為菱形,過(guò)點(diǎn)D分別作AB,BC的垂線,垂足為E,F.(1)求證△ADE≌△CDF;(2)若∠EDF=60°,DE=3,求AB72.(2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD的頂點(diǎn)A,B,C在坐標(biāo)軸上,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,0,∠BCD=120°,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

)A.?2,2 B.?2,3 C.3,2 73.(2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè))在菱形ABCD中,∠BAD=120°,E為對(duì)角線BD的中點(diǎn),F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn),且DF=3.若△DEF為等腰三角形,則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為??題型20菱形與函數(shù)綜合74.(2024·遼寧大連·二模)如圖1,△ABC中,∠ABC=60°,D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),DE∥AB交AC于點(diǎn)E,EF∥BC交AB于點(diǎn)F.設(shè)BD的長(zhǎng)為x,四邊形【初步感知】(1)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)y是關(guān)于x的二次函數(shù),并繪制成如圖2所示的圖像,其頂點(diǎn)坐標(biāo)是2,3,請(qǐng)根據(jù)圖像信息,求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.【延伸探究】(2)①當(dāng)四邊形BDEF的面積為94時(shí),求BD②當(dāng)四邊形BDEF的面積最大時(shí),求△CDE的面積.(3)如圖3,當(dāng)四邊形BDEF是菱形時(shí),求BD的長(zhǎng)度.75.(2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為菱形,點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,3.點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位沿x軸向右移動(dòng),過(guò)點(diǎn)M且垂直O(jiān)A的直線與菱形的兩邊分別交于P,Q兩點(diǎn),設(shè)△OPQ的面積為S,則S與點(diǎn)M移動(dòng)的時(shí)間tA. B.C. D.76.(2024·湖北武漢·三模)如圖1,在菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,點(diǎn)F為(1)E為邊AD上一點(diǎn),連接EF,將△DEF沿EF進(jìn)行翻折,點(diǎn)D恰好落在BC邊的中點(diǎn)G處,①求DE的長(zhǎng);②tan∠GFC=(2)如圖2,延長(zhǎng)CD到M,使DM=DF,連接BM與AF,BM與AF交于點(diǎn)N,連接DN,設(shè)DF=xx>0,DN=y,求y關(guān)于x77.(2024·甘肅平?jīng)觥ざ#┤鐖D,拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于點(diǎn)A(2,0)、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn),AD=5(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)請(qǐng)?jiān)趫D1中將線段CD向右平移至點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,CD平移后對(duì)應(yīng)線段所在直線交拋物線于點(diǎn)E,連接CE,判斷四邊形AECD的形狀,并說(shuō)明理由;(3)在(2)的條件下,如圖2,連接DE,交y軸于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥CD于點(diǎn)M,點(diǎn)N從E點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng),連接CN、MN,求△CMN周長(zhǎng)的最小值.??題型21與菱形有關(guān)的存在性問(wèn)題78.(2024·山東泰安·二模)如圖,拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?2,0,點(diǎn)B4,0,與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作直線CD∥x(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)E是拋物線上的點(diǎn),求滿足∠ECD+∠CAO=90°的點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)點(diǎn)M在y軸上,且位于點(diǎn)C的上方,點(diǎn)N在直線BC上,點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一點(diǎn),是否存在點(diǎn)N使四邊形CMPN為菱形,如果存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.79.(23-24九年級(jí)上·江蘇蘇州·期末)如圖,已知直線y=43x+4與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn),且與(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo);(3)若點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上,是否存在點(diǎn)P,Q,使以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線的菱形?若存在,請(qǐng)求出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.80.(2024·江蘇蘇州·一模)如圖,二次函數(shù)y=?x2+(m?1)x+m(其中m>1)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC、BC,點(diǎn)D(1)填空:點(diǎn)A的坐標(biāo)為,∠ABC=°;(2)記△ACD的面積為S1,△ABD的面積為S2,試探究(3)若在第一象限內(nèi)的拋物線上存在一點(diǎn)E,使得以B、D、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,則m=.81.(2024·河南開封·一模)如圖,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A0,3,B1,0,C2,3(1)求k的值.(2)點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上,且BD⊥AC于點(diǎn)E,DE=BE(3)是否存在除點(diǎn)D外可與A,B,C三點(diǎn)共同組成菱形的點(diǎn)P?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.??題型22與菱形有關(guān)的材料閱讀類問(wèn)題82.(2024·山西朔州·模擬預(yù)測(cè))閱讀與思考下面是小逸同學(xué)的數(shù)學(xué)日記,請(qǐng)仔細(xì)閱讀,并完成相應(yīng)的任務(wù).作矩形的最大內(nèi)接菱形的方法頂點(diǎn)在矩形邊上的菱形叫做矩形的內(nèi)接菱形,在實(shí)踐活動(dòng)課上,數(shù)學(xué)老師提出來(lái)一個(gè)問(wèn)題“如何從一張矩形紙片中翻作出一個(gè)最大的內(nèi)接菱形”實(shí)踐小組成員經(jīng)過(guò)思考后,分別給了3種不同的方法.方法一:通過(guò)折,將矩形紙片橫對(duì)折后再豎對(duì)折,沿對(duì)角線剪一刀將到一個(gè)直角三角形,展開后就是菱形EHGF(如圖1).則四邊形EHGF是矩形ABCD的內(nèi)接菱形.方法二:通過(guò)疊,取兩個(gè)大小一樣的矩形紙片,讓兩矩形的長(zhǎng)兩兩相交,重疊的部分形成四邊形AECF.則四邊形AECF也是矩形ABCD的內(nèi)接菱形,(如圖2)方法三:通過(guò)尺規(guī)作圖,作矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線EF,與AD邊交于點(diǎn)E.與BC邊交于點(diǎn)F,連接AF,CE,則四邊形AECF是矩形ABCD的內(nèi)接菱形.實(shí)踐小組通過(guò)三種方法得到的菱形進(jìn)行分析,討論,計(jì)算,對(duì)比,從而得出矩形的最大內(nèi)接菱形.任務(wù):(1)填空:通過(guò)“方法一”能得到的菱形,它的依據(jù)是_______.(2)尺規(guī)作圖:請(qǐng)你在圖3中完成日記中的“方法三”的作圖過(guò)程,(保留作圖痕跡,不要求寫作法)(3)若矩形AB=4,BC=10,請(qǐng)你根據(jù)日記中三種方法,計(jì)算此矩形的內(nèi)接菱形的面積最大值為______.83.(2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè))閱讀短文,解決問(wèn)題.若平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形的邊上,且有一個(gè)角與三角形的一個(gè)角重合,另一個(gè)頂點(diǎn)在三角形的這個(gè)重合角的對(duì)邊上,我們就稱這個(gè)平行四邊形是該三角形的“相依四邊形”.例如:如圖1,在平行四邊形AEFD中,∠BAC與∠DAE重合,點(diǎn)F在BC上,則稱平行四邊形AEFD為△ABC的“相依四邊形”.(1)如圖1,平行四邊形AEFD為△ABC的“相依四邊形”,AF平分∠BAC,判斷四邊形AEFD的形狀,并進(jìn)行證明.(2)在(1)的條件下,如圖2,∠B=90°.①若AC=6,F(xiàn)C=6,求四邊形AEFD②如圖3,M,N分別是DF,AC的中點(diǎn),連接MN,若84.(2024·山西晉城·二模)請(qǐng)閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù).利用尺規(guī)在銳角三角形紙片上作菱形在數(shù)學(xué)興趣課上,老師提出一個(gè)問(wèn)題:利用尺規(guī)在銳角三角形紙片ABC上作菱形AEDF,且點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別在BC,勤學(xué)小組展示了他們的作法:如圖1,以點(diǎn)A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧分別交AB,AC邊于點(diǎn)G,H;分別以點(diǎn)G,H為圓心,大于12GH的長(zhǎng)為半徑畫弧,在△ABC內(nèi)部交于點(diǎn)L;連接AL并延長(zhǎng),交BC邊于點(diǎn)D;以點(diǎn)B為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧分別交AB,BC邊于點(diǎn)M,N;以點(diǎn)D為圓心,BN長(zhǎng)為半徑畫弧,交BC邊于點(diǎn)P;以點(diǎn)P為圓心,MN長(zhǎng)為半徑畫弧,交前弧于點(diǎn)Q;連接DQ并延長(zhǎng),交AC邊于點(diǎn)F;以點(diǎn)A為圓心,AF長(zhǎng)為半徑畫弧,交AB邊于點(diǎn)E;連接勤學(xué)小組進(jìn)行了以下證明:證明:根據(jù)尺規(guī)作圖,得AD平分∠BAC,∠FDC=∠B,AE=AF.∴∠BAD=∠CAD,F(xiàn)D∥∴∠ADF=∠BAD.∴∠ADF=∠CAD.∴AF=DF.(依據(jù)1)∴AE=DF.∴四邊形AEDF是平行四邊形.(依據(jù)2)又∵AE=AF,∴四邊形AEDF是菱形.善思小組也展示了他們的作法:如圖2,以點(diǎn)A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交AB,AC邊于點(diǎn)R,S;分別以點(diǎn)R,S為圓心,大于12RS的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)T;連接AT并延長(zhǎng),交BC邊于點(diǎn)D;分別以點(diǎn)A,D為圓心,大于12AD的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧分別交于點(diǎn)W,V;連接WV,分別交AB,AD,AC于點(diǎn)E,任務(wù):(1)填出證明過(guò)程中的依據(jù).依據(jù)1:____________;依據(jù)2:____________.(2)請(qǐng)根據(jù)善思小組的作法,求證:四邊形AEDF是菱形.(3)如圖3,請(qǐng)你在銳角三角形紙片ABC上用尺規(guī)再設(shè)計(jì)一種不同的方法作菱形AEDF.(要求:不寫作法,保留作圖痕跡,標(biāo)明字母)1.(2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等邊三角形OAB的邊OB在x軸上,點(diǎn)A在第一象限,OA的長(zhǎng)度是一元二次方程x2?5x?6=0的根,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OA?AB運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OB?BA運(yùn)動(dòng),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<3.6),△OPQ的面積為(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式;(3)在(2)的條件下,當(dāng)S=63時(shí),點(diǎn)M在y軸上,坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.若存在,直接寫出點(diǎn)N2.(2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=x2+2x+c(c是常數(shù))經(jīng)過(guò)點(diǎn)?2,?2.點(diǎn)A、B是該拋物線上不重合的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)分別為m、?m,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為?5m,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同,連結(jié)AB(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;(2)求證:當(dāng)m取不為零的任意實(shí)數(shù)時(shí),tan∠CAB(3)作AC的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)D,以AD為邊、AC為對(duì)角線作菱形ADCE,連結(jié)DE.①當(dāng)DE與此拋物線的對(duì)稱軸重合時(shí),求菱形ADCE的面積;②當(dāng)此拋物線在菱形ADCE內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí),直接寫出m的取值范圍.3.(2024·廣東廣州·中考真題)如圖,在菱形ABCD中,∠C=120°.點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B,點(diǎn)C重合),△AEB關(guān)于AE的軸對(duì)稱圖形為△AEF.(1)當(dāng)∠BAF=30°時(shí),試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)若AB=6+63,⊙O為△AEF的外接圓,設(shè)⊙O的半徑為r①求r的取值范圍;②連接FD,直線FD能否與⊙O相切?如果能,求BE的長(zhǎng)度;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.4.(2023·海南·中考真題)如圖1,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=6,∠ABC=60°,點(diǎn)P為線段BO上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,O重合),連接CP并延長(zhǎng)交邊AB于點(diǎn)G,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

(1)當(dāng)點(diǎn)G恰好為AB的中點(diǎn)時(shí),求證:△AGH≌△BGC;(2)求線段BD的長(zhǎng);(3)當(dāng)△APH為直角三角形時(shí),求HPPC(4)如圖2,作線段CG的垂直平分線,交BD于點(diǎn)N,交CG于點(diǎn)M,連接NG,在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,∠CGN的度數(shù)是否為定值?如果是,求出這個(gè)定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.5.(2023·江蘇·中考真題)對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)四邊形,若存在點(diǎn)O,使得該四邊形的一條對(duì)角線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定角度后能與另一條對(duì)角線重合,則稱該四邊形為“可旋四邊形”,點(diǎn)O是該四邊形的一個(gè)“旋點(diǎn)”.例如,在矩形MNPQ中,對(duì)角線MP、NQ相交于點(diǎn)T,則點(diǎn)T是矩形MNPQ的一個(gè)“旋點(diǎn)”.

(1)若菱形ABCD為“可旋四邊形”,其面積是4,則菱形ABCD的邊長(zhǎng)是_______;(2)如圖1,四邊形ABCD為“可旋四邊形”,邊AB的中點(diǎn)O是四邊形ABCD的一個(gè)“旋點(diǎn)”.求∠ACB的度數(shù);(3)如圖2,在四邊形ABCD中,AC=BD,AD與BC不平行.四邊形ABCD是否為“可旋四邊形”?請(qǐng)說(shuō)明理由.6.(2023·寧夏·中考真題)綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形,對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究.

探究發(fā)現(xiàn)如圖1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC.

(1)操作發(fā)現(xiàn):將△ABC折疊,使邊BC落在邊BA上,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,折痕交AC于點(diǎn)D,連接DE,DB,則∠BDE=_______°,設(shè)AC=1,BC=x,那么AE=______(用含x的式子表示);(2)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn):底BC腰AC拓展應(yīng)用:當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí),這個(gè)三角形叫黃金三角形.例如,圖1中的△ABC是黃金三角形.如圖2,在菱形ABCD中,∠BAD=72°,AB=1.求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng).

1.(2024·山東濰坊·中考真題)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AO∥BC,連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D.分別以點(diǎn)A,C為圓心,以大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧,并使兩弧交于圓外一點(diǎn)M.直線OM交BC于點(diǎn)E,連接A.AB=AD C.∠AOD=∠BAC D.四邊形AOCE為菱形2.(2024·山東威海·中考真題)如圖,在?ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在BC上,點(diǎn)F在CD上,連接AE,AF,EF,EF交AC于點(diǎn)G.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.若CECF=B.若AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF,則EFC.若EF∥BD,CE=CFD.若AB=AD,AE=AF,則EF3.(2024·上海·中考真題)四邊形ABCD為矩形,過(guò)A、C作對(duì)角線BD的垂線,過(guò)B、D作對(duì)角線A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形4.(2024·湖北武漢·中考真題)小美同學(xué)按如下步驟作四邊形ABCD:①畫∠MAN;②以點(diǎn)A為圓心,1個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交AM,AN于點(diǎn)B,D;③分別以點(diǎn)B,D為圓心,1個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)C;④連接BC,CD,BD.若∠A=44°,則∠CBD的大小是(

A.64° B.66° C.68° D.70°5.(2024·山東德州·中考真題)已知∠AOB,點(diǎn)P為OA上一點(diǎn),用尺規(guī)作圖,過(guò)點(diǎn)P作OB的平行線.下列作圖痕跡不正確的是(

)A. B.C. D.6.(2024·山西·中考真題)在四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),EG,F(xiàn)H交于點(diǎn)O.若四邊形ABCD的對(duì)角線相等,則線段EG與FH一定滿足的關(guān)系為()A.互相垂直平分 B.互相平分且相等C.互相垂直且相等 D.互相垂直平分且相等7.(2024·海南·中考真題)如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠ABC=120°,邊AB在數(shù)軸上,將AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)C落在數(shù)軸上的點(diǎn)E處,若點(diǎn)E表示的數(shù)是3,則點(diǎn)A表示的數(shù)是(

)A.1 B.1?3 C.0 D.8.(2024·江蘇無(wú)錫·中考真題)如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是CD的中點(diǎn),則sin∠EBC的值為(

A.35 B.75 C.21149.(2024·山東泰安·中考真題)如圖,菱形ABCD中,∠B=60°,點(diǎn)E是AB邊上的點(diǎn),AE=4,BE=8,點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn),△EGF是以點(diǎn)G為直角頂點(diǎn),∠EFG為30°角的直角三角形,連結(jié)AG.當(dāng)點(diǎn)F在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AG的最小值是(A.2 B.43?2 C.210.(2024·甘肅蘭州·中考真題)如圖1,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,連接BD,點(diǎn)M從B出發(fā)沿BD方向以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至D,同時(shí)點(diǎn)N從B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至C,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs,△BMN的面積為ycm2,y

A.22cm B.42cm C.11.(2024·西藏·中考真題)如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,AB=CD,AC與BD相交于點(diǎn)O,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使四邊形ABCD是菱形.12.(2024·廣西·中考真題)如圖,兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起,交叉形成的銳角為60°,則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長(zhǎng)為cm13.(2024·山東淄博·中考真題)如圖,在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交與點(diǎn)O,點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上,OE與CD相交與點(diǎn)F.若∠ACD=2∠OEC,OFFE=56,則菱形14.(2024·江蘇南通·中考真題)若菱形的周長(zhǎng)為20cm,且有一個(gè)內(nèi)角為45°,則該菱形的高為cm15.(2024·四川眉山·中考真題)如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,∠BAD=120°,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)AE分別交BD,CD于點(diǎn)F,G,則FG的長(zhǎng)為.16.(2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)F在邊AD上,AB=AF,連接BF,點(diǎn)O為BF的中點(diǎn),AO的延長(zhǎng)線交邊BC于點(diǎn)E,連接EF(1)求證:四邊形ABEF是菱形:(2)若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為22,CE=1,∠BAD=120°,求AE的長(zhǎng).17.(2024·河南·中考真題)如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的中線,BE∥DC交AC

(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作∠ECM,使∠ECM=∠A,且射線CM交BE于點(diǎn)F(保留作圖痕跡,不寫作法).(2)證明(1)中得到的四邊形CDBF是菱形18.(2024·黑龍江牡丹江·中考真題)在Rt△ACB中,∠ACB=90°,BC=12,AC=8,以BC為邊向△ACB外作有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形BCDE,對(duì)角線BD,CE交于點(diǎn)O,連接OA19.(2024·山東德州·中考真題)如圖,?ABCD中,對(duì)角線AC平分∠BAD.

(1)求證:?ABCD是菱形;(2)若AC=8,∠DCB=74°,求菱形ABCD的邊長(zhǎng).(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,

第五章四邊形第25講菱形的性質(zhì)與判定TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01利用菱形的性質(zhì)求角度??題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)??題型03利用菱形的性質(zhì)求周長(zhǎng)??題型04利用菱形的性質(zhì)求面積??題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)??題型06利用菱形的性質(zhì)證明??題型07菱形的折疊問(wèn)題??題型08添加一個(gè)條件使四邊形是菱形??題型09證明四邊形是菱形??題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度??題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)??題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求周長(zhǎng)??題型13根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積??題型14根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題??題型15與菱形有關(guān)的新定義問(wèn)題??題型16與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題??題型17與菱形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題??題型18與菱形有關(guān)的最值問(wèn)題??題型19含60°角的菱形??題型20菱形與函數(shù)綜合??題型21與菱形有關(guān)的存在性問(wèn)題??題型22與菱形有關(guān)的材料閱讀類問(wèn)題??題型01利用菱形的性質(zhì)求角度1.(2024·廣東·模擬預(yù)測(cè))如圖所示,在菱形ABCD中,以點(diǎn)B為圓心,一定長(zhǎng)為半徑畫弧分別交BC,BD于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,連接BP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)Q.若∠C=40°,則【答案】75【分析】本題考查菱形的性質(zhì),作角平分線,由作圖步驟可得BP平分∠DBC,由菱形的性質(zhì)求出∠DBC的度數(shù),最后根據(jù)三角形的外角求∠DQB即可.【詳解】∵菱形ABCD,∴∠C+∠ABC=180°,∠DBC=1∵∠C=40°,∴∠ABC=140°,∴∠DBC=1由作圖步驟可得BP平分∠DBC,∴∠QBC=1∴∠DQB=∠QBC+∠C=35°+40°=75°,故答案為:75.2.(2024·重慶·模擬預(yù)測(cè))如圖,在菱形ABCD中,AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F,點(diǎn)E為垂足,連接DF.若∠BAD=α,則∠CDF為(

)A.α B.32α C.180°?3【答案】C【分析】本題考查全等三角形的判定條件,菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),垂直平分線的性質(zhì).熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.利用SAS判定△BCF≌△DCF,從而得到∠CBF=∠CDF,根據(jù)已知可求得∠CBF的度數(shù),即可求出∠CDF.【詳解】解:∵四邊形ABCD是菱形,∴∠DCF=∠BCF,CD=CB,∠BAF=12∠BAD=在△BCF和△DCF中,CB=CD∠BCF=∠DCF∴△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF,∵FE垂直平分AB,∠BAF=1∴∠ABF=∠BAF=1∵∠ABC=180°?∠BAD=180°?α,∴∠CBF=∠ABC?∠ABE=180°?α?1∴∠CDF=180°?3故選:C.3.(2024·浙江·模擬預(yù)測(cè))如圖,點(diǎn)E為菱形ABCD中AB邊上一點(diǎn),連結(jié)DE,DE=DA,將菱形沿DE折疊,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在BC邊上,則∠A的度數(shù)為.【答案】72°/72度【分析】由將菱形ABCD沿DE折疊,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F,DE=DA,得DA=DE=DF,得∠A=∠DEA=∠DEF=∠DFE=x,由DC=DA=DF,得∠DFC=∠C=∠A=x,得∠BEF=∠BFE=180°?2x,∠B=180?∠A=180°?x,得180?2x+180?2x+180?x=180,即可得∠A=x=72°.本題主要考查了圖形的折疊,菱形的性質(zhì),解題關(guān)鍵是正確應(yīng)用折疊的性質(zhì).【詳解】解:∵將菱形ABCD沿DE折疊,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F,DE=DA,∴DA=DE=DF,∴∠A=∠DEA=∠DEF=∠DFE=x,∵DC=DA=DF,∴∠DFC=∠C=∠A=x,∴∠BEF=∠BFE=180°?2x,∠B=180?∠A=180°?x,∴180?2x+180?2x+180?x=180,∴∠A=x=72°.故答案為:72°.4.(2024·黑龍江哈爾濱·二模)如圖,已知四邊形ABCD為菱形,以AB為直徑作⊙O,過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交CD于點(diǎn)E.若∠ABC=50°,則∠CAE的度數(shù)為.【答案】25°/25度【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、切線以及等腰三角形,由菱形的性質(zhì)得到∠BAC=∠BCA,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠BAC=∠BCA=65°,最后利用切線的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】∵AE是⊙O的切線∴∠OAE=90°∵四邊形ABCD為菱形∴AB=BC∴∠BAC=∠BCA∵∠ABC=50°∴∠BAC+∠BCA=180°?∠ABC=180°?50°=130°∴∠BAC=∠BCA=65°∴∠CAE=∠OAE?∠BAC=90°?65°=25°故答案為:25°??題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)5.(2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè))如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,點(diǎn)M和N分別是AB和AD上一點(diǎn),沿MN將△AMN折疊,點(diǎn)A恰好落在邊BC的中點(diǎn)E上.若AB=4,則AM的長(zhǎng)為(

A.2.4 B.2.8 C.3 D.3.2【答案】B【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、30°角的直角三角形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)等知識(shí).過(guò)點(diǎn)M作MF⊥CB于點(diǎn)F.求出∠BMF=30°.則BM=2BF,MF=3BF.設(shè)BF=x,則BM=2x,EM=AM=AB?BM=4?2x,F(xiàn)M=3x,EF=BF+BE=x+2.根據(jù)勾股定理,得EM2=F【詳解】如圖,過(guò)點(diǎn)M作MF⊥CB于點(diǎn)F.

∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=4∵∠ABC=120°,∴∠FBM=60°.∴∠BMF=30°.∴BM=2BF,MF=3設(shè)BF=x,則BM=2x,EM=AM=AB?BM=4?2x,F(xiàn)M=3x,根據(jù)勾股定理,得EM2=FM2∴AM=4?2x=4?2×0.6=2.8.故選:B.6.(2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè))如圖,菱形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上,∠AEF=90°,∠AFE=∠D,若CE=6,CF=2【答案】11【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形等知識(shí),作FH⊥AD于點(diǎn)H,在AH上取點(diǎn)G,使GH=DH,連接FG.證明△AFG∽△FEC,得出AGFG=CFCE=13.設(shè)AG=x,則DF=FG=3x,AD=CD=3x+2,DG=2x+2,DH=x+1,由∠AFE=∠D【詳解】解:如圖,作FH⊥AD于點(diǎn)H,在AH上取點(diǎn)G,使GH=DH,連接FG.∴∠FGD=∠D,DH=GH=12∵菱形ABCD,∴AD∥∴∠C=180°?∠D,∴∠AGF=180∵∠AFE=∠D,∠DAF=180°?∠D?∠DFA,∠CFE=180?∠AFE?∠DFA,∴∠FAG=∠EFC,∴△AFG∽△FEC,∴AG設(shè)AG=x,則DF=FG=3x,AD=CD=3x+2,DG=2x+2,DH=x+1,∵∠AFE=∠D,∴cos∴EF∵△FEC∽△AFG,∴EF∴CF∴2解得x=5,∴BC=CD=3x+2=17,∴BE=11.故答案為:11.7.(2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè))菱形是日常生活中常見的圖形,如伸縮衣架(如圖1)等,為兼顧美觀性和實(shí)用性,活動(dòng)角α的取值范圍宜為60°≤α≤120°(如圖2),亮亮選購(gòu)了折疊后如圖3所示的伸縮衣架,則其拉伸長(zhǎng)度AB的適宜范圍最接近()A.30≤AB≤45 B.45≤AB≤45C.45≤AB≤303 D.【答案】B【分析】本題主要考查了菱形及其計(jì)算,解直角三角形的相關(guān)計(jì)算,解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)直角三角形進(jìn)行計(jì)算.由菱形CDEF中,CE⊥DF,DE+EF=30,得DE=15,當(dāng)∠CDE=α=120°時(shí),得∠ODE=60°,得OE=1523,得CE=153,此時(shí)拉伸長(zhǎng)度AB=453【詳解】解:由菱形CDEF中,∵CE⊥DF,DE+EF=30,得DE=15,當(dāng)∠CDE=α=120°時(shí),得∠ODE=60°,得OE=DE?sin得CE=2OE=153,此時(shí)拉伸長(zhǎng)度AB=3CE=45同理當(dāng)∠CDE=α=60°時(shí),拉伸長(zhǎng)度AB=45.總之,45≤AB≤453故選:B.8.(2024·山西·模擬預(yù)測(cè))如圖,在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,∠ABC=60°,,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是OB的中點(diǎn),點(diǎn)F是CD的中點(diǎn),連接EF交AC于點(diǎn)G,則線段GF的長(zhǎng)為【答案】132/【分析】過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD于點(diǎn)H,可證明△ABC為等邊三角形,則BA=BC=AC=4,則OA=OC=2,由勾股定理得OB=OD=23,可得△DHF∽△DOC,求得FH=1,DH=OH=3,而OE=3,則EH=23,在Rt△EHF中,由勾股定理得,EF=13,由【詳解】解:過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD于點(diǎn)H,∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC=12AC,OB=OD=∵∠ABC=60°,∴△ABC為等邊三角形,∴BA=BC=AC=4,∴OA=OC=2,∴OB=OD=4∵FH⊥BD,AC⊥BD,∴FH∥AC,∴△DHF∽△DOC,∴FHOC∴FH=1,DH=OH=3∵點(diǎn)E為OB中點(diǎn),∴OE=3∴EH=23∴在Rt△EHF中,由勾股定理得,EF=∵OG∥FH,∴EOOH∴FG=1故答案為:132【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì),平行線分線段成比例定理,熟練掌握知識(shí)點(diǎn),正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.??題型03利用菱形的性質(zhì)求周長(zhǎng)9.(2024·云南曲靖·一模)菱形ABCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8,邊AB的長(zhǎng)是方程x2?7x+10=0的一個(gè)根,則菱形ABCD的周長(zhǎng)為(A.16 B.20 C.16或20 D.32【答案】B【分析】本題考查了菱形的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系,解一元二次方程等知識(shí),先解方程得x1=2,x2【詳解】解:由題意可知,邊AB的長(zhǎng)是方程x2解方程:x2∴x?2解得:x1=2,∵菱形ABCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8,∴當(dāng)x1=2時(shí),當(dāng)x2=5時(shí),∴AB=5,∴菱形ABCD的周長(zhǎng)=5×4=20,故選:B.10.(2024·貴州黔東南·一模)如圖,菱形ABCD中,∠B=60°,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn),連接AE,EF,AF,△AEF的周長(zhǎng)為33cm,則菱形

A.5cm B.6cm C.43【答案】D【分析】連接AC,證明△ABC、△ACD是等邊三角形,再證明△AEF是等邊三角形,求出AE=AF=EF=3cm,在Rt△ABE【詳解】連接AC,

∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA.∵∠B=60°,∴∠B=∠D=60°,∠BAD=120°.∴△ABC、△ACD是等邊三角形,∴∠BAC=∠CAD=60°.∵E、F分別是BC、CD的中點(diǎn),∴∠BAE=∠DAF=30°,AE⊥BC,∠EAF=120°?30°?30°=60°,BE=DF,∴△ABE≌△ADFSAS∴AE=AF,∴△AEF是等邊三角形.∵△AEF的周長(zhǎng)為33∴AE=AF=EF=3在Rt△ABE中,sin∴AB=2cm∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為AB+BC+CD+DA=4AB=8cm故選D.【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.11.(2024·江蘇南京·三模)如圖,菱形ABCD的頂點(diǎn)B,C,D在⊙O上,且AB與⊙O相切,若⊙O的半徑為1,則菱形ABCD的周長(zhǎng)為.

【答案】4【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),熟練掌握知識(shí)點(diǎn)、作輔助線推理是解題的關(guān)鍵.連接OB,根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠ABO=90°,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BA=BC,再根據(jù)外角的性質(zhì),求出∠BAO=30°,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì),得出OA=2OB=2,根據(jù)勾股定理計(jì)算AB=OA2【詳解】解:如圖,連接OB,

∵AB與⊙O相切,∴AB⊥OB,∴∠ABO=90°,∴∠BAO+∠AOB=90°,∵四邊形ABCD為菱形,∴BA=BC,∴∠BAO=∠BCA,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB=2∠BAO,∴∠BAO+∠AOB=∠BAO+2∠BAO=3∠BAO=90°,∴∠BAO=30°,∵⊙O的半徑為1,∴OA=2OB=2,∴AB=O∴菱形ABCD的周長(zhǎng)=4×3故答案為:4312.(2024·四川樂(lè)山·二模)如圖,菱形的周長(zhǎng)為24cm,相鄰兩個(gè)的內(nèi)角度數(shù)之比為1:2A.6cm B.63cm C.12【答案】B【分析】本題考查了菱形的性質(zhì),勾股定理,熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=DA=6cm,AC⊥BD,∠ABO=∠CBD,AB∥CD,BO=DO,AO=CO【詳解】解:如圖,四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,其中∠ABC:∠BCD=1:2.∵四邊形ABCD是菱形,菱形ABCD的周長(zhǎng)24cm,∴AB=BC=CD=DA=6cm,AC⊥BD,∠ABO=∠CBD,AB∥CD,BO=DO∵AB∥∴∠ABC+∠BCD=180°.∵菱形兩相鄰角∠ABC:∠BCD=1:2,∴∠ABC=60°∠BCD=120°,∴∠ABO=30°,∵Rt△ABO中∠ABO=30°,AB=6AO=3cm∴BO=62∴AC=2AO=6cm,BD=2BO=6∴其較長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)為63故選:B.??題型04利用菱形的性質(zhì)求面積13.(2024·江西吉安·模擬預(yù)測(cè))已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)是5,兩條對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,且AO、BO的長(zhǎng)分別是關(guān)于(1)求m的值;(2)求菱形ABCD的面積.【答案】(1)m=?3(2)24【分析】本題考查菱形的性質(zhì),一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,一元二次方程的判別式及解一元二次方程.(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AO(2)由(1)知m的值,代入方程,解一元二次方程,求出AO、【詳解】(1)解:∵菱形ABCD中,AC⊥BD,由直角三角形的三邊關(guān)系可得:AO∵AO、BO的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程∴AO+BO=?2m+1,AO?BO=m∴AO整理得:m2解得:m=?3或5.又∵Δ≥0∴2m?12解得m≤?11∴m=?3;(2)解:將m的值代入方程得:x2解得x1=3,∴菱形ABCD的面積=4×114.(2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè))如圖,已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為40,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,且AO+BO=14,則該菱形的面積等于(

)A.24 B.56 C.96 D.48【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理,先根據(jù)菱形的周長(zhǎng)求出邊長(zhǎng)AB,再根據(jù)AO+BO=14得出AO+BO2=AO2+BO2+2AO?BO=196,根據(jù)勾股定理得出AO【詳解】解:∵四邊形ABCD是菱形,周長(zhǎng)為40,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,AB=BC=CD=AD=10,∵AO+BO=14,∴AO+BO2∵AO∴100+2AO?BO=196,∴2AO?BO=96,∵菱形ABCD的面積=4×1故選:C.15.(2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè))已知:菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC=8,BD=6,將線段AO繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)O落在菱形ABCD的邊上,點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,連接BP,CP,則△BCP的面積為.【答案】12或12【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),菱形的性質(zhì),利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.由菱形的性質(zhì)可得AO=CO=4,BO=DO=3,AC⊥BD,可求AB的長(zhǎng),菱形ABCD的面積,分兩種情況討論由面積關(guān)系可求解.【詳解】解:∵菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC=8,BD=6,∴AO=CO=4,BO=DO=3,AC⊥BD,∴AB=S菱形當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí),S△BCP當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí),BP=4,∴BP=1,∴S故答案為:12或12516.(2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè))將矩形ABCD和菱形AFDE按如圖放置,若圖中矩形面積是菱形面積的2倍,則下列結(jié)論正確的是(

)A.∠EAF=60° B.AB=AF C.AD=2AB D.AB=EF【答案】D【分析】此題考查了矩形和菱形的性質(zhì),根據(jù)矩形的面積公式以及菱形的面積公式解答即可,解題的關(guān)鍵是掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用.【詳解】解:∵矩形ABCD的面積=AD·AB,菱形AEDF的面積=1∴AD·AB=2×1∴AB=EF,故選:D.??題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)17.(2024·山西·模擬預(yù)測(cè))如圖,O是菱形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn),以O(shè)為原點(diǎn),建立如圖平面直角坐標(biāo)系,若AD∥x軸,AD=8,∠A=60°,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(

)A.53,5 B.53,?5 C.【答案】D【分析】令A(yù)D與y軸的交點(diǎn)為字母E,根據(jù)菱形的性質(zhì)和∠A=60°說(shuō)明△ABD是等邊三角形,再求出OD,然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得DE,結(jié)合勾股定理求出OE,可知點(diǎn)A的坐標(biāo),最后根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得出答案.【詳解】如圖所示,令A(yù)D與y軸的交點(diǎn)為字母E,∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD.∵∠A=60°,AD=8,∴△ABD是等邊三角形,則BD=AD=8,∵點(diǎn)O是菱形ABCD的對(duì)角線的BD中點(diǎn),∴OD=1∵AD∥x軸,則∠DEO=90°,∴∠EOD=30°,∴DE=根據(jù)勾股定理,得OE=O∴A(?6,∵點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴C(6,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,直角三角形的性質(zhì),理解菱形的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.18.(2024·山東臨沂·三模)如圖,在直角坐標(biāo)系中,菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為?23,0,∠AOC=60°.將菱形OABC沿x軸向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再沿y軸向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到菱形O'A'A.1?33,2 B.?23,3 【答案】A【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移規(guī)律,作BE⊥x軸于E,先求出點(diǎn)B的坐標(biāo),再由平移規(guī)律即可得出答案.【詳解】解:如圖,作BE⊥x軸于E,∴∠BEA=90°,∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為?23∴OA=23∵四邊形OABC是菱形,∴AB=OA=23,AB∥OC∴∠EAB=∠AOC=60°,∴∠ABE=30°,∴AE=1∴由勾股定理得BE=A∴OE=AE+OA=3∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為33∵將菱形OABC沿x軸向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再沿y軸向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到菱形O'∴點(diǎn)B'的坐標(biāo)為?33+1,3?1故選:A.19.(23-24八年級(jí)下·山西臨汾·階段練習(xí))如圖,反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象與正比例函數(shù)y=43(1)a=______,k=______,點(diǎn)D坐標(biāo)為______.(2)不等式kx(3)已知AB∥x軸,以AB,AD為邊作菱形ABCD,求菱形【答案】(1)32;3;(2)x<?32(3)20【分析】(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)分別代入正比例函數(shù)與反比例函數(shù)中,即可得出a、k的值,再根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)利用圖象可得反比例函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象下方時(shí),自變量的取值范圍;(3)作AH⊥BC于H,由勾股定理求出AB的長(zhǎng),利用菱形的面積公式可得答案.【詳解】(1)解:將A(a,2)代入y=43x得4∴A3將A32,2代入y=∵點(diǎn)A與D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴D?故答案為:32;3;?(2)解:不等式kx>4由圖象知,當(dāng)x<?32或0<x<3故答案為:x<?32或(3)解:作AH⊥BC于H,如圖所示:∵A32,2,∴AH=4,DH=3,在Rt△AHD中,由勾股定理得AD=∵四邊形ABCD是菱形,∴DC=AD=5,∴菱形ABCD的面積為5×4=20.【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題,主要考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,函數(shù)與不等式的關(guān)系,菱形的性質(zhì)等知識(shí),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.20.(2024·山東濟(jì)寧·二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B在第一象限,點(diǎn)C在x軸正半軸上,且AC與OB互相垂直平分,D為垂足,連接OA,AB,BC.反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,與OA相交于E.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4)A.2,43C.145,【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題,菱形的性質(zhì)與判定,勾股定理,解一元二次方程;根據(jù)題意得出四邊形ABCO是菱形,求得D4,2,則反比例函數(shù)y=8x,進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C5,0,A3【詳解】解:∵AC與OB互相垂直平分∴四邊形ABCO是菱形,∴OC=OB,AB∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4),∴D∵反比例函數(shù)y=kxx>0∴k=4×2=8,則y=設(shè)Cc,0∴c解得:c=5∴C5,0,即∴AB=OC=5,∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4),AB∴A設(shè)直線OA的解析式為y=k1解得:k∴y=聯(lián)立y=解得:x=6∴E故選:D.??題型06利用菱形的性質(zhì)證明21.(2024·貴州·模擬預(yù)測(cè))如圖,在菱形ABCD中,AE⊥CD交CD于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且E為AF的中點(diǎn),連接AC,(1)求證:AC=CD;(2)求AEBE【答案】(1)見解析;(2)217【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD∥BC,則∠DAE=∠F,進(jìn)而證明△ADE≌△FCE,得出DE=CE(2)由(1)可得△ADC是等邊三角形,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì),設(shè)CE=x,則AB=CD=2x,AE=EF=3x,在Rt△ABE【詳解】(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AD∥∴∠∵E是AF的中點(diǎn),∴AE=FE.在△ADE和△FCE中,∠DAE=∠FAE=FE∴△ADE≌△FCE(ASA∴DE=CE.又∵AE⊥DC,∴AD=AC.∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=CD,∴AC=CD.(2)解:由(1)可得AD=AC=CD,∴△ADC是等邊三角形,∴∠∵AE⊥DC,∴∠AED=∠∵四邊形ABCD是菱形,∴AB∥CD∴∠設(shè)CE=x,則AB=CD=2x,AE=EF=3在Rt△ABE中,BE=∴AE【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)與判定,等邊三角形的性質(zhì)與判定,含30度角的直角三角形的性質(zhì),勾股定理,熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.22.(2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè))如圖所示,菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O,分別過(guò)點(diǎn)C、D作CE∥BD,DE∥AC,CE和(1)求證:四邊形ODEC是矩形;(2)當(dāng)∠ADB=60°,AD=22時(shí),求CE【答案】(1)證明見解析(2)CE【分析】本題考查了勾股定理,菱形是性質(zhì)以及矩

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