四川省天府名校2023屆高三模擬二理科數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題二理科數(shù)學(xué)本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式求集合M，進(jìn)而根據(jù)并集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，解得，即，且，所以．故選：C．2.若z的共軛復(fù)數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)除法運(yùn)算可得，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：D．3.某學(xué)校在高三年級(jí)中抽取200名學(xué)生，調(diào)查他們課后完成作業(yè)的時(shí)間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖．根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中不正確的是（）A.所抽取的學(xué)生中有40人在2.5小時(shí)至3小時(shí)之間完成作業(yè)B.該校高三年級(jí)全體學(xué)生中，估計(jì)完成作業(yè)的時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的學(xué)生概率為0.1C.估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生的平均做作業(yè)的時(shí)間超過(guò)3小時(shí)D.估計(jì)該校高三年級(jí)有一半的學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間在2.5小時(shí)至4.5小時(shí)之間【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合統(tǒng)計(jì)、概率相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A，在2.5小時(shí)至3小時(shí)之間的人數(shù)為人，故A正確；對(duì)于B，該校高三年級(jí)全體學(xué)生中，估計(jì)完成作業(yè)的時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的學(xué)生概率為，故B正確；對(duì)于C，該校高三年級(jí)學(xué)生的平均做作業(yè)的時(shí)間為，故C不正確；對(duì)于D，由圖可估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間在2.5小時(shí)至4.5小時(shí)之間的頻率為，估計(jì)該校高三年級(jí)有一半的學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間在2.5小時(shí)至4.5小時(shí)之間，故D正確．故選：C．4.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.9 B.15 C.21 D.24【答案】A【解析】【分析】由的展開(kāi)式中求出包含和的項(xiàng)，然后由多項(xiàng)式乘法可得．【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為.所以含的項(xiàng)為．故選：A．5.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)倍角公式結(jié)合齊次化問(wèn)題解得，再結(jié)合運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，即，解得或，且，則，可得，又因?yàn)?，解得或（舍去?故選：D．6.某校舉辦“中華魂”《中國(guó)夢(mèng)》主題演講比賽．聘請(qǐng)7名評(píng)委為選手評(píng)分，評(píng)分規(guī)則是去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，再求平均分為選手的最終得分現(xiàn)評(píng)委為選手趙剛的評(píng)分從低到高依次為，，……，，具體分?jǐn)?shù)如圖1的莖葉圖所示，圖2的程序框圖是統(tǒng)計(jì)選手最終得分的一個(gè)算法流程圖，則圖中空白處及輸出的S分別為（）A.，86 B.，87 C.，87 D.，86【答案】C【解析】【分析】模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，該程序運(yùn)行后是計(jì)算5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由此求出對(duì)應(yīng)的結(jié)果.【詳解】模擬程序的運(yùn)行過(guò)程知，該程序運(yùn)行后是計(jì)算5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以i>5，由5個(gè)數(shù)據(jù)分別是78、86、85、92、94，計(jì)算平均數(shù)為故選：C7.如圖，長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)（異于所在棱的端點(diǎn)）.給出以下結(jié)論：①在F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線能與AE平行；②直線與EF必然異面；③設(shè)直線AE，AF分別與平面相交于點(diǎn)P，Q，則點(diǎn)可能在直線PQ上.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】B【解析】【分析】當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，中點(diǎn)時(shí)，可證明四邊形是平行四邊形，故可判斷①②；建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，中點(diǎn)，且長(zhǎng)方體為正方體時(shí)，利用空間向量證明三點(diǎn)共線【詳解】長(zhǎng)方體中，，連接，，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，中點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四邊形是平行四邊形，所以在F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線能與AE平行，與EF相交，①正確，②錯(cuò)誤；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，中點(diǎn)且長(zhǎng)方體為正方體時(shí)，設(shè)棱長(zhǎng)為2，則，，，則，，則，又兩向量有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故則點(diǎn)可能在直線PQ上，③正確.故選：B8.已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】設(shè)，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為N，由已知條件得，進(jìn)而可得，列出關(guān)系式，從而可得離心率.【詳解】設(shè)，可得，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為N，所以,又因?yàn)?所以,又所以，所以，又，所以所以雙曲線的離心率為.故選：A．9.某班在一次班團(tuán)活動(dòng)中，安排2名男生和4名女生講演，為安排這六名學(xué)生講演的順序，要求兩名男生之間不超過(guò)1人講演，且第一位和最后一位出場(chǎng)講演的是女生．則不同的安排方法總數(shù)為（）A.168 B.192 C.240 D.336【答案】C【解析】【分析】先安排第一位和最后一位出場(chǎng)講演的女生，再對(duì)中間4人，為2男2女全排列，減去中間2名女生情況，然后利用分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】第一位和最后一位出場(chǎng)講演的是女生，有種，中間4人，為2男2女，任意排列有種，若中間2名女生，則有種，則滿(mǎn)足條件的有種，則共有種不同的安排方法．故選：C．10.已知函數(shù)．若存在，，使得，則最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知，或者，，即可求解.【詳解】由，因，必有，或者，，由，，分別得到，．于是，，或者，，得的最大值為．故選：D．11.在四面體ABCD中，，，，則該四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將四面體放到一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，再根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線是其外接球的直徑利用公式計(jì)算即可求解.【詳解】四面體ABCD的四個(gè)面為全等的等腰三角形，所以四面體可擴(kuò)充為一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體，且面上的對(duì)角線分別為3，3，4，并且，，，設(shè)球半徑為R，則有，可得，所以球的表面積為．故選:A．12.已知，，則下列三數(shù)：，的大小關(guān)系是．A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】∵，∴是減函數(shù).∵，∴.于是，.所以，，即.又，即.故有.選A.注：本題也可以通過(guò)取特殊值解答.例如，取，.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題中不等式組作出可行域，結(jié)合直線的幾何意義求最值即可.【詳解】如圖所示，根據(jù)題中不等式組作出可行域，因?yàn)椋?，可知截距最小時(shí)，z取得最大值，所以得過(guò)點(diǎn)時(shí)，z取得最大值1．故答案為：1.14.已知，，若向量，的夾角為，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合向量夾角公式運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，則，，由題意可得，解得，故答案為：.15.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，為等腰直角三角形，且，則AC長(zhǎng)的最大值為_(kāi)__________.【答案】6【解析】【分析】設(shè)，，，兩次利用余弦定理可得，，消去結(jié)合判別式可求AC長(zhǎng)的最大值.【詳解】設(shè)，則由余弦定理可得，故，設(shè)，則且，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，故，在中，由余弦定理可得，整理得到：，設(shè)，則，故，整理得到：，故，整理得到：即即，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，因?yàn)?，故此時(shí)唯一存在，綜上，長(zhǎng)的最大值為6.故答案為：6.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與解三角形有關(guān)的最值問(wèn)題，應(yīng)該根據(jù)正余弦定理構(gòu)建關(guān)于變量的方程或方程組，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求最值，如果變量較多，則可消元，從而利用判別式等來(lái)求最值.16.已知拋物線，圓M過(guò)定點(diǎn)，圓心M在C上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于A，B兩點(diǎn)，記，，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)圓心，根據(jù)題意可得圓的方程，設(shè)，，化簡(jiǎn)，再根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】設(shè)圓心，則①，半徑，則圓M的方程為，令，則，解得．不妨設(shè)，，則，時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)取最大值．故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某市對(duì)高一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試（簡(jiǎn)稱(chēng)體測(cè)），現(xiàn)隨機(jī)抽取了900名學(xué)生的體測(cè)結(jié)果（結(jié)果分為“良好以下”或“良好及以上”）進(jìn)行分析，得到如下的列聯(lián)表：良好以下良好及以上合計(jì)男350200550女250100350合計(jì)600300900（1）計(jì)算并判斷是否有的把握認(rèn)為本次體測(cè)結(jié)果等級(jí)與性別有關(guān)系；（2）將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體．若從全市高一所有學(xué)生中，每次采取隨機(jī)抽樣的方法抽取1名學(xué)生成績(jī)進(jìn)行具體指標(biāo)分析，連續(xù)抽取4次，且每次抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，記被抽取的4名學(xué)生的體測(cè)等級(jí)為“良好及以上”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中，．【答案】（1）沒(méi)有的把握認(rèn)為本次體測(cè)結(jié)果等級(jí)與性別有關(guān)系（2）分布列見(jiàn)解析，期望【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求，并與臨界值對(duì)比，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)思想分析理解即可；（2）因?yàn)轶w測(cè)結(jié)果等級(jí)為“良好及以上”的頻率為，分析可知，結(jié)合二項(xiàng)分布求分布列和期望.【小問(wèn)1詳解】由題可得：，故沒(méi)有的把握認(rèn)為本次體測(cè)結(jié)果等級(jí)與性別有關(guān)系．【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，體測(cè)結(jié)果等級(jí)為“良好及以上”的頻率為，可知，則可能值為0，1，2，3，4，可得：，，，，．則的分布列為：01234P所以的數(shù)學(xué)期望．18.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)且互不相等，記為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列{注：如選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】選擇①②為條件，③為結(jié)論．根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等比中項(xiàng)即可求解；選擇①③為條件，②為結(jié)論，據(jù)已知條件及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解；選擇②③為條件，①為結(jié)論，據(jù)已知條件及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得出，再利用與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解.【詳解】選擇①②為條件，③為結(jié)論．證明過(guò)程如下：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意知且則，，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，展開(kāi)整理得，所以，即．選擇①③為條件，②為結(jié)論，證明過(guò)程如下：設(shè){an}的公比為q，由題意知且因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以．所以，所以．因?yàn)?，，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．選擇②③為條件，①為結(jié)論，證明過(guò)程如下：設(shè)的公比為，由題意知且．則，所以，又因?yàn)椋?，所以．所以．?dāng)時(shí)，，所以，所以{an}是首項(xiàng)為，公比為19.已知棱錐的底面五邊形中，ABCD為邊長(zhǎng)為2的正方形，為等腰直角三角形，，．（1）在線段PB上找一點(diǎn)G，使得平面∥平面PDE，并說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，二面角為，求CG與平面PAC所成角的正弦值．【答案】（1）線段PB的中點(diǎn)即為所求的點(diǎn)G，理由見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）作輔助線，根據(jù)題意可得，，根據(jù)面面平行的判定定理分析證明；（2）由二面角分析可知，建系，求平面PAC的法向量，利用空間向量求線面夾角.【小問(wèn)1詳解】線段PB的中點(diǎn)即為所求點(diǎn)G．理由如下：連接BD交AC于點(diǎn)M，連接GM，PD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，則M為BD的中點(diǎn)，且G為線段PB的中點(diǎn)，則，又因?yàn)槠矫鍼DE，平面PDE，所以∥平面PDE，由題意可知：，則，且平面PDE，平面PDE，所以∥平面PDE．且，GM，平面GAC，所以平面∥平面PDE．【小問(wèn)2詳解】因，，，平面PAE，可得直線平面PAE，且平面PAE，所以，可知為二面角的平面角，則，如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA，ED所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，則，，，設(shè)平面PAC的法向量為，則，取，則，可得，設(shè)直線CG與平面PAC所成角為，則，所以直線CG與平面PAC所成角的正弦值為．20.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，橢圓E：過(guò)點(diǎn)，離心率為．（1）求E的方程；（2）設(shè)直線（k∈R）與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)k，直線AM，BM的斜率乘積為定值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，或者【解析】【分析】（1）由離心率和橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)列出方程組，求出，得到橢圓方程；（2）假設(shè)存在，設(shè)出直線，聯(lián)立橢圓，利用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合斜率乘積為定值得到關(guān)于的方程，求出答案.【小問(wèn)1詳解】由題可得，，①由，得，即，則，②將②代入①，解得，，故E的方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件．記，．由消去y，得．顯然，判別式＞0，所以，，于是＝＝＝．上式為定值，當(dāng)且僅當(dāng)，解得或．此時(shí)，或．所以，存在定點(diǎn)或者滿(mǎn)足條件．21.已知函數(shù)在上的最大值為．（1）求的值；（2）證明：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)求導(dǎo)后利用可得導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性,再利用最大值為進(jìn)行求解即可.(2)求導(dǎo)分析單調(diào)性后,根據(jù)零點(diǎn)存在定理求解的正負(fù)即可.【詳解】（1）,因?yàn)?所以,又,所以,即．當(dāng)時(shí),,所以在區(qū)間上遞增,所以,解得．當(dāng)時(shí),,所以在區(qū)間上遞減,所以,不合題意．當(dāng),,不合題意．綜上,.（2）設(shè),則,所以上單調(diào)遞減,又,所以存在唯一的,使得當(dāng)時(shí),,即,所以上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),,即,所以上單調(diào)遞減又,所以在與上各有一個(gè)零點(diǎn),綜上,函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的最值與值域等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力等,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等,考查的數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要有邏輯推理、直觀想象、