北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題：特殊平行四邊形中的三種幾何動點問題（原卷版）

專題03特殊平行四邊形中的三種幾何動點問題

類型一、面積問題

例.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,ZBCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm.點尸從點A出發(fā),

以每秒3cm的速度沿折線ABC方向運動，點。從點。出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段。。方向向點C運

動.已知動點尸，。同時發(fā)，當(dāng)點。運動到點C時，P,。運動停止，設(shè)運動時間為心

⑴直接寫出CD的長（cm）；

（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時，直接寫出四邊形P2QD的周長（cm）；

⑶在點尸、點。的運動過程中，是否存在某一時刻，使得V3尸。的面積為15cm2?若存在，請求出所有滿足

條件的r的值；若不存在，請說明理由.

【變式訓(xùn)練1】如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZA=ZB=90°,ZADC=120°,AD=12cm,BC=15cm,

點尸自點A沿折線AD-DC以Icm/s的速度運動，點。自點C沿向CB-班以lcm/s的速度運動.點P,Q

同時出發(fā)，其中一個點到達終點，另一個點也停止運動.設(shè)運動時間為"s）.

備用圖

⑴當(dāng)P在AD邊上，點。在3C邊上時，如圖1.

①用含f的代數(shù)式表示：DP=,BQ=；

②若四邊形APQ2是平行四邊形，求f的值？

⑵求V8PQ的面積S與運動時間t之間的數(shù)量關(guān)系式，并寫出r的取值范圍.

【變式訓(xùn)練2】如圖，在矩形ABCZ）中，AB=12,BC=18,點尸從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿

AD邊做往返運動,在點尸出發(fā)的同時，點。從點8出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿BC邊向終點（運動,

當(dāng)點。到達點C時，兩點間時停止運動，連接PQ,設(shè)運動時間為*秒）.

⑴當(dāng)仁4時，尸。的長度為一

⑵當(dāng)四邊形A8QP為矩形時，f的值為_

⑶設(shè)四邊形A2QP的面積為S,求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑷當(dāng)PQ所在的直線將矩形ABC。分成的兩部分的面積比為102時，直接寫出f的值.

【變式訓(xùn)練3】如圖，在人4成>中，AB=AD,4。平分過點。作的平行線交4。的延長線于

點C,連接BC.

D

（2）如果。4,03（04>03）的長（單位：米）是爐-7x+12=0的兩根，求的長以及菱形ABCD的面積；

⑶在（2）的條件下，若動點加從A出發(fā),，沿AC以2米/秒的速度勻速直線運動到點C,動點N從8出發(fā)，

沿以1米/秒的速度勻速直線運動到點D,當(dāng)"運動到C點時，運動停止.若址、N同時出發(fā)，問出發(fā)

幾秒鐘后，AMON的面積為2米2

類型二、幾何圖形存在性問題

例L如圖，在RGABC中，?B90?,BC=56，NC=30。.點。從點C出發(fā)沿C4方向以每秒2個單位

長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿A3方向以每秒1個單位長的速度向點8勻速運動，當(dāng)其

中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點DE運動的時間是f秒(/>0).過點。作8±BC

于點尸，連接DE,EF.

C

⑴求ARAC的長;

(2)求證：AE=DF；

⑶當(dāng)f為何值時，ADEF為直角三角形？請說明理由.

例2.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4cm,動點尸從點8出發(fā)，以2cm/s的速度沿CfD方向向

點￡)運動，動點。從點A出發(fā)，以lcm/s的速度沿A―3方向向點5運動，若P、。兩點同時出發(fā)運動時

間為Zs.

備用圖1備用圖2

⑴連接尸￡>、PQ、DQ,求當(dāng)t為何值時，△尸。。的面積為7c療？

(2)當(dāng)點P在BC上運動時，是否存在這樣的r使得△PQD是以PD為一腰的等腰三角形？若存在，請求出符

合條件的f的值；若不存在，請說明理由.

例3.如圖，在四邊形A8CZ)中，AD0BC,國8=90。，A8=8cm,A￡)=12cm,BC=18cm,點尸從點A出發(fā)

以lcm/s的速度向點。運動；點。從點C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向點2運動，當(dāng)點。到達點B時，點

尸也停止運動，設(shè)點P,。運動的時間為fs.

⑴從運動開始，當(dāng)f取何值時，PQSCD?

(2)在整個運動過程中是否存在"直，使得四邊形PQC。是菱形？若存在，請求出r值；若不存在，請說明理

由；

⑶從運動開始，當(dāng)f取何值時，四邊形尸。崩是矩形？

⑷在整個運動過程中是否存在"直，使得四邊形尸。區(qū)4是正方形？若存在，請求出f值；若不存在，請說明

理由.

例4.如圖，在菱形A8CD中，對角線AC與3D交于點0,且AC=8,BD=6,現(xiàn)有兩動點"，N分別

從A,C同時出發(fā)，點M沿線段A2向終點8運動，點N沿折線C-O-A向終點A運動，當(dāng)其中一點到達

終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為秒).

⑴填空：AB=_；菱形ABCD的面積S=_；菱形的高//=

(2)若點M的速度為每秒1個單位，點N的速度為每秒。個單位(其中。＜[),當(dāng)/=4時在平面內(nèi)存在點E使

得以A,M,N,E為頂點的四邊形為菱形，請求出所有滿足條件的。的值.

類型三、直線位置關(guān)系問題

例1.如圖，在中，ZABC=90°,AC=5,BC=4,點。是邊A3的中點，動點尸從點A出發(fā)以

每秒1個單位的速度沿4c向終點C運動，過點P作尸。，AC交折線AB—3c于點0(點。不與點。重合),

以PQ、。。為鄰邊構(gòu)造平行四邊形PQNW,設(shè)點P的運動時間為t秒.

⑴直接寫出A3的長.

(2)當(dāng)點。落在邊上時，用含/的代數(shù)式表示DQ的長.

⑶當(dāng)平行四邊形尸。。河為軸對稱圖形時求t的值.

⑷連接當(dāng)?！芭cRtZkABC的某條邊平行時，直接寫出r的值.

例2.如圖，在YABCD中，ZA=60°,AB=6cm,連接8D,恰有？AB￡>90?,過點。作DEL3C于點

E.動點尸從點。出發(fā)沿ZM以lc7〃/s的速度向終點A運動，同時點。從點8出發(fā)，以4cm/s的速度沿射線

BC運動，當(dāng)點尸到達終點時，點。也隨之停止運動，設(shè)點P運動的時間為

⑴分別求BD和BE的長度；

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(2)連接PQ,當(dāng)f=g時，判斷PQ與AO是否垂直，并說明理由；

⑶試判斷是否存在/的值，使得以「，Q,C,。為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出/的值；若不

存在，請說明理由；

⑷若點尸關(guān)于直線。。對稱的點恰好落在直線8上，請直接寫出點尸，。之間的距離.

課后訓(xùn)練

1.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,ZA=90°,DC=24cm,AB=26cm,動點尸從。開始沿。C邊向

C點以1cm/s的速度運動，動點。從點B開始沿54向A點以3cm/s的速度運動，P,。分別從點5同

時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，運動的時間為f秒.

（1）/為何值時，四邊形&PQA為矩形？

（2八為何值時，四邊形PQ8C為平行四邊形?

2.如圖，在AABC中，AC=6cm,BC=8cm,點。以每秒的速度由點A向點C運動（不與點C重合）,

過點。作直線MN〃3C,/BC4的外角平分線C尸于點/，ZACB的平分線CE于點E設(shè)運動時間為r秒.

發(fā)現(xiàn)：

⑴在點。的運動過程中，0E與。尸的關(guān)系是,請寫出理由.

⑵當(dāng)f=2時，EF=cm.

探究：當(dāng)仁時，四邊形是矩形，并證明你的結(jié)論.

拓展：若點。在運動過程中，能使四邊形AECF是正方形，試寫出線段A3的長度.（直接寫出結(jié)論即可）

3.已知正方形A3CO中，AB=BC=CD=DA=8,ZA=ZB=ZC=ZD=90°.動點尸以每秒2個單位速

度從點8出發(fā)沿線段BC方向運動，動點。同時以每秒8個單位速度從8點出發(fā)沿正方形的邊

B4-AD-OC-CB方向順時針作折線運動,當(dāng)點P與點。相遇時停止運動，設(shè)點P的運動時間為t.

圖1備用圖2

⑴當(dāng)運動時間為一秒時，點尸與點。相遇;

(2)當(dāng)時，求線段的長度；

⑶連接24,當(dāng)ABIB和AQ山全等時，求f的值.

4.如圖，在YABCD中，NB4c=90。，CD=3,AC=4.動點P從點A出發(fā)沿A￡)以lcm/s速度向終點。

運動，同時點。從點C出發(fā)，以4cm/s速度沿射線CB運動，當(dāng)點尸到達終點時，點。也隨之停止運動，

設(shè)點尸運動的時間為/秒(r>0).

(1)C3的長為.

⑵用含t的代數(shù)式表示線段。8的長.

(3)連接尸。,

①是否存在f的值，使得PQ與AC互相平分？若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由;

②是否存在f的值，使得PQ與互相平分？若存在，求出r的值；若不存在，請說明理由.

⑷若點尸關(guān)于直線A。對稱的點恰好落在直線上，請直接寫出，的值.

5.如圖，矩形ABCD中，8=4,ZCBD=30°.一動點尸從B點出發(fā)沿對角線方向以每秒2個單位長

度的速度向點。勻速運動，同時另一動點。從。點出發(fā)沿。C方向以每秒1個單位長度的速度向點c勻速

運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點產(chǎn)、。運動的時間為/秒過點尸

作尸于點E,連接EQ,PQ.

(備用圖)

⑴求證：