《大學(xué)物理(下冊(cè))》課件-第10章

第10章穩(wěn)恒磁場(chǎng)10.1磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度10.2畢奧薩伐爾定律及應(yīng)用10.3磁場(chǎng)的高斯定理和安培環(huán)路定理10.4帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)10.5磁場(chǎng)對(duì)電流的作用10.6磁介質(zhì)中的磁場(chǎng)本章小結(jié)習(xí)題

10.1磁場(chǎng)與磁感應(yīng)強(qiáng)度

10.1.1磁場(chǎng)力人們通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)了以下兩種現(xiàn)象。(1)磁場(chǎng)力之間的相互作用:同極性(N與N、S與S)相斥,異極性(N與S)相吸。如圖10.1所示,兩根指南針間會(huì)出現(xiàn)相斥和相吸的現(xiàn)象。圖10.1磁場(chǎng)力之間的相互作用

(2)磁場(chǎng)力與通電(電荷的運(yùn)動(dòng))導(dǎo)線之間的相互作用:通電導(dǎo)線在磁場(chǎng)中會(huì)發(fā)生運(yùn)動(dòng),如圖10.2所示。圖10.2磁場(chǎng)力與通電導(dǎo)線的相互作用

實(shí)驗(yàn)表明:在某一慣性系S中觀察一個(gè)電荷q0-在另外的運(yùn)動(dòng)電荷周圍運(yùn)動(dòng)時(shí),它所受到的作用力F一般總可以表示為兩個(gè)矢量的和:

F=Fe+Fm(10－1)

式中,Fe為與q0-的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)的電場(chǎng)力,且

Fe=q0E

(10－2)

Fm與電荷q0-相對(duì)于慣性系S的運(yùn)動(dòng)速度v有直接關(guān)系,它來(lái)源于磁場(chǎng)力的作用,稱為磁場(chǎng)力或磁力,可表示為

Fm=q0v×B(10－3)

通常把式(10－3)中的Fm叫做洛侖茲力。

一個(gè)電荷q0-在另外的運(yùn)動(dòng)電荷的周圍運(yùn)動(dòng)時(shí)所受到的作用力的一般表達(dá)式,叫做洛侖茲力公式,可寫為

F=q0E+q0v×B=q0(E+v×B)(10－4)

10.1.2磁感應(yīng)強(qiáng)度

在研究靜電場(chǎng)時(shí),曾根據(jù)電荷q0-在電場(chǎng)中受力的性質(zhì),引入了描述靜電場(chǎng)性質(zhì)的物理量———電場(chǎng)強(qiáng)度。與此類似,可用運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的磁力來(lái)定義描述磁場(chǎng)力性質(zhì)的物理量———磁感應(yīng)強(qiáng)度。

根據(jù)洛侖茲力公式,原則上可以設(shè)計(jì)以下實(shí)驗(yàn)步驟來(lái)確定空間任何一點(diǎn)P處磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向。

(1)將一檢驗(yàn)電荷q0-置于運(yùn)動(dòng)電荷(或電流、永磁體)周圍某點(diǎn)P,并保持靜止,測(cè)出這時(shí)它所受的力Fm。然后測(cè)出q0-

以某一速度v通過(guò)P點(diǎn)時(shí)所受的力F,由式(10－3)得出Fm。

(2)令q0-

沿其他不同方向運(yùn)動(dòng)通過(guò)P點(diǎn),重復(fù)上述方法測(cè)出Fm。這時(shí)可發(fā)現(xiàn)當(dāng)q0-

沿某一特定的方向(或反方向)運(yùn)動(dòng)時(shí),不受磁力,如圖10.3(a)所示,這一方向或它的反方向就定義為B的方向。

(3)q0沿其他不同方向運(yùn)動(dòng)時(shí),它所受的磁力Fm的方向總與上述B的方向垂直,也與q0的速度v的方向垂直。我們可以根據(jù)任一次v和Fm的方向進(jìn)一步規(guī)定B的指向,使它滿足式(10－3)所表示的矢量矢積關(guān)系的要求。

(4)以φ表示q0-運(yùn)動(dòng)速度v的方向和B的方向的夾角,可以發(fā)現(xiàn),磁力的大小Fm和qvsinφ這一乘積成正比,B的大小為

若設(shè)Fmax為運(yùn)動(dòng)電荷所受的最大磁場(chǎng)力,如圖10.3(b)所示,則圖10.3運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的磁力

這樣就可以完全確定磁場(chǎng)中各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。

運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到磁場(chǎng)力為:F=qv×B。

在國(guó)際單位制中,力的單位是牛頓(N),電流的單位是安培(A),長(zhǎng)度單位是米(m),磁感應(yīng)強(qiáng)度的單位是特斯拉(T)。在工程中常用高斯表示磁感應(yīng)強(qiáng)度的單位,它與特斯拉的關(guān)系為:1T(特斯拉)=104G(高斯)。

10.2畢奧薩伐爾定律及應(yīng)用10.2.1電流元

通電導(dǎo)體中的電流在其周圍產(chǎn)生磁場(chǎng),電流對(duì)磁針的作用是橫向力,而沿電流方向無(wú)作用力,垂直電流方向作用力最大。閉合導(dǎo)線中的電流是連續(xù)的,按微分思想,無(wú)限分割載流導(dǎo)線為電流元Idl,求出電流元Idl產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB,以r表示從該電流元Idl指向某一場(chǎng)點(diǎn)P的位矢(如圖10.4所示),通過(guò)積分可以得到總電流產(chǎn)生的空間各位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度。電流是標(biāo)量,電流元Idl是矢量,dl是導(dǎo)線上的線元,即導(dǎo)線中電流流過(guò)的方向。圖10.4電流元產(chǎn)生磁場(chǎng)的規(guī)律

10.2.2畢奧薩伐爾定律

在畢奧和薩伐爾兩人大量的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上,數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)將他們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果歸納為數(shù)學(xué)公式,總結(jié)出電流元Idl產(chǎn)生磁場(chǎng)的基本規(guī)律:畢奧薩伐爾定律。

畢奧薩伐爾定律:電流元Idl在空間某點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB的大小與Idl的大小成正比,與Idl到P點(diǎn)處的位矢r之間夾角的正弦成正比,而與r2成反比,即

式中,μ0-為真空中的磁導(dǎo)率,其值為

dB的方向垂直于電流元Idl與矢徑r所組成的平面,并沿Idl×r的方向,即遵守右手螺旋法則:右手彎曲,四指從Idl沿小于π的方向轉(zhuǎn)向r時(shí),伸直的大拇指所指的方向就是dB的方向,如圖10.4所示。

10.2.3磁感應(yīng)強(qiáng)度疊加原理

磁感應(yīng)強(qiáng)度疊加原理:磁場(chǎng)中某點(diǎn)的總磁感應(yīng)強(qiáng)度B(或稱磁感)等于所有電流元Idl各自在該點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB的矢量和,即

【例10.1】如圖10.5所示,求載流直導(dǎo)線在P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度BP。圖10.5載流直導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度

【解】式(10－8)中有兩個(gè)變量dl和r,只有借助于幾何和三角的知識(shí),才能進(jìn)行積分,求出BP。

【例10.2】設(shè)O為載流圓線圈的圓心,R為線圈半徑,如圖10.6所示,求線圈中心軸上與O距離為x的P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。圖10.6載流線圈軸線上的磁場(chǎng)

【例10.3】載流螺線管的半徑為R,總長(zhǎng)度為L(zhǎng),單位長(zhǎng)度內(nèi)的匝數(shù)為n,如圖10.7所示。求螺線管中心軸線上任一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖10.7載流螺線管中的磁場(chǎng)

10.2.4運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)

我們知道,導(dǎo)體中的電流是由導(dǎo)體中大量自由電子作定向運(yùn)動(dòng)形成的,因此可以認(rèn)為電流所激發(fā)的磁場(chǎng)其實(shí)是由運(yùn)動(dòng)電荷所激發(fā)的。運(yùn)動(dòng)電荷能激發(fā)起磁場(chǎng)已經(jīng)為許多實(shí)驗(yàn)所

證實(shí)。

至于運(yùn)動(dòng)電荷所建立的磁感應(yīng)強(qiáng)度,可以由畢奧薩伐爾定律求出。

有一電流元Idl,其截面積為S,設(shè)此電流元中單位體積內(nèi)有n個(gè)定向運(yùn)動(dòng)的正電荷,每個(gè)電荷均為q,且定向運(yùn)動(dòng)速度均為v,可知此電流元中的電流密度為J=nqv,故

Idl=JSdl=nSdlqv

于是,根據(jù)畢奧薩伐爾定律可以寫出

其中,er

為矢量r的單位矢量,Sdl=dV

為電流元的體積,ndV=dN為電流元中作定向運(yùn)動(dòng)的電荷數(shù),那么一個(gè)以速度v運(yùn)動(dòng)的電荷,在距離它為r處所建立的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

顯然,B的方向垂直于v和r所在的平面。

．

【解法二】運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

其中dq=σ2πrdr,v=rω,代入上式,可得

對(duì)上式積分可得到與解法一相同的結(jié)果。

10.3磁場(chǎng)的高斯定理和安培環(huán)路定理

根據(jù)畢奧薩伐爾定律表示的電流和它的磁場(chǎng)的關(guān)系,可以導(dǎo)出恒定電流磁場(chǎng)的兩條基本規(guī)律———安培環(huán)路定理和高斯定理。

10.3.1磁通量

1.磁感應(yīng)線

在研究電場(chǎng)時(shí),曾經(jīng)用電場(chǎng)線形象地描述電場(chǎng)的分布。同樣,在研究磁場(chǎng)時(shí),我們引入圖10.8所示的磁感應(yīng)線來(lái)形象地描繪磁場(chǎng)的分布。磁感應(yīng)線有如下性質(zhì):

(1)磁感應(yīng)線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B的方向一致。

(2)磁感應(yīng)線永遠(yuǎn)沒(méi)有端點(diǎn),無(wú)論磁場(chǎng)是由什么形狀的導(dǎo)線激發(fā)的。

(3)磁感應(yīng)線是與激發(fā)磁場(chǎng)的電流相互套連的閉合線,磁感應(yīng)線的繞行方向和電流流向形成右螺旋的關(guān)系。圖10.8常見(jiàn)的磁感應(yīng)線(圖(a)、(b)、(c))及磁感應(yīng)線和電流間的方向關(guān)系(圖(d))

【說(shuō)明】

圖10.8中的磁感應(yīng)線是人為引入的理想線。圖10.9顯示了磁粉在磁場(chǎng)作用下形成的線,它們與磁感應(yīng)線吻合得很好。這說(shuō)明,用磁感應(yīng)線可以形象、直觀、生動(dòng)和真實(shí)地描述磁場(chǎng)的分布。圖10.9磁粉在磁場(chǎng)作用下形成的線

2.磁通量

任何一個(gè)矢量場(chǎng)都可以引進(jìn)通量的概念,磁場(chǎng)自然也不例外。與E通量類比,我們引入磁通量的概念:通過(guò)磁場(chǎng)中某一給定曲面的磁感應(yīng)線的總數(shù),稱為通過(guò)該曲面的磁通量,簡(jiǎn)稱為磁通,用Φm表示。

如圖10.10所示,S為非均勻磁場(chǎng)中某一曲面,在S上任意選取一面元dS,此面元所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B與面元的法向en之間的夾角為θ,根據(jù)磁通量的定義,通過(guò)面元dS的磁通量為

穿過(guò)整個(gè)曲面S的磁通量為

式中,dS=dSen,為面元矢量,θ為其法向矢量en與磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B之間的夾角,如圖10.10所示。在國(guó)際單位制中,磁通量Φm的單位是Wb(韋伯),1Wb=1T·m2。

反過(guò)來(lái),可以把磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B看成是單位面積的磁通量,稱為磁通密度,其單位是Wb·m-2(韋伯每平方米)。如果是封閉曲面,則仍然規(guī)定由里向外為法線的正方向。圖10.10-磁通量的面元圖10.11半球面的磁通量

【例10.5】在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中作一半徑為r的半球面S,S邊線所在平面的法線方向是單位矢量n與B的夾角,計(jì)算通過(guò)半球面S的磁通量(取彎面向外為正)。

【解】根據(jù)磁通量的定義得

即通過(guò)半球面S的磁通量

10.3.2磁場(chǎng)的高斯定理

通常規(guī)定封閉曲面的外法線方向?yàn)檎?。這樣在磁感應(yīng)線穿出曲面處,dΦ>0,磁感應(yīng)線從閉合曲面內(nèi)穿出的磁通量為正,而在磁感應(yīng)線穿入曲面處,cosθ<0,dΦ<0,磁感應(yīng)線從閉合曲面外穿入的磁通量為負(fù),如圖10.12所示。

圖10.12磁場(chǎng)的高斯定理示意圖

由于磁感應(yīng)線為一系列閉合曲線。因此,對(duì)任一閉合曲面來(lái)說(shuō),有多少條磁感應(yīng)線穿入閉合曲面,相應(yīng)地就有多少條磁感應(yīng)線穿出閉合曲面。也就是說(shuō),通過(guò)任意閉合曲面的磁通量必定等于零,即

這就是磁場(chǎng)的高斯定理。

從另一個(gè)角度也很容易理解這一事實(shí)。由畢奧薩伐爾定律可知:一個(gè)電流元Idl所產(chǎn)生的磁場(chǎng)B是以Idl為軸對(duì)稱分布的,磁感應(yīng)線都是以Idl為軸的同心圓,每一條磁感應(yīng)線都是無(wú)始無(wú)終的閉合圈,沒(méi)有間斷點(diǎn)。在這樣的磁場(chǎng)中,任一閉合曲面S上的磁通量等于零。

磁場(chǎng)的高斯定理不僅對(duì)穩(wěn)恒磁場(chǎng)適用,對(duì)非穩(wěn)恒磁場(chǎng)也同樣適用。與靜電場(chǎng)的高斯定理比較可知,穩(wěn)恒磁場(chǎng)和靜電場(chǎng)是不同性質(zhì)的場(chǎng)。靜電場(chǎng)的高斯定理說(shuō)明靜電場(chǎng)是有源場(chǎng),磁場(chǎng)的高斯定理說(shuō)明磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)。

10.3.3安培環(huán)路定理

在靜電場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度E沿任意閉合環(huán)路的線積分為零,它反映了靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)的基本性質(zhì)。

1821年,安培研究了磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任一閉合環(huán)路L線積分的規(guī)律,提出了著名的安培環(huán)路定理:在磁場(chǎng)中,磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任一閉合環(huán)路L的線積分,等于穿過(guò)環(huán)路所有電流強(qiáng)度I的代數(shù)和的μ0-倍,即

為了說(shuō)明式(10-20)的正確性,讓我們先考慮載有恒定電流I的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線的磁場(chǎng)情況,如圖10.13所示,這時(shí)磁場(chǎng)中任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為圖10.13無(wú)限長(zhǎng)載有恒定電流I的導(dǎo)線

式中,r為該點(diǎn)至載流導(dǎo)線的距離,B為垂直于導(dǎo)線的平面內(nèi)圍繞導(dǎo)線的同心圓,其繞向—10-—大學(xué)物理(下冊(cè))

與電流方向成右手螺旋關(guān)系。在上述平面內(nèi)圍繞導(dǎo)線做一任意形狀的閉合路徑L,如圖10.13所示。沿L計(jì)算B的環(huán)路積分,先算出任一線元dl對(duì)環(huán)路的磁感應(yīng)強(qiáng)度:

如果閉合路線不包圍電流,如圖10.14所示,L為垂直于載流直導(dǎo)線平面內(nèi)任一不繞導(dǎo)線的閉合路徑,那么可以從導(dǎo)線與上述平面的交點(diǎn)做L的切線,將L分成L1和L2兩部分,再沿圖示方向取B的環(huán)路積分圖10.14閉合路線不包圍電流

由上式可知,閉合路徑不包圍電流時(shí),電流沿這一閉合路徑的B的環(huán)路積分的值為零。上面的討論只涉及垂直于長(zhǎng)直載流導(dǎo)線的平面內(nèi)的閉合路徑?？梢宰C明,對(duì)于長(zhǎng)直載流導(dǎo)線非平面閉合路徑,上述結(jié)論也適用。

還可以進(jìn)一步證明,對(duì)于任何閉合的恒定電流路徑,上述結(jié)論仍然成立。再根據(jù)磁場(chǎng)疊加原理可得:當(dāng)有若干個(gè)閉合的恒定電流存在時(shí),沿任一閉合路徑L的合磁場(chǎng)B的線積分應(yīng)為

【例10.6】求與無(wú)限長(zhǎng)載有電流強(qiáng)度I的直導(dǎo)線距離為R處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。

【解】如圖10.15所示,做一閉合回路L,繞行方向與電流方向組成右手螺旋關(guān)系,B與dl方向一致,且B的大小處處相等,于是有

若閉合回路L的繞行方向與電流方向組成左手螺旋關(guān)系,則環(huán)路積分為負(fù)。圖10.15無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)

【例10.7】求載流螺繞環(huán)內(nèi)的磁場(chǎng)。如圖10.16所示,設(shè)螺繞環(huán)內(nèi)為真空,環(huán)上均勻密繞N匝線圈,線圈內(nèi)的電流為I,磁場(chǎng)幾乎全部集中于螺繞環(huán)內(nèi),根據(jù)電流和磁場(chǎng)的對(duì)稱性,環(huán)內(nèi)的磁感應(yīng)線形成同心圓,且同一圓周上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小相等,方向?yàn)檠貓A周的切向。圖10.16螺繞環(huán)內(nèi)的磁場(chǎng)

現(xiàn)通過(guò)環(huán)內(nèi)任一P點(diǎn),以半徑r做一圓形閉合路徑,顯然閉合路徑上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向都和閉合路徑相切,各點(diǎn)B的值都相等,根據(jù)安培環(huán)路定律,可得

從上式可以看出,螺繞環(huán)內(nèi)的橫截面上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是不同的。如果L表示螺繞環(huán)中心線所在圓形閉合路徑的長(zhǎng)度,那么圓環(huán)中心線上一點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

式中,n表示環(huán)上單位長(zhǎng)度線圈的匝數(shù),當(dāng)螺繞環(huán)中心線的直徑比線圈的直徑大得多,即2r?d時(shí),管內(nèi)的磁場(chǎng)可近似看成是均勻的,管內(nèi)任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度均可用上式表示。

10.4帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

10.4.1洛侖茲公式1895年,荷蘭物理學(xué)家洛侖茲在電子論的基礎(chǔ)上,經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明,提出了著名的洛侖茲公式:

F=qv×B(10－23)F的大小為

F=qvBsinθ其方向按右手螺旋法則,如圖10.17所示。圖10.17洛倫茲力

10.4.2帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

(1)當(dāng)v∥B時(shí),θ=0°,sinθ=0,F=qvBsinθ=0,粒子作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

(2)當(dāng)v⊥B時(shí),θ=90°,sinθ=1,F=qvB,v⊥F,粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng),有．

式中,R稱為帶電粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的回轉(zhuǎn)半徑,其計(jì)算公式為

回轉(zhuǎn)周期:

(3)當(dāng)v與B成任意θ角時(shí),把v分為平行于B和垂直于B的兩個(gè)分量v∥和v⊥,v∥=vcosθ,v⊥=vsinθ。顯然,v⊥不改變v的大小,而改變方向,帶電粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng);但是由于v∥

的存在(v∥不受磁場(chǎng)的影響,保持不變),帶電粒子作螺旋運(yùn)動(dòng),其軌跡為一螺旋線。

(4)帶電粒子在均勻電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)其所受電場(chǎng)力為Fe,磁場(chǎng)力為Fm,合力為F,有圖10.18帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

【例10.8】如圖10.19所示的空間區(qū)域中分布著方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng),在紙面內(nèi)有一正方形邊框abcd,磁場(chǎng)以邊框?yàn)榻?。a、b、c三個(gè)頂點(diǎn)處開有很小的缺口?，F(xiàn)有一束具有不同速度的電子由a缺口沿ad方向射入磁場(chǎng)區(qū)域,若b、c兩缺口處分別有電子射出,求這兩處射出的電子速率之比。圖10.19帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)舉例

10.4.3霍耳效應(yīng)

如果載有電流I的金屬導(dǎo)體或半導(dǎo)體放在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中,磁場(chǎng)方向垂直于電流方向,則在與磁場(chǎng)和電流二者垂直的方向上出現(xiàn)橫向電勢(shì)差,如圖10.20所示。早在人們認(rèn)識(shí)洛侖茲力以前的1879年,美國(guó)科學(xué)家霍耳就在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象,該現(xiàn)象稱為霍耳效應(yīng),橫向電勢(shì)稱為霍耳電壓。圖10.20-霍耳效應(yīng)示意圖

霍耳效應(yīng)是因?yàn)橥饧哟艌?chǎng)中漂移運(yùn)動(dòng)的電子或載流子發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)而形成的。

若載流薄板寬為l,厚為d,外加磁場(chǎng)B垂直于薄板表面,設(shè)載流子所帶電量q為負(fù),則在洛侖茲力的作用下,b面積聚負(fù)電荷,a面出現(xiàn)正電荷,形成霍耳電場(chǎng)。

通過(guò)對(duì)霍耳系數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)定,可以判定導(dǎo)電材料的性質(zhì)。因?yàn)榘雽?dǎo)體的n較小,所以霍耳效應(yīng)明顯?？梢酝ㄟ^(guò)測(cè)定霍耳電壓,判定半導(dǎo)體載流子種類,計(jì)算其濃度和測(cè)定B的大小。

10.5磁場(chǎng)對(duì)電流的作用

10.5.1安培定律

在載流導(dǎo)體中,自由電子的定向運(yùn)動(dòng)形成了電流。因此,將載流導(dǎo)體置于磁場(chǎng)中,這些定向運(yùn)動(dòng)的自由電子將受到磁力的作用,通過(guò)導(dǎo)體內(nèi)部的電子與晶體點(diǎn)陣之間的相互作用,使導(dǎo)線在宏觀上表現(xiàn)為受到磁場(chǎng)的作用力,這種力稱為安培力。安培力所遵守的規(guī)律稱為安培定律。

如圖10.21所示,在磁場(chǎng)中任一點(diǎn)處電流元Idl的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。圖10.21磁場(chǎng)對(duì)電流的作用

電流中的電子以速度v作定向運(yùn)動(dòng),其方向與電流方向相反。由洛侖茲力公式可知,一個(gè)電子所受到的作用力為

設(shè)電流元中自由電子數(shù)為dN,其所受的力為

根據(jù)電流強(qiáng)度的定義,

因?yàn)殡娏鞣较蚺c電子運(yùn)動(dòng)方向相反,所以Idl=-(dN)ev,將此式代入dF=dN(-ev×B),可得

式中,B為電流元處的磁感應(yīng)強(qiáng)度,dF為安培力。式(10－28)稱為安培定律,亦稱為安培公式。

安培定律的文字表述為:磁場(chǎng)對(duì)電流元Idl的作用力的數(shù)值等于電流元的大小、電流元所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小以及Idl和B之間夾角的正弦的乘積,即dF=IdlBsinθ;dF的方向?yàn)镮dl×B的方向,滿足右手螺旋法則,即右手的四指從Idl沿小于π的角轉(zhuǎn)向B時(shí),伸直的大拇指的方向就是dF的方向。

10.5.2安培定律的應(yīng)用

有限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線ab所受的安培力為

閉合載流導(dǎo)線所受的安培力圖10.22彎曲載流導(dǎo)線圖10.23磁場(chǎng)對(duì)載流導(dǎo)線的作用

10.6磁介質(zhì)中的磁場(chǎng)

10.6.1磁介質(zhì)及磁介質(zhì)的磁化

磁場(chǎng)會(huì)對(duì)其中的物質(zhì)產(chǎn)生作用,使其磁化。磁化了的介質(zhì)(稱為磁介質(zhì))會(huì)產(chǎn)生附加磁場(chǎng),并對(duì)原磁場(chǎng)產(chǎn)生影響。設(shè)原磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0,磁介質(zhì)受該磁場(chǎng)的作用被磁化而產(chǎn)生附加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B'。此時(shí),磁介質(zhì)中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度

實(shí)驗(yàn)表明:不同的磁介質(zhì)對(duì)磁場(chǎng)的影響不同,有些磁介質(zhì)產(chǎn)生的B'的方向與原來(lái)磁場(chǎng)的B0-的方向相同,使得B=B0+B'>B0,這種磁介質(zhì)叫做順磁質(zhì),如錳、鋁和氧等;而另一些磁介質(zhì)產(chǎn)生的B'的方向與原來(lái)磁場(chǎng)的B0-的方向相反,使得B=B0+B'<B0,這種磁介質(zhì)叫做抗磁質(zhì),如鉍和氫等。無(wú)論是順磁質(zhì)還是抗磁質(zhì),磁化后所產(chǎn)生的附加磁場(chǎng)對(duì)原磁場(chǎng)的影響都比較弱(約幾萬(wàn)分之一或幾十萬(wàn)分之一)。所以,順磁質(zhì)和抗磁質(zhì)統(tǒng)稱為弱磁性物質(zhì)。另外還有一類物質(zhì)磁化后所產(chǎn)生的附加磁場(chǎng)的B'方向與原來(lái)磁場(chǎng)的B00-方向相同,且B'?B0,對(duì)原磁場(chǎng)的影響比較強(qiáng)(可達(dá)幾百至幾萬(wàn)倍),這種磁介質(zhì)稱為鐵磁質(zhì),如鐵、鎳和鈷等。

首先,我們引入磁矩m來(lái)描述載流線圈的性質(zhì)。如圖10.24所示,有一平面圓電流,其面積為S,電流為I,en為圓電流的單位正法線矢量,它與電流I的流向遵守右手螺旋定則,即右手四指順著電流流動(dòng)方向回轉(zhuǎn)時(shí),大拇指的指向?yàn)閳A電流單位法線en的方向,我們定義圓電流的磁矩m為圖10.24載流線圈的磁矩

從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)來(lái)看,任何物質(zhì)分子中的每個(gè)電子都繞原子核運(yùn)動(dòng),從而使之具有軌道磁矩;同時(shí)電子自身還有自旋運(yùn)動(dòng),因此也會(huì)具有自旋磁矩,一個(gè)分子內(nèi)所有電子全部磁矩的矢量和稱為分子的固有磁矩,簡(jiǎn)稱為分子磁矩,用符號(hào)m表示,每個(gè)分子磁矩不為零,它可用一個(gè)等效的圓電流i來(lái)表示,如圖10.25所示。在無(wú)外磁場(chǎng)時(shí),由于分子的熱運(yùn)動(dòng),這些分子的磁矩是雜亂無(wú)章的。因此,在磁介質(zhì)中任一宏觀小體積中,所有分子磁矩的矢量和為零,即總體上對(duì)外不顯磁性。圖10.25分子電流與分子磁矩

在抗磁質(zhì)中,當(dāng)有外磁場(chǎng)存在時(shí),分子中每一個(gè)電子的軌道運(yùn)動(dòng)和自旋運(yùn)動(dòng)都將發(fā)生變化,從而引起附加磁矩Δm,而且附加磁矩的方向是與外磁場(chǎng)的方向相反的。因此使得磁介質(zhì)內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度減弱,即B<B0。設(shè)一個(gè)電子以半徑r、角速度ω繞核作逆時(shí)針軌道運(yùn)動(dòng),電子的磁矩m'的方向與外磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B0的方向相反,由于分子中每一個(gè)電子的附加磁矩都與外磁場(chǎng)B0的方向相反,于是抗磁質(zhì)的磁感強(qiáng)度B要比B0略小一點(diǎn)。圖10.26磁質(zhì)的磁化

10.6.2磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率

為了定量地描述不同磁介質(zhì)對(duì)磁場(chǎng)的影響程度,下面引入相對(duì)磁導(dǎo)率和磁導(dǎo)率的概念。設(shè)有一長(zhǎng)直螺線管,單位長(zhǎng)度的匝數(shù)為n,在其中通以強(qiáng)度為I的電流。在真空情況下,螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0=μ0nI。若在長(zhǎng)直螺線管內(nèi)部充滿某種各向同性的均勻磁介質(zhì),則介質(zhì)的磁化使得螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)锽,定義相對(duì)磁導(dǎo)率為

相對(duì)磁導(dǎo)率是無(wú)量綱的數(shù)值,它表示磁介質(zhì)對(duì)外磁場(chǎng)的影響程度。對(duì)于順磁質(zhì),μr>1;對(duì)于抗磁質(zhì),μr<1;真空中,μr=1;空氣中,μr接近于1。一般情況下,可以將空氣中的磁場(chǎng)看做真空中的磁場(chǎng)來(lái)處理。

在有介質(zhì)的情況下,長(zhǎng)直密繞螺線管內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

式中,μ=μrμ0,為磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率,它的單位與真空中磁導(dǎo)率的單位相同。

10.6.3磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理

x在有磁介質(zhì)存在的情況下,由于磁介質(zhì)的磁化產(chǎn)生磁化電流I',在空間中不僅存在傳導(dǎo)電流,而且還有磁化電流,這兩種電流共同產(chǎn)生總磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度,所以磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理應(yīng)為

在磁介質(zhì)中,磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量沿任一閉合路徑的線積分等于該閉合路徑所包圍電流的代數(shù)和乘以μ0。當(dāng)管中為真空時(shí),根據(jù)安培環(huán)路定理,有

當(dāng)管中充滿相對(duì)磁導(dǎo)率為μr的均勻磁介質(zhì)時(shí),其磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)锽。

由式(10－33)得

如圖10.27所示,取環(huán)路為長(zhǎng)方形abcdef,其中ab邊和de邊與螺線管軸線平行,其長(zhǎng)度為l,bcd邊和efa邊則垂直于螺線管軸線。圖10.27螺線管軸線磁場(chǎng)

【例10.11】有一密繞螺繞環(huán)管(在空心的圓環(huán)繞上螺旋形線圈),單位長(zhǎng)度的匝數(shù)n=1000匝/米,通有I=1A的電流,環(huán)內(nèi)充滿μ=0.0004H/m的均勻磁介質(zhì),求螺繞環(huán)管內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小。

【解】由于電流分布的對(duì)稱性和介質(zhì)的均勻性,根據(jù)右手螺旋法則可知,B和H的方向沿圓周的切線方向。應(yīng)用安培環(huán)路定理求磁場(chǎng),選取半徑為R的圓周環(huán)路L,L=2πR,則有

10.6.4鐵磁質(zhì)

在實(shí)際生活中經(jīng)常使用鐵磁質(zhì),比如電磁鐵、電機(jī)、變壓器和電表的線圈中,都要放置鐵磁性物質(zhì)以增強(qiáng)磁場(chǎng)。鐵磁性物質(zhì)的特點(diǎn)是其μr?1,大約可達(dá)到102~105數(shù)量級(jí),它的相對(duì)磁導(dǎo)率μr和絕對(duì)磁導(dǎo)率μ不是常數(shù),會(huì)隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度H的變化而變化。也就是說(shuō),磁場(chǎng)強(qiáng)度H與磁感應(yīng)強(qiáng)度B不是線性關(guān)系。這是由鐵磁質(zhì)的結(jié)構(gòu)所決定的。

1.磁疇

從物質(zhì)的原子結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)來(lái)看,鐵磁性物質(zhì)內(nèi)電子間相互作用非常強(qiáng)烈。在此作用下,其內(nèi)部形成一些微小的區(qū)域,叫做磁疇,如圖10.28所示。磁疇區(qū)域的線度為毫米級(jí),每個(gè)磁疇約由1017~1021個(gè)分子組成。每一個(gè)磁疇中,各個(gè)電子的自旋的磁矩排列得很整齊。因此,它具有很強(qiáng)的磁性,叫做自發(fā)磁化。在沒(méi)有外磁場(chǎng)的時(shí)候,鐵磁質(zhì)內(nèi)各個(gè)磁疇的排列方向無(wú)序,對(duì)外不顯磁性。當(dāng)其處于外磁場(chǎng)時(shí),鐵磁質(zhì)內(nèi)各個(gè)磁疇在外磁場(chǎng)的作用下都趨于沿外磁場(chǎng)B0-的方向排列,使整個(gè)磁疇趨向外磁場(chǎng)B0的方向。

所以,在不強(qiáng)的外磁場(chǎng)作用下,鐵磁質(zhì)可表現(xiàn)出很強(qiáng)的磁性。這時(shí)鐵磁質(zhì)在外磁場(chǎng)中的磁化程度非常大,它所建立的附加磁感應(yīng)強(qiáng)度B'比B0-在數(shù)值上要大幾十倍到數(shù)千倍,甚至數(shù)萬(wàn)倍。鐵磁質(zhì)磁化時(shí)會(huì)發(fā)熱、發(fā)聲,所消耗的能量不能收回。

圖10.28磁疇

2.磁化曲線

磁感應(yīng)強(qiáng)度B與磁場(chǎng)強(qiáng)度H不成線性關(guān)系,從實(shí)驗(yàn)得出的某一鐵磁質(zhì)開始磁化時(shí)的B-H曲線(也叫初始磁化曲線)如圖10.29所示。從圖中可以看出,當(dāng)H隨電流I的增大而增大時(shí),B也逐漸增大;達(dá)到M點(diǎn)后,H再繼續(xù)增加時(shí),B會(huì)急劇增加,這是因?yàn)榇女犜诖艌?chǎng)作用下迅速沿外磁場(chǎng)B0-的方向排列的緣故。到達(dá)N點(diǎn)以后,再增大H時(shí),B的增加就比較緩慢了。當(dāng)?shù)竭_(dá)P點(diǎn)以后,再增大H時(shí),B的增加將十分緩慢,表示磁化已達(dá)飽和程度。點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的B值一般叫做飽和磁感應(yīng)強(qiáng)度Bm。這時(shí)鐵磁質(zhì)中幾乎所有的磁疇都已沿外磁場(chǎng)B0-的方向排列。圖10.29初始磁化曲線

實(shí)驗(yàn)表明:磁場(chǎng)強(qiáng)度從零增加到+Hm后,當(dāng)外磁場(chǎng)由+Hm逐漸減小時(shí),磁感應(yīng)強(qiáng)度B并不沿起始曲線OP減小,而是沿圖10.30中的另一條曲線PQ比較緩慢地減小。這種B的變化落后于H變化的現(xiàn)象,叫做磁滯現(xiàn)象,簡(jiǎn)稱磁滯。圖10.30-磁滯現(xiàn)象

研究磁滯現(xiàn)象,了解鐵磁質(zhì)的特性,有很大的實(shí)用價(jià)值。因?yàn)殍F磁材料往往應(yīng)用于交變磁場(chǎng)中,鐵磁質(zhì)在交變磁場(chǎng)中被反復(fù)磁化時(shí),磁滯效應(yīng)要損耗能量,所損耗的能量與磁滯回線包圍的面積有關(guān),面積越大,損耗能量就越大。

3.軟磁質(zhì)和硬磁質(zhì)

軟磁質(zhì)的特點(diǎn)是相對(duì)磁導(dǎo)率μr

和飽和磁感應(yīng)強(qiáng)度Bm一般都比較大,而矯頑力Hr

較硬磁質(zhì)小得多,磁滯回線所包圍的面積很小,磁滯性不顯著,如圖10.31所示。軟磁質(zhì)在磁場(chǎng)中很容易被磁化,由于矯頑力很小,也容易去磁,因此,軟磁材料適用于制造電磁鐵、變壓器、交流電動(dòng)機(jī)、交流發(fā)電機(jī)等電器中的鐵芯。可以近似地認(rèn)為軟磁質(zhì)有固定的相對(duì)磁導(dǎo)率μr,也可以認(rèn)為其B－H特性曲線是線性的。圖10.31軟磁質(zhì)磁滯回線

硬磁質(zhì)又稱為永磁鐵,其特點(diǎn)是剩磁Br和矯頑力Hc都比較大,磁滯回線所包圍的面積很大,磁滯現(xiàn)象非常明顯,如圖10.32所示。硬磁質(zhì)充磁后能保留較強(qiáng)的磁性,且不易消除,因此硬磁質(zhì)材料適合做永磁性元件,廣泛使用于電表、揚(yáng)聲器、拾音器、電話和錄音機(jī)中。圖10.32硬磁質(zhì)磁滯回線

本章小結(jié)

1.磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度是用運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的磁力來(lái)定義的描述磁場(chǎng)力性質(zhì)的物理量,即

2.畢奧－薩伐爾定律電流元Idl在空間中某點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB的大小與Idl成正比、與Idl到P點(diǎn)的矢徑r之間的夾角的正弦成正比,而與r2成反比,即

3.磁場(chǎng)的高斯定理

在磁場(chǎng)中,任一閉合曲面S上的磁通量等于零,即

4.磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理

在磁場(chǎng)中,磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任一閉合環(huán)路L的線積分,等于穿過(guò)環(huán)路所有電流強(qiáng)度I的代數(shù)和的μ0-倍,即

5.磁場(chǎng)對(duì)電流的作用

磁場(chǎng)對(duì)電流元Idl的作用力,在數(shù)值上等于電流元的大小、電流元所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小以及電流元Idl和B之間的夾角的正弦的乘積,即

6.磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理

在有磁介質(zhì)存在的情況下,總磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度由磁化電流I'和傳導(dǎo)電流I共同產(chǎn)生,即

習(xí)題

一、選擇題

10-1在半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)的直圓柱體內(nèi),沿軸向均勻流有電流,設(shè)圓柱體內(nèi)(與軸線的距離r<R)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bi,圓柱體外(與軸線的距離r>R)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為Be,則有()。A.Bi、Be均與r成正比B.Bi、Be均與r成反比C.Bi與r成反比,Be與r成正比D.Bi與r成正比,Be與r成反比

10-2圖10.33中的6根無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線互相絕緣,通過(guò)的電流均為I,區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均為全等的正方形,指向紙內(nèi)的磁通量最大的區(qū)域是()。

A.Ⅰ區(qū)域B.Ⅱ區(qū)域C.Ⅲ區(qū)域D.Ⅳ區(qū)域E.不止一個(gè)圖10.33習(xí)題10-2圖

10-3如圖10.34所示,一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直于紙面向里,兩個(gè)帶電粒子在該磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),軌跡如圖10.31所示,則()。

A.兩粒子的電荷必然同號(hào)

B.兩粒子的電荷可以同號(hào)也可以異號(hào)

C.兩粒子的動(dòng)量大小必然不同

D.兩粒子的運(yùn)動(dòng)周期必然不同圖10.34習(xí)題10-3圖

10-4兩根載流直導(dǎo)線以相互正交的方式放置,如圖10.35所示。I1沿y軸的正方向,I2沿z軸負(fù)方向。若載流I1的導(dǎo)線不能動(dòng),載流I2的導(dǎo)線可以自由運(yùn)動(dòng),則載流I2的導(dǎo)線開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的趨勢(shì)是()。

A.沿x方向平動(dòng)B.繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)

C.繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)D.無(wú)法判斷圖10.35習(xí)題10-4圖

10-5如圖10.36所示,無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線在P處彎成半徑為R的圓,當(dāng)通過(guò)電流I時(shí),在圓心O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小等于()。圖10.36習(xí)題10-5圖

二、計(jì)