《大學(xué)物理(下冊(cè))》課件-第13章

第13章波動(dòng)13.1波動(dòng)的基本概念13.2平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)13.3-波的能量13.4波的疊加、干涉和駐波13.5惠更斯原理和波的衍射13.6多普勒效應(yīng)13.7平面電磁波本章小結(jié)習(xí)題

13.1波動(dòng)的基本概念13.1.1機(jī)械波的形成機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)(固體、液體或氣體)內(nèi)傳播就形成了機(jī)械波。這是因?yàn)樵趶椥越橘|(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)間是以彈性力相互作用著的,若介質(zhì)中某一質(zhì)點(diǎn)A因受外界擾動(dòng)而離開(kāi)其平衡位置,其鄰近質(zhì)點(diǎn)將對(duì)它施加彈性恢復(fù)力,使它回到平衡位置并在平衡位置附近作振動(dòng);與此同時(shí),當(dāng)A偏離其平衡位置時(shí),A鄰近的質(zhì)點(diǎn)也受到A所作用的彈性力,迫使鄰近質(zhì)點(diǎn)也在自己的平衡位置附近振動(dòng)起來(lái)。

這樣介質(zhì)中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)會(huì)引起鄰近質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng),以此類(lèi)推,鄰近質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)又會(huì)引起較遠(yuǎn)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng),于是振動(dòng)就由近及遠(yuǎn)地傳播出去,形成波動(dòng)。

由此可見(jiàn),機(jī)械波的產(chǎn)生依賴兩個(gè)條件:作為激發(fā)擾動(dòng)的波源和能夠傳播這種機(jī)械振動(dòng)的介質(zhì)。波動(dòng)有如下特征:

(1)波動(dòng)只是振動(dòng)狀態(tài)的傳播,介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)僅在各自的平衡位置附近振動(dòng)。因?yàn)檎駝?dòng)狀態(tài)可以用振動(dòng)的相位來(lái)描述,所以也可以說(shuō)波動(dòng)是相位的傳播。

(2)波動(dòng)形成時(shí),介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)將依次振動(dòng),這是因?yàn)椴煌恢玫膬少|(zhì)點(diǎn)在振動(dòng)的步調(diào)上存在一個(gè)時(shí)間差,即兩質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)有相位差,離波源較遠(yuǎn)的點(diǎn)的振動(dòng)相位要相對(duì)滯后。

(3)振動(dòng)傳播過(guò)程中,質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)和介質(zhì)的形變均以一定的速度向前傳播,波動(dòng)伴隨著能量的傳播。

13.1.2波動(dòng)的分類(lèi)

1.橫波與縱波

按照質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向和波的傳播方向之間的關(guān)系,機(jī)械波可分為橫波與縱波兩種基本模式。若質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向相互垂直,這種波稱(chēng)為橫波;若質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向相互平行,這種波稱(chēng)為縱波。

2.平面波與球面波

在波動(dòng)過(guò)程中振動(dòng)相位相同的點(diǎn)組成的面稱(chēng)為波陣面或波面。在某一時(shí)刻,最前面的波面稱(chēng)為波前。代表波的傳播方向的直線叫做波線。在各向同性的介質(zhì)中波線總是與波面垂直。

波面為球面的波動(dòng)稱(chēng)為球面波,波面為平面的波動(dòng)稱(chēng)為平面波,如圖13.1所示。在各向同性的均勻介質(zhì)中,點(diǎn)波源激起球面波。無(wú)論何種波源,在離波源較遠(yuǎn)處,其波面上的某一個(gè)局部總可以近似看成是一個(gè)平面,因此離波源較遠(yuǎn)的波一般都可近似認(rèn)為是平面波。例如太陽(yáng)發(fā)出的光波應(yīng)該是球面波,但是當(dāng)照射到地球上時(shí),可以把它近似看做平面波。圖13.1平面波與球面波

3.簡(jiǎn)諧波與非簡(jiǎn)諧波

若波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng),則介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)也作簡(jiǎn)諧振動(dòng),這時(shí)的波動(dòng)稱(chēng)為簡(jiǎn)諧波。簡(jiǎn)諧波是最簡(jiǎn)單的波。若波源的振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng),則它產(chǎn)生的波為非簡(jiǎn)諧波。本章中主要討論簡(jiǎn)諧波。非簡(jiǎn)諧波可看成簡(jiǎn)諧波的疊加。

13.1.3-描述波動(dòng)的物理量

1.波長(zhǎng)在同一波線上兩個(gè)相鄰的、相位差為2π的振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)之間的距離稱(chēng)為波長(zhǎng),用λ表示。因?yàn)橄辔徊顬?π的兩質(zhì)點(diǎn)其振動(dòng)步調(diào)完全一致,所以波長(zhǎng)就是一個(gè)完整波形的長(zhǎng)度,反映了波動(dòng)這一運(yùn)動(dòng)形式在空間具備周期性特征。對(duì)于簡(jiǎn)諧橫波,波長(zhǎng)等于兩相鄰波峰之間或兩相鄰波谷之間的距離;對(duì)于簡(jiǎn)諧縱波,波長(zhǎng)等于兩相鄰密部中心之間或兩相鄰疏部中心之間的距離。

2.波的周期

波前進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)的距離所需要的時(shí)間稱(chēng)為波的周期,用T表示。周期的倒數(shù)稱(chēng)為波的頻率,用ν表示。當(dāng)波源作一次完全振動(dòng)時(shí),波動(dòng)就傳播一個(gè)波長(zhǎng)的距離,所以波的周期(或頻率)等于波源的振動(dòng)周期(或頻率)。一般來(lái)說(shuō),波的周期(或頻率)由波源決定,而與介質(zhì)性質(zhì)無(wú)關(guān)。波在不同介質(zhì)中傳播時(shí)頻率不變,而波長(zhǎng)要改變。

3.波速

單位時(shí)間內(nèi)某一振動(dòng)狀態(tài)傳播的距離稱(chēng)為波速,這一速度就是振動(dòng)相位的傳播速度,故也稱(chēng)為相速度,用u表示。波速的大小取決于介質(zhì)的性質(zhì),在不同的介質(zhì)中波速是不同的。波速是振動(dòng)狀態(tài)的傳播速度,而不是介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度,兩者是截然不同的兩個(gè)概念。

在一個(gè)周期內(nèi),波前進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)的距離,波速u(mài)和波長(zhǎng)λ及周期T(或頻率ν)的關(guān)系為

13.2平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)13.2.1波函數(shù)概述1.波函數(shù)的概念

機(jī)械波是彈性介質(zhì)內(nèi)大量質(zhì)點(diǎn)參與的一種集體運(yùn)動(dòng)形式,這種運(yùn)動(dòng)形式可以用數(shù)學(xué)函數(shù)式來(lái)描述。以沿x軸方向傳播的一維橫波為例,若要描述它,就應(yīng)該知道x處的質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻t的位移y,而位移y顯然是空間坐標(biāo)x和時(shí)間坐標(biāo)t的函數(shù),即這個(gè)描述波動(dòng)的函數(shù)稱(chēng)為波函數(shù),又叫波動(dòng)表達(dá)式。

2.平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)

當(dāng)簡(jiǎn)諧波傳播時(shí),介質(zhì)中的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都作簡(jiǎn)諧振動(dòng),若其波陣面是平面,就稱(chēng)為平面簡(jiǎn)諧波。在理想的無(wú)吸收的均勻無(wú)限大介質(zhì)中,如果有一個(gè)平面上的質(zhì)點(diǎn)都同相位地作同頻率且同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng),這種振動(dòng)就會(huì)沿垂直于平面的方向傳播而形成空間的行波。因?yàn)橥徊嚸嫔细鼽c(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)相同,所以在研究平面簡(jiǎn)諧波傳播規(guī)律時(shí),只要討論與波陣面垂直的任意一條波線上波的傳播規(guī)律即可。

設(shè)平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正方向傳播,波速為u。取任意一條波線為x軸,并取O作為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖13.2所示。已知原點(diǎn)處(即x=0處)質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng),其振動(dòng)表達(dá)式為

式中,y0表示O點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)其平衡位置的位移?，F(xiàn)在考察波線上另一任意點(diǎn)P處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況,P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x。

若波在無(wú)吸收的均勻無(wú)限大介質(zhì)中傳播,則P點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)將以相同的振幅和頻率重復(fù)O點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng),但時(shí)間要晚一點(diǎn)。振動(dòng)從O點(diǎn)傳播到P點(diǎn)所需時(shí)間Δt=x/u,因而O點(diǎn)t-x/u時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)在t時(shí)刻傳播到P點(diǎn)。這就是說(shuō),P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻離開(kāi)平衡位置的位移y(x,t),等于O點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在t-x/u時(shí)刻離開(kāi)平衡位置的位移,即有圖13.2平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)

利用關(guān)系式ω=2π/T和u=λ/T,沿x軸正方向傳播的簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)還可以寫(xiě)成下列形式:

如果簡(jiǎn)諧波是沿x軸負(fù)方向傳播的,那么P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)在步調(diào)上要超前于O點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng),所以只要將式(13-2)中的負(fù)號(hào)改為正號(hào)即可得到相應(yīng)的波函數(shù),即

13.2.2波函數(shù)的物理意義

平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)是一個(gè)余弦函數(shù),含有x和t兩個(gè)自變量。從式(13-3)可以看出,波函數(shù)在時(shí)間上和空間上都具有周期性特征,即滿足

上面兩式可作為平面簡(jiǎn)諧波的周期和波長(zhǎng)的定義式。波的周期T和波長(zhǎng)λ是表征波動(dòng)的時(shí)間周期性和空間周期性的物理量。

若想觀察在給定時(shí)刻介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的位移情況,則將給定時(shí)刻t=t0代入波函數(shù),得到y(tǒng)只是x的周期函數(shù),并可得此時(shí)(t=t0時(shí)刻)波線上各個(gè)不同質(zhì)點(diǎn)的位移。將這個(gè)余弦函數(shù)用圖表示出來(lái)就得到波形圖。波形曲線的“周期”為λ。一峰一谷為一個(gè)“完整波形”,其長(zhǎng)度就是波長(zhǎng)。如果t取不同值,則波函數(shù)給出不同時(shí)刻的波形圖。圖13.3中分別繪出了對(duì)應(yīng)t0時(shí)刻和t0+Δt時(shí)刻的波形圖,它反映了波動(dòng)過(guò)程中波形的傳播。圖13.3-簡(jiǎn)諧波的波形

【例13.1】(1)有一平面簡(jiǎn)諧波以波速u(mài)=4m/s沿x軸正方向傳播,已知位于坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖13.4(a)所示,求該平面簡(jiǎn)諧波函數(shù)。

(2)有一平面簡(jiǎn)諧波以波速u(mài)=4m/s沿x軸正方向傳播,已知t=0時(shí)的波形如圖13.4(b)所示,求該平面簡(jiǎn)諧波函數(shù)。圖13.4例13.1圖

13.3-波的能量

13.3.1波的能量分布我們以如圖13.5所示的簡(jiǎn)諧縱波在棒內(nèi)傳播為例來(lái)進(jìn)行分析。設(shè)介質(zhì)的密度為ρ。當(dāng)平面簡(jiǎn)諧波圖13.5波的能量

在介質(zhì)中傳播時(shí),介質(zhì)中坐標(biāo)為x,體積為dV的介質(zhì)元的振動(dòng)速度為

則介質(zhì)元的振動(dòng)功能為

可以證明,介質(zhì)元dV的彈性勢(shì)能

介質(zhì)元的總機(jī)械能為其振動(dòng)動(dòng)能與彈性勢(shì)能之和,即

簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的,因?yàn)檎駝?dòng)系統(tǒng)為孤立的保守系統(tǒng)。波動(dòng)中的介質(zhì)元屬于開(kāi)放系統(tǒng),與相鄰的介質(zhì)元有能量交換,因此它的機(jī)械能不守恒。對(duì)于某一介質(zhì)元來(lái)說(shuō),它不斷地從后面的介質(zhì)獲得能量,又不斷地把能量傳遞給前面的介質(zhì),這樣能量就隨著波動(dòng)向前傳播,所以說(shuō)波動(dòng)是能量傳遞的一種方式。

式(13-8)指出,波動(dòng)中不同位置的質(zhì)元具有不同的能量。為了描述波動(dòng)中的能量分布,引入了能量密度的概念,把單位體積介質(zhì)中波的能量稱(chēng)為波的能量密度,用w表示。由式(13-8)可得

可見(jiàn),波在空間任一點(diǎn)處的能量密度也是隨時(shí)間變化的,通常取其在一個(gè)周期內(nèi)的平均值稱(chēng)為平均能量密度,記做,則

即對(duì)于確定的彈性介質(zhì),平均能量密度與波的振幅的二次方成正比。這個(gè)結(jié)論具有普遍意義,它不但對(duì)簡(jiǎn)諧彈性縱波成立,對(duì)于其他彈性波也同樣適用。

圖13.6平均能流與能流密度

單位時(shí)間內(nèi)垂直通過(guò)單位面積的平均能量,稱(chēng)為能流密度或波的強(qiáng)度,用I表示,即

能流密度的單位是W·m-2,也可以將能流密度表示為矢量,它的方向代表能量的傳播方向,即波速方向。因此能流密度的矢量式可寫(xiě)成

13.4波的疊加、干涉和駐波

13.4.1波的疊加原理當(dāng)幾列波在介質(zhì)中傳播時(shí),無(wú)論是否相遇,每列波都保持自己原有的振動(dòng)特性(如頻率、波長(zhǎng)、振動(dòng)方向等),并按自己原來(lái)的傳播方向繼續(xù)前進(jìn),不受其他波的影響,這叫波傳播的獨(dú)立性原理。

13.4.2波的干涉

幾列振幅、頻率、相位等均不同的波,在空間某一點(diǎn)合成時(shí)的情況較為復(fù)雜。現(xiàn)在我們考察一種簡(jiǎn)單而又重要的情況,即兩列頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位相同或相位差恒定的波在空間傳播。滿足這些條件的兩列波在空間某點(diǎn)相遇時(shí),該點(diǎn)的兩個(gè)分振動(dòng)也有恒定的相位差,但是對(duì)于空間不同的點(diǎn),這一相位差不同,因此其合振幅也將逐點(diǎn)不同。

在兩列波相遇的區(qū)域,有一些點(diǎn)其合成振動(dòng)始終加強(qiáng),有一些點(diǎn)其合成振動(dòng)始終減弱,這種現(xiàn)象叫做波的干涉現(xiàn)象。滿足上述條件的兩列波稱(chēng)為相干波,其波源稱(chēng)為相干波源。下面我們討論干涉現(xiàn)象的加強(qiáng)和減弱的條件。

如圖13.7所示,設(shè)有兩個(gè)振動(dòng)方向均垂直于紙面的相干波源S1和S2,振動(dòng)方程分別為圖13.7波的干涉

式中,ω為兩波源的角頻率,A1和A2為波源的振幅,φ1和φ2分別為兩波源的初相。如果這兩個(gè)波源發(fā)出的波在同一介質(zhì)中傳播,它們的波長(zhǎng)均為λ,不考慮介質(zhì)的能量吸收,設(shè)兩列相干波分別經(jīng)過(guò)r1和r2的距離后在P點(diǎn)相遇,則它們?cè)赑點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式分別為

P點(diǎn)的合成振動(dòng)為

式中,A為合振動(dòng)的振幅,φ為合振動(dòng)的初相。聯(lián)系前面學(xué)過(guò)的同方向同頻率振動(dòng)的合成式(1219),合振動(dòng)的振幅A為可表示為

式中

為兩個(gè)相干波在P點(diǎn)所引起的兩個(gè)振動(dòng)的相位差。

對(duì)空間不同的點(diǎn),若Δφ不同,則合成的結(jié)果就不同。當(dāng)相位差Δφ滿足下述條件

時(shí),合成結(jié)果加強(qiáng),合振幅最大,這時(shí)A=A1+A2。當(dāng)Δφ滿足

時(shí),合成結(jié)果減弱,合振幅最小,這時(shí)A=|A1+A2|。

如果φ1=φ2,即對(duì)于初相相同的相干波源,則上述條件可簡(jiǎn)化為

13.4.3-駐波

兩列振幅相同的相干波相向傳播時(shí)疊加而成的波稱(chēng)為駐波。駐波是波干涉的一種特殊情況,在聲學(xué)和光學(xué)中有著重要的應(yīng)用。在有限大小介質(zhì)內(nèi)向前傳播的波,垂直入射到兩種介質(zhì)的分界面時(shí),會(huì)發(fā)生反射,反射回來(lái)的波和原來(lái)向前傳播的入射波合成的結(jié)果,就會(huì)形成駐波。

1.駐波的形成

如圖13.8(a)所示,設(shè)有兩列振幅相同的相干簡(jiǎn)諧波,一列向右傳播,另一列向左傳播。設(shè)在t=0時(shí),兩波波形相互重疊,合成的波中各點(diǎn)的合位移最大。經(jīng)過(guò)1/8周期后,即t=T/8時(shí),兩波分別向右和向左移動(dòng)1/8波長(zhǎng)的距離,這時(shí)各點(diǎn)的合振動(dòng)位移如圖13.8(b)所示。再經(jīng)1/8周期后,即t=T/4時(shí),兩波合成抵消,如圖13.8(c)所示。接著出現(xiàn)圖13.8(d)、(e)的合成波形,圖13.8(e)中各點(diǎn)合位移又最大,但位移方向和t=0時(shí)情況相反,以后依此類(lèi)推。

由圖13.8可見(jiàn),上述兩波疊加后,波線上某些點(diǎn)始終靜止不動(dòng),如b、d、f、h等,另一些點(diǎn)振幅取最大值,它等于每列波振幅的兩倍,如a、c、e、g等;其他各點(diǎn)的振幅則在零與最大值之間。始終靜止不動(dòng)的點(diǎn)叫波節(jié),振幅最大的點(diǎn)叫波腹。圖13.8駐波的形成

駐波可用實(shí)驗(yàn)演示。如圖13.9所示,左邊固定一個(gè)音叉,音叉末端系一水平的細(xì)繩AB,B點(diǎn)可以左右移動(dòng)以變更AB間的距離。細(xì)繩經(jīng)滑輪P后,末端懸一重物m,使繩中產(chǎn)生一定的張力。音叉振動(dòng)時(shí),繩中產(chǎn)生波動(dòng)向右傳播,到達(dá)B點(diǎn)時(shí),在B點(diǎn)反射,產(chǎn)生反射波向左傳播。這樣入射波和反射波在同一繩子上沿相反方向進(jìn)行。當(dāng)AB間的距離和重物m的重量大小配置得適當(dāng)時(shí),在繩中就會(huì)產(chǎn)生駐波。圖13.9駐波實(shí)驗(yàn)

2.駐波的波函數(shù)

下面對(duì)弦線上形成的駐波作定量分析。選擇向x軸正向和負(fù)向傳播的簡(jiǎn)諧波波形重疊時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t=0),并以此時(shí)兩列波的波峰為原點(diǎn)O(x=0),則這兩列波的波函數(shù)分別為

兩波疊加后,介質(zhì)中各點(diǎn)的合位移

這就是合成后所得的駐波的波函數(shù)。它表明,在某一給定的坐標(biāo)x處的質(zhì)點(diǎn),作振幅為

從駐波的波函數(shù)式(13-19)可以看出,波函數(shù)中x和t分別出現(xiàn)在兩個(gè)因子中,這樣的波函數(shù)不滿足

因而波形不傳播。我們把這樣一個(gè)“駐扎在弦上的波”形象地稱(chēng)為駐波。

由式(13-20)可知,當(dāng)x滿足

時(shí)振幅有極大值2A0,滿足式(13-21(a))的點(diǎn)為波腹的位置。當(dāng)x滿足

時(shí)振幅為零,這些點(diǎn)是波節(jié)的位置。由式(13-21(a))和式(13-21(b))可知相鄰兩波節(jié)或波腹間的距離

由式(13-19)還可以看出,當(dāng)x點(diǎn)使得cos(2πx/λ)>0時(shí),此點(diǎn)振動(dòng)相位為2πνt,此時(shí)對(duì)應(yīng)x'=x+λ/2的另一點(diǎn),必有cos(2πx/λ)<0,該點(diǎn)與x點(diǎn)反相。因此,若把相鄰兩個(gè)波節(jié)之間的各點(diǎn)稱(chēng)為一段,則同一段上各點(diǎn)的振動(dòng)同相,而相鄰兩段中各點(diǎn)的振動(dòng)反相。

3.半波損失

在如圖13.9所示的駐波實(shí)驗(yàn)中,反射點(diǎn)B處的細(xì)繩是固定不動(dòng)的,所以形成波節(jié)。這說(shuō)明入射波與反射波在此處的相位正好時(shí)時(shí)相反,即反射波在B點(diǎn)的相位較之入射波躍變了π,相當(dāng)于波在反射時(shí)突然損失(或增加)了半個(gè)波長(zhǎng)的波程。這種現(xiàn)象稱(chēng)為半波損失。若波在自由端反射,則在反射點(diǎn)會(huì)形成波腹,即無(wú)半波損失。

一般情況下,波在兩種介質(zhì)的分界處反射時(shí),反射波是否存在半波損失,與波的種類(lèi)、兩種介質(zhì)的性質(zhì)、入射角等因素有關(guān)。對(duì)機(jī)械波而言,當(dāng)入射波垂直入射時(shí),它由介質(zhì)的密度ρ和波速u(mài)所決定。ρu較大的介質(zhì)稱(chēng)為波密介質(zhì),ρu較小的介質(zhì)稱(chēng)為波疏介質(zhì)。當(dāng)波從波疏介質(zhì)垂直入射到波密介質(zhì),而在分界面處反射時(shí),反射波有相位π的突變,即有半波損失,分界面處形成駐波的波節(jié);反之,當(dāng)波從波密介質(zhì)垂直入射到波疏介質(zhì)時(shí),無(wú)半波損失,分界面處形成駐波的波腹。

【例13.2】如圖13.10所示,兩個(gè)相干波源S1和S2相距L=9m,S2的相位比S1超前π/2,波源S1和S2發(fā)出的兩簡(jiǎn)諧波的波長(zhǎng)λ=4m,問(wèn):在S1和S2連線上的各點(diǎn)(包括S1左側(cè)、S2右側(cè)以及S1和S2之間各點(diǎn)),哪些點(diǎn)兩簡(jiǎn)諧波的振動(dòng)相互加強(qiáng)?哪些點(diǎn)兩簡(jiǎn)諧波的振動(dòng)相互減弱?圖13.10例13.2圖

13.5惠更斯原理和波的衍射

13.5.1惠更斯原理波在各向同性的均勻介質(zhì)中以直線傳播時(shí),有一個(gè)很有趣的現(xiàn)象:當(dāng)波在傳播過(guò)程中遇到障礙物時(shí),會(huì)繞過(guò)障礙物繼續(xù)傳播。圖13.11表示一列平面水波在通過(guò)一狹縫時(shí)繞過(guò)了兩側(cè)的障礙,繼續(xù)向前沿各個(gè)方向傳播。波繞過(guò)障礙物繼續(xù)傳播的現(xiàn)象稱(chēng)為衍射。圖13.11水波的衍射現(xiàn)象

設(shè)在各向同性均勻介質(zhì)中有一個(gè)點(diǎn)波源O,波在此介質(zhì)中的傳播速度為u,如圖13.12(a)所示。已知時(shí)刻t的波面是半徑為R1=ut的球面S1?；莞拐J(rèn)為:S1上的各點(diǎn)都可以看做是發(fā)射子波的點(diǎn)波源,子波的波面是以S1上各點(diǎn)為中心,以r=uΔt為半徑的球面,再作公切于這些子波波面的包絡(luò)面,就得到t+Δt時(shí)刻的新的波面S2。顯然,波面S2是以O(shè)為中心,以R1=u(t+Δt)為半徑的球面,它仍以球面波的形式向前傳播。

如果波面在t時(shí)刻為平面S1,如圖13.12(b)所示。同樣平面S1的各點(diǎn)可以看做是發(fā)射子波的波源,在下一個(gè)時(shí)刻t+Δt,這些子波波面的包絡(luò)面就是新的波面S2,顯然S2仍為平面,只是向前移動(dòng)了一段距離r=uΔt,仍然以平面波的形式向前傳播。圖13.12惠更斯原理

13.5.2用惠更斯原理解釋波的衍射現(xiàn)象

如圖13.13-所示,在水中用一塊擋板把水分為兩個(gè)區(qū)域,擋板上開(kāi)有一個(gè)口子。當(dāng)水波傳播到擋板位置時(shí),根據(jù)惠更斯原理,開(kāi)口處的各點(diǎn)可以作為新的子波源,由這些子波源發(fā)出球面子波,繼續(xù)向前面各個(gè)方向傳播。這些子波的包跡即為下一個(gè)時(shí)刻新波面。顯然,新波面的形狀以及波的傳播方向都發(fā)生了很大的變化,這就是衍射現(xiàn)象。圖13.13-用惠更斯原理解釋波的衍射

惠更斯原理適用于任何形式的波動(dòng),無(wú)論是機(jī)械波還是電磁波,無(wú)論波是在均勻介質(zhì)或非均勻介質(zhì)中傳播,只要知道某一時(shí)刻的波前,就可以根據(jù)這一原理用幾何作圖法確定下一時(shí)刻的波前。

與干涉一樣,衍射現(xiàn)象也是波動(dòng)的一個(gè)重要特征。但是,衍射現(xiàn)象顯著與否與障礙物的大小有關(guān),當(dāng)波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于障礙物的線度時(shí),衍射現(xiàn)象很不明顯,僅當(dāng)障礙物的線度與波長(zhǎng)差不多時(shí),才會(huì)出現(xiàn)明顯的衍射現(xiàn)象。

13.6多普勒效應(yīng)

迄今為止,我們所討論的都是波源與觀察者相對(duì)于介質(zhì)靜止的情況,所以觀察者接收到的頻率與波源發(fā)出的頻率是相同的。如果波源、觀察者或兩者都相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng),那么觀察者接收到的頻率與波源發(fā)出的頻率就不相同了,這種現(xiàn)象叫做多普勒效應(yīng)。在日常生活中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)高速行駛的火車(chē)?guó)Q笛而來(lái)時(shí),人們聽(tīng)到的汽笛音調(diào)變高,即頻率變大;反之,當(dāng)火車(chē)?guó)Q笛離去時(shí),人們聽(tīng)到的音調(diào)變低,即頻率變小。這就是聲波的多普勒效應(yīng)。

首先要把波源的頻率、觀察者接收到的頻率和波的頻率分清楚:波源的頻率ν是波源在單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù),或在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)出完整波的數(shù)目;觀察者接收到的頻率ν'是觀察者在單位時(shí)間內(nèi)接收到的振動(dòng)次數(shù)或完整波數(shù);波的頻率νb則是介質(zhì)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù),或單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)介質(zhì)中某點(diǎn)的完整波數(shù),并且νb=u/λb,其中u為介質(zhì)中的波速,λb為介質(zhì)中的波長(zhǎng)。這三個(gè)頻率可能互不相同,下面分幾種情況進(jìn)行討論。為簡(jiǎn)單起見(jiàn),只討論波源和觀察者沿著它們的連線相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的情況。

(1)波源不動(dòng),觀察者相對(duì)于介質(zhì)以速度v0運(yùn)動(dòng)。若觀察者在P點(diǎn)向著波源(S點(diǎn))運(yùn)動(dòng)。如圖13.14所示,先假定觀察者不動(dòng),波以速度u向著P'傳播,dt時(shí)間內(nèi)波傳播距離為udt,觀察者接收到的完整波數(shù)即為分布在距離udt中的波數(shù)?，F(xiàn)在觀察者是以v0迎著波的傳播方向運(yùn)動(dòng)的,dt時(shí)間內(nèi)移動(dòng)的距離是v0dt,因而分布在距離v0dt中的波也應(yīng)被觀察者接收到?？傮w來(lái)看,在(v0+u)dt距離內(nèi)的波都被觀察者接收到了,所以觀察者接收到的頻率為

式中,λb為介質(zhì)中的波長(zhǎng),且λb=u/νb

。由于波源是在介質(zhì)中靜止的,所以波的頻率νb

等于波源的頻率ν。這樣,上式可寫(xiě)為

這表明當(dāng)觀察者向著靜止波源運(yùn)動(dòng)時(shí),觀察者接收到的頻率為波源頻率的(1+v0/u)倍,即ν'高于ν。

當(dāng)觀察者原理波源運(yùn)動(dòng)時(shí),通過(guò)類(lèi)似的分析,不難求得觀察者接收到的頻率為

即此時(shí)接收到的頻率低于波源的頻率。

(2)觀察者不動(dòng),波源相對(duì)介質(zhì)以速度vs運(yùn)動(dòng)。當(dāng)波源運(yùn)動(dòng)時(shí),介質(zhì)中的波長(zhǎng)將發(fā)生變化。圖13.15是波源在水中向右運(yùn)動(dòng)時(shí)所激起的水面波照片,它顯示出沿著波源運(yùn)動(dòng)的方向,波長(zhǎng)變短了,而背離運(yùn)動(dòng)的方向,波長(zhǎng)變長(zhǎng)了。眾所周知,波長(zhǎng)是介質(zhì)中相位差為2π的兩個(gè)振動(dòng)狀態(tài)之間的距離,而由于波源是運(yùn)動(dòng)的,因此它所發(fā)出的這兩個(gè)相位差為2π的振動(dòng)狀態(tài)就是在不同的地點(diǎn)發(fā)出的。圖13.15波源運(yùn)動(dòng)時(shí)的多普勒效應(yīng)

如圖13.16所示,假設(shè)波源以速度vs向著觀察者運(yùn)動(dòng),則當(dāng)波源從S1發(fā)出的某振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過(guò)一個(gè)周期T的時(shí)間傳到位置A時(shí),波源已經(jīng)運(yùn)動(dòng)到了S2(S1S2=vsT),此時(shí)才發(fā)出與該振動(dòng)狀態(tài)相位差為2π的下一個(gè)振動(dòng)狀態(tài),可見(jiàn)S2與A之間的距離即為此情況下介質(zhì)中的波長(zhǎng)λb。若波源靜止時(shí)的波長(zhǎng)為λ(=uT),則從圖13.16可見(jiàn),此時(shí)介質(zhì)中的波長(zhǎng)為

或者說(shuō),現(xiàn)在波的頻率為

由于觀察者靜止,所以他接收到的頻率就是波的頻率,即v'=vb,因此,觀察者接收到的頻率為

這表明,當(dāng)波源向著靜止的觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí),觀察者接收到的頻率高于波源的頻率。

如果波源遠(yuǎn)離觀察者運(yùn)動(dòng),通過(guò)類(lèi)似的分析,可求得觀察者接收到的頻率為

此時(shí)接收到的頻率低于波源的頻率。圖13.16波源運(yùn)動(dòng)的前方波長(zhǎng)變短

(3)波源與觀察者同時(shí)相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)。

綜合以上兩種情況,可得當(dāng)波源與觀察者同時(shí)相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí),觀察者所接收到的頻率為

式中,觀察者向著波源運(yùn)動(dòng)時(shí)v0前取正號(hào),遠(yuǎn)離時(shí)取負(fù)號(hào);波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí),vs前取負(fù)號(hào),遠(yuǎn)離時(shí)取正號(hào)。

綜上可知,不論是波源運(yùn)動(dòng),還是觀察者運(yùn)動(dòng),或者兩者同時(shí)運(yùn)動(dòng),定性地說(shuō),只要兩者互相接近,接收到的頻率就高于原來(lái)波源的頻率,兩者互相遠(yuǎn)離,接收到的頻率就低于原來(lái)波源的頻率。

需要指出的是,即使波源與觀察者并非沿著它們的連線運(yùn)動(dòng),以上所得各式仍然適用,只是其中vs和v0為運(yùn)動(dòng)速度沿連線方向的分量,而垂直于連線方向的分量是不產(chǎn)生多普勒效應(yīng)的。

【例13.3】利用多普勒效應(yīng)監(jiān)測(cè)車(chē)速,固定波源發(fā)出頻率為ν=100kHz的超聲波,當(dāng)汽車(chē)向波源行駛時(shí),與波源安裝在一起的接收器接收到從汽車(chē)反射回來(lái)的波的頻率為110kHz。已知空氣中的聲速為330m/s,求汽車(chē)的行駛速度。

第一步:波向著汽車(chē)傳播并被汽車(chē)接收,此時(shí)波源是靜止的。汽車(chē)作為觀察者迎著波源運(yùn)動(dòng)。設(shè)汽車(chē)的行駛速度為v0,則接收到的頻率為

第二步:波從汽車(chē)表面反射回來(lái),此時(shí)汽車(chē)作為波源向著接收器運(yùn)動(dòng),汽車(chē)發(fā)出的波的頻率即是它接收到的頻率ν',而接收器此時(shí)是觀察者,它接收到的頻率為

由此解得汽車(chē)行駛的速度為

【例13.4】利用多普勒效應(yīng)測(cè)飛行的高度。飛機(jī)在上空以速度vs=200m·s-1沿水平直線飛行,發(fā)出頻率為ν0=2000Hz的聲波。當(dāng)飛機(jī)越過(guò)靜止于地面的觀察者上空時(shí),觀察者在4s內(nèi)測(cè)出的頻率由ν1=2400Hz降為ν2=1600Hz。已知聲波在空氣中的速度為u=330m·s-1。試求飛機(jī)的飛行高度h。

【解】如圖13.17所示,飛機(jī)在4s內(nèi)經(jīng)過(guò)的距離AB為圖13.17例13.4圖

聲源沿AC、BC方向的速度分別為

由式(13-24)和式(13-25)可得

由式(2)、式(3)分別求出

代入式(1)得

13.7平面電磁波

13.7.1電磁波的產(chǎn)生與傳播欲產(chǎn)生電磁波,敞開(kāi)的LC振蕩電路是適當(dāng)?shù)牟ㄔ粗?。理論上已?jīng)證明,電磁波在單位時(shí)間內(nèi)輻射的能量與頻率的四次方成正比,即振蕩電路的固有頻率越高,越能有效地把能量輻射出去。但在第10.6節(jié)的封閉LC振蕩電路中,因L和C都比較大,即其固有頻率很低,故不適于作輻射電磁波的波源。

我們可以把電容器極板面積縮小,并把兩極板間的距離拉大,同時(shí)減少線圈的匝數(shù)并逐漸拉直,最后簡(jiǎn)化成一根直導(dǎo)線,如圖13.18所示。這樣敞開(kāi)的LC振蕩電路可以使電場(chǎng)和磁場(chǎng)分散到周?chē)目臻g。同時(shí),由于L和C的減小,也提高了電路的振蕩頻率,所以只要在直線型電路上引起電磁振蕩,直線型電路的兩端就會(huì)出現(xiàn)交替的等量異號(hào)電荷,這種改造后的LC振蕩電路叫做振蕩電偶極子。振蕩電偶極子可以作為發(fā)射電磁波的天線,其發(fā)射電路如圖13.19所示。圖13.18提高振蕩電路的固有頻率并開(kāi)放電磁場(chǎng)的方法圖13.19發(fā)射無(wú)線電短波的電路示意圖

下面我們以上述振蕩電偶極子為例說(shuō)明電磁波的產(chǎn)生與傳播。設(shè)振蕩電偶極子的電偶極矩p可表示為

式中,p0是電距的振幅,ω是角頻率。

由于振蕩電偶極子的正負(fù)電荷間距不斷地交替變化,因而電場(chǎng)和磁場(chǎng)也隨著時(shí)間不斷變化。如果我們把振蕩電偶極子的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為正、負(fù)電荷相對(duì)于它們的公共中心作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),則其電場(chǎng)線的變化如圖13.20所示。設(shè)t=0時(shí),正、負(fù)電荷都在圖13.20(a)的原點(diǎn)處。然后正、負(fù)電荷分別向上、下移動(dòng)至某一距離時(shí),兩電荷間的某一條電場(chǎng)線形狀如圖13.20(b)所示。接著,兩電荷逐漸向中心靠近,電場(chǎng)線的形狀也跟隨者變化,如圖13.20(c)所示。

之后它們又回到中心處重合(完成前半個(gè)周期的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)),其電場(chǎng)線便成閉合狀,而隨著兩電荷互易位置,新的電場(chǎng)線出現(xiàn)了,如圖13.20(d)所示。顯然,在后半個(gè)周期中,形成了一條與上述回轉(zhuǎn)方向相反的閉合電場(chǎng)線,如圖13.20(e)所示。由閉合電場(chǎng)線的形成表明,振蕩電偶極子所激發(fā)的電場(chǎng)是渦旋電場(chǎng)。

圖13.20不同時(shí)刻振蕩電偶極子附近的電場(chǎng)線

以上只分析了振蕩電偶極子附近電場(chǎng)線的形成過(guò)程,而磁場(chǎng)線則是與圖相垂直的閉合曲線。圖13.21畫(huà)出了某時(shí)刻振蕩電偶極子周?chē)姶艌?chǎng)的大致分布情況。圖中曲線代表電場(chǎng)線,×和·分別表示穿入紙面和由紙面穿出的磁場(chǎng)線。這些磁場(chǎng)線是環(huán)繞偶極子軸線的同心圓。圖13.21振蕩電偶極子周?chē)碾姶艌?chǎng)

采用如圖13.22所示的極坐標(biāo)系,振蕩電偶極子位于原點(diǎn)O,其電距p0的方向沿圖中極軸的方向。在半徑為r的球面上取任意點(diǎn)Q,其徑矢r沿波的傳播方向與極軸方向成θ角。計(jì)算結(jié)果表明:點(diǎn)Q處的電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁場(chǎng)強(qiáng)度H和矢徑r三個(gè)矢量互相垂直,并形成右手螺旋系,E和H的值分別為圖13.22遠(yuǎn)離振蕩電偶極子處的E和H的方向

式中,u為電磁波的傳播速度,它與介質(zhì)的電容率ε和磁導(dǎo)率μ的關(guān)系為

式(13-28)和式(13-29)就是距離振蕩電偶極子足夠遠(yuǎn)處的球面電磁波的波函數(shù)。

在離開(kāi)偶極子很遠(yuǎn)的地方,小范圍內(nèi)θ和r的變化很小,E和H的振幅可以看做是常量,于是式(13-28)和式(13-29)可分別寫(xiě)成

這就是平面電磁波的波函數(shù),波沿Ox軸的正向傳播?？梢?jiàn),在離偶極子很遠(yuǎn)的區(qū)域,電磁波已呈現(xiàn)為平面波。圖13.23是平面電磁波的示意圖。

圖13.23-遠(yuǎn)離振蕩電偶極子處E和H的方向

13.7.2平面電磁波的特性

根據(jù)以上論述,可將電磁波的特性歸納如下:

(1)電磁波是橫波。由于電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁場(chǎng)強(qiáng)度H都垂直于波的傳播方向u,所以電磁波是橫波,E、H和u三者互相垂直,構(gòu)成右手螺旋系(見(jiàn)圖13.23)。應(yīng)當(dāng)指出,

E和H只在各自所處的平面內(nèi)振動(dòng)這一特性,稱(chēng)為橫波的偏振性。所以,電磁波具有偏振性。

(2)E和H同相位。這在式(13-28)、式(13-29)、式(13-31)、式(13-32)中已經(jīng)表述清楚,即在任何時(shí)刻、任何地點(diǎn)E和H都是同步變化的。

(3)E和H的數(shù)值成比例。將式(13-28)和式(13-29)相除,即得

(4)真空中電磁波的傳播速度等于真空中的光速。由式(13-30)可見(jiàn),電磁波傳播速度u的大小取決于介質(zhì)的性質(zhì)。對(duì)于真空,εr=1,μr=1,所以電磁波在真空中的速度為

將ε0、μ0的數(shù)值帶入式(13-34),得電磁波在真空中的速度

這個(gè)數(shù)值與光在真空中的速度完全相等。在空氣中,由于εr和μr都近似等于1,所以電磁波在空氣中的速度近似等于真空中的光速。

以上結(jié)論雖然是從振蕩電偶極子得出的,但它具有普遍性,適用于任何作加速運(yùn)動(dòng)的微觀帶點(diǎn)粒子所輻射的電磁波。例如,分子和原子中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子、加速器中被加速的帶電粒子等所發(fā)射的電磁波(或所發(fā)的光)都具有這些性質(zhì)。

13.7.3-電磁波的能量

電場(chǎng)和磁場(chǎng)都具有能量,隨著電磁波的傳播,就有能量的傳播,這種以電磁波形式傳播出去的能量叫做輻射能。顯然,輻射能傳播的速度和方向就是電磁波傳播的速度和方向。

按照13.3節(jié)中引入的能流密度的概念,弱電磁場(chǎng)的能量密度為w,則在介質(zhì)不吸收電磁能量的條件下,單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位截面積的能量(即電磁波的能流密度),用符號(hào)S可為

13.7.4電磁波譜

實(shí)驗(yàn)表明,電磁波的范圍很廣,波長(zhǎng)沒(méi)有上下限的限制,從無(wú)線電波、紅外線、可見(jiàn)光、紫外線到X射線和γ射線等都是電磁波。它們的本質(zhì)完全相同,只是波長(zhǎng)(或頻率)有很大差異。由于波長(zhǎng)不同,因此它們就有不同的特性,而且產(chǎn)生的方式也各不相同。為了便于比較,人們按照它們的波長(zhǎng)大小依次排列成表,叫做電磁波譜(見(jiàn)圖13.24)。圖13.24電磁波譜

在電磁波譜中,波長(zhǎng)最長(zhǎng)的是無(wú)線電波(有人已在地球表面探測(cè)到頻率ν=10-2Hz的電磁波,其周期約100s,波長(zhǎng)是地球半徑的5000倍)。無(wú)線電波又因波長(zhǎng)的不同(從幾千米到幾毫米)而分為長(zhǎng)波、中波、短波、超短波和微波等。長(zhǎng)波在介質(zhì)中傳播時(shí)損耗很小,故常用于遠(yuǎn)距離通信和導(dǎo)航;中波多用于航海和航空定向及無(wú)線電廣播;短波多用于無(wú)線電廣播、電報(bào)、通信等;超短波、微波多用于電視、雷達(dá)、無(wú)線電導(dǎo)航以及其他專(zhuān)門(mén)用途。

紅外線的波長(zhǎng)在600μm到0.76μm之間,由于它處于可見(jiàn)紅光的外側(cè),故叫紅外線,它可用于紅外雷達(dá)、紅外照相和夜視儀上。因?yàn)榧t外線有顯著的熱效應(yīng)(亦叫熱波),故可用來(lái)取暖,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)上常用作紅外烘干等。波長(zhǎng)在760nm到400nm之間的波可為人眼感知,叫可見(jiàn)光(一般簡(jiǎn)稱(chēng)為光波)。波長(zhǎng)在400nm到5nm之間的叫紫外線,它能引起化學(xué)反應(yīng)和熒光效應(yīng)。醫(yī)學(xué)上常用紫外線殺菌,農(nóng)業(yè)上可用紫外線誘殺害蟲(chóng)。紅外線、可見(jiàn)光和紫外線這三部分電磁波合稱(chēng)為光輻射。

X射線(亦稱(chēng)倫琴射線)的波長(zhǎng)在5nm到0.04nm之間,它的能量很大,具有很強(qiáng)的穿透能力,是醫(yī)療透視、檢查金屬部件內(nèi)部損傷和分析物質(zhì)晶體結(jié)構(gòu)的有力工具。

波長(zhǎng)最短的是γ射線,波長(zhǎng)在0.04nm以下。γ射線的能量比X射線還大,穿透能力也比X射線強(qiáng),可用來(lái)進(jìn)行放射性實(shí)驗(yàn),產(chǎn)生高能粒子,還可借助它研究天體、認(rèn)識(shí)宇宙。

需要指出的是,電磁波譜中上述各波段主要是按照產(chǎn)生方式或探測(cè)方法的不同來(lái)劃分的,隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,不同方式生產(chǎn)的波會(huì)有一些共同的波段,從而出現(xiàn)不同波段相重疊的情形。

本章小結(jié)

1.基本概念和公式

橫波:質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直的波?？v波:質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向平行的波。波線:代表波傳播方向的直線。波面:相同振動(dòng)相位的點(diǎn)所組成的平面。波前:在波的傳播方向上最前面的波面。平面波:波面為平面的波

球面波:波面為球面的波。

簡(jiǎn)諧波:波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的波。

非簡(jiǎn)諧波:波源不作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的波。

波長(zhǎng):在同一波線上兩個(gè)相鄰的、相位差為2π的振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)之間的距離。

波的周期:波前進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)的距離所需要的時(shí)間。

波速:單位時(shí)間內(nèi)某一振動(dòng)狀態(tài)傳播的距離。

平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù):

波函數(shù)的物理意義:在波的傳播過(guò)程中,介質(zhì)中任意質(zhì)點(diǎn)x在任意時(shí)刻t偏離平衡位置的位移。

波的疊加:當(dāng)幾列波在介質(zhì)中某點(diǎn)相遇時(shí),相遇處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)將是各列波所引起的分振動(dòng)的合成。

干涉:在兩列波相遇的區(qū)域,有一些點(diǎn)其合成振動(dòng)始終加強(qiáng),有一些點(diǎn)其合成振動(dòng)始終減弱的現(xiàn)象。

駐波:兩列振幅相同的相干波相向傳播時(shí)