中考數(shù)學三輪沖刺培優(yōu)訓練專題06二次函數(shù)（解析版）

專題06二次函數(shù)最新模擬40道押題預(yù)測（圖象性質(zhì)、平移、對稱軸與最值、與方程不等式）類型一、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．（2023·湖南永州·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)y=x(1)把這個二次函數(shù)化成y=ax??(2)寫出二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標；(3)求二次函數(shù)與x軸的交點坐標．【答案】(1)y=(2)對稱軸：直線x=2，頂點為(2,?9)(3)與x軸交點為(?1,0)，(5,0)【分析】（1）根據(jù)配方法化為頂點式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論即可求解；（3）令y=0，解方程即可求解．【詳解】（1）解：y=x2?4x?5（2）解：∵y=x?2∴對稱軸為直線x=2，頂點為(2,?9)（3）解：由y=x令y=0，即x即x?5解得：x1∴二次函數(shù)圖象與x軸交點為(?1,0)，(5,0)【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，化為頂點式，求對稱軸，頂點坐標，求二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）已知y關(guān)于x的函數(shù)y=t+2(1)求t的值并寫出函數(shù)解析式；(2)用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為y=ax+m【答案】(1)2，y=4(2)y=4(x?12)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)定義直接列式求解即可得到答案；（2）將（1）中解析式配方結(jié)合函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；【詳解】（1）解：∵函數(shù)y=t+2∴t2∴t=2，∴函數(shù)解析式為：y=4x（2）解：由（1）得，y=4x∵a=4>0，∴開口向上，頂點12,?4，對稱軸：【點睛】本題考查二次函數(shù)定義及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)定義列式求出t值及熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)．3．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=?3x(1)用配方法把二次函數(shù)y=?3x2+6x+9(2)如果將該函數(shù)圖像向右平移2個單位，所得的新函數(shù)的圖像與x軸交于點A、B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D，求四邊形DACB的面積．【答案】(1)y=?3x?12+12，開口方向向下，對稱軸為直線(2)54【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象平移規(guī)律“上加下減”求得新拋物線的解析式，求出A、【詳解】（1）解：y=?3∴該二次函數(shù)的頂點式為y=?3x2+6x+9=?3x?12（2）解：平移后的新拋物線的解析式為y=?3x?32+12當y=0時，由?3x?32+12=0即點A1,0、B5,0當x=0時，由y即點C0,?15∴四邊形DACB的面積=【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移、坐標與圖形、二次函數(shù)與坐標軸的交點問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．4．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=?1(1)請直接寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標，并求出拋物線與x軸的兩個交點A，B（點A在點B的左邊）的坐標；(2)在所給的平面直角坐標系中，畫出這個二次函數(shù)的直接畫出圖象即可）；(3)當?2≤x≤2時，求出函數(shù)y的取值范圍；(4)把線段AB先向上平移3個單位，再向右平移1個部位，得到線段A'B'．當拋物線y=?12【答案】(1)該拋物線的對稱軸為直線x=1，頂點坐標為1,2；A?1,0，(2)見解析(3)?(4)t=1或4?【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解；（2）由（1）頂點坐標，點A，B的坐標畫出圖象，即可求解；（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解；（4）根據(jù)題意分三種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：該拋物線的對稱軸為直線x=1，頂點坐標為1,2．由y=?12x?12+2=0∴拋物線與x軸的兩個交點的坐標為A?1,0，B（2）解：圖象如圖所示；（3）解：當x=?2時，y=?1當x=2時，y=?1∵拋物線頂點為1,2，∴該函數(shù)的最大值為2，結(jié)合圖象，可知：當?2≤x≤2時，函數(shù)y的取值范圍為?5（4）解：根據(jù)題意得：點A'當拋物線y=?12x?1?tt+2=3，解得：t=1，如圖，此時當x=0時，y≥3，當x=4時，y<3，∴?1如圖，此時，當x=0時，y<3，當x=4時，y≥3，∴?1解得：4?5綜上所述，t的取值范圍為t=1或4?5【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．5．（2023·北京海淀·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax??2?4a的頂點為點A(1)若a=2，①點A到x軸的距離為_____________________；②已知點M?1,?6，N3,?6，若拋物線與線段MN有且只有一個公共點，求(2)已知點A到x軸的距離為4，此拋物線與直線y=2x+1的兩個交點分別為Bx1,y1，Cx2,y2，其中x1<x【答案】(1)①8；②?2≤?≤0或2≤?≤4；；(2)a=?1，32【分析】（1）①將a=2代入解析式求出頂點坐標即可得到答案；②令y=?6解出方程的解，根據(jù)只有一個交點列方程即可得到答案；（2）根據(jù)點A到x軸的距離為4求出a，結(jié)合當x1<xD<x2【詳解】（1）解：①將a=2代入解析式可得，y=2(x??)∴A(?,?8)，∴點A到x軸的距離為：8，故答案為：8；②當y=?6時，2(x??)解得：x1=?+1，∵拋物線與線段MN有且只有一個公共點，?+1?(??1)=2<3?(?1)，∴??1≤?1≤?+1或??1≤3≤?+1，解得：?2≤?≤0或2≤?≤4；（2）解：∵點A到x軸的距離為4，∴?4a=4解得a=1或，a=?1，當a=?1時，y=?(x??)2+4此時拋物線開口向下，在x≤?時y隨x增大而增大，∴點C在A點或其左側(cè)即可符合當x1<xD<將x=?代入y=2x+1得，y=2?+1，∴2?+1≥4，解得：?≥3∵0<?<3，∴32當a=1時，y=(x??)2?4此時拋物線開口向上，在x≥?時y隨x增大而增大，∴點B在A點或其右側(cè)即可符合當x1<xD<將x=?代入y=2x+1得，y=2?+1，∴2?+1≤?4，解得：?≤?5∵0<?<3，∴不存在此類情況；綜上所述：a=?1，32【點睛】本題考查二次函數(shù)性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是分類討論開口問題．6．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知某二次函數(shù)的圖象的頂點為?2,2，且過點?1,3．（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式．（2）判斷點P1,9【答案】（1）y=x+22+2【分析】（1）由題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式是y=ax+22+2，再把點?1,3（2）把點P的坐標分別代入，看看兩邊是否相等即可．【詳解】解：（1）由頂點?2,2，可設(shè)關(guān)系式為：y=ax+2將點?1,3代入上式可得：?1+22解得：a=1，∴此二次函數(shù)的關(guān)系式為y=x+2（2）點P1,9∵當x=1時，y=1+2∴點P1,9【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征的應(yīng)用，能正確求出函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．7．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┮阎P(guān)于x的二次函數(shù)y=x(1)當a=1時，求已知二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的頂點和對稱軸；(2)當a=2時，直線y=2x與該拋物線相交，求拋物線在這條直線上所截線段的長度；(3)若拋物線y=x2?2ax+a2+2a與直線x=4交于點【答案】(1)頂點為：(1，2)，對稱軸：(2)2(3)7【分析】（1）把a=1代入y=x2?2ax+（2）把a=2代入y=x2?2ax+a2（3）聯(lián)立x=4y=x2?2ax+a2+2a，得到y(tǒng)【詳解】（1）解：把a=1代入y=xy=此時拋物線的頂點為：(1，2)，對稱軸：（2）當a=2時，y=聯(lián)立y=2x∴∴∴(x?2)(x?4)=0∴∴∴（3）聯(lián)立x=4∴y=16?8a+當點A到x軸的最小值時，即y的值最小∵∴當y=7時，點A到【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及解一元二次方程、配方法等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．8．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A，B1,0，與y軸交于點C(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；(2)當k≤x<0，且k<?1時，y的最大值和最小值分別為m，n，且m+n=?1，求k的值．【答案】(1)y=?x2(2)?4【分析】（1）令x=0，得y=3，可得C0,3，再由OA=OC，可得A（2）函數(shù)的最大值為m=4，由m+n=?1可得n=?5，當y=?5時，解方程?x【詳解】（1）解：在y=ax2+bx+3中，令x=0∴C0,3∴OC=3，∵OA=OC，∴A?3,0把A?3,0,B1,0得9a?3b+3=0a+b+3=0，解得：a=?1∴拋物線的解析式為y=?x∵y=?x∴頂點坐標為?1,4；（2）∵y=?x∴當x=?1時，函數(shù)有最大值：4；∵當k≤x<0，且k<?1時，y的最大值和最小值分別為m，n，∴m=4，∵m+n=?1，∴n=?1?m=?1?4=?5，當y=?5時，?x解得：x1∵k≤x<0，∴k=?4．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．9．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y=ax2(1)求拋物線C1(2)設(shè)拋物線C1關(guān)于坐標原點對稱的拋物線為C2，點A，B的對應(yīng)點分別為A',B'．拋物線C2的頂點為E，則在x軸下方的拋物線C2上是否存在點F【答案】(1)y=(2)存在，(?1+10,?3)【分析】（1）把A(?1,0)，B(3,0)代入解析式，解方程組即可；（2）先根據(jù)拋物線C1關(guān)于坐標原點對稱的拋物線為C2，得出A'，B【詳解】（1）把A(?1,0),B(3,0)代入y=ax得a+1+c=09a?3+c=0解得a=∴拋物線C1的解析式的解析式為y=1（2）存在，∵拋物線C1關(guān)于坐標原點對稱的拋物線為C∴A'∴B∵拋物線為C2的解析式為∴E(?1,2),∴△B'∵△ABF的面積等于△B∴s∴|∵點F在x軸下方，∴y把y=?3代入解得x=?1±∴F的坐標為(?1+10,?3)或【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是根據(jù)圖象的幾何變換求出拋物線C210．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，拋物線G:y=ax2+bx+1a>0經(jīng)過點(1)求a與b的數(shù)量關(guān)系；(2)設(shè)拋物線G的對稱軸為直線l，過A作AM⊥l，垂足為M，且MB=2AM．①當m?1≤x≤m+1時，求拋物線G的最高點的縱坐標（用含m的式子表示）；②平移拋物線G，當它與直線AB最多只有一個交點時，求平移的最短距離．【答案】(1)b=?2a(2)①當m<1時，拋物線在x=m?1時取得最大值2m2?8m+7；當m≥1時，拋物線在x=m+1時取得最大值2【分析】（1）將點A2,1代入拋物線G:y=a（2）①由（1）得y=ax2+bx+1=ax2?2ax+1，通過求解其對稱軸和頂點坐標求出其解析式為②先求出直線AB的解析式為y=2x?3，拋物線平移，直線不動，相當于拋物線不動，直線平移，再求直線AB平移后的解析式為y=2x+n，當平移后的拋物線與直線AB最多只有一個交點時，拋物線平移的距離達到最小時，意味著平移后的直線AB與拋物線有且僅有一個交點，聯(lián)立y=2x2?4x+1y=2x+n，可得2x2?6x+1?n=0，進而求出n=?72，則拋物線平移的距離就是y=2x?3與y=2x?72兩條直線間的距離，過點M作MN垂直于直線y=2x?72于N【詳解】（1）∵拋物線G:y=ax2+bx+1∴1=4a+2b+1，∴b=?2a；（2）①由（1）得y=ax∴其對稱軸為直線x=??2a2a=1∵過A作AM⊥l，垂足為M，且MB=2AM，∴1?1?a∴a=2，∴y=2x當m?1?1>即m<1時，拋物線在x=m?1時取得最大值2m當m?1?1≤即m≥1時，拋物線在x=m+1時取得最大值2m綜上，當m<1時，拋物線在x=m?1時取得最大值2m2?8m+7；當m≥1時，拋物線在x=m+1②∵點A2,1∴設(shè)直線AB的解析式為y=kx+bk≠0∴1=2k+b?1=k+b，解得k=2∴直線AB的解析式為y=2x?3，拋物線平移，直線不動，相當于拋物線不動，直線平移，設(shè)直線AB平移后的解析式為y=2x+n，當平移后的拋物線與直線AB最多只有一個交點時，拋物線平移的距離達到最小時，意味著平移后的直線AB與拋物線有且僅有一個交點，聯(lián)立y=2x2?4x+1此時，Δ=解得n=?7則拋物線平移的距離就是y=2x?3與y=2x?7∴M點為y=2x?3與y軸的交點，M0,?3過點M作MN垂直于直線y=2x?72于N，A，B分別為y=2x?72與∴A7則△OAB～△NMB，∴OAMN=AB解得MN=5即y=2x?3與y=2x?72兩條直線間的距離為所以平移最短的距離為510【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)求最值，相似三角形的判定和性質(zhì)，直線的平移等，準確理解題意熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．類型二、二次函數(shù)的平移問題11．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A0,?3，B(?2,5)兩點，與(1)求拋物線的解析式．(2)將拋物線向右平移，使得點C移至點D處，求拋物線平移的距離．【答案】(1)y(2)4【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，將點A0,?3，B(?2,5)（2）令y=0，則x2?2x?3=0，解得x1【詳解】（1）解：將點A0,?3，B(?2,5)得?3=c5=4?2b+c，解得b=?2∴拋物線的解析式為y=（2）解：令y=0，則x2?2x?3=0，解得∴C?1,0∴CD=3??1【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、函數(shù)圖像平移等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．12．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考一模）將拋物線C1向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度得到拋物線C(1)直接寫出拋物線C1(2)如圖，已知拋物線C1與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左側(cè)，點P2,t在拋物線C1上，QB⊥PB交拋物線于點Q【答案】(1)y=(2)Q【分析】（1）拋物線C2:y=x（2）證明∠BCM=∠PBN，則tan∠PBN=13=tan∠MQB，設(shè)BM=m，則QM=3m，則點【詳解】（1）解：拋物線C2:y=故拋物線C1的解析式為：y=（2）解：過點B作y軸的平行線MN，過點Q作QM⊥MN于點M，過點P作PN⊥MN于點N，∵∠PBN+∠BPN=90°，∠PBN+∠QBM=90°，∴∠BQM=∠PBN，把P2,t代入y=(x?1)2∴點P的坐標為：(2,?3)，則NB=3，PN=1，則tan∠PBN=設(shè)BM=m，則QM=3m，則點Q(3?3m,m)，將點Q的坐標代入C1的解析式得解得：m1=0（不合題意，舍去），∴點Q?【點睛】本題考查的是二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標是?12,(1)求二次函數(shù)的表達式，并畫出圖象；(2)二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=3x?3的圖象相交嗎？若相交，求出它們的交點坐標：(3)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后過原點，可以怎樣平移？【答案】(1)y=?x+12(2)相交，交點坐標為?5，?18和1，0(3)可將二次函數(shù)y=?x【分析】（1）利用頂點式設(shè)所求的二次函數(shù)表達式，再代入求解即可得到函數(shù)表達式；利用描點法畫出圖象即可；（2）兩個函數(shù)聯(lián)立方程組，判斷方程的解的情況即可得出結(jié)論；（3）利用二次函數(shù)與x軸的交點坐標和平移性質(zhì)即可得到平移方案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)二次函數(shù)的表達式為y=ax+將1,0代入，得0=a1+12∴此二次函數(shù)的表達式為y=?x+12當x=0時，y=2，則拋物線與y軸交于0,2，又拋物線的對稱軸為直線x=?1∴拋物線還經(jīng)過點?1,2；當y=0時，由?x2?x+2=0得x1=?2，x2=1畫出該二次函數(shù)圖象如圖：（2）解：由?x2?x+2=3x?3∵Δ=∴方程x2∴二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=3x?3的圖象相交；解方程x2+4x?5=0得：當x=?5時，y=?18；當x=1時，y=0，所以交點坐標為?5，?18和1，0；（3）解：∵拋物線與x軸交于?2,0和1,0，∴可將二次函數(shù)y=?x【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式、用描點法畫二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、根的判別式、二次函數(shù)圖象的平移等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用時解答的關(guān)鍵．14．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，拋物線L：y=ax2+x+ca≠0與x軸交于A?2，0，B兩點，與y(1)求拋物線L的表達式．(2)將拋物線L向右平移，平移后所得的拋物線L'與x軸交于點A'，B'，交y軸于點C'，頂點為D'【答案】(1)y=?(2)y=?14【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出原拋物線頂點D的坐標，再求出B6，0，得到AB=8，設(shè)拋物線L向右平移m個單位長度得到拋物線L'，則A'?2+m，0，B'6+m，0，【詳解】（1）解：把A?2，0，C∴a=?1∴拋物線解析式為y=?1（2）解：∵原拋物線解析式為y=?1∴D2，4∴B6∴AB=8；設(shè)拋物線L向右平移m個單位長度得到拋物線L'∴A'?2+m，0，B'∴A'在y=?14x?2?m2+4∴C'∵S△∴12∴12∴?1∴?14m∴m2+4m?5=0或解得m=1或m=?5（舍去）或m=?2+23或m=?2?綜上所述，m=1或m=?2+23∴拋物線L'的表達式為y=?14【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟知二次函數(shù)圖象平移的特點是解題的關(guān)鍵．15．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？既＃┮阎獟佄锞€L：y=12x2+bx+c經(jīng)過點?2,3和6,7，與x軸的交點為A、B，且點A在點B(1)求拋物線L的函數(shù)表達式：(2)將拋物線L平移，得到拋物線L'，且點A經(jīng)過平移后得到的對應(yīng)點為A'．要使△A'BC【答案】(1)y=(2)y=12【分析】（1）把點?2,3和6,7代入y=12x2+bx+c（2）根據(jù)題意，畫出圖形，再進行分類討論：①當點A'在BC上方時，②當點A'在BC下方時，分別求出【詳解】（1）解：把點?2,3和6,7代入y=13=2?2b+c7=18+6b+c，解得b=?∴拋物線L的函數(shù)表達式為：y=1（2）解：把y=0代入y=12x解得：x1=?1，∵點A在點B的左側(cè)，∴A?1,0把x=0代入得y=?2，∴C0,?2①當點A'在BC過點A'作x軸的平行線交y軸于點P，過點B作y軸的平行線，交AP'∵PQ∥x軸，BQ∥∴四邊形POBQ為矩形，∵∠PCA∴∠PCA∵△A'BC∴A'在△CPA'和∠PCA∴△CPA設(shè)點A'∴A'∴m=n，∵CP=A'Q=2+n∴m=nm+2+n=4，解得：m=1∴A'∴拋物線L向上平移1個單位長度，向右平移2個單位長度得到L'∵拋物線L的函數(shù)表達式為：y=1∴拋物線L'的函數(shù)表達式為：y=②當點A'在BC同理可得：設(shè)點A'∴A'∴m=?n，∵CP=A'Q=?2?n∴m=?nm?2?n=4，解得：m=3∴A'∴拋物線L向下平移3個單位長度，向右平移4個單位長度得到L'∴拋物線L'的函數(shù)表達式為：y=綜上：拋物線L'的函數(shù)表達式y(tǒng)=12【點睛】本題主要主要考查了二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式的方法和步驟，二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”．16．（2023·河北衡水·?？级＃┤鐖D，拋物線C1:y=x2+2x+c與拋物線C2:y=x2?4x+d相交于點T，點T的橫坐標為1．過點T作x軸的平行線交拋物線C1于點A，交拋物線C2于點(1)求拋物線C1的對稱軸和點A的橫坐標，并求線段AB(2)點P?2,p在拋物線C1上，點Q5,q在拋物線C2上，則pq（填“>”“(3)若點C0,?1，求將拋物線C1平移到拋物線【答案】(1)C1的對稱軸為x=?1，點A(2)<(3)最短距離為3【分析】（1）根據(jù)x=?b2a，可求得對稱軸為x=?1，再由點A與點T關(guān)于直線x=?1對稱，即可求得點A的橫坐標，根據(jù)函數(shù)的對稱性可求解（2）先根據(jù)對稱性可求出A點的橫坐標和B點的橫坐標，可知p<q；（3）根據(jù)點C坐標求出拋物線C1的解析式，再根據(jù)交點求出C【詳解】（1）解：拋物線C1的對稱軸為x=?∵T的橫坐標為1，點A與點T關(guān)于直線x=?1對稱，∴1+解得：xA∴點A的橫坐標為?3，∵拋物線C2的對稱軸為x=?b2a=2，∴線段AB=AT+BT=22?（2）∵點A與點T關(guān)于直線x=?1對稱，點T的橫坐標為1，根據(jù)中點坐標公式得1+x解得：xA∴A的橫坐標為?3，∵點B與點T關(guān)于直線x=2對稱，點T的橫坐標為1，根據(jù)中點坐標公式得1+x解得：xB∴B的橫坐標為3，∴點P?2,p在拋物線C1上，在直線AB的下方，點Q5,q在拋物線C∴p<q．（3）將C0,?1代入y=x2∴y=x∵T的橫坐標為1，∴y=∴點T的坐標為1,2．將1,2代入y=x2?4x+d拋物線C1：y=x2拋物線C2：y=x2∴將拋物線C1平移到拋物線C2【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖像的對稱性和圖像上點的坐標特征以及二次函數(shù)圖像的頂點坐標．17．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┌褣佄锞€C1：y=x2(1)動點P(a,?6)能否在拋物線C2(2)若點A(m,y1)，B(n,y2)都在拋物線C2【答案】(1)不在，理由見解析(2)y1【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可判斷．【詳解】（1）∵y=x∴把拋物線C2：y=x2+2x+3先向右平移4個單位長度，再向下平移5個單位長度得到拋物線C2∴拋物線C2的函數(shù)關(guān)系式為：y=動點P(a,?6)不在拋物線C2∵拋物線C2的函數(shù)關(guān)系式為：y=∴函數(shù)的最小值為?3，∵?6<?3，∴動點P(a,?6)不在拋物線C2（2）∵拋物線C2的函數(shù)關(guān)系式為：y=∴對稱軸為x=3，∵二次項系數(shù)為1>0，∴圖象開口向上，∴當x<3時，y隨x的增大而減小，∵點A(m,y1)，B(n,y2∴y1【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答；也考查函數(shù)圖象的平移的規(guī)律．18．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=ax2+bx?3與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B，且經(jīng)過點?2,5(1)求拋物線的解析式．(2)若P是拋物線上位于第四象限上的點，求點P到直線AB距離的最大值．(3)已知M?6,3，N0,3，線段MN以每秒1個單位長度的速度向右平移，同時拋物線以每秒1個單位長度的速度向上平移，t秒后，若拋物線與線段MN有兩個交點，求【答案】(1)y(2)9(3)3≤t≤6【分析】（1）根據(jù)經(jīng)過點?2,5，對稱軸為直線x=1，分別列方程解出即可；（2）連接AB，AP，BP，過點P作PQ⊥x軸交AB于點Q，設(shè)Pm,m2?2m?3，Qm,m?3，表示出△ABP（3）t秒后，M't?6,3，N若拋物線與線段M'N'有兩個交點，則點N【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得?b2a∴拋物線的解析式為y=（2）解：如圖，連接AB，AP，BP，過點P作PQ⊥x軸交AB于點Q．∵拋物線的解析式為y=∴A3,0，B0,?3，∴設(shè)Pm,m2?2m?3，易得直線∴Qm,m?3∴PQ=m?3?m∴S△ABP當m=32時，△ABP的面積最大，最大值為此時點P到AB的距離最大，最大距離為2S（3）解：t秒后，M't?6,3，N若拋物線與線段M'N'有兩個交點，則點N當點N'恰好在拋物線上時，則3=∴t2?t?6=0，∴t1當點M'恰好在拋物線上時，則3=t?62∴3≤t≤6．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，相關(guān)知識點有：待定系數(shù)法求函數(shù)表達式、求最大距離、圖像的平移等，熟悉二次函數(shù)的知識點是解題關(guān)鍵．19．（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A1,0和B5,0(1)求此拋物線的表達式及點C的坐標；(2)將此拋物線沿x軸向左平移mm>0個單位得到新拋物線，且新拋物線仍經(jīng)過點C，求m【答案】(1)y=x2?6x+5，點(2)6【分析】（1）用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，進而求出點C的坐標；（2）把二次函數(shù)配方得到頂點式，根據(jù)題目進行平移解題即可．【詳解】（1）解：把A1,0和B5,00=1+b+c0=25+5b+c，解得∴拋物線的表達式為y=∴當x=0時，y=5∴點C的坐標是0,5（2）y=設(shè)平移后的拋物線表達式為y=把C0,5代入得解得m∵m>0，∴m=6【點睛】本題考查二次函數(shù)的解析式和拋物線的平移，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3的對稱軸為直線x=2，頂點為A，與x軸分別交于點B和點C（點B在點C的左邊），與y軸交于點D，其中點C(1)求拋物線的表達式；(2)將拋物線向左或向右平移，將平移后拋物線的頂點記為E，聯(lián)結(jié)DE．①如果DE∥AC，求四邊形②如果點E在直線DC上，點Q在平移后拋物線的對稱軸上，當∠DQE=∠CDQ時，求點Q的坐標．【答案】(1)y=(2)①15，②(4，?1+42【分析】（1）根據(jù)對稱性求出點B坐標(1，（2）①根據(jù)DE∥AC，求出直線DE解析式，根據(jù)平移性質(zhì)求出點E的坐標，再求四邊形面積即可；②根據(jù)點E在直線DC上，求出點E的坐標，利用∠DQE=∠CDQ，得出DE=EQ，求出點【詳解】（1）解：拋物線y=ax2+bx+3的對稱軸為直線x=2，與x軸分別交于點B和點C（點B在點C的左邊），點C根據(jù)對稱性可知點B坐標為(1，0)，代入9a+3b+3=0a+b+3=0解得，a=1b=?4拋物線解析式為y=x（2）①解：拋物線y=x2?4x+3所以頂點A的坐標為(2，?1)，與y軸交于點D的坐標為設(shè)AC的解析式為y=kx+n，把A(2，?1)，C2k+n=?13k+n=0解得k=1n=?3AC的解析式為y=x?3，

因為DE∥AC，點D的坐標為所以DE的解析式為y=x+3，將拋物線向左或向右平移，將平移后拋物線的頂點記為E，所以點E的縱坐標為?1，代入y=x+3，解得，x=?4，點E的坐標為(?4，設(shè)DE與x軸交于點G，則點G的坐標為(?3，0)，同時G也是平移后拋物線與S△CDGS?CGEA四邊形ACDE的面積為S△CDG②設(shè)DC的解析式為y=mx+c，把D(0，3)，Cc=33m+c=0解得c=3m=?1DC的解析式為y=?x+3，點E的縱坐標為?1，代入y=?x+3，解得，x=4，點E的坐標為(4，當DE=EQ時，∠DQE=∠CDQ，因為點E的坐標為(4，?1)，點D的坐標為所以DE=4點Q在平移后拋物線的對稱軸上，點Q的坐標為(4，?1+42【點睛】本題考查了求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)平移，解題關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，根據(jù)平移求出平移后的二次函數(shù)的頂點坐標．類型三、二次函數(shù)的對稱軸與最值21．（2023·北京西城·北師大實驗中學?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2?a+2x+2(1)若t=0，①求此拋物線的對稱軸；②當p<t時，直接寫出m的取值范圍；(2)若t<0，點Cn,q在該拋物線上，m<n且3m+3n≤?4，請比較p，q【答案】(1)①x=?12；②x<?2(2)p<q，理由見解析【分析】（1）①把點A?2,0代入y=ax2?a+2x+2，求出a的值，可求出拋物線解析式，再把解析式化為頂點式，即可求解；（2）把點A?2,t代入y=ax2?a+2x+2可得t=6a+6，再由t<0，可得a<?1，?1<1a<0，從而得到拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線x=??a+2【詳解】（1）解：①當t=0時，點A?2,0把點A?2,0代入y=a0=4a+2a+2解得：a=?1，∴該函數(shù)解析式為y=?x∵y=?x∴拋物線的對稱軸為直線x=?1②令y=0，則0=?x解得：x1∴拋物線與x軸的另一個交點為1,0，∵?1<0，∴拋物線開口向下，∴當p<0時，m的取值范圍為x<?2或x>1；（2）解：p<q，理由如下：把點A?2,t代入y=at=4a+2a+2∵t<0，∴6a+6<0，∴a<?1，∴?1<1∴拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線x=??∴3m+3n≤?4，∴m+n≤?4∴m+n2∵m<n，∴Bm,p到對稱軸的距離大于C∴p<q．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知拋物線y=a(x?1)x?(1)當拋物線過點(2,1)時，求拋物線的表達式：(2)拋物線上任意不同兩點Mx1,y1,Nx2,y2(3)拋物線上有兩點E(0,n),F(b,m)，當b≤?2時，m≤n恒成立，試求a的取值范圍．【答案】(1)y=2(2)在(3)a≤?1【分析】（1）將2,1代入y=ax?1（2）根據(jù)拋物線的對稱性，求出對稱軸，再根據(jù)題意，得到對稱軸為直線x=0，求出a的值，進而得到拋物線的解析式，再進行判斷即可；（3）根據(jù)對稱性求出E點的對稱點，根據(jù)b≤?2時，m≤n恒成立，得到拋物線開口向下，即a<0，且?2≤1+3【詳解】（1）解：將2,1代入y=ax?1x?3解得：a=2，經(jīng)檢驗，a=2是原方程的解，∴y=2x?1（2）解：∵y=ax?1x?3a，當∴拋物線與x軸交點坐標為1,0，3a∴拋物線對稱軸為直線x=1+∵當x1<x2<0時，x∴拋物線對稱軸為x=0，即1+3解得a=?3，經(jīng)檢驗，a=?3是原方程的解，∴y=?3x?1將x=2代入y=?3x?1x+1得：∴點2,?9在拋物線上．（3）解：∵拋物線對稱軸為直線x=1+∴點E0,n關(guān)于對稱軸對稱的點E∵當b≤?2時，m≤n恒成立，∴拋物線開口向下，即a<0，且?2≤1+3解得a≤?1．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．利用拋物線的對稱性求出對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解，是解題的關(guān)鍵．23．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系xOy中，點A1，m、B(1)如果m=n，那么拋物線的對稱軸為直線___________；(2)如果點A、B在直線y=x?1上，求拋物線的表達式和頂點坐標．【答案】(1)x=2(2)y=13【分析】（1）根據(jù)拋物線關(guān)于其對稱軸對稱即可解答；（2）由直線解析式可求出A1，0【詳解】（1）∵m=n，∴點A和點B的縱坐標相等，∴拋物線的對稱軸為直線x=x故答案為：x=2；（2）∵點A、B在直線y=x?1上，∴m=1?1=0，n=3?1=2，∴A1，0∵點A和點B在拋物線y=ax∴0=a+b2=9a+3b，解得：a=∴拋物線的表達式為y=1∵y=1∴頂點坐標為12【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達式，將二次函數(shù)一般式改為頂點式，一次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24．（2023·北京順義·北京市順義區(qū)仁和中學校考一模）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax．（1）二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝；（2）當0≤x≤3時，y的最大值與最小值的差為4，求該二次函數(shù)的表達式；（3）若a＜0，對于二次函數(shù)圖象上的兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），當t≤x1≤t+1，x2≥3時，均滿足y1≥y2，請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出t的取值范圍．【答案】（1）1；（2）y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）﹣1≤t≤2【分析】（1）由對稱軸是直線x＝?b（2）分a＞0或a＜0兩種情況討論，求出y的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函數(shù)圖象的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）由題意可得：對稱軸是直線x＝??2a故答案為：1；（2）當a＞0時，∵對稱軸為x＝1，當x＝1時，y有最小值為﹣a，當x＝3時，y有最大值為3a，∴3a﹣（﹣a）＝4．∴a＝1，∴二次函數(shù)的表達式為：y＝x2﹣2x；當a＜0時，同理可得y有最大值為﹣a；y有最小值為3a，∴﹣a﹣3a＝4，∴a＝﹣1，∴二次函數(shù)的表達式為：y＝﹣x2+2x；綜上所述，二次函數(shù)的表達式為y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）∵a＜0，對稱軸為x＝1，∴x≤1時，y隨x的增大而增大，x＞1時，y隨x的增大而減小，x＝﹣1和x＝3時的函數(shù)值相等，∵t≤x1≤t+1，x2≥3時，均滿足y1≥y2，∴t≥﹣1，t+1≤3，∴﹣1≤t≤2．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點的綜合應(yīng)用，能利用分類思想解決問題是本題的關(guān)鍵．25．（2023·天津西青·?？寄M預(yù)測）已知拋物線y=x2+bx+c（a，b，c是常數(shù)）的頂點為P，與x軸的一個交點為B5,0，與(1)求該拋物線的解析式和頂點P的坐標：(2)直線x=m（m是常數(shù)，2<m<5）與拋物線相交于點M，與BP相交于點G，請寫出MG的長w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；(3)當m取何值時，w取得最大值，并求出此時點M，G的坐標．【答案】(1)y=x2(2)w=?(3)當m=72時，w【分析】（1）待定系數(shù)法求出解析式，轉(zhuǎn)化為頂點式求出頂點坐標．（2）求出直線BP的解析式，用含m的式子表示出M,G的坐標，再列出關(guān)系式即可；（3）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值，即可得解．【詳解】（1）解：∵拋物線y=x2+bx+c，與x軸的一個交點為B5,0，與∴c=?525+5b+c=0，解得：c=?5∴y=x∴頂點P的坐標為：2,?9；（2）解：設(shè)直線BP的解析式為：y=kx+tk≠0則：5k+t=02k+t=?9，解得：k=3∴y=3x?15；∵直線x=m（m是常數(shù)，2<m<5）與拋物線相交于點M，與BP相交于點G，∴Mm,m2?4m?5,G∴w=3m?15?m（3）解：∵w=?m2+7m?10=?∴當m=72時，w取得最大值：此時：M7【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出二次函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．26．（2023·廣東汕頭·校聯(lián)考一模）在平面直角坐標系中，已知點A(1,2),B(2,3),C(2,1)，直線y=x+m經(jīng)過點A，拋物線y=ax2+bx+1恰好經(jīng)過A，B(1)求直線y=x+m的解析式；(2)求a，b的值；(3)平移拋物線y=ax2+bx+1，使其頂點仍在直線y=x+m【答案】(1)y=x+1(2)a=?1,b=2(3)5【分析】（1）將點A坐標代入y=x+m，求職m的值即可；（2）因為直線經(jīng)過A、B和點(0,1)，所以經(jīng)過點(0,1)的拋物線不同時經(jīng)過A、B點，即可判斷拋物線只能經(jīng)過A、C兩點，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得a、b；（3）設(shè)平移后的拋物線為y=?x2+px+q，其頂點坐標為(p2,p24+q)，根據(jù)題意得出p2【詳解】（1）∵直線y=x+m經(jīng)過點A(1,2)，∴2=1+m，解得m=1，∴直線為y=x+1；（2）∵直線y=x+1與拋物線y=ax2+bx+1所以直線與拋物線不可能有三個交點．且B、C兩點的橫坐標相同，∴拋物線只能經(jīng)過A、C兩點，把A(1,2),C(2,1)代入y=ax2+bx+1解得a=?1,b=2；（3）由（2）知，拋物線為y=?x設(shè)平移后的拋物線為y=?x2+px+q∵頂點仍在直線y=x+1上，∴p∴q=?p∵拋物線y=?x+px+q與y軸的交點的縱坐標為q，∴q=?∴當p=1時，平移后所得拋物線與y軸交點縱坐標的最大值為54【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)．27．（2023·浙江溫州·?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，點A是拋物線y=?12x2+mx+2m+2與y軸的交點，點B在該拋物線上，將該拋物線A，B兩點之間（包括A，B兩點）的部分記為圖像G(1)當m=1時，①圖像G對應(yīng)的函數(shù)y的值隨x的增大而（填“增大”或“減小”），自變量x的取值范圍為；②圖像G最高點的坐標為．(2)當m<0時，若圖像G與x軸只有一個交點，求m的取值范圍．(3)當m>0時，設(shè)圖像G的最高點與最低點的縱坐標之差為?，直接寫出?與m之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)①增大，x≤1；②1,(2)?1<m≤?12(3)?=【分析】（1）令m=1，求出函數(shù)表達式并化為頂點式，根據(jù)A,B坐標和函數(shù)的對稱軸解答①②即可．（2）先判斷函數(shù)與x軸有交點時m的取值范圍；求出點A、B坐標，根據(jù)函數(shù)圖像分點B在點A下方和點B在點A上方兩種情況討論；上方點的坐標大于0，下方點的坐標小于等于0．（3）結(jié)合二次函數(shù)圖像的對稱性，分點B在點A的左邊；點B、A重合；點B在點A右邊三種情況討論；當對稱軸在點A、B兩側(cè)時?由點A、B的縱坐標決定，當對稱軸在點A、B之間時?由點A、B的縱坐標較小的值和函數(shù)頂點的縱坐標決定．【詳解】（1）解：①當m=1時，拋物線的表達式為y=?1即y=?1其對稱軸是直線x=1，頂點坐標為1,點A坐標為0,4，點B坐標為1,9∴①函數(shù)y的值隨x的增大而增大，自變量x的取值范圍為0≤x≤1；故答案為：增大；0≤x≤1．②函數(shù)的對稱軸為x=1，當x=1時，y=?1即點G的坐標為1,9故答案為：1,9（2）當x=2m?1時，y=?1則點B的坐標為2m?1,3m+3所以，點A的坐標為0,2m+2，∵m<0，則yB即點A在點B的上方，故當yA>0且即2m+2>0且3m+3解得?1<m≤?1當拋物線頂點落在x軸上時，此時m2解得：m=?2，此時拋物線對稱軸為直線x=?2，B點橫坐標為?5，符合題意，綜上，?1<m≤?12或（3）設(shè)拋物線的頂點為H，則點Hm,由拋物線的表達式知，點A、B的坐標分別為0,2m+2，2m?1,3m+3①當m≤0時，由（2）知，yB而yH故圖像G的H點和B點分別是最高和最低點，則?=y②當0<m≤12時，此時點A、B分別是則?=y③當12<m≤1時，此時點B、A分別是則?=y④當m>1時，此時點H、A分別是G的最高和最低點，則?=y∴綜上所述

?=1【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像特征，確定圖像上點的位置關(guān)系再分類討論是解題的關(guān)鍵．28．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，直線y=12x+1與x，y軸分別交于點B，A，頂點為P的拋物線y=a(1)直接寫出點A，B的坐標及c的值；(2)若函數(shù)y=ax2?2ax+c在3≤x≤4時有最大值為a+2(3)當a<0時，連接AP，過點A作AP的垂線交x軸于點M．設(shè)△BMP的面積為S．直接寫出S關(guān)于a【答案】(1)點A(0，1)，點B(?2，0)，c=1；(2)a=(3)S=【分析】（1）先求出點A(0，1)，點B(?2，0)，將點A坐標代入解析式可求c的值；（2）分a>0，a<0兩種情況討論，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；（3）過點P作PN⊥y軸于N，證明△AOM≌△PNA(AAS)得出BM=2?a【詳解】（1）解：∵直線y=12x+1與x，y軸分別交于點B令x=0，解得y=1，則點A(0，1)，令y=0，解得x=?2，則點B(?2，0)，∵拋物線y=ax2?2ax+c∴c=1；（2）∵y=ax∴對稱軸為直線x=1，當a>0，3≤x≤4時，y隨x的增大而增大，∴當x=4時，y有最大值，∴9a+1?a=a+2，解得：a=1當a<0，3≤x≤4時，y隨x的增大而減小，∴當x=3時，y有最大值，∴4a+1?a=a+2，解得：a=1綜上所述，a=（3）當a<0時，則1?a>1，如圖所示，過點P作PN⊥y軸于N，∵y=ax∴點P坐標為(1，1?a)，∴PN=AO=1，AN=1?a?1=?a，∵AM⊥AP，PN⊥y軸，∴∠∴∠PAN+∠∴∠∴△AOM≌△PNA(AAS∴OM=AN=?a，∴BM=2?a，∴S=1【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸交點問題，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．（2023·浙江舟山·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=ax(1)若a=?1，且函數(shù)圖象經(jīng)過0,3，2,?5兩點，求此二次函數(shù)的解析式；并根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)值y≥3時自變量x的取值范圍；(2)在（1）的條件下，已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），將這條拋物線向右平移m（m>0）個單位，平移后的拋物線于x軸交于C，D兩點（點C在點D的左側(cè)），若B，C是線段(3)已知a=b=c=1，當x=p，q（p，q是實數(shù)，p≠q）時，該函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值分別為P，Q．若p+q=2，求證P+Q>6．【答案】(1)y=?x2?2x+3，當?2≤x≤0(2)2或8；(3)見解析．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可求解；（2）分兩種情況：①當C在B的左側(cè)時，先根據(jù)三等分點的定義得：AC=BC=BD，由平移m個單位可知：AC=BD=m，計算點A和B的坐標可得AB的長，從而得結(jié)論．②當C在B的右側(cè)時，同理可得結(jié)論；（3）由a=b=c=1，得y=x2+x+1，容易得到P+Q=p2+p+1+q2+q+1，利用p+q=2，即p=2?q【詳解】（1）解：由題意可得：a=?1c=3解得：a=?1b=?2∴拋物線的解析式為：y=?x畫出函數(shù)圖象，如圖，當y=3時，3=?x2?2x+3，解得x由圖象可得：當?2≤x≤0時，y≥3；（2）當y=0時，0=?xx+3x?1x1=1，∴A?3,0，B∴AB=3+1=4，①如圖，當C在B的左側(cè)時，∵B，C是線段AD的三等分點，∴AC=BC=BD，由題意得：AC=BD=m,∴AC=BC=1∴m=2，②同理，當C在B的右側(cè)時，AB=BC=CD=4，∴m=AB+BC=4+4=8，綜上，m的值為2或8；（3）證明：由a=b=c=1，得y=x由題意，得P=p2+p+1所以P+Q====2q?1由條件p≠q，知q≠1．所以P+Q>6，得證．【點睛】本題查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，拋物線的平移及解一元二次方程的問題，利用配方法判斷代數(shù)式的取值范圍，數(shù)形結(jié)合的思想的運用是解題的關(guān)鍵．30．（2023·安徽淮北·校聯(lián)考一模）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=m?2x2(1)若該二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A?1,2①求m的值；②若該二次函數(shù)的圖像與x軸交于點B，C（點B在點C的左側(cè)），求△ABC的面積；(2)若該二次函數(shù)的圖像與y軸交于點P，求點P縱坐標的最大值；【答案】(1)①m=5；②5(2)2【分析】（1）①直接利用待定系數(shù)法求解，再由二次函數(shù)的定義即可得出結(jié)果；②先求出二次函數(shù)與x軸的交點，然后求面積即可；（2）先確定縱坐標的解析式，然后化為頂點式即可求解．【詳解】（1）解：①∵關(guān)于x的二次函數(shù)y=m?2x2∴m?2整理得m2解得m1=2，∵m?2≠0，∴m≠2，∴m=5；②∵m=5，∴該二次函數(shù)表達式為y=3x當y=0時，即3x解得x1=1，∵點B在點C的左側(cè)，∴點B坐標為?23,0，點C∴△ABC的面積=1（2）當x=0時，y=?m∴點P的縱坐標為?m又∵y=?m∵?1<0，∴拋物線開口向下，∴m=3時，y有最大值2，∴點P縱坐標的最大值為2．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，包括待定系數(shù)法確定解析式，與坐標軸的交點，一般式化為頂點式等，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．類型四、二次函數(shù)與方程、不等式問題31．（2023·河南周口·一模）已知拋物線y=mx2?2mx?3m(m>0)與x軸交于A,B兩點（點A(1)拋物線對稱軸為，點A坐標為；(2)當m>0時，不等式3m≤mx2?2mx(3)已知點M(2,?4),N(12,?4)，連接MN【答案】(1)x=1，?1,0(2)x≤?1或x≥(3)1≤m≤【分析】（1）利用拋物線對稱軸公式直接確定拋物線的對稱軸即可；令y=0，則y=m(x（2）將原不等式化為mx（3）結(jié)合題意作出函數(shù)圖像，當拋物線過點M(2,?4)、點(1,?4)時，代入求解即可獲得答案．【詳解】（1）解：由題意知，拋物線的對稱軸為直線x=??2m令y=0，則y=m(x解得x=?1或x=3，∵點A在點B左側(cè)，∴A(?1,0)．故答案為：x=1，?1,0；（2）不等式可化為：mx由函數(shù)和不等式的關(guān)系得：x≤?1或x≥3，故答案為：x≤?1或x≥3；（3）如下圖，當拋物線過點M(2,?4)時，可有4m?4m?3m=?4，解得m=4當拋物線過點(1,?4)時，m?2m?3m=?4，解得m=1，∴1≤m≤4【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次函數(shù)與坐標軸交點、二次函數(shù)與不等式等知識，理解題意，綜合運用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．32．（2023·河南駐馬店·駐馬店市第二初級中學?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+2ax+c的圖象與一次函數(shù)y=?2x+b的圖象交于點A1,0和點(1)求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)結(jié)合圖象直接寫出不等式ax(3)點M為二次函數(shù)y=ax2+2ax+c圖象上的一個動點，且點M的橫坐標為m，將點M向右平移1個單位長度得到點N．若線段MN與一次函數(shù)圖象有交點，直接寫出點M【答案】(1)y=?x2(2)?1<x<1(3)?3≤m≤?1【分析】（1）把點A1,0代入y=?2x+b，可求出b的值，可得到一次函數(shù)的解析式，再求出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=?2a2a=?1，可得點B的坐標，再把點（2）直接觀察圖象，即可求解；（3）根據(jù)題意可得點M的坐標為m,?m2?2m+3，點N當點N位于一次函數(shù)的圖象上時，可得m=3或?3，當點M位于一次函數(shù)的圖象上時，由（1）得：【詳解】（1）解：把點A1,0代入y=?2x+b0=?2+b，解得：b=2，∴一次函數(shù)的解析式為y=?2x+2，拋物線y=ax2+2ax+c把x=?1代入y=?2x+2得：y=?2×?1∴點B的坐標為?1,4，把點A1,0，B?1,4代入a+2a+c=0a?2a+c=4，解得：a=?1∴二次函數(shù)的解析式為y=?x（2）解：觀察圖象得：當?1<x<1時，二次函數(shù)的圖象位于一次函數(shù)的圖象的上方，∴不等式ax2+2ax+c>?2x+b（3）解：∵點M的橫坐標為m，∴點M的坐標為m,?m∵點M向右平移1個單位長度得到點N，∴點N的坐標為m+1,?m當點N位于一次函數(shù)的圖象上時，有?m解得：m=3或?當點M位于一次函數(shù)的圖象上時，由（1）得：m=?1或1，結(jié)合圖象得：若線段MN與一次函數(shù)圖象有交點，點M橫坐標m的取值范圍為?3≤m≤?1或【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．33．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考一模）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程，以下是我們研究函數(shù)y=x+?2x+6x…?2?1012345…y…654a21b7…(1)寫出函數(shù)關(guān)系式中m及表格中a，b的值；m=______，a=______，b=______；(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象；(3)已知函數(shù)y=?x?22+8【答案】(1)?2，3，4(2)見解析(3)x<0或x【分析】（1）將表格中的已知數(shù)據(jù)任意選擇一組代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，即可求解；（2）根據(jù)表格所給數(shù)據(jù)描點、連線即可；（3）結(jié)合函數(shù)圖象與不等式之間的聯(lián)系，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．【詳解】（1）解：由表格可知，點3,1在該函數(shù)圖象上，∴將點3,1代入函數(shù)解析式可得：1=3+?2×3+6解得：m=?2，∴原函數(shù)的解析式為：y=x+|?2x+6|?2；當x=1時，y=3；當x=4時，y=4；∴m=?2，a=3，b=4，故答案為：?2，3，4；（2）解：通過列表—描點—連線的方法作圖，如圖所示；（3）解：要求不等式x+?2x+6實際上求出函數(shù)y=x+|?2x+6|+m的圖象位于函數(shù)y=?x?2∴由圖象可知，當x<0或x>4故答案為：x<0或x>4【點睛】本題考查新函數(shù)圖象探究問題，掌握研究函數(shù)的基本方法與思路，熟悉函數(shù)與不等式或者方程之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．34．（2023·廣西河池·校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，拋物線y=2x?m2+2m（m(1)當m=12時，點A的坐標是，拋物線與y軸交點的坐標是(2)若點A在第一象限，且OA=5，求此拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式，并寫出函數(shù)值y隨x的增大而減小時x(3)拋物線y=2x?m2+2m（m的常數(shù)）的對稱軸為直線x=m．Mx1,y1，Nx【答案】(1)12，(2)拋物線的解析式為y=2x?2+2，當x≤1時，函數(shù)值y(3)m≤【分析】（1）將m=12代入拋物線解析式中，即可得出頂點坐標，再令（2）運用勾股定理建立方程求解即可得出答案；（3）由題意x1,0，x2,0連線的中垂線與【詳解】（1）當m=12時，∴頂點A12令x=0，得y=3∴拋物線與y軸交點的坐標為0，故答案為：12，1（2）∵點Am,2m在第一象限，且OA=∴m2+2m解得：m=1，∴拋物線的解析式為y=2x?12+2，當x≤1時，函數(shù)值y（3）∵y=2x?m2+2m的對稱軸為直線x=m．M∵x1<x2，∴x1∴m≤3【點睛】本題考查了待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．35．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）小明同學在探究函數(shù)y=x（I）列表（完成以下表格）．x…－2－10123456…y…15800315…y=…15800315…（II）描點并畫出函數(shù)圖象草圖（在備用圖①中描點并畫圖）．（Ⅲ）根據(jù)圖象解決以下問題：（1）觀察圖象：函數(shù)y=x2?4x+3的圖象可由函數(shù)y（2）探究發(fā)現(xiàn)直線y=8與函數(shù)y=x2?4x+3的圖象交于點E，F(xiàn)，E?1,8，（3）設(shè)函數(shù)y=x2?4x+3的圖象與x軸交于A，B兩點（B位于A的右側(cè)），與y①求直線BC的解析式；②探究應(yīng)用：將直線BC沿y軸平移m個單位長度后與函數(shù)y=x2?4x+3【答案】（I）表格見解析；（II）圖象見解析；（Ⅲ）（1）x軸下方的圖象進行關(guān)于x軸對稱變換，在x軸上方的圖象不變；（2）x<?1或x>5；（3）①y=?x+3；②0或14【分析】（I）將x值代入函數(shù)式求出對應(yīng)的函數(shù)值，據(jù)此填表即可得到答案；（II）先描點，再連線即可得到函數(shù)圖象；（Ⅲ）（1）通過觀察函數(shù)圖象，即可得到答案；（2）作出直線y=8的圖象，結(jié)合圖象即可得到不等式的解集；（3）①先求出函數(shù)y=x2?4x+3與x軸和y②先根據(jù)直線y=?x+3與函數(shù)y=x2?4x+3有三個交點，得到m=0，再根據(jù)直線BC向上平移，且直線y=?x+3+m與y=?【詳解】解：（I）表格如下所示：x…－2－10123456…y…15830?103815…y=（II）根據(jù)（I）中的表格描點，函數(shù)圖像如下所示：（Ⅲ）（1）通過觀察可知，將函數(shù)y1=x2?4x+3在x軸下方的圖象進行關(guān)于x故答案為：x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱，在x軸上方的圖象不變；（2）如圖，在直角坐標系中畫出直線y=8的圖象，觀察圖象可知，x2?4x+3>8，即函數(shù)y=∵直線y=8與函數(shù)y=x2?4x+3的圖象交于點E，F(xiàn)，E∴不等式x2?4x+3>8的解集是x<?1故答案為：x<?1或x>5；（3）①∵函數(shù)y=x2?4x+3的圖象與x軸交于A∴令y=0，則x2解得：x1=1，∵B位于A的右側(cè)，∴A1,0，B∵函數(shù)y=x2?4x+3的圖象與y∴令x=0，則y=x∴C0,3設(shè)直線BC的解析式為y=kx+bk≠0則0=3k+b3=b解得：k=?1b=3∴直線BC的解析式為y=?x+3；②I.當直線y=?x+3經(jīng)過點B時，如下圖，直線y=?x+3與函數(shù)y=x∴m=0滿足條件，II觀察圖象可知，平移后的直線與函數(shù)y=x2?4x+3當1<x<3時，函數(shù)y=x設(shè)平移后的直線解析式為y=?x+3+m，此時直線y=?x+3+m與y=?x∴y=?x+3+m即x2∴Δ∴m=1綜上所述，將直線BC沿y軸平移m個單位長度后與函數(shù)y=x2?4x+3的圖象恰好有3個交點，此時m【點睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象，函數(shù)圖象交點確定不等式解集等知識，準確畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．36．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，拋物線y=axx?6+1a≠0的頂點為A，與x軸相交于B、C兩點（C(1)判斷點0,1是否在拋物線y=axx?6(2)若點A到x軸的距離為5，求