2024-2025學(xué)年陜西省西安市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)階段性檢測試題合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年陜西省西安市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段性檢測試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．已知，則點A關(guān)于平面的對稱點的坐標是（

）A． B． C． D．2．直線l：的一個方向向量為（

）A． B． C． D．3．已知直線的方向向量為，直線的方向向量為，若與的夾角為，則m等于（）A．1 B． C． D．04．已知點，，，若A，B，C三點共線，則a，b的值分別是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，25．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍為（）A． B．C． D．7．在棱長為的正方體中，為的中點，為的中點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．8．數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點為，，，則該三角形的歐拉線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則下列說法正確的是（

）A．是平面的一個法向量 B．四點共面C． D．10．已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在軸上的截距為 B．過定點C．若，則或 D．若，則11．如圖，在棱長為2的正方體中，點P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動點，點Q是棱的中點，則以下命題正確的是（

）

A．三棱錐的體積是定值B．存在點P，使得與所成的角為C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D．若，則P的軌跡的長度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，若，則13．在空間直角坐標系中，點為平面外一點，其中、，若平面的一個法向量為，則點到平面的距離為．14．等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，M，N分別是的中點，則所成角的余弦值等于．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的三個頂點為.(1)求邊上的高所在直線的一般式方程；(2)求邊上的中線所在直線的一般式方程.16．已知，，求：(1)；(2)與夾角的余弦值．17．已知平行六面體，底面是正方形，，，設(shè)．(1)試用表示；(2)求的長度．18．在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．19．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．

答案1．【正確答案】B【詳解】點A關(guān)于平面的對稱點的坐標是，故選：B．2．【正確答案】B【詳解】由直線方程為，則是直線的一個方向向量.故選：B3．【正確答案】C【詳解】因為直線的方向向量為，直線的方向向量為，與的夾角為，所以，解得.故選：C4．【正確答案】D【分析】由A，B，C三點共線，得與共線，然后利用共線向量定理列方程求解即可.【詳解】因為，，，所以，，因為A，B，C三點共線，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，解得.故選D.5．【正確答案】C【詳解】若直線與直線互相平行且不重合，則，解得，故.所以“”是“直線與直線互相平行且不重合”的充要條件．故選：C．6．【正確答案】B【詳解】

設(shè)直線的傾斜角為，，當直線的斜率不存在時，，符合，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，因為點，，，則，，因為直線經(jīng)過點，且與線段總有公共點，所以，因為，又，所以，所以直線的傾斜角范圍為.故選：B.7．【正確答案】A【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，，，所以，，所以，，，所以點到直線的距離.故選：A8．【正確答案】A【詳解】由重心坐標公式可得：重心，即.由，，可知外心在的垂直平分線上，所以設(shè)外心，因為，所以，解得，即：，則，故歐拉線方程為：，即：，故選：A.9．【正確答案】AD【詳解】，所以平面，所以平面，所以是平面的一個法向量，故A正確；設(shè)，則，無解，所以四點不共面，故B錯誤；，所以與不平行，故C錯誤；，故D正確；故選：AD.10．【正確答案】ABD【詳解】由易知，故A正確；由，故B正確；若兩直線平行，則有且，解得，故C錯誤；若兩直線垂直，則有，故D正確.故選：ABD11．【正確答案】ACD【詳解】對于A，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，是定值，A正確；以為坐標原點，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，設(shè)，則對于B，，使得與所成的角滿足：，因為，故，故，而，B錯誤；對于C，平面的法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為：，因為，故故，而，，故即的取值范圍為，C正確；對于D，，由，可得，化簡可得，在平面內(nèi)，令，得，令，得，則P的軌跡的長度為，D正確；故選：ACD.12．【正確答案】【詳解】因為平面的一個法向量為，平面β的一個法向量為，，所以，則，所以，解得，所以.故答案為.13．【正確答案】/【詳解】因為、，所以,記平面的一個法向量為，則，解得，故平面的一個法向量為.因為，所以,所以點到平面的距離為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】設(shè)AB=2,作CO⊥面ABDEOH⊥AB，則CH⊥AB，∠CHO為二面角C?AB?D的平面角，，OH=CHcos∠CHO=1，結(jié)合等邊三角形ABC與正方形ABDE可知此四棱錐為正四棱錐，故EM,AN所成角的余弦值，15．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為的三個頂點為，所以直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以直線的方程為，化為一般式方程為；（2）因為，所以的中點為，又因為，所以直線的斜率為，所以直線的點斜式方程為，化為一般式為.16．【正確答案】(1)，(2)－【分析】（1）根據(jù)向量平行，設(shè)，進而得到方程組，求出，根據(jù)向量垂直得到，求出，從而求出答案；（2）先計算出，，從而利用向量夾角公式求出答案.【詳解】（1）因為，所以設(shè)，即，所以，解得，故又，所以，即，解得，于是．（2）由（1）得，，設(shè)與的夾角為，因為，所以與夾角的余弦值為.17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量線性運算，結(jié)合幾何體特征確定與的線性關(guān)系；（2）由（1），結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算律及已知條件求的長度.【詳解】（1）.（2），，所以.所以.18．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.（1）證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因為平面，所以；（2）解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.19．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點A到平面的距離為h，則，解得，所以點A到平面的距離為；（2）取的中點E,連接AE,如圖，因為，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點，則，,設(shè)平面的一個法向量，則，可取，設(shè)平面的一個法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.2024-2025學(xué)年陜西省西安市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段性檢測試題（二）一、單選題（本大題共9小題）1．已知全集，，，則（

）A． B．C． D．2．已知，，則（

）A． B． C． D．3．若橢圓滿足，則該橢圓的離心率（

）A． B． C． D．4．若橢圓的右焦點坐標為，則的值為（

）A．1 B．1或3 C．9 D．1或95．向量，，則（

）A． B．C．與的夾角為60° D．與的夾角為6．已知線段的端點B的坐標是，端點A在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．7．集合，集合，從A，B中各任意取一個數(shù)相加為，則直線與直線平行的概率為（

）A． B． C． D．8．如圖，在正方體ABEF-DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（

）

A．－ B．C．－ D．9．在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.如圖所示，某同學(xué)利用兩個完全一樣的半圓柱，得到了一個三棱錐，該三棱錐為鱉臑，，為半圓柱的圓心，半徑為2，，，動點在內(nèi)運動（含邊界），且滿足，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）10．給出下列四個條件：①；②；③；④．其中能成為的充分條件的是（

）A．① B．② C．③ D．④11．若數(shù)據(jù)，，和數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)、方差、極差均相等，則（

）A．數(shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)相等B．數(shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的方差相等C．數(shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的極差相等D．數(shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的中位數(shù)相等12．如圖，正方體的棱長為1，E為棱的中點，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動點，則（

）

A．三棱錐的體積為定值 B．直線平面C．當時， D．直線與平面所成角的正弦值為三、填空題（本大題共3小題）13．如圖，已知圓是圓上兩個動點，點，則矩形的頂點的軌跡方程是．14．已知點是直線上一點，則的最小值為．15．若向量，且，則的值為四、解答題（本大題共5小題）16．在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點的坐標為.

(1)求直線的方程；(2)求直線的方程及點的坐標.17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)若，，求的面積.18．已知拋物線，過點的直線l交拋物線于A，B兩點，拋物線在點A處的切線為，在點B處的切線為，直線與交于點M.(1)設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：；(2)設(shè)線段AB的中點為N，求的取值范圍.19．圖1是棱長為2的正方體，，，，分別是，，，的中點，截去三棱柱和三棱柱得到如圖2的四棱柱，，分別是，的中點，過點，，的平面交于點．(1)求線段的長；(2)求平面與平面夾角的余弦值．20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）設(shè)，若函數(shù)在上有且僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，是否存在正實數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)的最小值為4？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

答案1．【正確答案】D【詳解】因為全集，，所以，又因為，.故選：D.2．【正確答案】A【詳解】由誘導(dǎo)公式得，又由，可得．故選：A.3．【正確答案】B【詳解】橢圓滿足，則該橢圓的離心率.故選：B.4．【正確答案】C【詳解】根據(jù)右焦點坐標為，可得，且焦點在軸上，故，故選：C5．【正確答案】B由題意求出兩向量的數(shù)量積，即可判斷兩向量的位置關(guān)系.【詳解】∵向量，，∴，∴.故選：B.6．【正確答案】B【詳解】設(shè)，，由中點坐標公式得，所以，故，因為A在圓上運動，所以，化簡得，故B正確.故選：B7．【正確答案】B【詳解】從A，B中各任意取一個數(shù)相加，有種情況，當直線，則，則，當時，從中取一個數(shù)相加為的有，2種情況，當時，從中取一個數(shù)相加為的有，2種情況，所以滿足條件的有4種情況，所以滿足條件的概率.故選：B8．【正確答案】B【詳解】設(shè)正方體棱長為1，以B為坐標原點，BA，BE，BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系B-xyz，則M，N，.解法一

取MN的中點G，連接BG，AG，則G.因為為等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB為兩平面夾角或其補角．又因為，，所以，，設(shè)平面MNA與平面MNB的夾角為θ，則.故所求兩平面夾角的余弦值為.

解法二

設(shè)平面AMN的法向量由于，，則，即，令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是，同理可求得平面BMN的一個法向量.所以，設(shè)平面MNA與平面MNB的夾角為θ，則.故所求兩平面夾角的余弦值為.故選：B.9．【正確答案】A【詳解】因為三棱錐為鱉臑，平面，在中，，過做垂足為，則，即，所以，因為，，在中，，所以，則，又平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，所以中，，過作，，即，可得，則過作，因為是AD中點，所以，所以動點在內(nèi)（含邊界）的軌跡為以為圓心以為半徑的半圓，則點的軌跡長度為.故選：A.10．【正確答案】AD【詳解】①由”可知，所以，故；②當時，；當時，，故，不能推出；③由，得，但不能推出，故不能推出；④．故選：AD．11．【正確答案】ABC【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)的平均數(shù)也為.那么數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，A選項正確.設(shè)數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差也為.對于數(shù)據(jù)，其方差計算為,所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的方差相等，B選項正確.設(shè)數(shù)據(jù)的極差為，數(shù)據(jù)的極差也為.對于數(shù)據(jù)，其極差是這六個數(shù)中的最大值減去最小值，由于前面兩組數(shù)據(jù)的極差相等，所以組合后數(shù)據(jù)的極差依然是，所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的極差相等，C選項正確.設(shè)數(shù)據(jù)按從小到大排列為，中位數(shù)為.設(shè)數(shù)據(jù)按從小到大排列為，中位數(shù)為.對于數(shù)據(jù)按從小到大排列后，中位數(shù)不一定是，所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定相等，D選項錯誤.故選：ABC12．【正確答案】AD【詳解】

對于A，如圖1，因,故A正確；

對于B，如圖2建立空間直角坐標系，則,于是，，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，由知與不垂直，故直線與平面不平行，即B錯誤；對于C，由上圖建系，則,,因P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動點,不妨設(shè)，則，，由題意，，即，于是，此時，故與不垂直，即C錯誤；對于D，由圖知平面的法向量可取為，因，設(shè)直線與平面所成角為，則，故D正確.故選：AD.13．【正確答案】設(shè)點，連接交于，可寫出的坐標，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x,y的關(guān)系式，即頂點的軌跡方程.【詳解】設(shè)點，如圖連接交于，由矩形可知為的中點，，連接，在直角中，，則即，整理得，所以頂點的軌跡方程是故14．【正確答案】5【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，則，解得，故，故,故最小值為：515．【正確答案】1【詳解】因為向量，所以，，又，所以，，解得.故答案為.16．【正確答案】(1)(2)直線的方程為：，【詳解】（1）由于所在直線的方程為，故的斜率為，與互相垂直，直線的斜率為，結(jié)合，可得的點斜式方程：，化簡整理，得，即為所求的直線方程．（2）由和聯(lián)解，得由此可得直線方程為：，即，，關(guān)于角平分線軸對稱，直線的方程為：，直線方程為，將、方程聯(lián)解，得，，因此，可得點的坐標為．17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以由正弦定理得，，