2024-2025學(xué)年四川省綿陽(yáng)市高二上冊(cè)11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省綿陽(yáng)市高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（一）一、單選題（每題5分，共8小題，總計(jì)40分）1.直線的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.【正確答案】B解析：直線的斜率為，則選項(xiàng)中是直線的一個(gè)方向向量，即B正確．故選：B．2.為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中能構(gòu)成基底的一組向量是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【正確答案】C解析：對(duì)選項(xiàng)A：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：假設(shè)，即，這與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，可以構(gòu)成基底，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯(cuò)誤；故選：C3.今有水平相當(dāng)?shù)钠迨旨缀推迨忠疫M(jìn)行某項(xiàng)圍棋比賽，勝者可獲得24000元獎(jiǎng)金.比賽規(guī)定下滿五局，五局中獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，比賽無(wú)平局，若比賽已進(jìn)行三局，甲兩勝一負(fù)，由于突發(fā)因素?zé)o法進(jìn)行后面比賽，如何分配獎(jiǎng)金最合理？（）A.甲12000元，乙12000元 B.甲16000元，乙8000元C.甲20000元，乙4000元 D.甲18000元，乙6000元【正確答案】D解析：乙最終獲勝的概率為，甲最終獲勝的概率為，所以甲乙兩人按照分配獎(jiǎng)金才比較合理，所以甲元，乙元，故選：D4.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15【正確答案】B解析：三次投籃共有20種，恰有兩次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5種∴該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為故選：B5.如圖，空間四邊形中，，，.點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】C解析：為的中點(diǎn)，,.故選：C.6.十項(xiàng)全能是田徑運(yùn)動(dòng)中全能項(xiàng)目的一種，是由跑、跳、投等個(gè)田徑項(xiàng)目組成的綜合性男子比賽項(xiàng)目，比賽成績(jī)是按照國(guó)際田徑聯(lián)合會(huì)制定的專門(mén)田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)全能評(píng)分表將各個(gè)單項(xiàng)成績(jī)所得的評(píng)分加起來(lái)計(jì)算的，總分多者為優(yōu)勝者.如圖，這是某次十項(xiàng)全能比賽中甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的各個(gè)單項(xiàng)得分的雷達(dá)圖，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.在米跑項(xiàng)目中，甲的得分比乙的得分高B.在跳高和標(biāo)槍項(xiàng)目中，甲、乙水平相當(dāng)C.甲的各項(xiàng)得分比乙的各項(xiàng)得分更均衡D.甲的各項(xiàng)得分的極差比乙的各項(xiàng)得分的極差大【正確答案】C解析：對(duì)于A，由圖中數(shù)據(jù)知，在米跑項(xiàng)目中，甲的得分比乙的得分高，正確；對(duì)于B，由圖中數(shù)據(jù)知，在跳高和標(biāo)槍項(xiàng)目中，甲、乙水平相當(dāng)，正確；對(duì)于C，甲的各項(xiàng)得分差異比乙的各項(xiàng)得分差異大，因此乙的各項(xiàng)得分更均衡，不正確；對(duì)于D，甲的各項(xiàng)得分的極差大于400，乙的各項(xiàng)得分的極差小于200，所以乙的各項(xiàng)得分的極差大，正確.故選：C.7.設(shè)直線l方程為，則直線l的傾斜角的范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D解析：當(dāng)時(shí)，方程為，直線的傾斜角，當(dāng)時(shí)，由直線方程可得斜率，，且，，即，又，，綜上，傾斜角的范圍是故選：D．8.如圖，已知正方體，空間中一點(diǎn)滿足，且，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)位置記為點(diǎn)，則數(shù)量積的不同取值的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.6 C.7 D.8【正確答案】A解析：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，，，，，因?yàn)?，且，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，又因?yàn)槿忮F為正三棱錐，當(dāng)平面時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn)位置記為點(diǎn)，所以為的重心，則，故，又因?yàn)?，，，，，，，所以，，，，，，，所以?個(gè)不同的取值.故選：A.二、多選題（每題5分，共4小題，總計(jì)20分）9.甲?乙各投擲一枚骰子，下列說(shuō)法正確的是（）A.事件“甲投得5點(diǎn)”與事件“甲投得4點(diǎn)”不是互斥事件B.事件“甲投得6點(diǎn)”與事件“乙投得5點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件C.事件“甲?乙都投得6點(diǎn)”與事件“甲?乙不全投得6點(diǎn)”是對(duì)立事件D.事件“至少有1人投得6點(diǎn)”與事件“甲投得6點(diǎn)且乙沒(méi)投得6點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件【正確答案】BC解析：對(duì)于A，事件“甲投得5點(diǎn)”與事件“甲投得4點(diǎn)”不可能同時(shí)發(fā)生，二者為互斥事件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,事件“甲投得6點(diǎn)”發(fā)生與否對(duì)事件“乙投得5點(diǎn)”沒(méi)有影響，二者是相互獨(dú)立事件，B正確；對(duì)于C，事件“甲?乙都投得6點(diǎn)”的反面為“至少有1人沒(méi)有投得6點(diǎn)”，也即“甲?乙不全投得6點(diǎn)”，故事件“甲?乙都投得6點(diǎn)”與事件“甲?乙不全投得6點(diǎn)”是對(duì)立事件，C正確；對(duì)于D，事件“至少有1人投得6點(diǎn)”包含“甲投得6點(diǎn)且乙沒(méi)投得6點(diǎn)”的情況，故事件“至少有1人投得6點(diǎn)”與事件“甲投得6點(diǎn)且乙沒(méi)投得6點(diǎn)”不是相互獨(dú)立事件，D錯(cuò)誤，故選：BC10.直線過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線在軸上的截距可能是（）A.3 B.0 C. D.1【正確答案】ABD解析：由題意，直線過(guò)點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，當(dāng)直線的截距為0時(shí)，顯然滿足題意，為：；當(dāng)直線的截距不為0時(shí)，設(shè)橫、縱截距分別為，則直線方程為：，∴，解得：或，∴直線的縱截距可取.故選：ABD.11.某校高二年級(jí)有男生600人，女生400人，小華按男生、女生進(jìn)行分層，通過(guò)分層抽樣的方法，得到一個(gè)總樣本量為100的樣本，計(jì)算得到男生、女生的平均身高分別為170cm和160cm，方差分別為15和30，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若小華采用樣本量比例分配的方式進(jìn)行抽樣，則男生、女生分別應(yīng)抽取60人和40人；B.若小華采用樣本量比例分配的方式進(jìn)行抽樣，則樣本的方差為37.8；C.若小華采用樣本量比例分配的方式進(jìn)行抽樣，則樣本的平均數(shù)為166，此時(shí)可用樣本平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)；D.若小華采用等額抽取，即男生、女生分別抽取50人，則某男生甲被抽到的概率為.【正確答案】AC解析：A選項(xiàng)，男生抽取，女生抽取人，A選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，樣本平均數(shù)為，可以用樣本平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)，C選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，樣本方差為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，男生甲被抽到的概率為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC12.如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)P是底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，分別為中點(diǎn)，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.最大值為1B.四棱錐的體積和表面積均不變C.若面，則點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)為D.在棱上存在一點(diǎn)M，使得面面【正確答案】ACD解析：對(duì)于A，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，即，所以，所以，所以最大值為1，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)辄c(diǎn)到底面的距離為，底面面積為，所以四棱錐的體積為，是定值；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四個(gè)側(cè)面都為直角三角形，所以表面積為，當(dāng)點(diǎn)為上底面的中心時(shí)，連接，則，且，，此時(shí)表面積為，所以，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于C，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，分別連接，可得，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，且，平面，所以平面平面，?dāng)時(shí)，平面，可得面，則點(diǎn)P軌跡為線段，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，，令可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，，令可得，由，解得，滿足題意，故D正確.故選：ACD三、填空題（每題5分，共4小題，總計(jì)20分）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_______.【正確答案】5解析：到平面的距離為豎坐標(biāo)的絕對(duì)值，即為5故514.已知直線互相垂直，則的值為_(kāi)_____.【正確答案】.解析：因?yàn)橹本€互相垂直，則有，即，進(jìn)一步化簡(jiǎn)得，解得或，故答案是0或2.15.在正四棱錐S-ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC的夾角是________．【正確答案】30°解析：解：如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，則A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，，則＝(2a，0，0)，＝，＝(a，a，0)．設(shè)平面PAC的法向量為＝(x，y，z)，因?yàn)椤?，，所以所以x＝0，y＝z，令y＝1，則＝(0，1，1)是平面PAC的一個(gè)法向量，所以cos〈〉＝，所以〈〉＝60°，所以直線BC與平面PAC的夾角為90°－60°＝30°．故30°．16.已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則到平面的最大距離為_(kāi)_______.【正確答案】解析：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槿庵鶠檎庵?，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎庵乃欣忾L(zhǎng)均為2，所以，設(shè)，則，所以,當(dāng)時(shí)，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)到平面的距離為，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)到平面的距離為，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，因?yàn)?，所以到平面的最大距離為，故四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知直線過(guò)點(diǎn)．（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線與兩坐標(biāo)軸上圍成的三角形面積為，求直線的方程．【正確答案】（1）（2）或（1）設(shè)直線的方程為過(guò)點(diǎn)，的方程：；（2）設(shè)直線的方程為，橫截距為，縱截距為，，或，方程為或.18.甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（1）若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫(xiě)出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；（2）若從報(bào)名的6名教師中任選2名，寫(xiě)出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率．【正確答案】（1）（2）解析：甲校的男教師用A、B表示，女教師用C表示，乙校的男教師用D表示，女教師用E、F表示，（1）根據(jù)題意，從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，有（AD），（AE），（AF），（BD），（BE），（BF），（CD），（CE），（CF），共9種；其中性別相同的有（AD）（BD）（CE）（CF）四種；則選出的2名教師性別相同的概率為P=；（2）若從報(bào)名的6名教師中任選2名，有（AB）（AC）（AD）（AE）（AF）（BC）（BD）（BE）（BF）（CD）（CE）（CF）（DE）（DF）（EF）共15種；其中選出的教師來(lái)自同一個(gè)學(xué)校的有6種；則選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率為P=．19.如圖，在四棱錐中，底面，，，，.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）（2）（1）因?yàn)榈酌?，底面，所以，，且，，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，所以，故異面直線與所成角的余弦值為.（2），設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.易知是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.從2022年秋季學(xué)期起，四川省啟動(dòng)實(shí)施高考綜合改革，實(shí)行高考科目“3+1+2”模式.“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)統(tǒng)考學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計(jì)入高考成績(jī)；“1”指考生從物理、歷史兩門(mén)學(xué)科中“首選”一門(mén)學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計(jì)入高考成績(jī)；“2”指考生從政法、地理、化學(xué)、生物四門(mén)學(xué)科中“再選”兩門(mén)學(xué)科，以等級(jí)分計(jì)入高考成績(jī).按照方案，再選學(xué)科的等級(jí)分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績(jī)從高到低劃分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：等級(jí)ABCDE人數(shù)比例賦分區(qū)間將各等級(jí)內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級(jí)分，轉(zhuǎn)換公式為，其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，，分別表示等級(jí)賦分區(qū)間的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，表示考生的等級(jí)分，規(guī)定原始分為時(shí)，等級(jí)分為，計(jì)算結(jié)果四舍五入取整.某次化學(xué)考試的原始分最低分為50，最高分為98，呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如下：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求此次化學(xué)考試成績(jī)的平均值；（2）按照等級(jí)分賦分規(guī)則，估計(jì)此次考試化學(xué)成績(jī)A等級(jí)的原始分區(qū)間；（3）用估計(jì)的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成線的原始分為90，試計(jì)算其等級(jí)分.【正確答案】（1）73（2）（3）91分（1）由，可得，此次化學(xué)考試成績(jī)的平均值為分．（2）由頻率分布直方圖知，原始分成績(jī)位于區(qū)間的占比為，位于區(qū)間的占比為，因?yàn)槌煽?jī)A等級(jí)占比為，所以等級(jí)A的原始分區(qū)間的最低分位于區(qū)間，估計(jì)等級(jí)A的原始分區(qū)間的最低分為，已知最高分為98，所以估計(jì)此次考試化學(xué)成績(jī)A等級(jí)的原始分區(qū)間為．（3）由，解得，該學(xué)生的等級(jí)分為91分．21.如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,三角形為正三角形,且側(cè)面底面.分別為線段,的中點(diǎn).（1）求證:平面;（2）在棱上是否存在點(diǎn),使平面平面,請(qǐng)說(shuō)明理由.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，理由見(jiàn)解析（1）連接交于點(diǎn),連接,因?yàn)樗倪呅问橇庑?所以點(diǎn)為的中點(diǎn).又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面.（2）在棱上存在點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí),平面平面.證明:連接.因?yàn)闉檎切?為的中點(diǎn),所以,又因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面平面.所以平面,又平面,所以,因?yàn)槭橇庑?為的中點(diǎn),所以是正三角形,,因?yàn)?所以,因?yàn)?平面,平面,所以平面,又平面,所以.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以,所以,因?yàn)槭橇庑?,所以是正三角形.又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,因?yàn)?平面,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以平面平面.22.如圖1，在中，，，分別為邊，的中點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖2，連接，.圖1圖2（1）求證：平面；（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上一動(dòng)點(diǎn)滿足，判斷是否存在，使二面角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，（1）因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?，所?又，，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，，，所以，，兩兩垂?以坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意有，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量，則有令，得，，所以是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）假設(shè)存在，使二面角的正弦值為，即使二面角的余弦值為.由（2）得，，所以，，.易得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量，，解得，令，得，則是平面的一個(gè)法向量.由圖形可以看出二面角的夾角為銳角，且正弦值為，故二面角的余弦值為，則有，即，解得，.又因?yàn)?，所?故存在，使二面角的正弦值為2024-2025學(xué)年四川省綿陽(yáng)市高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（二）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的學(xué)校、姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色簽字筆填寫(xiě)清楚，考生考試條碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“條碼粘貼處”.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無(wú)效；在草稿紙上、試卷上答題無(wú)效.3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量若則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.由可得，即，解之可得.故選：D2.近日，2024中國(guó)最具幸福感城市調(diào)查推選活動(dòng)正式啟動(dòng)，在100個(gè)地級(jí)及以上候選城市名單中，成都市入選.“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.現(xiàn)隨機(jī)抽取10位成都市居民，他們的幸福感指數(shù)分別為4，4，5，6，7，7，7，8，9，10，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7.5 B.該組數(shù)據(jù)的極差為6C.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7 D.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7.2【正確答案】D【分析】利用百分位數(shù)的求法判斷A，利用極差的求法判斷B，利用眾數(shù)的求法判斷C，利用平均數(shù)的求法判斷D，從而得解對(duì)于A，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)為4，4，5，6，7，7，7，8，9，10，共10個(gè)數(shù)，又，所以該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，該組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；對(duì)于C，易知該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7，故C正確；對(duì)于D，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：D.3.若直線與直線相互平行，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系式，求解即可.因?yàn)橹本€與直線相互平行，所以，即，解得或.故選：C.4.事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的概率為，若，，，則事件與事件的關(guān)系為（）A互斥 B.對(duì)立 C.獨(dú)立 D.包含【正確答案】C【分析】利用對(duì)立事件的概率公式求出，根據(jù)求出的值，再利用獨(dú)立事件的定義判斷可得出結(jié)論.由對(duì)立事件的概率公式可得，因?yàn)?，即，可得，所以，，因此，事件與事件獨(dú)立.故選：C.5.如圖，、分別是四面體的邊、的中點(diǎn)，是靠近的三等分點(diǎn).若向量，，，則（）A. B.C D.【正確答案】A【分析】利用空間向量的加法和減法可得出在基底下的表達(dá)式.因?yàn)槭强拷娜确贮c(diǎn)，則，所以，，所以，，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因此，.故選：A.6.在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與的距離是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求解直線與的公垂線的方向向量，利用異面直線距離的向量公式求解即可.如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，，，，，，設(shè)直線與的公垂線的方向向量為，則，取，則，，，又，異面直線與的距離是.故選：A.7.坐位體前屈是中小學(xué)體質(zhì)健康測(cè)試項(xiàng)目，主要測(cè)試學(xué)生軀干、腰、髖等部位關(guān)節(jié)韌帶和肌肉的伸展性、彈性及身體柔韌性.在對(duì)某高中1000名高二年級(jí)學(xué)生的坐位體前屈成績(jī)的調(diào)查中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100人，已知這1000名高二年級(jí)學(xué)生中男生有600人，且抽取的樣本中男生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為14.5cm和14.84，女生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為15.5cm和17.64.則總體方差（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的比例確定男女生人數(shù)分別為，結(jié)合兩個(gè)樣本平均數(shù)即可求得總樣本的平均數(shù)，進(jìn)而求得方差.按照分層隨機(jī)抽樣，設(shè)在男生?女生中分別抽取m名和n名，則，解得，由題意，男生樣本的平均數(shù)為，樣本方差為，女生樣本的平均數(shù)為，樣本方差為，記抽取的總樣本的平均數(shù)為，總樣本的樣本方差為，可得，所以.故選：C.8.已知直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用直線過(guò)定點(diǎn)的求法到，再判斷得，從而得到點(diǎn)為以為直徑的圓上的點(diǎn)，進(jìn)而得到的值，最后利用不等式求最值即可得解.直線的方程可整理為，令，解得，所以，直線的方程可整理為，令，解得，所以，又對(duì)于直線與直線，因，所以，所以兩直線的交點(diǎn)為以為直徑的圓上的點(diǎn)，而，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則與是對(duì)立事件B.扔兩枚相同的硬幣，恰好一正一反的概率為C.甲、乙、丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣，如果抽取的乙個(gè)體數(shù)為6，則樣本容量為18D.若一組數(shù)據(jù)方差為16，則另一組數(shù)據(jù)的方差為4【正確答案】CD【分析】A、B選項(xiàng)由對(duì)立事件的概念和古典概型的計(jì)算來(lái)判斷選項(xiàng)是正確還是錯(cuò)誤，C、D由分層抽樣和方差的性質(zhì)判斷是正確還是錯(cuò)誤.A選項(xiàng)：事件與事件滿足：且，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：由古典概型得一正一反的概率為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：分層抽樣也叫按比例抽樣，樣本比例與總數(shù)比例相同，即，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：因?yàn)椋矗援?dāng)時(shí)，，D選項(xiàng)正確.故選：CD.10.如圖，平行六面體中，，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.B.異面直線與所成角的正弦值為C.平面D.直線與平面所成角的正切值為【正確答案】ACD【分析】全部通過(guò)向量基底法來(lái)轉(zhuǎn)化為向量模長(zhǎng)，向量夾角，向量垂直即可，通過(guò)計(jì)算判斷各個(gè)說(shuō)法的正確性即可.對(duì)于A,首先，..展開(kāi).已知，.可得，，.則，所以，A正確.對(duì)于B,因?yàn)?，所以異面直線與所成角等于或其補(bǔ)角.由，.，，，所以.又，.可得，則，B錯(cuò)誤.對(duì)于C,因?yàn)槠叫辛骟w，所以，..則..因?yàn)榍?，即垂直于平面?nèi)相交直線和，所以平面.C正確.對(duì)于D,，,則由對(duì)稱性知道在平面的投影一定在上，則即為直線與平面所成角.由于.兩邊平方則.則.又.則所以，則.且得.又.則.則.D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.在空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)，且以為方向向量的空間直線的方程為：；過(guò)點(diǎn)，以為法向量的平面的方程為：，則下列說(shuō)法正確的是（）A.已知平面，直線，則B.已知平面，直線，則到的距離為C.已知平面，直線，則與所成角的正弦值為D.已知平面，直線（為任意實(shí)數(shù)），當(dāng)且時(shí)，【正確答案】ACD【分析】根據(jù)平面的法向量及直線的方向向量，結(jié)合線面位置關(guān)系、線面角及點(diǎn)面距離的向量求法分別判斷各選項(xiàng).A選項(xiàng)：平面，即，則平面的法向量，直線，即，直線的方向向量，則，即，A正確；B：平面過(guò)點(diǎn)，法向量，直線過(guò)點(diǎn)，方向向量，則，即，則平面，又，則直線到平面的距離，B錯(cuò)誤；C：平面的法向量，直線，即，方向向量，則，所以與所成角的正弦值為，C正確；D：平面的法向量，直線，過(guò)點(diǎn)，方向向量，則，又當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)不在平面上，所以，D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若直線經(jīng)過(guò)，則直線的斜率為_(kāi)__________.【正確答案】##【分析】利用兩點(diǎn)斜率公式即可得解.因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，所以直線的斜率為.故答案為.13.盒子中有四個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，分別寫(xiě)有“安”、“寧”、“聯(lián)”、“盟”四個(gè)字，有放回地從中任取一個(gè)小球，將三次抽取后“聯(lián)”、“盟”兩個(gè)字都抽取到記為事件.用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)事件發(fā)生的概率，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生整數(shù)四個(gè)隨機(jī)數(shù)，分別代表“安”、“寧”、“聯(lián)”、“盟”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下組隨機(jī)數(shù)：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估計(jì)，事件發(fā)生的概率為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】依題意由事件代表的隨機(jī)數(shù)計(jì)算出符合題意的隨機(jī)數(shù)組數(shù)，由古典概型公式計(jì)算可得結(jié)果.根據(jù)題意可知“聯(lián)”、“盟”兩個(gè)字都抽取到，代表三個(gè)數(shù)字中同時(shí)出現(xiàn)數(shù)字2和3，觀察發(fā)現(xiàn)組隨機(jī)數(shù)中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10組，再由古典概型公式計(jì)算可得事件發(fā)生的概率為.故14.在三棱錐中，平面平面，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球表面積的最小值為_(kāi)__________.【正確答案】【分析】先由證得，；再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，由題意設(shè)，球心，得到，求得的最小值，進(jìn)而得三棱錐的外接球面積的最小值.因?yàn)槠矫嫫矫妫?且平面平面，平面,所以平面，平面,所以.在△中，因?yàn)椋?，∴，，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，過(guò)且垂直于平面ABC的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，，設(shè)△的重心為，則，三棱錐外接球的球心為，則，則有，即則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.設(shè)三棱錐外接球半徑為，表面積為，則所以.故答案為.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15.在2024年法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)乒乓球隊(duì)包攬了乒乓球項(xiàng)目全部5枚金牌，國(guó)球運(yùn)動(dòng)再掀熱潮.現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽（五局三勝制），其中每局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽都是相互獨(dú)立的.（1）求比賽只需打三局的概率；（2）已知甲在前兩局比賽中獲勝，求甲最終獲勝的概率.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）“比賽只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都獲勝”與“乙前三局都獲勝”的和事件，可按相互獨(dú)立事件積事件的概率與互斥事件和事件的概率求解即可；（2）“甲最終獲勝”是互斥事件“第三局甲勝”、“第三局甲輸?shù)谒木旨讋佟迸c“第三局第四局甲均輸?shù)谖寰旨讋佟钡暮褪录?，按相互?dú)立事件積事件的概率與互斥事件和事件的概率求解即可；【小問(wèn)1】設(shè)事件=“甲前三局都獲勝”，事件=“乙前三局都獲勝”，則，，比賽只需打三局的概率為：.【小問(wèn)2】甲需要打三局的概率為：，甲需要打四局的概率為：，甲需要打五局的概率為：，則甲最終獲勝的概率為.16.已知直線過(guò)兩點(diǎn).（1）求直線的一個(gè)單位方向向量的坐標(biāo)及直線的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線滿足，設(shè)直線與軸的正半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，求的面積.【正確答案】（1）（也可），（2）【分析】（1）利用兩點(diǎn)斜率公式求得直線的斜率，進(jìn)而得到它的單位向量，再利用點(diǎn)斜式求得其方程，從而得解；（2）利用直線垂直，結(jié)合點(diǎn)斜庇求得直線，進(jìn)而求得點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)距離公式與三角形面積公式即可得解.【小問(wèn)1】因?yàn)橹本€過(guò)兩點(diǎn)，所以直線的斜率，所以是直線的一個(gè)方向向量，則，則取即為直線的一個(gè)單位方向向量，（也可），又因?yàn)橹本€的斜率，則直線的方程為，即.【小問(wèn)2】因?yàn)椋灾本€的斜率，，則直線的方程為，即，在方程中，令得，即，所以，由（1）知，所以.17.會(huì)理石榴，涼山彝族自治州會(huì)理市特產(chǎn).會(huì)理石榴果大、色艷、皮薄、粒軟、味濃、有微香、余味長(zhǎng)，含有人體所需的多種維生素和氨基酸，可食部分百分率較高，可溶性固性物含量較高，籽?！巴该骶Я寥粽渲椋稘馓鹑绶涿邸保焚|(zhì)佳良.每年月份正是石榴成熟之季，各大網(wǎng)紅、電商紛紛前來(lái)會(huì)理帶貨石榴.一電商老板收果時(shí)要求石榴重量(單位：克)如下：克以下的為次果，克為小果，克為中果，克為大果，克及以上為特大果.為了了解果農(nóng)家石榴情況，在果園里隨機(jī)摘取了個(gè)石榴稱重量（單位：克）并統(tǒng)計(jì)分析，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（各區(qū)間分別為，，，，）.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求圖中的值和估計(jì)這個(gè)石榴的平均重量及第百分位數(shù)(每組數(shù)據(jù)用所在區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)（2）此電商老板來(lái)收購(gòu)果農(nóng)家石榴，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表，用樣本估計(jì)總體，該石榴果園中有石榴大約萬(wàn)個(gè)，在今年的石榴行情下，電商老板提出以下兩種收購(gòu)方案：方案①：所有石榴以元/千克收購(gòu)；方案②：對(duì)重量低于克的石榴以元/個(gè)收購(gòu)，對(duì)重量高于或等于克的石榴以元/個(gè)收購(gòu)．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算確定果農(nóng)選擇哪種方案獲利更多？【正確答案】（1），平均重量為克，第百分位數(shù)為克（2）選擇方案②獲利多【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖頻率之和為，列方程可得，再根據(jù)平均數(shù)與百分位數(shù)的定義與計(jì)算公式可得平均數(shù)與百分位數(shù)；（2）方案①：根據(jù)（1）中平均重量直接計(jì)算；方案②：根據(jù)頻率估計(jì)在各范圍內(nèi)的數(shù)量，進(jìn)而計(jì)算利潤(rùn).【小問(wèn)1】表由題知，解得；平均重量：由頻率分布直方圖可知：前組的頻率之和為，前組的頻率之和為，則第百分位數(shù)一定位于內(nèi)，設(shè)第百分位數(shù)為，則，解得；【小問(wèn)2】方案①收入：（元