北京市朝陽區(qū)2024-2025學年高三上冊10月月考數(shù)學檢測試題（含解析）

北京市朝陽區(qū)2024-2025學年高三上學期10月月考數(shù)學檢測試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標是，則（）A. B. C. D.3.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.4.已知實數(shù)滿足，則下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.5.歐拉公式（為虛數(shù)單位）是有由瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，特別是當時，被認為是數(shù)學中最優(yōu)美的公式，數(shù)學家們評價它是“創(chuàng)造的公式”.根據(jù)歐拉公式可知，在復平面中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知函數(shù)，那么不等式的解集為（）A. B. C. D.7.設，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.8.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知函數(shù)，設，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10.恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀數(shù)學的三大成就.其中對數(shù)的發(fā)明曾被十八世紀法國數(shù)學家拉普拉斯評價為“用縮短計算時間延長了天文學家的壽命”.已知正整數(shù)N的70次方是一個83位數(shù)，則由下面表格中部分對數(shù)的近似值（精確到0.001），可得N的值為（）M23711130.3010.4770.84510411.114A.13 B.14 C.15 D.16二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是______.12.已知是定義在上偶函數(shù)，且當時，，則______.13.設函數(shù)，則曲線在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為______.14.對于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導函數(shù)，是的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.某同學經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若，根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的對稱中心是______.15.已知函數(shù)給出下列四個結論：①當時，的最小值為0；②當時，存在最小值；③當時，在上單調(diào)遞增；④的零點個數(shù)為，則函數(shù)的值域為.其中所有正確結論的序號是______.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.設函數(shù).（1）若，求的值；（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，求，的值.17.中，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一組解答計分．18.某地區(qū)組織所有高一學生參加了“科技的力量”主題知識竟答活動，根據(jù)答題得分情況評選出一二三等獎若干，為了解不同性別學生的獲獎情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名參加活動的高一學生，獲獎情況統(tǒng)計結果如下：性別人數(shù)獲獎人數(shù)一等獎二等獎三等獎男生200101515女生300252540假設所有學生的獲獎情況相互獨立．（1）分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽取1名，求抽到2名學生都獲一等獎的概率；（2）用頻率估計概率，從該地區(qū)高一男生中隨機抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機抽取1名，以X表示這2名學生中獲獎的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（3）用頻率估計概率，從該地區(qū)高一學生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為；從該地區(qū)高一男生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為；從該地區(qū)高一女生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為，試比較與的大?。ńY論不要求證明）19.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，證明：當時，.20.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，證明：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點；（3）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．21.已知數(shù)列：，，…，滿足：（，2，…，，），從中選取第項、第項、…、第項稱數(shù)列，，…，為的長度為的子列.記為所有子列的個數(shù).例如：0，0，1，其.（1）設數(shù)列A：1，1，0，0，寫出A的長度為3的全部子列，并求；（2）設數(shù)列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判斷，，的大小，并說明理由；（3）對于給定的正整數(shù)，（），若數(shù)列：，，…，滿足：，求的最小值.北京市朝陽區(qū)2024-2025學年高三上學期10月月考數(shù)學檢測試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】先化簡集合，然后根據(jù)交集的定義計算.【詳解】由題意，，，根據(jù)交集的運算可知，.故選：A2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標是，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】首先表示出，再根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算計算可得.【詳解】因為復數(shù)對應的點的坐標是，所以，則.故選：B3.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】對于A：在定義域上單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B：因為在定義域0,+∞上單調(diào)遞增，所以在定義域0,+∞上單調(diào)遞減，故B正確；對于C：在0,+∞上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D：，所以在上先減后遞增，故D錯誤.故選：B4.已知實數(shù)滿足，則下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由可知A正確；通過反例可知BCD錯誤.【詳解】對于A，（當且僅當時取等號），，A正確；對于B，當，時，，B錯誤；對于C，當，時，，，則，C錯誤；對于D，當，時，，，則，D錯誤.故選：A.5.歐拉公式（為虛數(shù)單位）是有由瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，特別是當時，被認為是數(shù)學中最優(yōu)美的公式，數(shù)學家們評價它是“創(chuàng)造的公式”.根據(jù)歐拉公式可知，在復平面中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】A【分析】根據(jù)定義把寫成三角形式，即可得出對應點的坐標，從而得其象限．【詳解】由題意，對應點坐標為，而，點在第一象限．故選：A．6.已知函數(shù)，那么不等式的解集為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】分別作出y=fx及的圖象后，借助圖象分析即可得.【詳解】分別作出y=fx及的圖象如下：由圖可知不等式的解集為1,4.故選：C.7.設，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質判斷即可.【詳解】因為，即，又，，所以.故選：D8.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【詳解】解法一：因為，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因為，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因為，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因為，且，所以，所以充分性成立；必要性：因為，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.故選：C9.已知函數(shù)，設，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)的值域為，結合題意轉化為，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，作出函數(shù)圖象，如圖所示，所以，當時，；當時，，可函數(shù)的值域為，設，若存在，使得成立，即，只需，即對于，滿足成立，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A.10.恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀數(shù)學的三大成就.其中對數(shù)的發(fā)明曾被十八世紀法國數(shù)學家拉普拉斯評價為“用縮短計算時間延長了天文學家的壽命”.已知正整數(shù)N的70次方是一個83位數(shù)，則由下面表格中部分對數(shù)的近似值（精確到0.001），可得N的值為（）M23711130.3010.4770.8451.0411.114A.13 B.14 C.15 D.16【正確答案】C【分析】利用對數(shù)的運算公式計算即可.【詳解】由題意知，的70次方為83位數(shù)，所以，則，即，整理得，根據(jù)表格可得，，所以，即.故選：C.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是______.【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式建立不等式組，可解得答案.【詳解】由題意可得，解得.故答案為.12.已知是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，則______.【正確答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質及指數(shù)對數(shù)恒等式計算可得.【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，所以.故13.設函數(shù)，則曲線在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為______.【正確答案】【分析】借助導數(shù)的幾何意義計算可得其在點處的切線方程，即可得其與坐標軸的交點坐標，從而求得所求面積.【詳解】因為，所以，則，所以該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積.故答案為.14.對于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導函數(shù)，是的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.某同學經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若，根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的對稱中心是______.【正確答案】【分析】根據(jù)所給定義，求出函數(shù)的一階導數(shù)與二階導數(shù)，再，求出，即可得解.【詳解】因為，所以，則，令，解得，又，所以函數(shù)的對稱中心是.故15.已知函數(shù)給出下列四個結論：①當時，的最小值為0；②當時，存在最小值；③當時，在上單調(diào)遞增；④的零點個數(shù)為，則函數(shù)的值域為.其中所有正確結論的序號是______.【正確答案】①④【分析】對于①，寫出此時函數(shù)解析式，得到當時，取得最小值，最小值為0；對于②，舉出反例；對于③，兩分段均單調(diào)遞增，但端點處，左端點的函數(shù)值不一定小于右端點的函數(shù)值，故③錯誤；對于④，對進行分類討論，結合零點存在性定理得到函數(shù)的值域為.【詳解】對于①，當時，，當時，，當時，，綜上，當時，取得最小值，最小值0，①正確；對于②，不妨設，此時，當時，，當時，，故，此時函數(shù)不存在最小值，②錯誤；對于③，在上單調(diào)遞增，且，當時，在上單調(diào)遞增，且，當時，，故當時，在R上不單調(diào)遞增，③錯誤；對于④，，在上單調(diào)遞增，當時，設，顯然單調(diào)遞增，又，故存在，使得，當時，無解，即在上無零點，此時有兩個零點，和，故此時，當時，在上有1個零點，此時有兩個零點，和，故此時，當時，，由①知，此時有1個零點，即，當時，在上無零點，在上也無零點，此時，則函數(shù)的值域為，④正確.故①④函數(shù)零點問題處理思路：（1）直接令函數(shù)值為0，代數(shù)法求出零點；（2）將函數(shù)零點問題轉化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，簡化了思維難度；三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.設函數(shù).（1）若，求的值；（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，求，的值.【正確答案】（1）（2），【分析】（1）借助兩角和的正弦公式化簡后代入計算即可得；（2）由題意可得函數(shù)周期，即可得，而后借助正弦函數(shù)性質代入計算即可得.【小問1詳解】，，故，又，故；【小問2詳解】由題意可得，故，又，故，由，則，解得，又，故.17.在中，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一組解答計分．【正確答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，利用余弦定理求得，即可求解；（2）根據(jù)題意，若選擇①②，求得，由正弦定理求得，再由余弦定理求得，結合面積公式，即可求解；若①③：先求得，由，利用正弦定理求得，結合面積公式，即可求解；若選擇②③，利用余弦定理，列出方程求得，不符合題意.【小問1詳解】解：因為，由余弦定理得，又因為，所以.【小問2詳解】解：由（1）知，若選①②：，，由，可得，由正弦定理，可得，解得，則，又由余弦定理，可得，即，解得或（舍去），所以面積為.若選①③：且，由，可得，因為，可得，由正弦定理，可得，解得，所以的面積為.若選：②③：且，因為，可得，整理得，解得，不符合題意，（舍去）.18.某地區(qū)組織所有高一學生參加了“科技的力量”主題知識竟答活動，根據(jù)答題得分情況評選出一二三等獎若干，為了解不同性別學生的獲獎情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名參加活動的高一學生，獲獎情況統(tǒng)計結果如下：性別人數(shù)獲獎人數(shù)一等獎二等獎三等獎男生200101515女生300252540假設所有學生的獲獎情況相互獨立．（1）分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽取1名，求抽到的2名學生都獲一等獎的概率；（2）用頻率估計概率，從該地區(qū)高一男生中隨機抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機抽取1名，以X表示這2名學生中獲獎的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（3）用頻率估計概率，從該地區(qū)高一學生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為；從該地區(qū)高一男生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為；從該地區(qū)高一女生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為，試比較與的大?。ńY論不要求證明）【正確答案】（1）（2）分布列見解析，期望（3）【分析】（1）直接計算概率；（2）的所有可能取值為0,1,2，求出高一男生獲獎概率和高一女生獲獎概率，再計算概率得到分布列，最后計算期望即可；（3）計算出，，比較大小即可.【小問1詳解】設事件為“分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽取1名,抽到的2名學生都獲一等獎”，則，【小問2詳解】隨機變量的所有可能取值為0,1,2.記事件為“從該地區(qū)高一男生中隨機抽取1名,該學生獲獎”,事件為“從該地區(qū)高一女生中隨機抽取1名,該學生獲獎”.由題設知,事件,相互獨立,且估計為估計為.所以,,.所以的分布列為012故的數(shù)學期望【小問3詳解】，理由：根據(jù)頻率估計概率得，由（2）知，，故，則.19.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，證明：當時，.【正確答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【分析】（1）借助導數(shù)的幾何意義計算可得其切線斜率，即可得其切線方程；（2）分及，結合導數(shù)討論即可得；（3）構造函數(shù)，多次求導研究其單調(diào)性即可得.【小問1詳解】當時，，則，，則，即曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為即；【小問2詳解】，當時，f′x<0恒成立，故在0,+當時，若，則f′x<0，若，則f′故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問3詳解】令，，令，則，令，則恒成立，故在1,+∞上單調(diào)遞增，則，故在1,+∞上單調(diào)遞增，則，故1,+∞上單調(diào)遞增，則，即.20.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，證明：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點；（3）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)導數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結合可得切線方程；（2）令，求導后可知，由此確定在上單調(diào)遞增，結合零點存在定理可得結論；（3），將問題轉化為恒成立；求導后，分析可知當時，單調(diào)遞增；當時，利用零點存在定理可說明在上單調(diào)遞減，由此可得，知不合題意；當時，可得，知單調(diào)遞增，滿足題意；當時，采用放縮法得，結合時的結論可知其滿足題意；綜合三種情況可得結果.【小問1詳解】當時，，則，，又，在點處的切線方程為：，即.【小問2詳解】當時，令，則；當時，，，即，在上單調(diào)遞增，又，，在上有唯一零點，即在上有且僅有一個零點.【小問3詳解】令，則對任意，恒成立；又，令，則；當時，若，則，，，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增；①當時，，，，使得，且當時，，在上單調(diào)遞減，此時，不合題意；②當時，；當時，，則在上單調(diào)遞增，恒成立，滿足題意；③當時，，由②知：對任意，，滿足題意；綜上所述：實數(shù)