2024-2025學(xué)年貴州省六盤水市高三上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)診斷性監(jiān)測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年貴州省六盤水市高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)診斷性監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必在答題卡上填寫姓名和考號(hào)等相關(guān)信息并貼好條形碼．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（）．A.1 B. C.2 D.3.“對(duì)任意實(shí)數(shù)都有”是“”的（）．A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（）．A. B. C. D.5.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）.A. B. C. D.6.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ瓵. B. C. D.7.已知且，則（）．A. B. C. D.8.已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是它到y(tǒng)軸距離的2倍，若拋物線E的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，過(guò)雙曲線C左右頂點(diǎn)A，B作C的同一條漸近線的垂線，垂足分別為P，Q，若，則雙曲線的離心率為（）．A. B.2 C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)的最大值為3，且，，則下列說(shuō)法正確的是（）．A. B.圖象的一條對(duì)稱軸是C.在上單調(diào)遞增 D.函數(shù)是奇函數(shù)10.圖（1）是某條公共汽車線路收支差額y關(guān)于乘客量x的圖象．由于目前本條線路虧損，公司管理者提出兩種扭虧為贏的建議，具體方案分別用圖（2）和圖（3）表示，則（）．A.圖（1）中乘客量為1.5單位時(shí)，收支持平B.圖（1）中當(dāng)乘客量為0時(shí)，虧損1單位C.圖（2）的建議可能為：提高票價(jià)并降低成本D.圖（3）的建議可能為：降低成本而保持票價(jià)不變11.已知函數(shù)定義域?yàn)镽，且，的圖象關(guān)于對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的周期為4 B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C. D.當(dāng)時(shí)，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知為銳角，且，則__________．13.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________.14.函數(shù)的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，，，則滿足方程的所有實(shí)數(shù)x組成的集合為_(kāi)_________．四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.六盤水紅心獼猴桃因富含維生素C及K、Ca、Mg等多種礦物質(zhì)和18種氨基酸，被譽(yù)為“維C之王”．某果農(nóng)通過(guò)不斷學(xué)習(xí)獼猴桃先進(jìn)種植技術(shù)，2017年至2023年的年利潤(rùn)y與年份代號(hào)x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（已知該果農(nóng)的年利潤(rùn)與年份代號(hào)之間呈線性相關(guān)關(guān)系）．年份2017201820192020202120222023年份代號(hào)x1234567年利潤(rùn)y（單位：千元）29333644485259（1）求y關(guān)于x線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該果農(nóng)2024年的年利潤(rùn)；（2）當(dāng)某年利潤(rùn)的實(shí)際值大于該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí)，該年為甲級(jí)利潤(rùn)年，否則為乙級(jí)利潤(rùn)年．現(xiàn)從2019年至2023年這5年中隨機(jī)抽取3年，求恰有1年為甲級(jí)利潤(rùn)年的概率．參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，，并計(jì)算得：，，．16.已知的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．（1）若，求C；（2）若，，求的面積．17.如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，M為中點(diǎn).（1）求點(diǎn)M到直線的距離；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值.18.近年來(lái)，六盤水市認(rèn)真踐行“綠水青山就是金山銀山”生態(tài)文明理念，圍繞良好的生態(tài)稟賦和市場(chǎng)需求，深挖冷水魚產(chǎn)業(yè)發(fā)展優(yōu)勢(shì)潛力，現(xiàn)已摸索出以虹鱒、鱘魚等養(yǎng)殖為主方向．為擴(kuò)大養(yǎng)殖規(guī)模，某鱘魚養(yǎng)殖場(chǎng)計(jì)劃在如圖所示的扇形區(qū)域OMN內(nèi)修建矩形水池ABCD，矩形一邊AB在OM上，點(diǎn)C在圓弧MN上，點(diǎn)D在邊ON上，且，米，設(shè)．（1）求扇形OMN的面積；（2）求矩形ABCD的面積；（3）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值．19.設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則稱為D上的“凸函數(shù)”．已知函數(shù)．（1）若為上的“凸函數(shù)”，求a的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．2024-2025學(xué)年貴州省六盤水市高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)診斷性監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必在答題卡上填寫姓名和考號(hào)等相關(guān)信息并貼好條形碼．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【正確答案】B【分析】化簡(jiǎn)集合，再由交集運(yùn)算可得.【詳解】由，，則.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（）．A.1 B. C.2 D.【正確答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.3.“對(duì)任意實(shí)數(shù)都有”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解，再根據(jù)推出關(guān)系判斷必要不充分條件可得.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)都有”.又，且，故“對(duì)任意實(shí)數(shù)都有”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（）．A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由三角函數(shù)的定義可得，再由二倍角公式代入求值即可.【詳解】由題意得，則.故選：C.5.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）.A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由函數(shù)、和的單調(diào)性可依次得、和，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，所以，即，又因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，又是上的增函數(shù)，所以，即，綜上所述，a，b，c的大小關(guān)系為.故選：A.6.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ瓵. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用弦函數(shù)的性質(zhì)分類去絕對(duì)值符號(hào)，進(jìn)而可求值域.【詳解】，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：B.7.已知且，則（）．A. B. C. D.【正確答案】D【分析】A項(xiàng)由判斷正負(fù)即可得；C項(xiàng)特值可知錯(cuò)誤；BD項(xiàng)利用作差比較法可得.【詳解】A項(xiàng)，由，得，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由，可得，又，所以，則，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，令，則，且滿足條件，，而，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由且，則，所以，故D正確.故選：D.8.已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是它到y(tǒng)軸距離的2倍，若拋物線E的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，過(guò)雙曲線C左右頂點(diǎn)A，B作C的同一條漸近線的垂線，垂足分別為P，Q，若，則雙曲線的離心率為（）．A. B.2 C. D.【正確答案】C【分析】先由題意結(jié)合拋物線焦半徑得，從而得，將其代入可求出E，進(jìn)而得，再由雙曲線漸近線方程和點(diǎn)到直線距離公式以及勾股定理得，求出結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】由題意可得且拋物線E上的到其焦點(diǎn)的距離是，它到y(tǒng)軸距離是，所以，即，將代入得，所以，焦點(diǎn)為，所以，又，雙曲線漸近線方程為，不妨假設(shè)是過(guò)A，B作C的同一條漸近線的垂線，垂足分別為P，Q，則雙曲線的對(duì)稱性可知A和B到漸近線的距離相等為，所以，所以即，則雙曲線的離心率為.故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵1是由題意結(jié)合拋物線焦半徑得，從而求得，將其代入拋物線求出E得，關(guān)鍵點(diǎn)2是由雙曲線漸近線方程和點(diǎn)到直線距離公式以及勾股定理得即得，進(jìn)而結(jié)合離心率公式得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)的最大值為3，且，，則下列說(shuō)法正確的是（）．A. B.圖象的一條對(duì)稱軸是C.在上單調(diào)遞增 D.函數(shù)是奇函數(shù)【正確答案】AC【分析】由已知分別求得，可得解析判斷A；計(jì)算可判斷B；當(dāng)時(shí)，可判斷C；由判斷D.【詳解】由函數(shù)fx=Acos所以，由，所以，所以，，所以，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，又，所以，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以不是的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.圖（1）是某條公共汽車線路收支差額y關(guān)于乘客量x的圖象．由于目前本條線路虧損，公司管理者提出兩種扭虧為贏的建議，具體方案分別用圖（2）和圖（3）表示，則（）．A.圖（1）中乘客量為1.5單位時(shí)，收支持平B.圖（1）中當(dāng)乘客量為0時(shí)，虧損1單位C.圖（2）的建議可能為：提高票價(jià)并降低成本D.圖（3）的建議可能為：降低成本而保持票價(jià)不變【正確答案】ABD【分析】根據(jù)直線的斜率與縱截距的實(shí)際意義(斜率表示每增加一個(gè)乘客時(shí)收入的增加值，即票價(jià)，縱截距表示乘客人數(shù)為0時(shí)的收支差額，即負(fù)支出)，分析圖形即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，直線的斜率的實(shí)際意義表示每增加一個(gè)乘客時(shí)收入的增加值，即票價(jià)；直線的縱截距的實(shí)際意義表示乘客人數(shù)為0時(shí)的收支差額，即負(fù)支出.A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以圖（1）中點(diǎn)B表示當(dāng)乘客量為時(shí)，既不虧損也不盈利，收支持平，故A說(shuō)法正確；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以圖（1）中當(dāng)乘客量為0時(shí)，虧損個(gè)單位，故B說(shuō)法正確；對(duì)于C，根據(jù)題意和圖（2）知，當(dāng)乘客量為時(shí)，縱坐標(biāo)不變，即支出成本不變，故C項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；D項(xiàng)，根據(jù)題意和圖（3）知，兩直線平行說(shuō)明此建議保持票價(jià)不變，乘客人數(shù)為0時(shí)的收支差額變大，即支出成本變小，即說(shuō)明此建議是降低成本而保持票價(jià)不變，所以D項(xiàng)說(shuō)法正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，的圖象關(guān)于對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.周期為4 B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C. D.當(dāng)時(shí)，【正確答案】AB【分析】由已知可得，結(jié)合，可求周期判斷A；由已知可得的圖象關(guān)于2,0對(duì)稱，結(jié)合對(duì)稱性與周期性可得的圖象關(guān)于對(duì)稱，判斷B；由已知可得，，結(jié)合已知可求判斷C；利用對(duì)稱性可求當(dāng)時(shí)，的解析式判斷D.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以，又，所以fx=?fx+2，所以所以的周期為4，故A正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于2,0對(duì)稱，因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，又的周期為4，所以可得的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B正確；因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，所以，，又，所以，解得,所以當(dāng)時(shí)，，，故C錯(cuò)誤；當(dāng)，則，因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.思路點(diǎn)睛：本題解題思路在于利用函數(shù)的對(duì)稱性及相關(guān)條件推斷出函數(shù)具備的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的特征，再利用對(duì)稱性推斷結(jié)論，得到相關(guān)點(diǎn)的函數(shù)值，確定參數(shù)值，得到函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)對(duì)稱性求出相應(yīng)解析式.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知銳角，且，則__________．【正確答案】##【分析】先由誘導(dǎo)公式可得，再由同角的三角函數(shù)值關(guān)系可得所求.【詳解】由，得，又為銳角，所以.故答案為.13.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________.【正確答案】【分析】由函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)分別賦值，可得的方程，求解進(jìn)而可得切點(diǎn)與斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得所求.【詳解】由，得，，則，解得，所以，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即.故答案為.14.函數(shù)的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，，，則滿足方程的所有實(shí)數(shù)x組成的集合為_(kāi)_________．【正確答案】【分析】分類討論可求方程的所有解，可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，所以不成立；當(dāng)時(shí)，，所以，所以不成立；當(dāng)時(shí)，，所以，由，解得；當(dāng)時(shí)，，所以，所以不成立；當(dāng)時(shí)，，所以，由，解得；當(dāng)時(shí)，，所以，由，解；當(dāng)時(shí)，，又，所以無(wú)解；綜上所述：滿足方程的所有實(shí)數(shù)x組成的集合為.思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.六盤水紅心獼猴桃因富含維生素C及K、Ca、Mg等多種礦物質(zhì)和18種氨基酸，被譽(yù)為“維C之王”．某果農(nóng)通過(guò)不斷學(xué)習(xí)獼猴桃先進(jìn)種植技術(shù)，2017年至2023年的年利潤(rùn)y與年份代號(hào)x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（已知該果農(nóng)的年利潤(rùn)與年份代號(hào)之間呈線性相關(guān)關(guān)系）．年份2017201820192020202120222023年份代號(hào)x1234567年利潤(rùn)y（單位：千元）29333644485259（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該果農(nóng)2024年的年利潤(rùn)；（2）當(dāng)某年利潤(rùn)的實(shí)際值大于該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí)，該年為甲級(jí)利潤(rùn)年，否則為乙級(jí)利潤(rùn)年．現(xiàn)從2019年至2023年這5年中隨機(jī)抽取3年，求恰有1年為甲級(jí)利潤(rùn)年的概率．參考公式：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，，并計(jì)算得：，，．【正確答案】（1）；63千元（2）【分析】（1）先求出，然后利用公式求出和，得到線性回歸方程，再將代入計(jì)算預(yù)測(cè)即可；（2）先求出2019年至2023年的年利潤(rùn)的估計(jì)值，得到這5年中甲級(jí)利潤(rùn)年的有2年，乙級(jí)利潤(rùn)年的有3年，然后利用概率公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】根據(jù)表中的數(shù)列，計(jì)算可得，，所以，故，所以關(guān)于的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，（千元），所以該果農(nóng)2024年的年利潤(rùn)預(yù)測(cè)值為63千元.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知2019年至2023年的年利潤(rùn)的估計(jì)值分別為38，43，48，53，58（單位：千元），其中實(shí)際利潤(rùn)大于相應(yīng)的估計(jì)值的有2年，故這5年中甲級(jí)利潤(rùn)年的有2年，乙級(jí)利潤(rùn)年的有3年，所以從2019年至2023年這5年中隨機(jī)抽取3年，恰有1年為甲級(jí)利潤(rùn)年的概率為．16.已知的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．（1）若，求C；（2）若，，求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理化邊為角，化切為弦，再利用內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求值即可；（2）法一，由利用正、余弦定理化角為邊，聯(lián)立解方程組可得，進(jìn)而求得，然后由面積公式可得；法二，作輔助線三角形高，由利用直角三角形化角為邊，再利用勾股定理建立關(guān)于高的方程求解可得，進(jìn)而可求面積.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，則.因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?，所以，由為三角形?nèi)角，故，所以，又，故【小問(wèn)2詳解】法一：由（1）知，，則，由正弦定理可得，由，且代入可得，化簡(jiǎn)得，聯(lián)立，解得，又由可得，則，故.法二：由可知，均為銳角，且，所以，如圖在中，過(guò)點(diǎn)作邊上的高，垂足為，由可得，，則有，由，可得.設(shè)，則，，由可得，解得，即，故高.所以的面積為.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，M為中點(diǎn).（1）求點(diǎn)M到直線的距離；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出和即可根據(jù)空間中點(diǎn)到直線的距離的向量法公式計(jì)算得解.（2）證明平面得是平面的一個(gè)法向量，接著依據(jù)求法向量的方法和步驟求出平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成夾角為，再依據(jù)即可計(jì)算的解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以且，所以可建立如圖所示以B為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，則由題，所以，所以，所以，又，故點(diǎn)M到直線的距離為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，，平面，所以平面，故是平面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，所以，令，則，設(shè)平面與平面所成夾角為，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為.18.近年來(lái)，六盤水市認(rèn)真踐行“綠水青山就是金山銀山”生態(tài)文明理念，圍繞良好的生態(tài)稟賦和市場(chǎng)需求，深挖冷水魚產(chǎn)業(yè)發(fā)展優(yōu)勢(shì)潛力，現(xiàn)已摸索出以虹鱒、鱘魚等養(yǎng)殖為主方向．為擴(kuò)大養(yǎng)殖規(guī)模，某鱘魚養(yǎng)殖場(chǎng)計(jì)劃在如圖所示的扇形區(qū)域OMN內(nèi)修建矩形水池ABCD，矩形一邊AB在OM上，點(diǎn)C在圓弧MN上，點(diǎn)D在邊ON上，且，米，設(shè)．（1）求扇形OMN的面積；（2）求矩形ABCD的面積；（3）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值．【正確答案】（1）平方米（2），（3）；【分析】（1）由扇形面積公式可得；（2）利用直角三角形利用半徑與分別表示出，進(jìn)而可得矩形面積表達(dá)式；（3）利用輔助角公式將化簡(jiǎn)變形，結(jié)合角的范圍求最大值可得.【小問(wèn)1詳解】由題意，，扇形半徑即米，則扇形OMN的面積為平方米.【小問(wèn)