2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高三上冊第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研試題注意事項1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效.3．本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C. D.23.已知，，，若，則（）A. B. C. D.4.函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.5.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為，細(xì)沙全部在上部，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長度忽略不計）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，則該沙漏的一個沙時大約是（）A.1895秒 B.1896秒 C.1985秒 D.2528秒6.在三個地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有人患了流感．假設(shè)這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一人，則這個人患流感的概率為（）A. B. C. D.7.已知，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.8.在圓冪定理中有一個切割線定理：如圖1所示，QR為圓O的切線，R為切點，QCD為割線，則．如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點，點P是圓上的任意一點，過點作直線BT垂直AP于點T，則的最小值是（）A B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.點為圖象的一個對稱中心C.若在上有兩個實數(shù)根，則D.若導(dǎo)函數(shù)為，則函數(shù)的最大值為10.在正方體中，，點P滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)平面時，不可能垂直B.若與平面所成角為，則點P的軌跡長度為C.當(dāng)時，正方體經(jīng)過點、P、C的截面面積的取值范圍為[，]D.當(dāng)時，的最小值為11.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.在上是增函數(shù)B.，不等式恒成立，則正實數(shù)的最小值為C.若有兩個零點，則D.若，且，則的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件，若，則______．13.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，若函數(shù)，則函數(shù)的值域為___________.14.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是______四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)三角形內(nèi)角、、的對邊分別為、、且．（1）求角的大??；（2）若，邊上的高為，求三角形的周長．16.為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：性別鍛煉不經(jīng)常經(jīng)常女生4060男生2080（1）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；（2）從這200人中隨機選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；（3）為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，集團設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題活動，在該活動的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求第次傳球后球在甲手中的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.82817.如圖，圓柱的軸截面為正方形，點在底面圓周上，且為上的一點，且為線段上一動點（不與重合）（1）若，設(shè)平面面，求證：；（2）當(dāng)平面與平面夾角為，試確定點的位置.18.已知點在拋物線上，為拋物線上兩個動點，不垂直軸，為焦點，且滿足．（1）求值及的方程；（2）證明：線段的垂直平分線過定點；（3）設(shè)（1）中定點為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程．19.已知函數(shù).（1）若不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）證明.2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研試題注意事項1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效.3．本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B，再集合交集的概念求解可得答案.【詳解】由題意得，又因為，所以，所以，故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C. D.2【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式計算即可.【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)滿足，則可轉(zhuǎn)化為，所以.故選：A.3.已知，，，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】首先根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示可知，再根據(jù)余弦二倍角公式化簡、解方程可得,進(jìn)而可得，再根據(jù)兩角差的正切公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，，所以或，又，所以，所以，所以，故選：B.4.函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】原不等式變形為，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性即可得到不等式，解出即可.【詳解】當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞增，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，易知單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，則在R上單調(diào)遞增，因為，則，所以由得，所以，解得.故選：A.5.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為，細(xì)沙全部在上部，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長度忽略不計）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，則該沙漏的一個沙時大約是（）A.1895秒 B.1896秒 C.1985秒 D.2528秒【正確答案】C【分析】由圓錐的體積公式計算細(xì)沙體積和沙堆體積，根據(jù)細(xì)沙體積不變即可求解．【詳解】沙漏中的細(xì)沙對應(yīng)的圓錐底面半徑為，高為，所以細(xì)沙體積為所以該沙漏的一個沙時為秒，故選：C6.在三個地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有的人患了流感．假設(shè)這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一人，則這個人患流感的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】考慮患流感的這個人可能來至于哪個地區(qū)，結(jié)合互斥事件的概率計算可得答案.【詳解】由題意得，從這三個地區(qū)中任意選取一人，則這個人可能來至于三個地區(qū)中患流感的人當(dāng)中，故這個人患流感的概率為，故選：D7.已知，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】首先證明此函數(shù)為偶函數(shù)，再利用其導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，利用其是偶函數(shù)得到，，通過指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，再根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)證明出，同取對數(shù)得到，則有，再利用單調(diào)性即可得到大小關(guān)系.【詳解】因為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以為上的偶函數(shù)，當(dāng)時,，設(shè)，則，，，所以即在上單調(diào)遞減,所以,所以在上單調(diào)遞減,又因為為偶函數(shù),所以在上單調(diào)遞增，又因為,,又因為,因為,，所以,所以，即,所以,所以即.故選：D關(guān)鍵點點睛：本題首先證明函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，對于其單調(diào)性的求解需要二次求導(dǎo)，其次就是利用函數(shù)的奇偶性對進(jìn)行一定的變形得，,然后就是比較的大小關(guān)系，需要結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行合理放縮，對于這種較為接近的數(shù)字比較大小問題，通常需要利用函數(shù)的單調(diào)性以及尋找合適的中間量放縮.8.在圓冪定理中有一個切割線定理：如圖1所示，QR為圓O的切線，R為切點，QCD為割線，則．如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點，點P是圓上的任意一點，過點作直線BT垂直AP于點T，則的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，進(jìn)而求得，再利用基本不等式即可得到答案【詳解】連接，在中，因為是的中點，所以，平方得，將代入可得，因為，所以，所以，在，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取等號,故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.最小正周期為B.點為圖象的一個對稱中心C.若在上有兩個實數(shù)根，則D.若的導(dǎo)函數(shù)為，則函數(shù)的最大值為【正確答案】ACD【分析】對于A，直接由周期公式即可判斷；對于B，直接代入檢驗即可；對于C，畫出圖形，通過數(shù)形結(jié)合即可判斷；對于D，求得后結(jié)合輔助角公式即可得解.【詳解】由題意可得，故A正確；，所以不是圖象的一個對稱中心，故B錯誤；令，由得，根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為直線與曲線，有兩個交點，數(shù)形結(jié)合可得，故C正確；設(shè)f'x為則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確，故選：ACD．10.在正方體中，，點P滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)平面時，不可能垂直B.若與平面所成角為，則點P的軌跡長度為C.當(dāng)時，正方體經(jīng)過點、P、C的截面面積的取值范圍為[，]D.當(dāng)時，的最小值為【正確答案】BD【分析】對A，作出如圖空間直角坐標(biāo)系，由向量法結(jié)合向量垂直判斷即可；對B，由幾何關(guān)系得出與平面所成線面角，可得，則點P的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個圓；對C，由得點P在上，利用幾何關(guān)系可得的面積最值在端點及中點位置；對D，將平面與平面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理即可求.【詳解】對A，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，令，則，即平面的一個法向量為，若平面，則，即，由，則，即P為中點時，有平面，且，A錯；對B，因為平面，連接，則即為與平面所成角，若與平面所成角為，則，所以，即點P的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個圓，于是點P的軌跡長度為，B對；對C，因為，所以點P一定在上，又因為當(dāng)或1時，的面積取最大值，此時截面面積為，設(shè)的中點為H，由圖形的變化可得當(dāng)點P在DH和運動時，所得截面對稱相同，于是當(dāng)時，的面積取最小值，此時截面面積為，C錯；對D，如圖，將平面與平面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理可知，所以，D對.故選：BD（1）容易建系的幾何體一般可通過建系快速解決長度、角度等問題.本題A中，通過線面平行得線與該面的法向量垂直，即可得參數(shù)間的關(guān)系，即可進(jìn)一步討論線線垂直的問題；（2）B中軌跡問題，關(guān)鍵結(jié)合正方體的線面垂直性質(zhì)得出線面角，即可得出所求軌跡為圓?。唬?）C中截面問題，關(guān)鍵結(jié)合正方體的對稱性，轉(zhuǎn)化為三角形面積的和，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成討論高的范圍問題；（4）D中求不同表面線段和問題，一般展開成平面討論.11.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.在上是增函數(shù)B.，不等式恒成立，則正實數(shù)的最小值為C.若有兩個零點，則D.若，且，則的最大值為【正確答案】ABD【分析】A選項中，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本原則可知A正確；B選項中，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，由此可將恒成立的不等式化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由可知B正確；C選項中，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，由此確定，若，可等價轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，從而得到，知，可得C錯誤；D選項中，采用同構(gòu)法將已知等式化為，從而可確定，結(jié)合單調(diào)性得到，由此化簡得到，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值，知D正確.【詳解】對于A，當(dāng)時，，令，則，，，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上為增函數(shù)，A正確；對于B，當(dāng)時，，又為正實數(shù)，，，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，則由得：，即，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，則正實數(shù)的最小值為，B正確；對于C，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，則；不妨設(shè)，則必有，若，則，等價于，又，則等價于；令，則，，，，，即，在上單調(diào)遞增，，即，，可知不成立，C錯誤；對于D，由，得：，即，由C知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，，則，，，即，；令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即的最大值為，D正確.故選：ABD.方法點睛：本題C選項考查了導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移問題；處理極值點偏移中的類似于（）的問題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件，若，則______．【正確答案】【分析】運用條件概率和并事件的概率公式即可解決.【詳解】，將代入可以求得，，將，代入，求得故答案為.13.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，若函數(shù)，則函數(shù)的值域為___________.【正確答案】【分析】分離常數(shù)，求出函數(shù)的值域，再根據(jù)高斯函數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】解：，則，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上，函數(shù)的值域為.故答案為.14.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是______【正確答案】8【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可知為奇函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可知，然后結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，又，所以函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，等號成立，所以的最小值為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)三角形的內(nèi)角、、的對邊分別為、、且．（1）求角的大?。唬?）若，邊上的高為，求三角形的周長．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用內(nèi)角和為化簡，利用二倍角公式化簡，再利用輔助角公式化簡即可求得；（2）由面積公式和余弦定理，聯(lián)立方程組求解三角形即可.【小問1詳解】因為，，為的內(nèi)角，所以，因為，所以可化為：，即，即，因為，解得：，即．小問2詳解】由三角形面積公式得，代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以的周長為.16.為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：性別鍛煉不經(jīng)常經(jīng)常女生4060男生2080（1）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；（2）從這200人中隨機選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；（3）為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，集團設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題活動，在該活動的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求第次傳球后球在甲手中的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828【正確答案】（1）可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，理由見解析（2）（3）【分析】（1）計算卡方，與6.635比較后得到結(jié)論；（2）利用事件，利用條件概率求出答案；（3）設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為，，得到，利用構(gòu)造法得到，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，從而求出通項公式，得到答案.【小問1詳解】，故依據(jù)的獨立性檢驗，可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；【小問2詳解】設(shè)從這200人中隨機選擇1人，設(shè)選到經(jīng)常鍛煉的學(xué)生為事件A，選到的學(xué)生為男生為事件B，則，則已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，他是男生的概率；【小問3詳解】設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為，，則有，，設(shè)，則，所以，解得：，所以，其中，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，故，故第次傳球后球在甲手中的概率為.17.如圖，圓柱的軸截面為正方形，點在底面圓周上，且為上的一點，且為線段上一動點（不與重合）（1）若，設(shè)平面面，求證：；（2）當(dāng)平面與平面夾角為，試確定點的位置.【正確答案】（1）證明見解析；（2）為中點.【分析】（1）由線面垂直、圓的性質(zhì)有、，再由線面垂直的判定及性質(zhì)得，進(jìn)而有面，最后由線面垂直的性質(zhì)、射影定理及線面平行的判定和性質(zhì)證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系求的坐標(biāo)，設(shè)，可得，再分別求出面、面的法向量，結(jié)合已知面面角的大小求參數(shù)，即可確定點的位置.【小問1詳解】由題知面面，則，由為底面圓的直徑，則，由，面，面，又∵面，∴，又，面，面，又∵面，故.由，在中，由射影定理：，故面面,∴面，又面面，面，∴.【小問2詳解】由（1）知，以為原點為軸正方向，過的母線為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，設(shè)，，設(shè)面的法向量為，則，令，則，又平面的一個法向量設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得或，其中時重合，不合題意，故當(dāng)平面與平面夾角為時，此時為中點.18.已知點在拋物線上，為拋物線上兩個動點，不垂直軸，為焦點，且滿足．（1）求的值及的方程；（2）證明：線段的垂直平分線過定點；（3）設(shè)（1）中定點為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程．【正確答案】（1），拋物線方程為.（2）證明見解析（3）【分析】（1）將的坐標(biāo)代入拋物線方程可求出的值，從而可求出的方程；（2）設(shè)直線的方程為：，將直線方程代入拋物線方程化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義和