2024年安徽省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷

2024年安徽省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)真題卷本試卷共三大題，25小題，滿分為100分.共4頁.考試時間為90分鐘.一、選擇題：本大題共18小題，每小題3分，共54分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集運算求解.【詳解】解：因為集合，，所以，故選：D2.設(shè)命題，，則命題p的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷．【詳解】特稱命題的否定是全稱命題，所以命題p的否定為：，．故選：B．3.已知為虛數(shù)單位，，則實數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡方程可得，由此可求.【詳解】因為，即，可得，所以.故選：C.4.已知，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求解．【詳解】由已知，又，∴，故選：A．5.如圖，在長方體，中，，，則異面直線CD與所成的角的大小為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義求解：說明是異面直線CD與所成的角或其補角，然后在直角三角形中求得這個角．【詳解】∵，∴是異面直線CD與所成的角或其補角，在直角中，，，所以，所以異面直線CD與所成的角是，故選：A．6.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，直接判斷函數(shù)的奇偶性.【詳解】A.的圖象關(guān)于軸對稱，是偶函數(shù)，故A錯誤；B.是非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；C.是奇函數(shù)，故C正確；D.的定義域是，是非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.故選：C7.已知扇形的半徑是，圓心角為2，則該扇形的面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積計算公式可得.【詳解】由扇形的面積公式，可得，故選：A.8.已知，，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，成立，反之當(dāng)時，成立，所以p是q的充要條件.故選：C9.從一批零件中隨機抽取若干個，測量其直徑（單位：），得到頻率分布直方圖如圖所示，據(jù)此估計該批零件直徑的眾數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義求解.【詳解】根據(jù)眾數(shù)的定義可得，該批零件直徑的眾數(shù)的估計值為高度最高的矩形條所對應(yīng)的區(qū)間的中點值.故選：A.10.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)的圖象上所有的點（）A.橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變B.橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變C.縱坐標縮短到原來的，橫坐標不變D.縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換原則即可得到結(jié)果.【詳解】對于A，得滿足題意；對于B，得不滿足題意；C，得不滿足題意；D，得不滿足題意.故選：A.11.函數(shù)的零點是（）A. B. C.2,0 D.【答案】B【解析】【分析】令，解方程可得結(jié)論.【詳解】令，可得，所以，故.所以函數(shù)的零點是.故選：B.12.如圖，在中，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由向量的線性運算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，即得.故選：B.13.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“點數(shù)不大于2”，事件“點數(shù)大于1”，則下列結(jié)論中正確的是（）A.M是不可能事件 B.N是必然事件C.是不可能事件 D.是必然事件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)事件的定義判斷．【詳解】事件是點數(shù)為1或2，事件是點數(shù)是2，3，4，5或6，它們都是隨機事件，是點為2，是隨機事件，是可能發(fā)生的，是點數(shù)為1，2，3，4，5或6，一定會發(fā)生，是必然事件，故選：D．14.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)圖象與非正半軸的交點個數(shù)及在上單調(diào)性判斷即可.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，排除AB；當(dāng)時，由，得或，此時函數(shù)圖象與非正半軸有2個交點，排除C，選項D符合題意.故選：D15.從2，4，8中任取兩個不同的數(shù)，分別記作a，b，則使為整數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列舉的方法，結(jié)合古典概型概率公式，即可求解.【詳解】由條件可知，得到不同的對數(shù)為，，，，，，共6個對數(shù)，其中為整數(shù)的有2個，所以概率.故選：B16.設(shè)函數(shù)是定義域為偶函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性比較，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)可得，由此確定結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以，A錯誤；因為函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，所以，B錯誤；所以，，D正確，C錯誤.故選：D.17.已知兩條直線，與平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中線線、線面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】對于A：若，，則或與相交或異面，故A錯誤；對于B；因為，則存在直線，使得，又，所以，則，故B正確；對于C：因為，，則或或與平面相交（不垂直）或，故C錯誤；對于D：因，，則或，故D錯誤.故選：B18.已知函數(shù)，，下列關(guān)于函數(shù)和的三個結(jié)論：①的值域是；②存在，使得，；③任意x，，都有.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A.① B.①② C.①③ D.②③【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本不等式判斷①，聯(lián)立方程，再結(jié)合，判斷②，根據(jù)指數(shù)運算，即可判斷③.【詳解】①，當(dāng)，即時等號成立，故①正確；②聯(lián)立，解得：，，顯然這樣矛盾，故②錯誤；③，，所以，故③正確.故選：C二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.19.________.【答案】##【解析】【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式和特殊角三角函數(shù)結(jié)論求解.【詳解】.故答案為：.20.已知，，若，則________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)向量垂直坐標表示列方程求即可.【詳解】因為，，，所以，所以x=1故答案為：.21.某高中高一年級有學(xué)生1440人，高二年級有學(xué)生1600人，高三年級有學(xué)生1760人.現(xiàn)用分層抽樣的方法，從這三個年級學(xué)生中抽取n人了解他們的學(xué)習(xí)情況，其中在高二年級抽取了100人，則________.【答案】300【解析】【分析】根據(jù)題意求得每個學(xué)生抽到的概率，結(jié)合分層抽樣列出方程，即可求解.【詳解】利用分層抽樣的方法從三個年級中抽取了n人進行問卷調(diào)查，其中高二年級抽取了100人，高二年級共有1600人，則每個學(xué)生被抽到的概率為，可得，解得（人），故答案為：.22.如圖，城市在觀察站的北偏東方向上且相距，在觀察站的北偏西方向上相距.則觀察站和相距________km.【答案】【解析】【分析】由條件可得，，，利用余弦定理求【詳解】由條件可得，，，由余弦定理可得，所以，故.故答案為：.三、解答題：本大題共3小題，每小題10分，共30分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟.23.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式求解；（2）結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，再求其與交集即可.【小問1詳解】因為，所以的最小正周期.【小問2詳解】令，，則，.所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，，又因為，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.24.如圖，在正三棱柱中，D為AC的中點.（1）求證：；（2）若，，求三棱錐的表面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得.（2）將三棱錐的各個面的面積計算出來再相加即可.【小問1詳解】證法一：由題意知，為正三角形，D為AC的中點，所以，又平面ABC，平面ABC，所以，又因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以.證法二：如圖，取中點E，連接DE，BE，則或其補角即為異面直線與BD所成的角，在中，，，，則為直角三角形，，即異面直線與BD所成的角為直角，故.【小問2詳解】因為為正三角形，，所以，所以的面積，又平面ABC，所以，，所以面積，的面積，由（1）可知，平面，所以，，所以的面積，所以三棱錐的表面積.25.為美化校園環(huán)境，發(fā)展學(xué)生的科學(xué)文化素養(yǎng)，某中學(xué)將在一塊矩形空地上修建植物園.如圖所示，該空地長米，寬54米，計劃在此空地上修建兩條互相垂直且寬度均為x米的觀賞通道（圖中陰影部分），并在剩余四個矩形區(qū)域種植不同的植物供學(xué)生觀賞，其中.（1）若種植植物的區(qū)域面積不小于平方米，求的取值范圍；（2）若修建觀賞通道的總費用為元，種植植物的費用為元/平方米（為正常數(shù)）.當(dāng)為何值時，完成此計劃所需要的總費用最低？并求出這個最低總費用（結(jié)果用m表示）.（完成此計劃的總費用修建觀賞通道的總費用種植植物的總費用）