湖南省五市十校教研教改共同體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

五市十校教研教改共同體2024年12月高一大聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由題意可得：，所以，，，，即不是集合M的子集，故B正確，ACD錯(cuò)誤.故選：B.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)值正負(fù)以及零點(diǎn)存在性定理可求得零點(diǎn)所在的區(qū)間.【詳解】函數(shù)在單調(diào)遞增因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕瑒t，由零點(diǎn)存在定理知零點(diǎn)所在的區(qū)間為，故選：D.3.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較對數(shù)式及指數(shù)式大小即可.【詳解】，，，所以.故選:A.4.已知，則“”是“二次函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，得或，由二次函數(shù)在單調(diào)遞增，得，由或不能推出，而能推出或，所以“”是“二次函數(shù)在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件，故選：B.5.下列說法正確的是（）A.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則B.第一象限角都是銳角C.是第三象限角D.若扇形的圓心角是，半徑為2，則扇形的弧長為120【答案】C【解析】【分析】對于A：根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義運(yùn)算求解；對于BC：根據(jù)象限角的定義分析判斷；對于D：根據(jù)弧長公式運(yùn)算即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：由題，，則，所以，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：例如在第一象限，但不是銳角，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，且是第三象限角，所以是第三象限角，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以弧長，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.8月15日是全國生態(tài)日，2024年全國生態(tài)日的主題是加快經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展全面綠色轉(zhuǎn)型.2005年8月15日，習(xí)近平同志在浙江安吉首次提出“綠水青山就是金山銀山”，這一科學(xué)論斷是習(xí)近平生態(tài)文明思想的核心理念，已經(jīng)成為全黨全社會的共識，在祖國大地上生根、開花.黨的十八大以來，我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展與生態(tài)環(huán)境保護(hù)更加協(xié)調(diào)，綠色發(fā)展空間進(jìn)一步拓展.在生態(tài)環(huán)境質(zhì)量明顯好轉(zhuǎn)的同時(shí)，經(jīng)濟(jì)總量從2012年53.9萬億元升至2023年126萬億元，則我國經(jīng)濟(jì)總量從2012年至2023年的年平均增長率約為（）（參考數(shù)據(jù)，，，，）A.6% B.7% C.8% D.9%【答案】C【解析】【分析】設(shè)年平均增長率為，列式運(yùn)算得解.【詳解】設(shè)我國經(jīng)濟(jì)總量從2012年至2023年的年平均增長率為，則由題意，即，即，.故選：C.7.已知函數(shù)（，且）滿足對任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件得到函數(shù)單調(diào)遞增，從而分段函數(shù)的每一段均遞增且在端點(diǎn)連接處保證后一段端點(diǎn)函數(shù)值不小于前一段端點(diǎn)函數(shù)值，可得到關(guān)于的不等式組，求解即可.【詳解】根據(jù)對任意都有，得到該函數(shù)在上為增函數(shù)，則.故選：D.8.定義在上的函數(shù)滿足條件①，，②，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令求出，即可求出，再令求出，最后根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】，，令，得，又，，，再令，，，.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)代入特殊值法，可判斷A和C，根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對于B，，，可得且，，即，故B正確；對于C，舉反例，時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對于D，因在上為增函數(shù)，所以，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)（且）恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在一次函數(shù)，的圖象上，則下列說法正確的是（）A.的最小值為4 B.的最大值為C.的最小值為9 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而可得，對A，B，C利用基本不等式求解判斷；對D，消去，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值.【詳解】由題可得，所以，則，對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故A正確；對于B，由，得，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故C錯(cuò)誤；對于D，，，當(dāng)時(shí)，取最小值為，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.若的解集為，則的取值范圍是B.存在實(shí)數(shù)，使在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)C.若的兩個(gè)零點(diǎn)為，，且，則D.若有且只有整數(shù)零點(diǎn)，則所有正整數(shù)的值為16，18，25【答案】ACD【解析】【分析】由判別式小于零可得A正確；由一元二次方程根的分布性質(zhì)解不等式組可得B錯(cuò)誤；由韋達(dá)定理結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性可得C正確；由韋達(dá)定理得到，再分整數(shù)零點(diǎn)的情況討論即可得到D正確；【詳解】對于A選項(xiàng)，由，故A正確；對于選項(xiàng)B，由無解，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，由，又，，則，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，則，故C正確；對于D選項(xiàng)，設(shè)僅有的兩個(gè)整數(shù)零點(diǎn)分別為，，則由，，消去后，得到，情況①②③④⑤⑥1241684251816不合題意不合題意不合題意故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.________.【答案】##【解析】【分析】應(yīng)用指數(shù)及對數(shù)運(yùn)算律化簡求值.【詳解】原式.故答案為：.13.已知對數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)的定義域?yàn)開_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)出對數(shù)函數(shù)表達(dá)式，求得參數(shù)的值，得出表達(dá)式，進(jìn)而得出定義域.【詳解】由題意，，在對數(shù)函數(shù)中，圖象經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)，，解得：，∴，∴，解得：定義域?yàn)?故答案為：.14.設(shè)函數(shù)若方程有四個(gè)解，，，，且.（1）的取值范圍是________；（2）若有意義，則的取值范圍是________.【答案】①.（1）②.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象可求得結(jié)果；（2）先根據(jù)圖象以及得到的取值，結(jié)合取值構(gòu)造新的函數(shù)，可求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，畫出的圖象，如圖所示：，方程有四個(gè)解，，，，則；（2）對于時(shí)，此時(shí)，所以據(jù)圖可得，，要使有意義，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，再令，則；當(dāng)時(shí)，，，則，即.綜上，的取值范圍是.故答案為：（1）；（2）.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)，關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合有易于分析題意；（2）根據(jù)根的情況可得到交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而得到的取值范圍；（3）根據(jù)解析式的情況構(gòu)造出新的函數(shù)，然后根據(jù)單調(diào)性求得值域.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）為的內(nèi)角，已知，求，的值；（2）已知，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系可求得結(jié)果；（2）根據(jù)求出，再將原式轉(zhuǎn)化可求得結(jié)果.【詳解】（1）為的內(nèi)角，，又，，，由，得，；（2），又，原式.16.已知集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式以及二次不等式，根據(jù)集合的運(yùn)算可求得結(jié)果；（2）根據(jù)包含關(guān)系可求得取值.【小問1詳解】對于集合，，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，，；【小問2詳解】根據(jù)，，①當(dāng)時(shí)，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，由題得；③當(dāng)時(shí)，，由題得，綜上，的取值范圍為.17.首屆全國青少年三大球運(yùn)動會于年月日在長沙、岳陽成功舉辦，這次運(yùn)動會的舉辦激發(fā)了青少年對三大球（籃球、排球、足球）的愛好興趣.王先生現(xiàn)有資金萬元，準(zhǔn)備全部用于投資銷售籃球和足球器材.已知投資萬元銷售籃球器材，獲得利潤（萬元）與成正比；投資萬元銷售足球器材，獲得利潤為（萬元）（沒有投資時(shí)的利潤為萬元），且滿足.（1）求、的解析式；（2）王先生應(yīng)投資銷售籃球器材和足球器材各多少萬元時(shí)，他所獲得的利潤最大，最大利潤是多少？【答案】（1），（2）75萬元，25萬元；50萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)可求出的值，可得出函數(shù)的解析式，設(shè)，由題意得出，可得出的值，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）設(shè)王先生投資（萬元）銷售足球器材，則投資（萬元）銷售籃球器材，設(shè)他所獲得的利潤為（萬元），可得出，化簡函數(shù)解析式，利用基本不等式可求得的最大值，利用等號成立的條件求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意可知，所以，則，所以，所以.由題意可設(shè)，所以，所以【小問2詳解】設(shè)王先生投資（萬元）銷售足球器材，則投資（萬元）銷售籃球器材，設(shè)他所獲得的利潤為（萬元），則由題意有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以當(dāng)王先生投資（萬元）銷售足球器材，投資（萬元）銷售籃球器材時(shí)，他所獲得的利潤最大，最大利潤為（萬元）.18.設(shè)函數(shù)（且，為常數(shù)）.（1）若為奇函數(shù)，求不等式的解集；（2）若為偶函數(shù)，且，證明：在單調(diào)遞增；（3）設(shè)函數(shù)，在第（2）問的條件下，若，，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義得到的值，即可求得解集；（2）先根據(jù)函數(shù)時(shí)偶函數(shù)得到的值，再根據(jù)得到的值，即可根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）根據(jù)（2）中的單調(diào)性以及解析式，求得的最小值，再結(jié)合能成立問題可求得取值.【小問1詳解】由于有意義，奇函數(shù)滿足，此時(shí)，滿足，符合題意，由得，當(dāng)時(shí)，得，即，即不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，得，即，即不等式的解集為；綜上，當(dāng)時(shí)，的解集為，當(dāng)時(shí)，的解集為；【小問2詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，得，移項(xiàng)可得，所以，即，由得，解得或，所以，任取，且，則，因?yàn)?，則，，所以，所以，所以在單調(diào)遞增；【小問3詳解】由（2）可知在上單調(diào)遞增，時(shí)，的最小值為；由題意得，使，即在有解，令，由（2）知在單調(diào)遞增，，則，則轉(zhuǎn)化為在有解，只需，在單調(diào)遞減，且在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取最大值為，，即的取值范圍為.19.給出定義：若函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，對任意，都有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），則稱函數(shù)是區(qū)間上的凸函數(shù).若是區(qū)間上的凸函數(shù)，則對任意和任意滿足的正實(shí)數(shù)，都有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，請利用上述定義和性質(zhì)完成下列問題：（1）證明：函數(shù)在上凸函數(shù)；（2）求函數(shù)的最大值；（3）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）應(yīng)用基本不等式結(jié)合凸函數(shù)定義證明；（2）應(yīng)用凸函數(shù)的定義求解最大值即可；（3）應(yīng)用基本不等式結(jié)合凸函數(shù)定義再分和兩種情況分別求解最值列式得出參數(shù)范圍即可.【小問1詳解】對任意，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以函數(shù)在上是凸函數(shù).【小問2詳解】函數(shù)在上是凸函數(shù)，令，，則由凸函數(shù)的性質(zhì)有，其中，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，