高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程（含答案及解析）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練5

基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程

［考情分析］基本初等函數(shù)作為高考的命題熱點(diǎn)，多單獨(dú)或與不等式綜合考查，函數(shù)的應(yīng)用

問題集中體現(xiàn)在函數(shù)模型的選擇使用.函數(shù)與方程主要是函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷、零點(diǎn)所在區(qū)

間、求參數(shù)取值范圍等方面.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)難度較大.

【練前疑難講解】

一、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.指數(shù)函數(shù)且腎1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logWa>0,且aWl)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)

于y=x對(duì)稱，它們的圖象和性質(zhì)分。>1兩種情況，著重關(guān)注兩個(gè)函數(shù)圖象的異同.

2.累函數(shù)y=公的圖象和性質(zhì)，主要掌握a=l,2,3,一1五種情況.

二、函數(shù)的零點(diǎn)

函數(shù)/(x)=/U)—g(x)的零點(diǎn)就是方程穴x)=g(x)的根，即函數(shù)y=40的圖象與函數(shù)y=g(x)的

圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

三、函數(shù)模型及其應(yīng)用

應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般程序和解題關(guān)鍵

(1)一般程序：

「一藕…L「…鐮「廠軸—1f…麗7

：文字語言n：數(shù)學(xué)語言n：數(shù)學(xué)應(yīng)用II檢驗(yàn)作答?

(2)解題關(guān)鍵：解答這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不

等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答.

一、單選題

1.(2023?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)“*)=2G甸在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則"的取值范圍是

()

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,內(nèi))

—X2—2ax—a,x<0

2.(2024?廣東江蘇?高考真題)已知函數(shù)/(x)=,'八在R上單調(diào)遞增，則a

[e+ln(x+l),x>0

的取值范圍是()

A.(-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.O+s)

3.(2023?天津?高考真題)?a=1.Ol05,b=1.01°6,c=0.6°5,則。，2c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

4.(2024?安徽蕪湖?二模)在數(shù)列｛%｝中，S“為其前”項(xiàng)和，首項(xiàng)4=1,且函數(shù)

/(x)=V-%+]Sinx+(2q,+l)x+l的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則$5=()

A.26B.63C.57D.25

2

5.(21-22高二下?陜西寶雞?期末)函數(shù)y=lnx——的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

x

A.(-,1)B.(1,2)

e

C.(2,e)D.(e,+oo)

6.(2024?全國?模擬預(yù)測(cè))青少年視力問題是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表

測(cè)量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法

的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.5和4.9,記

小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為匕匕，則苣e()

A.(1.5,2)B.(2,2.5)C.(2.5,3)D.(3,3.5)

二、多選題

7.(2023?湖北武漢?二模)函數(shù)y=("'De”的圖像可能是()

8.(2023?廣東茂名?一模)e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，私〃eR,已知加e"'+ln〃>〃ln"+〃z,則

下列結(jié)論一定正確的是()

A.若m>0,貝！Jm一〃>0B.若m>0,貝!]曖一〃>0

C.若相<0,則m+lnz2VoD.若m<0,則e"+〃>2

三、填空題

9.(2024?廣東?一模)已知函數(shù)/(x)=sin(s+0)3>0)在區(qū)間(二,n)上單調(diào)，且滿足

=-1,/(—)=0,則。=

10.（2024?廣東梅州?模擬預(yù)測(cè)）某科創(chuàng)公司新開發(fā)了一種溶液產(chǎn)品，但這種產(chǎn)品含有2%

的雜質(zhì)，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不得超過01％,現(xiàn)要進(jìn)行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減

少;，要使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求，對(duì)該溶液過濾的最少次數(shù)為.

（參考數(shù)據(jù)：lg2?0.301,lg3?0.477）

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?天津?高考真題）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為

（）

5e*-5e

2

X2+2x+l

5e"+5e5cosx

x2+1

2.（2。22?江蘇連云港?二模）若函數(shù)—1+4）是偶函數(shù)，則八（）

A.-2

3.（2024?四川成都?二模）已知函數(shù)〃x）=2蘇8的值域?yàn)槿簦?,+功=/，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是（）

—co,——,+oo—,+00

444

4.（2022?北京?高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶〃使用高效環(huán)保的二氧化碳

跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處

的狀態(tài)與T和1g尸的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)

論中正確的是（）

A.當(dāng)7=220,P=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)7=270,P=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)7=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)7=360,尸=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

5.（23-24高三上,北京?期中）近年來純電動(dòng)汽車越來越受消費(fèi)者的青睞，新型動(dòng)力電池迎

來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah）,放電時(shí)間f

（單位：h）與放電電流/（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：C=其中〃為

Peukert常數(shù).為測(cè)算某蓄電池的Peukert常數(shù)”，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流

/=20A時(shí)，放電時(shí)間r=20h；當(dāng)放電電流/=50A時(shí)，放電時(shí)間t=5h.若計(jì)算時(shí)取

lg2?0.3,則該蓄電池的Peukert常數(shù)〃大約為（）

A.1.25B.1.5C.1.67D.2

6.（22-23高二上?云南玉溪?階段練習(xí)）已知函數(shù)>=/（x）（xeR）如滿足：/（x+3）=-/（x）,

/(-x)+/(x)=0,且xe[-3,0)時(shí)，/U)=log8(x+4),則”2024)=()

11

A.—3B.——C.0D.-

33

7.（21-22高三下?北京?開學(xué)考試）已知lgo+lg/?=0（〃>0且awl,/?>0且Z?wl）,則函

()

8.（21-22高三上?江蘇揚(yáng)州?期末）2018年9月24日，阿貝爾獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)雙料得主，英國

89歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震

動(dòng).在1859年，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并

提出了一個(gè)命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個(gè)何

題，并得到小于數(shù)字x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為兀（無）。二匚的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)

論，估計(jì)10000以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為（）（素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，lge^o.43,計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）

A.1079B.1075C.434D.2500

9.（2023?天津,高考真題）=1.0105,Z?=1.0106,c=O.605,則。也。的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

10.（2023?河南?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/5）=|（｝'-1|-1082工的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

11.（2023?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）今年8月24日，日本不顧國際社會(huì)的強(qiáng)烈反對(duì)，將福島第

一核電站核污染廢水排入大海，對(duì)海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究，福島核污水

中的放射性元素有21種半衰期在10年以上；有8種半衰期在1萬年以上.已知某種放射性元

素在有機(jī)體體液內(nèi)濃度c（Bq/L）與時(shí)間f（年）近似滿足關(guān)系式。=k/（左,0為大于0的常

數(shù)且"D.若。=，時(shí)，r=10；若c=4時(shí)，/=20.則據(jù)此估計(jì)，這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射

o12

性元素濃度C為強(qiáng)時(shí)，大約需要（）（參考數(shù)據(jù)：1嗎3。1.58,10825“2.32）

A.43年B.53年C.73年D.120年

12.（2022?廣東惠州?二模）函數(shù)〃犬）=ln（X+3）的圖像與函數(shù)8（%）=卜2一斗的圖像的交點(diǎn)

個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.0

二、多選題

13.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知無>0,y>0,且x+y=l,則（）

22

A.2"r>gB.log2x+log2y<-2C.?D.x+y>

14.（2021?山東濰坊?三模）已知函數(shù)>=優(yōu)（°>0且"1）的圖象如下圖所示，則下列四

個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)解析式對(duì)應(yīng)正確的是（）

已知函數(shù)〃%)=|lgx|,0<a<6,且=則

()

A.ab=lB.ab=10

C.a+2）的最小值為20D.(^+1)2+(Z?+1)2>8

x2+10x+l,x<0一

16.（2022?遼寧葫蘆島?二模）設(shè)函數(shù)〃力=<W4-0，若關(guān)于x的方程

/（%）=<2（4€?有四個(gè)實(shí)數(shù)解%,3,工3，%，且不<%，貝1]&+%）（毛-%）的值可能

是（）

A.0B.1C.99D.100

三、填空題

17.（2023?浙江寧波?二模）若函數(shù)y=a'（a>l）在區(qū)間口,2]上的最大值與最小值的差為2,

則a=.

18.（2024?北京通州?二模）已知函數(shù)〃x）=R+ig（x_2）的定義域?yàn)?

19.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)〃尤）=1。82（2力?晚8（8%）的最小值為.

20.（2023?廣東深圳?一模）定義開區(qū)間（。力）的長度為6-a.經(jīng)過估算，函數(shù)

111

的零點(diǎn)屬于開區(qū)間（只要求寫出一個(gè)符合條件，且長度不超過工

的開區(qū)間）.

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（X）的部分圖象如圖所示，則/（x）的解析式

D-/(x)=R^

2.（2。22?湖南常德?一模）函數(shù)?。??答的圖象大致是（）

3.(2024?四川成者B?模擬預(yù)測(cè))已知集合4={-2,-1,0,1,2}，B=(x|y->/7+log3(3-x)},則

AB=()

A.(0,1,2}B.{1,2}C.{-1,0}D.{0,1}

4.(2025?安徽?一模)^a=]ny/10,b=^In2-ln5,c=lnV4e,則a、b、c的大小關(guān)系是

()

A.c<a<bB.a<b<c

C.c<b<aD.b<a<c

5.(2022?重慶?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(元)=log“(-3x2+4依-1)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是()

C.0，—D.（"+oo）

6.（21-22高二下?河北秦皇島?期末）"累函數(shù)〃x）=（蘇在（0,+8）上為增函數(shù)”是

"函數(shù)g（x）=2，-療2,為奇函數(shù)"的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

%2_+3x＞0

/'尤＜則關(guān)于方程（）

{20,X/x=?x+2

的根個(gè)數(shù)不可能是（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

8.（2023?廣東梅州?二模）用二分法求方程log,丫-4=。近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可

2x

以是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

9.（2023?山東威海,一模）若函數(shù)〃x）=lnx與g（x）=?x-1（。＞0）的圖像有且僅有一個(gè)交

點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式〃彳-3）＜。-3＞4的解集為（）

A.（-oo,4）B.（4,-H?）C.（3,4）D.（3,5）

10.（22-23高三下?湖南?階段練習(xí)）住房的許多建材都會(huì)釋放甲醛.甲醛是一種無色、有著

刺激性氣味的氣體，對(duì)人體健康有著極大的危害.新房入住時(shí)，空氣中甲醛濃度不能超過

0.08mg/m3,否則，該新房達(dá)不到安全入住的標(biāo)準(zhǔn).若某套住房自裝修完成后，通風(fēng)

x（x=l,2,3,,50）周與室內(nèi)甲醛濃度y（單位：mg/n?）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式

y=0.48—0.1〃x）（xeN*）,其中〃尤）=log“[%（/+2/川（笈>。,*=1,2,3,,50）,且

/（2）=2,/（8）=3,則該住房裝修完成后要達(dá)到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)，至少需要通風(fēng)（）

A.17周B.24周C.28周D.26周

二、多選題

11.（2023?安徽合肥?一模）已知數(shù)列｛?！埃凉M足⑸=邛+九（-2）向.若對(duì)WweN+，都有

。用>4,成立，則整數(shù)4的值可能是（）

A.-2B.-1C.0D.1

12.（2023?重慶九龍坡?二模）若a,b,c都是正數(shù)，且2〃=3"=6。則（）

112111,

A.—F—=—B.—F—=—C.Q+"4cD.ab>4c2

abcabc

13.（2024?甘肅武威?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=log.（x-l）+l（a>0,awl）的圖象恒過定點(diǎn)尸，若點(diǎn)

P在直線7如+”>一1=0（"7>0,">0）上，則（）

1彳22171140

A.mn>—B.4m+n>—C.m+〃>D.+〉

824m+1n3

nh

14.（2023?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知a>l,b>L—7=2"—=logZ7,則以下結(jié)論正確

a—1b—\2

的是（）

111

A.a+T=b+\ogbB+—l

22"log2b

C.a—b<—2D.a+Z?>4

三、填空題

15.（2024?上海松江?二模）已知0<a<2,函數(shù)y=若該函數(shù)存

[la,x>2

在最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是____.

16.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）命題〃任意x?L3],〃<2、+2一方〃為假命題，則實(shí)數(shù)〃的取值范

圍是?

尤2+2尤—3r<0

Cl9"求使方程

（-2+Inx,x>0

的實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)為3時(shí)上取值范圍________.

18.（22-23高三下?廣東佛山?開學(xué)考試）已知函數(shù)〃x）=2ae*-lnx+ln2a,對(duì)任意的正實(shí)

數(shù)x都有〃x）Z0恒成立，則。的取值范圍是.

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練5

基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程

［考情分析］基本初等函數(shù)作為高考的命題熱點(diǎn)，多單獨(dú)或與不等式綜合考查，函數(shù)的應(yīng)用

問題集中體現(xiàn)在函數(shù)模型的選擇使用.函數(shù)與方程主要是函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷、零點(diǎn)所在區(qū)

間、求參數(shù)取值范圍等方面.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)難度較大.

【練前疑難講解】

一、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.指數(shù)函數(shù)且腎1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logWa>0,且aWl)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)

于y=x對(duì)稱，它們的圖象和性質(zhì)分。>1兩種情況，著重關(guān)注兩個(gè)函數(shù)圖象的異同.

2.累函數(shù)y=公的圖象和性質(zhì)，主要掌握a=l,2,3,一1五種情況.

二、函數(shù)的零點(diǎn)

函數(shù)/(x)=/U)—g(x)的零點(diǎn)就是方程穴x)=g(x)的根，即函數(shù)y=40的圖象與函數(shù)y=g(x)的

圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

三、函數(shù)模型及其應(yīng)用

應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般程序和解題關(guān)鍵

(1)一般程序：

「一藕…L「…鐮「廠軸—1f…麗7

：文字語言n：數(shù)學(xué)語言n：數(shù)學(xué)應(yīng)用II檢驗(yàn)作答?

(2)解題關(guān)鍵：解答這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不

等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答.

一、單選題

1.(2023?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)“*)=2G甸在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則"的取值范圍是

()

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.

—x—2ax—光<0

2.(2。24?廣東江蘇局考真題)已知函數(shù)/(')=efg+D,M。在R上單調(diào)遞增‘貝"

的取值范圍是()

A.(-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.O+s)

3.(2023?天津?高考真題)設(shè)a=L0產(chǎn),6=1.01。.6,-0.6。3則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

4.(2024?安徽蕪湖?二模)在數(shù)列｛%｝中，S“為其前”項(xiàng)和，首項(xiàng)4=1,且函數(shù)

/(x)=V-%+]Sinx+(2q,+l)x+l的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則$5=()

A.26B.63C.57D.25

2

5.(21-22高二下?陜西寶雞?期末)函數(shù)y=lnx——的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

x

A.(-,1)B.(1,2)

e

C.(2,e)D.(e,+oo)

6.(2024?全國?模擬預(yù)測(cè))青少年視力問題是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表

測(cè)量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法

的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.5和4.9,記

小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為匕匕，則苣e()

A.(1.5,2)B.(2,2.5)C.(2.5,3)D.(3,3.5)

二、多選題

7.(2023?湖北武漢?二模)函數(shù)y=("'De”的圖像可能是()

8.(2023?廣東茂名?一模)e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，私〃eR,已知加e"'+ln〃>〃ln"+〃z,則

下列結(jié)論一定正確的是()

A.若m>0,貝！Jm一〃>0B.若m>0,貝!]曖一〃>0

C.若相<0,則m+lnz2VoD.若m<0,則e"+〃>2

三、填空題

9.(2024?廣東?一模)已知函數(shù)/(x)=sin(s+0)3>0)在區(qū)間(二,n)上單調(diào)，且滿足

/(-)=-1,/(—)=0,貝.

10.(2024?廣東梅州?模擬預(yù)測(cè))某科創(chuàng)公司新開發(fā)了一種溶液產(chǎn)品，但這種產(chǎn)品含有2%

的雜質(zhì)，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不得超過01％,現(xiàn)要進(jìn)行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減

少;，要使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求，對(duì)該溶液過濾的最少次數(shù)為.

(參考數(shù)據(jù)：lg2?0.301,lg3?0.477)

參考答案：

題號(hào)12345678

答案DBDCCCABCBC

1.D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.

【詳解】函數(shù)y=2,在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)〃x)=2中同在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)>=雙*-°)=(》-9)2-幺在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因此^21,解得“W2,

242

所以。的取值范圍是［2,+oo).

故選:D

2.B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，且x20時(shí)，〃x)=ex+ln(x+l)單調(diào)遞增，

--2a>0

則需滿足2x(-1),解得TVaWO,

—a4e°+In1

即。的范圍是［TO］.

故選：B.

3.D

【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)幕、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.

【詳解】由y=i.or在R上遞增，則。=1.0/5<6=1.01。6,

由y=留在［0,+8）上遞增，則a=1.01。5>c=O.605.

所以Z?>a>c.

故選：D

4.C

【分析】計(jì)算r（x）,分析r（x）的奇偶性，可判斷零點(diǎn)取值，代入計(jì)算可得｛g｝的遞推關(guān)

系，求出前5項(xiàng)，計(jì)算求和即可.

【詳解】因?yàn)椤▁）=x3—q,+]Sinx+（2a“+l）x+l,

所以r（x）=3d-%M8SX+（2%+1）,由題意可知：尸（力=0有唯一零點(diǎn).

令g（x）=1（x）=3/-??+icosx+（2%+1）,可知g（x）為偶函數(shù)且有唯一零點(diǎn)，

則此零點(diǎn)只能為0,即g（0）=0,代入化簡可得：an+i=2an+l,

又“1=1,所以。2=3,%=7,%=15,a5=31,所以85=57.

故選：C

5.C

【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.

9?

【詳解】解：y=/（x）=lnx—-的定義域?yàn)椋?,+巧，又y=ln元與y=-一在（0,+。）上單調(diào)

XX

遞增，

2

所以〃x）=lnx-1在（0,+。）上單調(diào)遞增，

又7（1）=山1一2=—2<0,/（2）=ln2-l<0,/（e）=Ine――=1――>0,

所以/⑵?/《）<（）,所以“力在（2,e）上存在唯一的零點(diǎn).

故選：C

6.C

【分析】根據(jù)題意得到方程組，求出｝亞而，根據(jù)2S。98<100<35=243得到

^/100e（2.5,3）,

【詳解】依題意，I;：=：*｝：，兩式相減可得，。4=lg%-lg%=1g卷，

[4.5=5+lghh

故*1?！?=&而，[fo2.5s?98<100<35=243,故痂5e(2.5,3).

故選：c.

7.ABC

【分析】分類討論函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】/(x)=(^2+l)e\

當(dāng)左=0時(shí),/(%)=e0A選項(xiàng)正確；

/'(%)=(區(qū)2+2日+1內(nèi)，

A=4k之—4k<0=>0<k<lf

/'(%)=(區(qū)之+2依+l)e">0,/(%)=(正之+1)/

左>1時(shí)，/'O)=(區(qū)2+2Ax+l)e"=0有兩個(gè)根芯,工2,且玉工2=；，七+%2=一2時(shí)

芭<0,9<。,根據(jù)極值點(diǎn)判斷，故c選項(xiàng)正確,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)左<0時(shí)，/'(%)=(左一+26+1卜”=0有兩個(gè)根石</,且％1%2='，玉+兀2=—2,止匕時(shí)

k

%<0,%2>。,故B選項(xiàng)正確.

故選：ABC.

8.BC

【分析】構(gòu)建函數(shù)〃力=屁二%根據(jù)題意分析可得對(duì)A、D：取特值分析

判斷；對(duì)B、C：根據(jù)"％)的單調(diào)性，分類討論分析判斷.

【詳解】原式變形為加e"-根>，

構(gòu)造函數(shù)/(x)=xe，—x,則/(⑹

[?]/z(x)=ex(x+l)-l,

當(dāng)x>0時(shí)，ex>l,x+l>l,貝即/'(x)=e、(x+l)—l>0；

當(dāng)x<0時(shí)，0<e"<l,x+l<l,則e"(x+l)<l,即/z(x)=ex(x+l)-l<0；

故在(f,0)上單調(diào)遞減，在(0,+。)上單調(diào)遞增，

對(duì)于A：取機(jī)=〃=e,則ln〃=l〈機(jī)

團(tuán)/(元)在(0,+。)上單調(diào)遞增，故

即根二孔=?滿足題意，但加一〃=。，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若m>0,則有：

當(dāng)ln〃K0,即〃41時(shí)，則e”>lN〃，即e"一〃>0;

當(dāng)ln〃>0,即九>1時(shí)，由/(%)在(0,+功時(shí)單調(diào)遞增，且,

故相>ln〃，則e"—〃>0;

綜上所述：e”-〃>0,B正確；

對(duì)于C：若根<0,則有：

當(dāng)ln〃K0,即〃時(shí)，m+ln〃v0顯然成立；

當(dāng)In>0,即九>1時(shí)，令M%)=/(x)—/(-兀)=%(/+匕-”一2),

回^+已一'_222口當(dāng)且僅當(dāng)爐=。-3即x=0時(shí)等號(hào)成立，

團(tuán)當(dāng)x<0時(shí)，所以〃(x)vO,即〃])</(—%),

由m<0可得/(帆)</(一相)，即/(山九)〈)(—m)

又回由/(%)在(0,+8)時(shí)單調(diào)遞增，且也〃>0,-相>0,

0InH<—m,BPln?z+m<0；

綜上所述：ln〃+zn<0,C正確；

對(duì)于D：取m=-2,n=—,則In幾二—1〈m，

e

回/⑴在(-oo,0)上單調(diào)遞減，故,

111

回故〃/=一2,〃=L滿足題意，但e"'+〃=r+—<2,D錯(cuò)誤.

ee~e

故選：BC.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：指對(duì)同構(gòu)的常用形式：

(1)積型：aea<blnb>

①構(gòu)造形式為：ae"<ln6e“J構(gòu)建函數(shù)/'(x)=xe'；

②構(gòu)造形式為：e°lnefl<b]nb,構(gòu)建函數(shù)〃x)=xlnx；

③構(gòu)造形式為：a+lnfl<ln/?+ln(lnZ>),構(gòu)建函數(shù)〃x)=x+lnx.

flh

（2）商型：e

aInZ7

…“a/nbx

①構(gòu)造形式為：構(gòu)建函數(shù)〃尤）=土；

aIn/7x

②構(gòu)造形式為：三W2，構(gòu)建函數(shù)"x）=F；

IneIn/?Inx

③構(gòu)造形式為：6Z-ln6z<lnZ?-ln（lnZ7）,構(gòu)建函數(shù)〃%）=無一1口］.

6

9.-

7

【分析】由單調(diào)性確定函數(shù)了。）的最小正周期范圍，再結(jié)合零點(diǎn)及最小值點(diǎn)求出周期即可

得解.

【詳解】依題意，/。）*=/吟）=-1,而函數(shù)“X）在（：^|）上單調(diào)，

則函數(shù)/（元）的最小正周期八2嚕-5=”，又/（當(dāng)=0,學(xué)一?=

126644612

因此:=^，解得T=g，所以/=與=:

故答案為：y

10.8

【分析】設(shè)至少需要過濾“次，得到0.020.001,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算和參考數(shù)據(jù)，求

得“28,即可求解.

【詳解】設(shè)至少需要過濾〃次，可得0.020.001,即

兩邊取對(duì)數(shù)，可得〃lg341g士，所以心為=7.4,

320j￡Ig3-lg2

3

又因?yàn)椤癳N*,所以“28,所以使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求的過濾次數(shù)最少為8次.

故答案為：8.

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?天津?高考真題）已知函數(shù)”力的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為

()

5sin)

x2+l

5cosx

x2+1

2.（2。22?江蘇連云港?二模）若函數(shù)―+匚/）是偶函數(shù)'則八（）

C.1D.2

3.（2024?四川成都?二模）已知函數(shù)〃x）=2加3的值域?yàn)镸.若（l,+e）=M,則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是（)

C.-00,-1UL+001

A.B.D.—,+co

I444

4.（2022?北京?高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館"冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳

跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處

的狀態(tài)與T和IgP的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；尸表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)

論中正確的是（）

A.當(dāng)7=220,P=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)7=270,P=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)7=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)T=360,P=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

5.（23-24高三上?北京?期中）近年來純電動(dòng)汽車越來越受消費(fèi)者的青睞，新型動(dòng)力電池迎

來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah）,放電時(shí)間/

（單位：h）與放電電流/（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：C=I”4,其中“為

Peukert常數(shù).為測(cè)算某蓄電池的Peukert常數(shù)”，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流

/=20A時(shí)，放電時(shí)間t=20h；當(dāng)放電電流/=50A時(shí)，放電時(shí)間r=5h.若計(jì)算時(shí)取

但2。0.3,則該蓄電池的Peukert常數(shù)〃大約為（）

A.1.25B.1.5C.1.67D.2

6.（22-23高二上?云南玉溪?階段練習(xí)）已知函數(shù)y=f（x）（無?R）如滿足：/（x+3）=-/（x）,

/(-x)+/(x)=0,且xe[-3,0)時(shí)，/(x)=log8(x+4),則/(2024)=()

谷11

A.—3B.—C.0D.—

33

7.(21-22高三下?北京?開學(xué)考試)已知lga+lg6=0(。>0且"1,7>0且五1),則函

8.（21-22高三上?江蘇揚(yáng)州?期末）2018年9月24日，阿貝爾獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)雙料得主，英國

89歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震

動(dòng).在1859年，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并

提出了一個(gè)命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個(gè)何

題，并得到小于數(shù)字x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為武尤）合戶的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)

論，估計(jì)10000以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為（）（素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，lge^O.43,計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）

A.1079B.1075C.434D.2500

9.（2023?天津,圖考真題）設(shè)a=l.Ol05,/?=LOI0',。=0.6°$,則。也。的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

10.（2023?河南?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（幻=|（；『-1|-1082尤的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

11.（2023?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）今年8月24日，日本不顧國際社會(huì)的強(qiáng)烈反對(duì)，將福島第

一核電站核污染廢水排入大海，對(duì)海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究，福島核污水

中的放射性元素有21種半衰期在10年以上；有8種半衰期在1萬年以上.已知某種放射性元

素在有機(jī)體體液內(nèi)濃度c（Bq/L）與時(shí)間f（年）近似滿足關(guān)系式c=h儲(chǔ)（左,a為大于0的常

數(shù)且"1）.若。=，時(shí)，7=10；若c=4時(shí)，f=20.則據(jù)此估計(jì)，這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射

612

性元素濃度C為強(qiáng)時(shí)，大約需要（）（參考數(shù)據(jù)：1唯3。1.58,1。825。2.32）

A.43年B.53年C.73年D.120年

12.（2022?廣東惠州二模）函數(shù)〃x）=ln（x+3）的圖像與函數(shù)g（尤）=,一斗的圖像的交點(diǎn)

個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.0

二、多選題

13.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知尤>0,y>0,且x+y=l,則（）

22

A.2>，>；B.log2x+log2y<-2C.?+拒D.x+y>^

14.（2021?山東濰坊?三模）已知函數(shù)y=（a>0且awl）的圖象如下圖所示，則下列四

A.

D.

15.已知函數(shù)*%)=怛乂,0<QV4且f{a)=f(b),則

()

A.ab=lB.ab=10

C.a+2）的最小值為20D.(?+l)2+(Z?+l)2>8

JQ+[0X+]*V0

16.（2022?遼寧葫蘆島?二模）設(shè)函數(shù)/"）='",若關(guān)于X的方程

|lgX|,X>U

/（力=砍4€?有四個(gè)實(shí)數(shù)解玉,馬,工3，匕，且％<忍<匕，則（占+超）（毛-X4）的值可能

是（）

A.0B.1C.99D.100

三、填空題

17.（2023?浙江寧波?二模）若函數(shù)y="（a>1）在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值的差為2,

則61=.

1

18.（2024?北京通州?二模）已知函數(shù)了（尤）=?+3（尤_2）的定義域?yàn)?

19.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)〃x）=log2（2x”og8（8x）的最小值為.

20.（2023?廣東深圳?一模）定義開區(qū)間（。/）的長度為b-a.經(jīng)過估算，函數(shù)

/（尤）=±-爐的零點(diǎn)屬于開區(qū)間__________（只要求寫出一個(gè)符合條件，且長度不超過工

26

的開區(qū)間）.

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DABDBBBBDB

題號(hào)111213141516

答案BCABDABDADBC

1.D

【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函

數(shù)在（0,+功上的函數(shù)符號(hào)排除選項(xiàng)，即得答案.

【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其為偶函數(shù)，且/（-2）=/（2）<。，

由=一芝（且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；

當(dāng)彳>0時(shí)善=Z2>o、5（e；+ef）>0,即人、c中（0,+動(dòng)上函數(shù)值為正，排除；

故選：D

2.A

【分析】由題意可得/（-x）=/（尤），化簡整理即可求得熱的值.

【詳解】函數(shù)/（x）=x（l+二）的定義域?yàn)閧xlxwO},由，（無）是偶函數(shù)，得f（—x）=f（x）,

即力（1+，^）=加+—）,整理得空;2=-2,所以機(jī)=一2.

1-e1-ee-1

故選：A

3.B

【分析】對(duì)實(shí)數(shù)。分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的值域可得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)0=0時(shí)，〃力=2-%（0,+8）,符合題意；

當(dāng)4H0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)〃尤）=2加3的值域?yàn)镸滿足（1,+功=M,

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù)y=af-x+l的最小值小于或等于零；

4/7-11

若。>0時(shí)，依題意有y=改2一%+1的最/J、值——<0,gp0<<—,

4a4

若avO時(shí)，不符合題意；

綜上：0<4?<—,

4

故選：B.

4.D

【分析】根據(jù)丁與坨尸的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)7=220,尸=1026時(shí)，lgP>3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.

當(dāng)7=270,P=128時(shí)，2<lgP<3,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.

當(dāng)7=300,P=9987時(shí)，IgP與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，對(duì)應(yīng)的是非超臨

界狀態(tài)，故C錯(cuò)誤.

當(dāng)7=360,尸=729時(shí)，因2<lg尸<3,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.

故選：D

5.B

【分析】由己知可得出可得出利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化、換底公

式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得〃的近似值.

20〃x20=C5

【詳解】由題意可得u萬，所以20〃x20=5(Tx5,所以=4,

50x5=C