函數(shù)及其性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）-2025年高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第01講函數(shù)及其性質(zhì)

（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）

（12類核心考點(diǎn)精講精練）

IN.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

2024年新I卷，第6題,5分根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

求函數(shù)值

2024年新I卷，第8題,5分比較函數(shù)值的大小關(guān)系

抽象函數(shù)的關(guān)系

函數(shù)奇偶性的定義與判斷根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

2024年新II卷，第6題,5分

函數(shù)奇偶性的應(yīng)用求余弦（型）函數(shù)的奇偶性

函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用

2024年新H卷,第11題,6分函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間

2023年新I卷，第4題,5分復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值

2023年新I卷，第11題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷函數(shù)極值點(diǎn)的辨析

2023年新II卷，第4題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用奇偶性求參數(shù)

抽象函數(shù)的奇偶性

2022年新I卷，第12題,5分函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系

函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用

2022年新II卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用抽象函數(shù)的周期性求函數(shù)值

2021年新I卷，第13題,5分由奇偶性求參數(shù)無

2021年新II卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的周期性的定義與求解

2021年新H卷,第14題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

2020年新I卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

2020年新H卷，第7題,5分復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性

1

2020年新n卷,第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5-6分

【備考策略】1.會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法

2.理解函數(shù)最大值、最小值的概念、作用和實(shí)際意義，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的最值

3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題

4.了解奇偶性的概念和意義，會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性

5.了解周期性的概念和意義.會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性解決問題

6.能綜合運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等解決相關(guān)問題.

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會(huì)以抽象函數(shù)作為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、

周期性及對(duì)稱性，是新高考一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容.

IN.考點(diǎn)梳理〉

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性

知識(shí)點(diǎn)2單調(diào)性的常見運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的奇偶性

知識(shí)點(diǎn)4函數(shù)的周期性

核心知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)5函數(shù)的對(duì)稱性

知識(shí)點(diǎn)6周期性對(duì)稱性綜合問題

知識(shí)點(diǎn)7奇偶性對(duì)稱性綜合問題

考點(diǎn)1根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性

考點(diǎn)2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性(含分段函數(shù))求參數(shù)值

考點(diǎn)3根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式

考點(diǎn)4根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小關(guān)系

考點(diǎn)5根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值

考點(diǎn)6抽象函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用

核心考點(diǎn)考點(diǎn)7函數(shù)周期性的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)8函數(shù)對(duì)稱性的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)9周期性對(duì)稱性的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)10周期性奇偶性的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)11奇偶性對(duì)稱性的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)12函數(shù)性質(zhì)的全部綜合應(yīng)用

知識(shí)講解

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

2

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量的值

M，x2

定義

當(dāng)為<第時(shí)，都有/(%)</(%),那么就說函數(shù)/(X)當(dāng)水電時(shí),都有/(%)?(%),那么就說函數(shù)

在區(qū)間。上是增函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是減函數(shù)

y=f(x)

V|

圖象描,芍)：於2)

0-x

述Opi~~%.~~x

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù).v=f(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,

區(qū)間D叫做y=》(x)的單調(diào)區(qū)間.

(3)函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

(1)對(duì)于任意的工￡/,都有/(x)WM；(3)對(duì)于任意的xG/,都有/(X)2M；

條件

(2)存在使得/(x0)=M⑷存在x°G/,使得/(%)="

結(jié)論M為最大值M為最小值

2.單調(diào)性的常見運(yùn)算

(1)單調(diào)性的運(yùn)算

①增函數(shù)(/)+增函數(shù)(/)=增函數(shù)/②減函數(shù)(、)+減函數(shù)(、)=減函數(shù),

③/(X)為/,則—/(X)為、，」一為、④增函數(shù)(/)—減函數(shù)(')=增函數(shù)/

/(X)

⑤減函數(shù)(\)—增函數(shù)(/)=減函數(shù)'⑥增函數(shù)(/)+減函數(shù)(%)=未知(導(dǎo)數(shù))

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)/'(x)=Mg(x)),設(shè)M=g(x),叫做內(nèi)函數(shù),則/(x)=〃(M)叫做外函數(shù)，

'內(nèi)函數(shù)T,外函數(shù)復(fù)合函數(shù)個(gè)

內(nèi)函數(shù)J,外函數(shù)復(fù)合函數(shù)T任、人閂+的曰/

'內(nèi)函數(shù)T,外函數(shù)復(fù)合函數(shù)二姑論：同增升減

、內(nèi)函數(shù)J,外函數(shù)復(fù)合函數(shù)J

3.奇偶性

①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(大前提)

②奇偶性的定義：

奇函數(shù)：圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

3

偶函數(shù)：/(-%)=/(%),圖象關(guān)于>軸對(duì)稱

③奇偶性的運(yùn)算

f(x)g(7)f(z)+g(N)/(?Z)-g(N)/[g(7)]

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

4.周期性(差為常數(shù)有周期)

①若/(x+a)=/(x),則/(x)的周期為：T=\a\

②若/(x+a)=/(x+b),則/(x)的周期為：T=\a-b\

③若/(x+a)=—/(x),則/(x)的周期為：T=\2a\(周期擴(kuò)倍問題)

④若/(x+a)=±—又，則/(x)的周期為：T=\la\(周期擴(kuò)倍問題)

J\x/

5.對(duì)稱性(和為常數(shù)有對(duì)稱軸)

軸對(duì)稱

①若/(x+a)=/(-x),則/(x)的對(duì)稱軸為x

②若f(x+a)=f^x+b),則/(x)的對(duì)稱軸為x=+

點(diǎn)對(duì)稱

①若/(x+a)=—/(—x),則/(x)的對(duì)稱中心為t，o]

②若f(x+a)+f(-x+b)=c,則/(x)的對(duì)稱中心為[審，

6.周期性對(duì)稱性綜合問題

①若/(a+x)=/(a-x),f(b+x)=f[b-x),其中則/(x)的周期為：7=2,一同

②若/(a+%)=-/("%),f(b+x)=-f{b-x),其中awb,則/(x)的周期為：

T=2\a-b\

③若/(a+x)=/(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中awb,則/(x)的周期為：

4

T=4\a-b\

7.奇偶性對(duì)稱性綜合問題

①已知/(x)為偶函數(shù)，/(x+a)為奇函數(shù)，則/(x)的周期為：T=4|a|

②已知/(x)為奇函數(shù)，/(x+a)為偶函數(shù)，則/(x)的周期為：T=4|a|

考點(diǎn)一、根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性

典例引領(lǐng)

1.(2021?全國(guó)?高考真題)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A./(x)=-xB.=HC./(x)=x2

D.f[x)=y[x

【答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,/(x)=r為&上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于B,=為尺上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于C,/(x)=Y在(-叫0)為減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于D,〃x)=哄為尺上的增函數(shù)，符合題意，

故選：D.

2.(2024?山西晉中?三模)下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在(0,+e)上單調(diào)遞減的是()

A.〃x)=2忖B.小)=尤3

lux,x>0,

C.=D./卜)=

-ln(-x),x<0

【答案】C

【分析】根據(jù)奇函數(shù)和單調(diào)性的定義，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象逐項(xiàng)判斷.

【詳解】對(duì)于A：函數(shù)〃x)=2慟的定義域?yàn)镽,

又〃_x)=2崗=〃尤),所以〃龍)是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由幕函數(shù)=d的圖象可知，〃x)=d在(0,+“)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C:函數(shù)/(X)=的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8),

X/(-x)=--(-x)=-/(x).所以“X)是奇函數(shù)，

5

又幕函數(shù)〉=匕、=-》都在（0,+司上單調(diào)遞減，

X

所以函數(shù)/（無）=Jr在（0,+8）上單調(diào)遞減，故C正確；

對(duì)于D：因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=lnx在（0,+（?）上單調(diào)遞增，

.、flnx,x>0,.、

所以函數(shù)/（月=1皿_》）x<0在（0'+司上單調(diào)遞增，故口錯(cuò)誤?

故選：C.

即峭史

1.（2024?全國(guó)?一模）下列函數(shù)中在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減的是（）

A.>=cosxB.y=2|x|C.y=X~2D.y=x2-l

【答案】C

【分析】結(jié)合常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?gt;=cosx是周期函數(shù)，在（0,+s）上不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,〉=2國(guó)在（0,+"）上是了=2"，單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于D,>=是二次函數(shù)，圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為歹軸，

所以它在（0,+8）上為增函數(shù)，故D錯(cuò)誤；

對(duì)于C,只有>=忒2=與這個(gè)函數(shù)在（0,+“）上單調(diào)遞減，故C正確.

X

故選：C

2.（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.=B.f（x）=tanxC./（x）=x3-—D.f（x）=Irrv

【答案】C

【分析】利用奇函數(shù)的定義=即可判斷四個(gè)選項(xiàng)的奇偶性，只有3、C是奇函數(shù)，又正切函

數(shù)在（0,+8）上不是單調(diào)遞增函數(shù)，而函數(shù)/（無）=x3的導(dǎo)函數(shù)恒大于零，所以只有C正確.

【詳解】對(duì)于A,.../（_對(duì)=（_對(duì)<=@產(chǎn)，\/（x）為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,,??/（-x）=tan（-x）=-tanA：=-/k）,\/（x）為奇函數(shù)，又/（x）=tanx在（0,+。）不滿足單調(diào)遞增定

義，所以B錯(cuò)誤；

31311

對(duì)于c,=1）+—=-/6）,\/（尤）為奇函數(shù)，/,（x）=3x2+—>0,\/（無）在

區(qū)間（0,+。）上單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D,y=lnx是非奇非偶函數(shù)，所以D錯(cuò)誤.

6

故選：c.

考點(diǎn)二、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性（含分段函數(shù)）求參數(shù)值

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高考真題）設(shè)函數(shù)/（x）=2*（1）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，貝IJ。的取值范圍是（）

A.B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+?）

【答案】D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.

【詳解】函數(shù)了=2工在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/（x）=28-°）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)y=x（x-4）=（x-g2-3在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，因此2n21,解得/2,

所以。的取值范圍是[2,+s）.

故選：D

2.（2024?全國(guó)?高考真題）已知函數(shù)/（刈=]r2：2"："/<,在R上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

[e+ln（x+l）,x>0

A.（-oo,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo）

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】因?yàn)?（無）在R上單調(diào)遞增，且尤20時(shí)，/（尤）=e'+ln（x+l）單調(diào)遞增，

則需滿足2x（-1）,解得-”“wo,

-tz<e°+In1

即〃的范圍是[TO].

故選：B.

即0^（

1.（2024?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)13=/—）在（2,3）上單調(diào)遞減，貝心的取值范圍是（）

A.[6,+co）B.（-00,6]

C.（-oo,4]D.[4,+00）

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得y=x（x-/）的單調(diào)性，從而可求得/的取值范圍.

7

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)？=6、在R上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)了=尤(》-。在(2,3)上單調(diào)遞

減，貝23,解得此6.

2

故選：A

/\flog^X,X>1

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(尤)=]。+2(-1b+°_6丁<1(。>0且。#1)在定義域內(nèi)是增函

數(shù)，則。的取值范圍是()

A.(2,3)B.(2,+8)C.[2,3]D.(1,4)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，利用分段函數(shù)單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/'(上修：鼠皿+…、<一

a>\

因?yàn)楹瘮?shù)“X)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則滿足121

-l+2(6f-l)+a-6<log"

解得24443,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為[2,3].

故選：C.

考點(diǎn)三、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式

典例引領(lǐng)

1.(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))已知奇函數(shù)”尤)在R上單調(diào)遞增，且/'⑵=1,則不等式/(x)+l<0的解集為()

A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-2,+co)D.(-<?,-2)

【答案】D

【分析】利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性計(jì)算即可.

【詳解】由/(尤)+1<0,可得/(x)<-l,

因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，且為2)=1,所以/(x)</(-2),

因?yàn)?(x)在R上單調(diào)遞增，所以》<-2,

故不等式1卜)+1<0的解集為-2).

故選：D

2.(2020?山東?高考真題)若定義在我的奇函數(shù)/(x)在(-*0)單調(diào)遞減，且/(2)=0,則滿足叭尤-1)20的x

的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+^)B.[-3,-l]U[0,l]

8

C.[-1,0]31,+8)D.[-l,0]u[l,3]

【答案】D

【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)"X)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)的乘積大于等

于零，分類轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槎x在尺上的奇函數(shù)/(x)在(-嗎0)上單調(diào)遞減，且"2)=0,

所以“X)在(0,+⑹上也是單調(diào)遞減，且/(-2)=0,/(0)=0,

所以當(dāng)xe(-叫-2)u(0,2)時(shí)，/(無)>0,當(dāng)xe(-2,0)U(2,+s)時(shí),/(x)<0,

所以由4(x-l)20可得:

fx<0fx>0

或或

解得-1WxWO或1VXV3,

所以滿足切(xT)20的x的取值范圍是[-1,0]?？?3],

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題.

3.(2024?四川南充?二模)設(shè)函數(shù)〃x)=sinx+e、-er-x+3,則滿足〃x)+〃3-2x)<6的x的取值范圍是

()

A.(-℃,1)B.(1,+<?)C.(3,+00)D.(-℃,3)

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃x)-3,說明其單調(diào)性和奇偶性，〃幻+/(3-2幻<6轉(zhuǎn)化為8(刈—)解不

等式即可求解.

【詳解】/(x)=sinx+e*-er-x+3,

設(shè)g(x)=/(x)-3=sinx+e*-e7-x,

又易知g(-x)=-g(x),.[ga)為R上的奇函數(shù)，

又g'(x)=cosx+ex+e-x-l>cosx+2-l=l+cosx>0,

g(x)在R上單調(diào)遞增，

X/(x)+/(3-2x)<6,

[/(x)-3]+[/(3-2x)-3]<0,

gW+g(3-2x)<0,

.-.g(x)<-g(3-2x),又g(x)為R上的奇函數(shù)，

.-.g(x)<g(2x-3),又g(x)在R上單調(diào)遞增，

x<2x-3,

..x>3,

故滿足〃x)+〃3-2x)<6的尤的取值范圍是(3,+功.

故選：C.

9

即時(shí)檢測(cè)

.____________

1.(2024?湖北武漢?二模)已知函數(shù)f(x)=x|x|,則關(guān)于x的不等式〃2無)的解集為()

A.B.C.口.(-1，與

【答案】A

【分析】消去絕對(duì)值可得函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可得.

,,fY2Y>0

【詳解】由/(x)=xW=<{；-n>故/(X)在R上單調(diào)遞增，

[-X,x<0

由,有2x>]_x,即x>!

故選：A.

2.(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/卜)=|3"-31,則不等式/'(2X-1)-/卜)>0的解集為()

A.1一■?,.+■?)B.(一叫'C.D.(1,+co)

【答案】A

【分析】判斷了(x)的奇偶性和單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解不等式即可.

【詳解】/("=|3:3)，定義域?yàn)镽,又/(-x)=『-3]=/(x),故y=/(x)為偶函數(shù)；

又當(dāng)x>0時(shí)，y=3、,y=-3-T均為單調(diào)增函數(shù)，故g(x)=3*-3T為(0,+刃)上的單調(diào)增函數(shù)；

又g(0)=0,故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0,則此時(shí)y=/(x)=g(x)為(0,+co)上的單調(diào)增函數(shù)，故x<0時(shí)，y=/(x)

為單調(diào)減函數(shù)；

/(2x-l)-/(x)>0,即〃2XT>/(X),則|21|>國(guó),即(21)",3X2-4X+1>0,

也即(3x-l)(x-l)>0,解得卜(1,+s).

故選：A.

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)f(x)=3i-32、則滿足/(無)+/(8-3尤)>0的x的取值范圍是()

A.(-叫4)B.(-?,2)C.(2,+co)D.(-2,2)

【答案】B

【分析】設(shè)g(x)=3,-3-工，即可判斷g(x)為奇函數(shù)，又/(x)=g(x-2),可得〃尤)圖象的對(duì)稱中心為(2,0),

則/(x)+/(4-x)=0,再判斷/(x)的單調(diào)性,不等式/(x)+/(8-3x)>0,即/(8-3x)>/(4-x),結(jié)合

單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.

【詳解】設(shè)8(力=3「3'尤?R,貝!]g(一工)=3一工一3"=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù).

又/(x)=3一一32T=3>2_3-(2)=g卜_2),

則〃x)的圖象是由g(?的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，

10

所以/（X）圖象的對(duì)稱中心為（2,0）,所以〃x）+/（4-x）=0.

因?yàn)椋?3,在R上單調(diào)遞增，了=3一，在R上單調(diào)遞減，

所以g（x）在R上單調(diào)遞增，則/（尤）在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)?。）+/（8-3x）＞0=/（x）+/（4-x）,

所以/（8-3x）＞/（4-尤），所以8-3x＞4-x,解得x＜2,

故滿足/四+/（8-3工）＞0的x的取值范圍為（-8,2）.

故選：B

考點(diǎn)四、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小關(guān)系

典例引領(lǐng)

1.(2024?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(%)>/(%-1)+/(%-2),且當(dāng)x<3時(shí)/(x)=x,

則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C.”10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【分析】代入得到/■⑴=1,〃2)=2,再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.

【詳解】因?yàn)楫?dāng)尤<3時(shí)〃x)=x,所以〃1)=1J(2)=2,

又因?yàn)椤▁)>/(x-l)+/(x-2),

則/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(11)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知/(20)>1000,則B正確；

且無證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用/(1)=1,/(2)=2,再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)

/(x)>/(x-l)+/(x-2),代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.

2.(2023?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(x)=e-Gf2.記。=/修力=/,c=/半，則()

\2)I27\2)

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

11

【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】令g(x)=-(x-l)2,則g(x)開口向下，對(duì)稱軸為x=l,

因?yàn)獒?1-l--y-=而;J,^(76+73)2-42=9+6A/2-16=672-7>0,

所以￥-1/1一?]=^^4>。，即如一i>i一"

2222?2

由二次函數(shù)性質(zhì)知g件)<g(y-)，

因?yàn)閊^-1-^~~2~;而(&+—甲=8+4/5—16=4/"^—8=4(/1?—2)<(,

即母_1<1一曰，所以g(乎)>gg>

綜上，g(￥)<g(乎)<g(字)'

又〉=二為增函數(shù)，故a<c<b,BPb>c>a.

故選：A.

3.(2024?寧夏銀川?二模)定義域?yàn)镽的函數(shù)"X)滿足/(x+2)為偶函數(shù)，且當(dāng)王<2時(shí)，

[/(%)-/(再)](%-再)>。恒成立，若Z)=/(lnl0),c=〃3；)，貝巾b,c的大小關(guān)系為(

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】D

【分析】根據(jù)條件先得到函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性比較大小.

【詳解】當(dāng)項(xiàng)<2時(shí)，"(2)-/(再)]區(qū)-再)>0恒成立，

即當(dāng)再<迎<2時(shí)，/(X2)>/(Xj),函數(shù)/(x)在(-8,2)上單調(diào)遞增，

又〃x+2)為偶函數(shù)，即〃x+2)="r+2),所以函數(shù)"X)關(guān)于x=2對(duì)稱，

則函數(shù)/(x)在(2,+8)上單調(diào)遞減，

所以。=川)=〃3)

因?yàn)?0<圖所以10<電<e3

所以2<lnl0<lne3=3<3W'

(5\

所以/(lnl0)>/(3)>/34,即c<"b,

\7

故選：D.

即時(shí)檢測(cè)

12

L(2024?遼寧丹東?二模)已知函數(shù)/(x)=%3一％,a=f--,b=/(log23),c=則()

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)/（x）的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)而求得的大小關(guān)系,

得到答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/'（x）=x3-x,可得/■'（%）=3--1,

當(dāng)xe(_oo,一中)時(shí),/%)>0；當(dāng)xe(',+8)時(shí),>0；

》€(wěn)（岑當(dāng)時(shí),r（x）＜o(jì),

當(dāng)

所以“X）在（_*_,）和（',+8）上遞增，在

上遞減,

因?yàn)橐?，＜；＜，，可?（_，）＞/（；），所以°＞c,

lo

又因?yàn)樽?lt;〃}=，g23-1=log23-log22V2>0,

所以log23>T，所以/(log?3)>/(|)>/(-1),即…，所以c<a<6.

故選：D.

2.(2024?北京?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/卜)="，記4=/[-；]6=/(3-"5),C=/(1085口，貝|]()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】由題意得/'（x）是R上的偶函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知/（x）=儲(chǔ)片關(guān)于x在（0,+8）上單調(diào)遞減,

進(jìn)一步比較對(duì)數(shù)、指數(shù)幕的大小即可求解.

【詳解】注意到/（x）定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，且/（-、）=（_：+]=/（》）=，,

所以/（X）是R上的偶函數(shù)，

從而a=d==小嗎=〃1臉2），

因?yàn)榱?x?+1在（0,+8）上單調(diào)遞增，

所以“X）=七關(guān)于X在（0,+8）上單調(diào)遞減,

13

25

而log52<log55=-<-I==—=3°-，

所以<C.

故選：B.

3.（2024?寧夏石嘴山?三模）若定義在R上的偶函數(shù)在[0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，則/，

的大小關(guān)系為（）

A.>/（_.>/（「）B./（ln|]>/（e-2）>/[-1）

C.?小||>/甲）D,小n,

【答案】A

11q

【分析】利用幕函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)運(yùn)算判斷處0<e-2=[<；<ln再結(jié)合/（x）的奇偶性以及單調(diào)性,

即可得答案.

【詳解】因?yàn)?（尤）是定義在R上偶函數(shù)，所以

1

因?yàn)橄?lt;（衛(wèi)￥=3,則?<ln],所以0<「=±<?<ln=,

（81232e-32

因?yàn)?（x）在[0,+e）上單調(diào)遞增，所以/（in：]/（片2）,

即小

故選：A.

考點(diǎn)五、根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值

6典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高考真題）已知=是偶函數(shù)，則。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)?（力=壬為偶函數(shù)，則〃x）-〃T）=上-31=#1上工o-

e—1-1e-^-1-1

又因?yàn)閄不恒為0,可得e-e”號(hào)=0,即e，="3，

則X=（Q—1）X,即1=4—1,解得Q=2.

14

故選：D.

9Y-1

2.(2023?全國(guó)?高考真題)若〃x)=(x+a)ln若?為偶函數(shù)，則。=().

A.-1B.0C.yD.1

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出。值，再檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)?(x)為偶函數(shù)，貝I]/(I)=/(-I),(1+a)In|=(-1+a)In3,解得。=0,

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=xln^^,(2x-l)(2x+l)>0,解得或x<-L

2x+122

則其定義域?yàn)?，或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

/(川=(一》)1]；[；=(T)ln卦+6)"X)，

故此時(shí)/(X)為偶函數(shù).

故選：B.

3.(2023?全國(guó)?高考真題)若/(x)=(x-iy+ax+sin[x+|^為偶函數(shù)，則。=

【答案】2

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到從而求得。=2,再檢驗(yàn)即可得解.

【詳解】因?yàn)?gt;=/(x)=(x-iy+ax+sin卜+|^=(x-l『+qx+cosx為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,

71

2

則兀a=（'1'+1；1）=2兀，故a=2,

止匕時(shí)/（X）=（X-1）2+2x+COSX=X2+1+COSX,

所以/(一X)=(—%)2+1+COS(T)=x2+1+ccsx=/k),

又定義域?yàn)镽,故為偶函數(shù)，

所以a=2.

故答案為：2.

即時(shí)根(

1.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=x3-x+lnk+而71xeR)為奇函數(shù)，貝!]a=()

15

D.41

【答案】c

【分析】由奇函數(shù)的定義可得〃x)+/(-x)=O,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可求解.

【詳解】因?yàn)?(x)為R上的奇函數(shù)，所以〃x)+〃-x)=O,

BPx'-x+ln(x+Ja+x~)-x3+x+In(-x+\/tz+x~)=0,

整理得lna=O,解得。=1.

故選:C

2.(2024?山東?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/absindl+A'］是偶函數(shù)，則根的值是(

A.-2

【答案】A

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=sin"l+D是偶函數(shù)，所以/'(-X》八司,

所以-1+旦=1+'^,所以(1一,)以=2,即皿=_2,故A正確.

xxx

e-ll-ee-l

故選：A.

n.e"—，+X—1X>0

3.(2024?上海奉賢?三模)若函數(shù)'='為奇函數(shù)，則a+6+c=

x2+bx+c-l,x<0

【答案】3

【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)得到〃T)=-〃X),然后利用方程求解。,6,C,即可得解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)V=/(x)=公犬1”：。為奇函數(shù)，

[x+bx+c-l,x<0

所以〃r)=-/(x),

當(dāng)%>0時(shí)，貝!J一％<0,

則f(一%)——bx+C—1——^Cl'QX—%2+X-1)=-Q'QX+%2—X+1,

即ci,QX+(1—b)x+c—2=0,

a=0a=0

所以1—6=0,解得卜=1,

。-2=0c=2

所以a+b+c=3.

故答案為：3.

16

考點(diǎn)六、抽象函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用

中典例引領(lǐng)

1.（2021?全國(guó)?高考真題）設(shè)函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,/（x+1）為奇函數(shù)，/（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)xe［l,2］時(shí),

f（x）=ax2+b.若/'（（））+/（3）=6,則/［|］=（）

9375

A.——B.一一C.-D.-

4242

【答案】D

【分析】通過了（x+l）是奇函數(shù)和/（尤+2）是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式/（尤）=-2/+2,進(jìn)而利

用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案.

【詳解】［方法一］:

因?yàn)?（x+1）是奇函數(shù)，所以一x+l）=-/（X+1）①；

因?yàn)?(x+2)是偶函數(shù)，所以/(x+2)=/(f+2)②.

令x=l,由①得：〃0)=-/(2)=-(4.+6),由②得:/(3)=/(l)=a+Z),

因?yàn)?(0)+/(3)=6,所以-(4a+6)+。+6=6=>a=-2,

令x=0,由①得：/(l)=-/(l)=/(l)=0ob=2,所以/(x)=_2/+2.

思路一：從定義入手.

所以唱.

［方法二］:

因?yàn)?（X+1）是奇函數(shù)，所以/（T+1）=-/（》+1）①;

因?yàn)?（X+2）是偶函數(shù),所以/（x+2）=/（_x+2）②.

令x=l,由①得：〃0)=-/(2)=_(4a+6),由②得:/(3)=/(l)=?+Z),

因?yàn)?(0)+/(3)=6,所以-(4a+6)+a+6-6=>a--2,

令x=0,由①得：/⑴=一/(1)=/(1)=0=6=2,所以〃x)=_2/+2.

思路二：從周期性入手

17

由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)/(X)的周期7=4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時(shí)候，我們通?？梢越柚恍┒?jí)結(jié)論，求出其周期性進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)

算的效果.

2.(2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè))已知了=/(無+1)+1為奇函數(shù)，則

/(-2)+/(-1)+/(0)+/(1)+/>()

A.-14B.14C.-7D.7

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義和性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)榱?/(尤+1)+1為奇函數(shù)，

故〃0+l)+l=0n/■⑴=7,

/(1+1)+1=-[/(-1+1)+1]=>/(2>/(0>-2,

/(2+1)+1=-[/(-2+1)+1]^/(3>/J1>-2,

/(3+1)+1=-[/(-3+1)+1]n/(4)+A-2)=-2,

故)(-2)+4-1)+/(0)+〃1)+/(2)+/(3)+/(4)=-1+3X(_2)=-7.

故選：C.

3.(2024?河南?三模)(多選)定義在R上的函數(shù)"X)滿足/(v+l)=/(x)/(y)+/(y)+x,貝IJ()

A./(0)=0B./(I)=0

C./1+1)為奇函數(shù)D./(x)單調(diào)遞增

【答案】BCD

【分析】利用賦值法可求/(1)=0及/(x+l)=x,故可判斷各項(xiàng)的正誤，也可以由題意得

/(刈+1)=f(y)f(x)+f(x)+y,結(jié)合條件/(肛+l)=/(x)/(y)+/(y)+x推出/⑴的解析式，進(jìn)而即可求解

判斷ABCD四個(gè)選項(xiàng).

【詳解】法L令x=y=0,貝1]/(1)=r(0)+〃0)=〃0)(〃0)+1),

令x=0,j=l,則〃1)=/⑴(/(0)+1),

若/⑴=0或/(。)=0，

若/(0)=0，則/(1)=/?/(0)+/(0)+x即/(I)=/(x)/(0)+/(0)+x=x,

由x的任意性可得/(l)=x不恒成立，故/(0)=0不成立，故;■⑴=0,

故A錯(cuò)誤，B正確.

令y=1，則/(X+1)="X)/⑴+/⑴+X=x,

故〃x+l)為奇函數(shù)，且/(x)=x-l,它為R上的增函數(shù)，

18

故CD正確.

法2：由條件/(肛+l)=/(x)/(y)+/(y)+x,得/■(xy+l)=/(y)/(x)+〃x)+y

n/(y)+X=/(x)+ynf(y)-y=f(x)-x,

由的任意性得/(x)=x+C，。為常數(shù)，

故代回去f(xy+1)=/(x)/(y)+/(了)+x得：

◎+l+C=(x+C)(y+C)+y+C+xo(C+l)(x+y+C-l)=0,

所以由羽V的任意性