河北省2024-2025學(xué)年高二年級上冊12月期中考試數(shù)學(xué)試題

河北省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期中考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.拋物線y=8/的焦點到其準(zhǔn)線的距離為（）

A.—B.—C.-D.4

32168

22

2.已知橢圓上+匕=1上有一點尸到右焦點的距離為4,則點尸到左焦點的距離為（）

94

A.6B.3C.4D.2

22

3.雙曲線乙_±=1的焦點坐標(biāo)為（）

36

A.(±6,0)B.（0,土司C.(±3,0)D.(0,±3)

22

4.已知橢圓上+匕=1（0＜租＜8）的左、右焦點分別為用鳥，點尸是橢圓上一個動點，若

16m

△P耳耳的面積的最大值為3g,則"7=（）

A.7B.3C.用D.9

22

5.若方程一丁一工=1表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)加的取值范圍為（）

4-m"1+m

A.（-co,-2）B.（-2,-1）

C.（—2,2）D.（—Ll）

6.己知點A在拋物線丁=2/5＞0）上，若點A到拋物線的對稱軸的距離是6,到焦點的距

離是10,則P的值是（）

A.2或4B.6或12C.4或16D.2或18

7.如圖，這是一個落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，

22

可以看成是雙曲線C:=-4=1（。＞0）＞0）的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.

ab

若該花瓶橫截面圓的最小直徑為40cm,最大直徑為60cm,雙曲線的離心率為痛，則該花

瓶的高為（）

A.90cmB.100cmC.110cmD.120cm

8.已知橢圓C**1（〃〉"0）的左，右頂點分別為A,B,且橢圓C的離心率為粵,

點P是橢圓C上的一點，StanZPAB=,則tanNAPB（）

4

A10R11,11n10

910109

二、多選題

2222

9.關(guān)于雙曲線三一二=1與雙曲線上——J=i（_4<r<6）,下列說法不正確的是（）

464+/6-1

A.實軸長相等B.離心率相等

C.焦距相等D.焦點到漸近線的距離相等

22

10.設(shè)點乙，尸2分別為橢圓C：/+1=1的左、右焦點，點尸是橢圓C上任意一點，若使

得西?強=%成立的點恰好是4個，則實數(shù)加的取值可以是（）

A.1B.3C.5D.4

11.已知拋物線C：y2=12x,點尸是拋物線C的焦點，點P是拋物線C上的一點，點"（4,3）,

則下列說法正確的是（）

A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-3

B.若|尸產(chǎn)|=7,貝IUPMF的面積為

C.|尸耳-|尸”|的最大值為加

D.APM/的周長的最小值為7+而

三、填空題

22

12.雙曲線工-匕=1的一個焦點在拋物線V=2px（p>0）的準(zhǔn)線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

106

試卷第2頁，共4頁

為_____

22

13.已知橢圓C:3+}=l(0<b<2),偶函數(shù)〃力=(m-1)9+犬_3,且/(小2,則橢

圓C的離心率的取值范圍是.

14.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離

分家萬事休”，包含的意思是：幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系又常?？梢?/p>

通過幾何圖形做出直觀的反映和描述，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，常?？梢郧擅畹亟鉀Q問

題，所以“數(shù)形結(jié)合”是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想方法之一.比如：這個代

數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點A(x,y)與點8(。,6)之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點可得，方程

|7/-8y+25-打+8y+251=2幣的解為.

四、解答題

15.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)經(jīng)過尸(-3,0),。(0,-2)兩點；

3

(2)長軸長等于20,離心率等于

16.已知圓C的方程為％2+y2-4x+6y-m=0.

(1)求實數(shù)機的取值范圍；

⑵若圓C與直線/：元+y+3=o交于跖N兩點，S.\MN\=2yf3,求加的值.

17.已知點A(T⑵，8(2,8),C(4,2)中恰有兩個點在拋物線E:f=2py(p>0)上,

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若點”(工,％),在E上，且玉馬=-16,證明：直線上W過定點.

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點加(X,y)到點尸(1,0)與到直線x=5的距離之比為手，記

點M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

⑵若點尸是圓Y+y2=5上的一點(不在坐標(biāo)軸上)，過點尸作曲線C的兩條切線，切點分

別為記直線尸APB的斜率分別為附網(wǎng)，且勺=-4-七,求直線。尸的方程.

f?兀

19.已知雙曲線C:=-1=l(a>0,6>0)的一條漸近線的傾斜角為二，C的焦距為8.

ab3

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過右焦點廠的直線/與雙曲線C交于N兩點，A(-2,0).求證：點A在以線段MN為

直徑的圓上.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BDDAADBBABDBD

題號11

答案ACD

1.B

【分析】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求解.

【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=；y,

O

所以焦點坐標(biāo)為尸[。,其準(zhǔn)線方程為丁=-[,

所以拋物線y=8Y的焦點到其準(zhǔn)線的距離為d=

32132J16

故選：B

2.D

【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求出.

22

【詳解】由橢圓二+乙=1,得"=9,即。=3,設(shè)左焦點為月，右焦點為F?,

94一

則伊置+|尸閶=2"=6,因為|%|=4,所以|尸用=2,即點尸到左焦點的距離為2.

故選:D.

3.D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.

22

【詳解】由雙曲線匕-4-=1,可得。=0,6="，則0=，？壽=3，

36

且雙曲線的焦點在y軸上，所以雙曲線的焦點坐標(biāo)為（。,±3）.

故選：D.

4.A

【分析】利用點P的縱坐標(biāo)表示APKK的面積，再借助范圍求出最大值即可.

【詳解】依題意，橢圓半焦距c=A/m,設(shè)點產(chǎn)（x°,%）,%w。，則0<|%區(qū)后，

2

因此AP^外的面積S=~-2c-\y0\<416-m-\[m=y/16m-m,

貝l=3療，即“-16〃z+63=0，而0（根<8，解得〃z=7,

所以m=7.

答案第1頁，共11頁

故選：A

5.A

y2Y2I—1—ATI>0

【分析】原方程可變形為“-----J=l，根據(jù)已知有，2八，解出即可.

-777-1m--4[-A+m->0

22

【詳解】因為方程上r-工=1表示焦點在y軸上的雙曲線，

4-m1+m

一^-上，=1可變形為上----J=L

4-m1+m-m-1m-4

,f—1—m>0fm+1<0

所以有“2八，即，“八，解得加<一2?

[-A+m>0[，獷一4>0

故選：A.

6.D

【分析】設(shè)A（x,6）,根據(jù)拋物線的定義求解;

【詳解】

設(shè)A（x,6）,代入拋物線y2=2pxCp>0）,解得：x=-,

又因為點到焦點的距離是10,根據(jù)拋物線的定義，得：一+（=1。，

化簡得：p2-20p+36=0,

解得：。=2或18.

故選：D.

7.B

【分析】由a,4c關(guān)系以及離心率、。=20可得雙曲線方程，進(jìn)一步代入x=30即可求解.

【詳解】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為40cm,有。=20,

又由雙曲線的離心率為赤，有c=2Q瓜b=205

22

可得雙曲線的方程為」——匚=1,代入尤=30,可得y=±50,故該花瓶的高為100cm.

4002000

答案第2頁，共11頁

故選：B.

8.B

【分析】設(shè)尸（如%）是橢圓上的點，設(shè)尤=tanZPAB=；,&=-tanZPBA求出勺?%為定值,

從而能求出tanZPBA的值，然后根據(jù)tanZAPB=-tan（ZPAB+ZPBA）求解.

22

【詳解】設(shè)P（x。,為）代入橢圓方程，則2+咚=1m>6>0）

ab

整理得：W=「（"-無；），設(shè)左=tanN尸A8=：,k2=-tanZPBA

又h=十~人在，所以

x0+a

2

y0b

匕?左2=———

2

x0+ax0-aa

i92

JfjJ=tanZPAB=—,所以左？=-tanNPB4=-§,所以tan/PR4=]

12

—+—

tanZPAB+tanZPBA11

tanNAPB=-tan(ZPAB+ZPBA)=-43

1-tanZPAB-tanZPBAI1210

43

故選：B

9.ABD

【分析】利用雙曲線的性質(zhì)對每個選項逐個判斷即可

22

【詳解】雙曲線土-匕=1中，實軸長為2%=4,虛軸長為2偽=2灰，焦距長為

46

2q=2V4+6=2A^0,右焦點為(加,。),

所以離心率4=立=母，漸近線方程為y=±在尤，不妨取y=逅x即"x-2y=0,

ax222

所以焦點到漸近線的距離為4=篇$=屈,

22

雙曲線三---匚=1（-4</<6）中實軸長為2a,=2甲7,虛軸長為2&=2后7,焦距長

4+16-t

為2c2=2&5,右焦點為（癡,0）,

所以離心率4=2=~^=="±1",漸近線方程為y=不妨取即

~a2V4+r4+rV4+r'<4+t

答案第3頁，共11頁

J(6-，4+ty=0,

所以焦點到漸近線的距離為4=逅三地。

=y/6—t,

回

綜上，兩條雙曲線只有焦距相等,

故選：ABD

10.BD

【分析】首先設(shè)點P（%%）,得到兩=（-2-毛,-％）,M=（2-^,-J0）,結(jié)合點尸在橢圓

上得到焉=罔」，若成立的點有四個，則與在（-3,3）有兩實數(shù)解，

則有0〈怨9m—一9<9,解出其范圍結(jié)合選項即得.

4

【詳解】設(shè)P（9%）,：耳（一2,0）,6（2,0）,.?.所=（一2-%,一%）,%=（2-%,一%）,

由所?質(zhì)=m可得/+乂=根+4,又：點P在橢圓C上，即京+展1,

???片=3，工，要使得西?魂=〃，成立的點恰好是4個，則0<二寧<9,解得1<m<5.

故選：BD

11.ACD

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得準(zhǔn)線方程為了=-3,即可判斷A,根據(jù)拋物線定義得到

%>=4,故尸點可能在第一象限也可能在第三象限，分情況計算三角形面積即可判斷B,利

用三角形任意兩邊之差小于第三邊結(jié)合三點一線的特殊情況即可得到

二.（|尸刊-］「河|）2=性團(tuán)，計算即可判斷C,三角形PMF的周長

=\PM\+\MF\+\PF\=\PM\+\PF\+4IO,再結(jié)合拋物線定義即可求出1PMi+1尸產(chǎn)I的最小值,

即得到周長最小值.

【詳解】?.?y=12x,”=6,.一（3,0）,準(zhǔn)線方程為％=-3,故A正確；

根據(jù)拋物線定義得附|=無「%>+3=7,/=4,?:/（4,3）,

PM//y軸，當(dāng)x=4時，y=±4石，

若尸點在第一象限時，此時尸（4,43），

答案第4頁，共11頁

12

故PM=4A/5—3,△PMF的IWJ為1,故SAPMF=5、（4^/^—3卜1=2^/5—萬,

若點尸在第四象限，此時尸(4,-4⑹，故尸知=4宕+3,

△PMF的高為1,故邑9=*(46+3卜1=2若+?故B錯誤;

PF|-|PM|<|MF|，二（IPFI-1PM|）max=\MF\=J（4-3）2+（3-0）2=M，故c正確；

(連接雙，并延長交于拋物線于點P,此時即為IPFI-IPMI最大值的情況,

圖對應(yīng)如下)

過點尸作BD_L準(zhǔn)線，垂足為點D,

△PMF的周長=+\MF\+\PF\=\PM\+\PF\+y/iO=\PM\+\PD\+yflO,

若周長最小，則歸河|+歸刈長度和最小，顯然當(dāng)點尸,位于同一條直線上時，|PM|+|MF|

的和最小,

M\PM\+\MF\=\PD\=7,

故周長最小值為7+Jid,故D正確.

故選：ACD.

12.y2=16x

【分析】由雙曲線的方程可得雙曲線的焦點坐標(biāo)，由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程，再由題意

可得P的值，進(jìn)而求出拋物線的方程.

22

【詳解】由雙曲線上-2=1的方程可得C?=10+6=16,解得c=4,

106

所以雙曲線的焦點坐標(biāo)為(±4,0),

答案第5頁，共11頁

拋物線的準(zhǔn)線方程為》=-4，

由題意可得蘭=-4,解得。=8,

所以拋物線的方程為：y2=16x,

故答案為：y2=16x.

i3-H]

【分析】根據(jù)奇偶性求如由/。)歸2可得b的范圍，然后可得離心率范圍.

【詳解】???/(x)是偶函數(shù),

/(-X)=(1-加+/_3=/⑺=(m-l)x3+X2-3,

=解得m=l,/(x)=d_3,

.?”(。)|=尸_3卜2,

:.-2<b2-3<2,l<b2<5,

y_-.-0<b<2,:.l<b<2,

cyja2-b2

..e——=-------=------,..Gu,.

aa2I2_

故答案為：

14.±J14

22

【分析】將原方程配方，方程的解轉(zhuǎn)化為直線x=3與雙曲線二-二=1的交點的縱坐標(biāo)。

79

【詳解】原方程可化為J(3-0)2+(y-4)2-J(3-0)2+(y+4)2=2嶼,

其幾何意義為點(3,y)到(0,4),(O,T)距離之差的絕對值等于2近<8,

則該點的軌跡滿足雙曲線的定義，根據(jù)雙曲線的定義得：2。=2夕，a=不，c=4,所以

b2=c2-a2=9,

22

又因為雙曲線焦點在y軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：匕-上=1,

79

答案第6頁，共11頁

令％=3得y=±JiW,所以原方程的解為y=±JHo

故答案為：土VI"

15.(1)—+^=1

(2)=1或志=1.

9410064

\CI=j

【分析】⑴設(shè)出橢圓方程，根據(jù)橢圓經(jīng)過點A(-30),3(0,-2),得出，代入方程即可.

0=2

2〃=20。=10

(2)由條件可得￡=3，則可得＜c=6，根據(jù)焦點所在的軸代入對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

5b=8

22

【詳解】解：(1)設(shè)橢圓方程為：二+2=1,因為橢圓經(jīng)過點4(-3,0),川0,-2),

ab

A(-3,0),3(0,-2)分別為左頂點和下頂點，所以得［二：，

22

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

94

3

(2)橢圓的長軸長等于20,離心率等于不

2a-20(a-10

<c3，所以1乙，由。2=/一H=64,即/?=8

依題意:

—二〔。二6

5

2222

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:工+匕=1或與+二=1.

1006410064

16.(l)m>-13

(2)m=-8

【分析】(1)將圓C的一般方程用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到13+機＞0,解之即可;

(2)利用弦長公式|腦V|=2〃2-筋求得正進(jìn)而得到而百=百，易得加的值.

【詳解】(1)方程—+y2一4%+6>-機=0可化為(％-2)2+(y+3)2=13+加,

??,此方程表示圓,

13+m>0,即a>一13,即用￡(-13,+8).

(2)由(1)可得圓心。(2,—3),半徑r=dm+13，

則圓心C(2,-3)到直線/:%+y+3=0的距離為d

由弦長公式|MV|=2〃2-儲及|肱V|=26,得2j=2M1百,解得r=石,

答案第7頁，共11頁

r=5/772+13=#!，得加=—8.

17.⑴*=8y

（2）證明見詳解.

【分析】（1）將點坐標(biāo)代入拋物線方程，取相同的P值，得到標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組化簡為一元二次方程，由韋達(dá)定理求得參數(shù)6的值，得

到直線的定點.

【詳解】（1）將ALU）代入拋物線方程E：（T）2=4〃，解得。=4,

2

將8（2,8）代入拋物線方程E::2=16p,解得p=；,

將C（4,2）代入拋物線方程E:不=4p,解得。=4,

根據(jù)題意可知P=4,

???￡的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡：/=分

(2)VXjX2=-16,/.x^x2,

，設(shè)直線MN:y=+

Iy=kx+b

則聯(lián)立方程組得2，即公―8版—汕=0,

11=8oy

—

X|X2=~~~16,:?b=2,

/.MN:y=kx+2,

直線肱V過動點(0,2).

⑵y=

22

【分析】（1）根據(jù)橢圓的第二定義列出等式，整理即可得曲線c的方程為L+二=1；

54

答案第8頁，共11頁

（2）設(shè)直線叢的方程為＞=匕（了-機）+〃并于橢圓方程聯(lián)立，由直線與橢圓相切可得

22

nk^+2mnkl+4—n=0,同理可知/也是關(guān)于方程/人?+2〃z成+4-川=0的兩個根，可求

得直線OP的方程為y=；尤.

【詳解】（1）根據(jù)題意可得「駕=中，即J（xT『+y2二旦,

,-5|5|^-5|5

22

整理可得上+匕=1,

54

22

因此曲線C的方程為三+匕=1；

54

（2）如下圖所示：

設(shè)尸（加,〃）,4（%,%）,8（々，%），則加=5,

又點尸不在坐標(biāo)軸上，所以〃7Ko且〃片0；

因此直線的方程為y=￡（x-"）+w,直線PB的方程為y=e（尤一機）+〃,

又直線PA與橢圓相切與點A，

y=kx（x-m）+n

聯(lián)立，了2y2整理可得（4+54卜2+（10左”-10"〃卜+5（左；田+〃2-2匕"2〃-4）=0

,y+T-

可得△=0,即（10尢〃一10戶根丫一4（4+5好）x5（%：m2+n2-2klmn-4）=0,

整理可得（5-irr）好+2kxmn+4-?=0,

又加2+/=5,可得〃-4-+2mnkt+4—n-=0；

直線PB與橢圓相切與點B,同理可得/代+2wi*+4-〃2=0,

所以匕，網(wǎng)是關(guān)于左的一元二次方程》左2+2加成+4-〃2=。的兩個不同的實數(shù)根,

因此發(fā)+匕=一絲2m

nn

答案第9頁，共11頁

再由勺=_4_卷可得匕+左2=_2=