高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)試題分類匯編：概率（含答案及解析）

專題09概率

考點(diǎn)一：古典概型

1.（2023?北京）某銀行客戶端可通過(guò)短信驗(yàn)證碼登錄，驗(yàn)證碼由0,1,2,....9中的四個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成

（如"0013"）.用戶使用短信驗(yàn)證碼登錄該客戶端時(shí)，收到的驗(yàn)證碼的最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)的概率為（）

I1-11

A.-B.一C.-D.—

24816

2.（2023?河北）某旅游愛(ài)好者想利用假期去國(guó)外的2個(gè)城市和國(guó)內(nèi)的3個(gè)城市旅游，由于時(shí)間所限，只能

在這5個(gè)城市中選擇兩個(gè)為出游地.若他用"抓閹”的方法從中隨機(jī)選取2個(gè)城市，則選出的2個(gè)城市都在國(guó)

內(nèi)的概率是（）

3113

A.-B.-C.-D.—

52310

3.（2023?江蘇）從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中任選3名同學(xué)參加環(huán)保宣傳志愿服務(wù)，則甲被選中的概率為（）

1123

A.—B.-C.—D.一

4334

4.（2023春?福建）"敬驊號(hào)"列車一排共有A、B、C、D、F五個(gè)座位,其中A和尸座是靠窗位，若小曾同

學(xué)想要坐靠窗位，則購(gòu)票時(shí)選到A或歹座的概率為（）

1234

A.—B.-C.—D.一

5555

5.（2023春?湖南）某中學(xué)高二年級(jí)從甲、乙兩個(gè)紅色教育基地和丙、丁兩個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐基地中選擇一個(gè)進(jìn)

行研學(xué)，則選擇紅色教育基地的概率是（）

1111

A.—B.-C.-D.-

6432

6.（2023,云南）單項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，是從A、8、C、。四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案.

假設(shè)考生有一個(gè)單項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇一個(gè)答案，答對(duì)的概率是（）

1?1

A.1B.-C.-D.-

324

7.（2022春?天津）從2名女生和3名男生中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女生的概率為（）

8.（2022春?浙江）袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，從中隨機(jī)摸出1個(gè)球,

則摸到黃球的概率是（）

9.（2022秋?福建）隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是（）

10.（2022春?貴州）同時(shí)拋擲兩枚硬幣，則兩枚硬幣都是“正面向上〃的概率為（）

1123

A.一B."C.-D.一

4234

11.（2021春?天津）盒中有3個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個(gè)白球、2個(gè)紅球，從中不放回地依次隨

機(jī)摸出2個(gè)球，則兩次都摸出紅球的概率為（）

11_25

A.—B.-C.-D.一

3236

12.（2021春?福建）從甲、乙、丙三位同學(xué)中，任選兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，則甲同學(xué)被選中的概率是（）

2111

A.-B.-C.—D.一

3236

13.（2021秋?福建）根據(jù)防疫要求，需從2名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生中任選2名參加社區(qū)防控服務(wù)，則選中的

2名都是男醫(yī)生的概率為（）

1112

A.—B.-C.-D.-

6323

14.（2021秋?河南）同時(shí)擲兩個(gè)均勻骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和是7的概率是（）

1111

A.—B.-C.—D.—

34612

15.（2021?湖北）中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是"每

個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和如4=2+2,6=3+3,8=3+5,…，現(xiàn)從3,5,7,11,13

這5個(gè)素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于16的概率是（）

,1132

A.—B.—C.—D.一

105105

16.（2021秋?廣東）連續(xù)拋擲兩枚骰子，向上點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為（）

1151

A.—B.—C.—D.一

1211366

17.（2023?山西）從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)中，不放回地任意取兩個(gè)數(shù)，兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率是.

18.（2023春?新疆）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，則恰好出現(xiàn)一次6點(diǎn)的概率是.

19.（2022秋?廣東）從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)參加活動(dòng)，則甲、乙兩人中恰有一人被選中的

概率為.

20.（2021秋?貴州）從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)是偶數(shù)的概率為.

21.（2023春?新疆）從3名男生。力,c和2名女生X。中隨機(jī)選出2人參加社區(qū)志愿者活動(dòng)，每人被選到的

可能性相同.

（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；

⑵設(shè)M為事件"選出的2人中恰有1名男生和1名女生"，求事件M發(fā)生的概率.

22.(2022春?遼寧)為形成節(jié)能減排的社會(huì)共識(shí)，促進(jìn)資源節(jié)約型.環(huán)境友好型社會(huì)的建設(shè)，某市計(jì)劃實(shí)

行階梯電價(jià).調(diào)查發(fā)現(xiàn)確定階梯電價(jià)的臨界點(diǎn)是市民關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題.現(xiàn)從關(guān)注此問(wèn)題的市民中隨機(jī)選出

200人，將這200人按年齡分組，第一組［15,25),第二組［25,35),第三組［35,45),第四組［45,55),第五

組［55,65).作出頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)求圖中。的值；

⑵假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，請(qǐng)估計(jì)全市關(guān)注此問(wèn)題的市民年齡的平均數(shù)；

⑶現(xiàn)在要從第一組和第二組中用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求

從第二組中恰好抽到2人的概率.

23.(2021秋?吉林)一個(gè)盒子中裝有5支圓珠筆，其中3支為一等品(記為A，4,A),2支為二等品

(記為與，BQ,從中隨機(jī)抽取2支進(jìn)行檢測(cè).

⑴寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Q;

(2)求抽取的2支圓珠筆都是一等品的概率.

24.(2021秋?青海)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)單位時(shí)間內(nèi)引體向上的次數(shù)，乙組記

錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以X表示.

880X789

001

（1）如果X=7,求乙組同學(xué)單位時(shí)間內(nèi)引體向上次數(shù)的平均數(shù)；

⑵如果X=8,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)單位時(shí)間內(nèi)引體向上次數(shù)和為17的概

率.

考點(diǎn)二：概率基本性質(zhì)

1.（2023?江蘇）甲、乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，如果每人譯出密碼得概率均為0.3,則密碼被破譯的概率

為（）

A.0.09B.0.42C.0.51D.0.6

2.（2023春?新疆）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，若甲中靶的概率為0.6,乙中靶的概率為0.3,甲、乙射擊

是否中靶相互獨(dú)立，則至少有一人中靶的概率為（）

A.0.9B.0.72

C.0.28D.0.18

3.（2021春?天津）某產(chǎn)品共有三個(gè)等級(jí)，分別為一等品、二等品和不合格品.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1

件進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)''抽到一等品〃的概率為0.65,〃抽到二等品〃的概率為0.3,貝『‘抽到不合格品〃的概率為（）

A.0.95B.0.7C.0.35D.0.05

4.（多選）（2022春?浙江）從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是:，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是從

兩袋各摸出一個(gè)球，下列結(jié)論正確的是（）

A.2個(gè)球都是紅球的概率為:

B.2個(gè)球不都是紅球的概率為:

C.至少有1個(gè)紅球的概率為:

D.2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為3

5.（2023春?湖南）自2018年國(guó)家實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略以來(lái)，農(nóng)村電商行業(yè)蓬勃發(fā)展，規(guī)模不斷擴(kuò)大.農(nóng)村電

商暢通了農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)城渠道，加速推進(jìn)了農(nóng)業(yè)數(shù)字化.圖1為我國(guó)2018年至2022年農(nóng)村電商行業(yè)農(nóng)產(chǎn)品網(wǎng)絡(luò)

零售額的變化情況，圖2為A市2022年農(nóng)產(chǎn)品網(wǎng)絡(luò)零售量占比扇形圖.

?零售額/萬(wàn)億元調(diào)味其他

食品

0.65%

11%

0.5休閑

0.4滋補(bǔ)食品

0.3食品30%

14%

0.2茶葉糧油

0.122%

O20182019202020212022扇份

⑴請(qǐng)根據(jù)圖1簡(jiǎn)要描述我國(guó)2018年至2022年農(nóng)產(chǎn)品網(wǎng)絡(luò)零售額的變化趨勢(shì);

⑵從A市2022年網(wǎng)絡(luò)零售農(nóng)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，估計(jì)抽取的產(chǎn)品是糧油或茶葉的概率；

⑶已知某農(nóng)產(chǎn)品帶貨主播每天零售額超過(guò)1萬(wàn)元的概率為0.6,假定每天的銷售情況互不影響，求該主播任

意兩天中至少有一天零售額超過(guò)1萬(wàn)元的概率.

考點(diǎn)三：事件的相互獨(dú)立性

1.（2023?河北）某足球隊(duì)進(jìn)行點(diǎn)球訓(xùn)練，假設(shè)守門員不變，球員甲進(jìn)球的概率為0.9,球員乙、丙進(jìn)球的

概率均為0.8.若3人各踢點(diǎn)球1次，且進(jìn)球與否相互獨(dú)立，則至少進(jìn)2球的概率是（）

A.0.784B.0.864C.0.928D.0.993

2.（2022?北京）某天甲地降雨的概率為0.2,乙地降雨的概率為0.3.假定這一天甲、乙兩地是否降雨相互

之間沒(méi)有影響，則兩地都降雨的概率為（）

A.0.24B.0.14C.0.06D.0.01

3.（2022春?天津）甲、乙兩人獨(dú)立地破譯密碼，己知甲、乙能破譯的概率分別是:則兩人都成功破譯的

34

概率是（）

.11711

A.—B.-C.—D.—

1221212

4.（2022?湖南）甲地下雨的概率為0.5,乙地下雨的概率為。.4,兩地是否下雨相互獨(dú)立，則兩地同時(shí)下雨

的概率為（）

A.0.2B.0.3C.0.6D.0.8

3

5.（2022春?浙江）甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球單打比賽，假定甲每局獲勝的概率都是:，且每局比賽結(jié)果互不

4

影響，則在三局兩勝制的比賽中，甲獲勝的概率為.

6.（2023?山西）某人參與一種答題游戲，需要解答4民C三道題.已知他答對(duì)這三道題的概率分別為p,

p,k且各題答對(duì)與否互不影響，若他全部答對(duì)的概率為)

Ny

(1)求。的值；

(2)若至少答對(duì)2道題才能獲獎(jiǎng)，求他獲獎(jiǎng)的概率.

7.(2023春?浙江)浙江某公司有甲乙兩個(gè)研發(fā)小組，它們開(kāi)發(fā)一種芯片需要兩道工序，第一道工序成功

1312

的概率分別為:和［.第二道工序成功的概率分別為J和:根據(jù)生產(chǎn)需要現(xiàn)安排甲小組開(kāi)發(fā)芯片4乙小組

開(kāi)發(fā)芯片2,假設(shè)甲、乙兩個(gè)小組的開(kāi)發(fā)相互獨(dú)立.

⑴求兩種芯片都開(kāi)發(fā)成功的概率；

⑵政府為了提高該公司研發(fā)的積極性，決定只要有芯片研發(fā)成功就獎(jiǎng)勵(lì)該公司500萬(wàn)元，求該公司獲得政

府獎(jiǎng)勵(lì)的概率.

12

8.(2023,云南)甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，甲、乙成功破譯的概率分別為不；.

23

⑴求甲、乙都成功破譯密碼的概率；

(2)求至少有一人成功破譯密碼的概率.

專題09概率

考點(diǎn)一：古典概型

1.（2023?北京）某銀行客戶端可通過(guò)短信驗(yàn)證碼登錄，驗(yàn)證碼由0,1,2,....9中的四個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成

（如"0013"）.用戶使用短信驗(yàn)證碼登錄該客戶端時(shí)，收到的驗(yàn)證碼的最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)的概率為（）

I11

A.-B.一C.—D.—

24816

【答案】A

【分析】根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算.

【詳解】驗(yàn)證碼的最后一個(gè)數(shù)字有10種不同結(jié)果，其中奇數(shù)占5種，

所以收到的驗(yàn)證碼的最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)的概率為g.

故選：A

2.（2023?河北）某旅游愛(ài)好者想利用假期去國(guó)外的2個(gè)城市和國(guó)內(nèi)的3個(gè)城市旅游，由于時(shí)間所限，只能

在這5個(gè)城市中選擇兩個(gè)為出游地.若他用"抓閹”的方法從中隨機(jī)選取2個(gè)城市，則選出的2個(gè)城市都在國(guó)

內(nèi)的概率是（）

3113

A.—B.-C.-D.—

52310

【答案】D

【分析】列舉出所有的基本事件，得到基本事件的總數(shù)，找出滿足條件的事件數(shù)，由概率公式求解即可.

【詳解】設(shè)國(guó)外的2個(gè)城市和國(guó)內(nèi)的3個(gè)城市分別為：44，耳鳥(niǎo),星，

則隨機(jī)選取2個(gè)城市的基本事件為：（A，A）,（A，4），（A，5），（4，旦），（4,4），

（432）,（4,83）,（4，耳）,（483），（氏83）共10種，

選出的2個(gè)城市都在國(guó)內(nèi)的情況為：（4也）,（四,片）,（與W）共3種，

3

故所求概率尸=歷.

故選：D.

3.（2023?江蘇）從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中任選3名同學(xué)參加環(huán)保宣傳志愿服務(wù)，則甲被選中的概率為（）

1123

A.-B.—C.-D.一

4334

【答案】D

【分析】列舉出所有的基本事件，然后得到甲被選中的情況，利用古典概型求解即可

【詳解】從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中任選3名同學(xué)共有：（甲乙丙），（甲丙丁），（甲乙?。ㄒ冶。?/p>

4種情況，

3

甲被選中共有3種情況，故對(duì)應(yīng)的概率為

故選：D

4.（2023春?福建）"敬驊號(hào)"列車一排共有A、B、C、。、產(chǎn)五個(gè)座位，其中A和尸座是靠窗位，若小曾同

學(xué)想要坐靠窗位，則購(gòu)票時(shí)選到A或歹座的概率為（）

1234

A.—B.—C.—D.一

5555

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率求解作答.

【詳解】小曾購(gòu)票的不同結(jié)果有5個(gè)，它們等可能，而小曾選到A或尸座的結(jié)果有2個(gè)，

2

所以購(gòu)票時(shí)選到A或尸座的概率為y.

故選：B

5.（2023春?湖南）某中學(xué)高二年級(jí)從甲、乙兩個(gè)紅色教育基地和丙、丁兩個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐基地中選擇一個(gè)進(jìn)

行研學(xué)，則選擇紅色教育基地的概率是（）

1111

A.-B.-C.—D.-

6432

【答案】D

【分析】根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.

【詳解】任選一個(gè)基地研學(xué)，共有4種選擇，則紅色教育基地有2種選擇，所以選擇紅色教育基地的概率

是?

故選：D

6.（2023?云南）單項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，是從A、5、C、O四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案.

假設(shè)考生有一個(gè)單項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇一個(gè)答案，答對(duì)的概率是（）

111

A.1B.—C.—D.一

324

【答案】D

【分析】由古典概型的概率公式求解.

【詳解】該考生選擇的答案可以為：A,B,C,D,其中正確答案只有一個(gè)，故答對(duì)的概率是1.

4

故選：D

7.（2022春?天津）從2名女生和3名男生中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女生的概率為（）

3131

A.—B.-C.—D.—

521010

【答案】D

【分析】根據(jù)題意直接計(jì)算概率即可.

【詳解】從2名女生和3名男生中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，

記女生分別為男生分別為L(zhǎng)2,3,

則所有可能情況為ab,al,a2,a3,bl,。2,63,12,13,23,

總共有10種方案，

選中的2人都是女生，有1種方案，

則所求概率為：.

故選：D

8.（2022春?浙江）袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，

則摸到黃球的概率是（）

1234

A.-B.-C.-D.-

5555

【答案】C

【分析】根據(jù)古典概型直接求得即可.

【詳解】5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，黃球有3個(gè)，則隨機(jī)摸出1個(gè)球，有5種方法，摸到黃球有3種方法，

3

所以摸到黃球的概率為手

故選：C.

9.（2022秋?福建）隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是（）

11-12

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】C

【分析】分別求出點(diǎn)數(shù)向上的結(jié)果數(shù)和向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)，由古典概率可得答案.

【詳解】隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)向上的結(jié)果有6種，其中向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的有3種

所以出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是

62

故選：C

10.（2022春?貴州）同時(shí)拋擲兩枚硬幣，則兩枚硬幣都是"正面向上"的概率為（）

1123

A.—B."C.-D.一

4234

【答案】A

【分析】根據(jù)題意將所有的實(shí)驗(yàn)情況一一列舉出來(lái)，再將符合題意的情況一一列舉，根據(jù)古典概型，可得

答案.

【詳解】同時(shí)拋擲兩枚硬幣的所有實(shí)驗(yàn)情況為：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

兩枚硬幣都是“正面向上"的實(shí)驗(yàn)情況為（正，正），

根據(jù)古典概型，概率為P=J,

4

故選：A.

11.（2021春?天津）盒中有3個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個(gè)白球、2個(gè)紅球，從中不放回地依次隨

機(jī)摸出2個(gè)球，則兩次都摸出紅球的概率為（）

1125

A.—B.-C.-D.一

3236

【答案】A

【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】記1個(gè)白球?yàn)锳,2個(gè)紅球分別為b,

現(xiàn)從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則可能結(jié)果有Aa、Ab>aA.ab、bA、6a共6個(gè)，

其中兩次都摸出紅球的有必、ba,

21

所以所求概率尸=2=W.

63

故選：A

12.（2021春?福建）從甲、乙、丙三位同學(xué)中，任選兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，則甲同學(xué)被選中的概率是（）

2111

A.-B.-C.—D.一

3236

【答案】A

【分析】列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所

求事件的概率.

【詳解】從甲、乙、丙三位同學(xué)中，任選兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，則所有的基本事件有：甲乙、甲丙、乙

丙，共3種，

其中，事件"甲同學(xué)被選中"所包含的基本事件有：甲乙、甲丙，共2種，

2

故所求概率為尸=4.

故選：A.

13.（2021秋?福建）根據(jù)防疫要求，需從2名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生中任選2名參加社區(qū)防控服務(wù)，則選中的

2名都是男醫(yī)生的概率為（）

11-12

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】B

【分析】利用列舉法即可求解.

【詳解】解：將2名男醫(yī)生記為生,%,1名女醫(yī)生記為b

從2名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生中任選2名參加社區(qū)防控服務(wù)，所有可能情況有：

（4，%）,（q,b）,（電/）共3種

選中的2名都是男醫(yī)生的情況為：（勾,《），共1種

所以選中的2名都是男醫(yī)生的概率為：

故選：B.

14.（2021秋?河南）同時(shí)擲兩個(gè)均勻骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和是7的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.—

34612

【答案】C

【分析】求出同時(shí)擲兩個(gè)均勻骰子出現(xiàn)的所有基本事件數(shù)，及點(diǎn)數(shù)和為7的所有基本事件數(shù)，然后可計(jì)算

概率.

【詳解】同時(shí)擲兩個(gè)均勻骰子，基本事件有6x6=36種，其中點(diǎn)數(shù)和為7的有16,25,34,43,52,61共6種，所

以概率為尸=￡=，.

366

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，解題關(guān)鍵是求出基本事件的個(gè)數(shù).可用列舉法.

15.（2021?湖北）中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是"每

個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和如4=2+2,6=3+3,8=3+5,…，現(xiàn)從3,5,7,11,13

這5個(gè)素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于16的概率是（）

1132

A.—B.-C.—D.一

105105

【答案】B

【分析】先求出3,5,7,11,13這5個(gè)素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)的所有可能結(jié)果，然后再求出其和

等于16的結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率公式可求.

【詳解】解：從3,5,7,11,13這5個(gè)素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有點(diǎn)=10鐘可能，

其和等于16的結(jié)果（3,13）,（5,11）2種等可能的結(jié)果，

21

所以概率尸=示=不

故選：B.

16.（2021秋?廣東）連續(xù)拋擲兩枚骰子，向上點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為（）

.1151

A.—B.—C.—D.一

1211366

【答案】C

【分析】基本事件總數(shù)”=6x6=36,利用列舉法求出向上的點(diǎn)數(shù)之和為6包含的基本事件有5個(gè)，由此能求

出向上的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率.

【詳解】解：連續(xù)拋擲兩枚骰子，

基本事件總數(shù)”=6x6=36,

向上的點(diǎn)數(shù)之和為6包含的基本事件有：

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5個(gè)，

..?向上的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率是尸=三.

36

故選：C.

17.(2023?山西)從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)中，不放回地任意取兩個(gè)數(shù)，兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率是.

【答案】|

6

【分析】利用古典概型的概率求解.

【詳解】解：從1，2,3,4這4個(gè)數(shù)中，不放回地任意取兩個(gè)數(shù)基本事件為：12,13,14,23,24,34,

共6個(gè)，

其中兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的有：24,共1個(gè)，

所以兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率是尸=3,

故答案為：—

6

18.(2023春?新疆)將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，則恰好出現(xiàn)一次6點(diǎn)的概率是.

【答案】得

【分析】由古典概型的概率公式計(jì)算即可.

【詳解】將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，兩次骰子的點(diǎn)數(shù)的樣本點(diǎn)共有6x6=36個(gè)，

恰好出現(xiàn)一次6點(diǎn)的樣本點(diǎn)有1x5+5x1=10個(gè)，

故所求概率尸=整=[.

3618

故答案為：

1o

19.(2022秋?廣東)從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)參加活動(dòng)，則甲、乙兩人中恰有一人被選中的

概率為.

2

【答案】I

【分析】列舉出所有的基本事件，并確定所求事件包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求

事件的概率.

【詳解】從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)參加活動(dòng)，則所有的基本事件有：甲乙、甲丙、乙丙，共3種

情況，

其中"甲、乙兩人中恰有一人被選中"所包含的基本事件為：甲丙、乙丙，共2種情況，

故所求事件的概率為尸=2

2

故答案為：—

20.(2021秋?貴州)從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)是偶數(shù)的概率為.

【答案】|2

【分析】根據(jù)古典概型直接得解.

【詳解】由已知1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中，

2

偶數(shù)為2,4,所以偶數(shù)的概率為：，

2

故答案為：—.

21.(2023春?新疆)從3名男生。，瓦c和2名女生羽，中隨機(jī)選出2人參加社區(qū)志愿者活動(dòng)，每人被選到的

可能性相同.

⑴寫出試驗(yàn)的樣本空間；

(2)設(shè)M為事件"選出的2人中恰有1名男生和1名女生”，求事件M發(fā)生的概率.

【答案】⑴答案見(jiàn)解析

(2)1

【分析】(1)根據(jù)題意由試驗(yàn)結(jié)果可直接列出試驗(yàn)的樣本空間；

(2)由事件M所占基本事件個(gè)數(shù)和古典概型計(jì)算公式求解即可.

【詳解】(1)試驗(yàn)的樣本空間為：

Q={(a,Z?),(a,c),(tM：),(a,y),(b,c),SX),S,y),(cx),(Gy),(x,y)},共10種結(jié)果.

(2)選出的2人中恰有1名男生和1名女生的所有結(jié)果為(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y)共6

種，

因此事件M發(fā)生的概率為P(M)=［=j

22.(2022春?遼寧)為形成節(jié)能減排的社會(huì)共識(shí)，促進(jìn)資源節(jié)約型.環(huán)境友好型社會(huì)的建設(shè)，某市計(jì)劃實(shí)

行階梯電價(jià).調(diào)查發(fā)現(xiàn)確定階梯電價(jià)的臨界點(diǎn)是市民關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題.現(xiàn)從關(guān)注此問(wèn)題的市民中隨機(jī)選出

200人,將這200人按年齡分組，第一組［15,25),第二組［25,35),第三組［35,45),第四組［45,55),第五

組［55,65).作出頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)求圖中。的值；

(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，請(qǐng)估計(jì)全市關(guān)注此問(wèn)題的市民年齡的平均數(shù)；

⑶現(xiàn)在要從第一組和第二組中用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求

從第二組中恰好抽到2人的概率.

【答案】(1)0.035

(2)41.5歲

⑶」

10

【分析】(1)由頻率分布直方圖即可求出。的值

(2)由圖得出同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)所在組區(qū)間的中點(diǎn)值，即可求出全市關(guān)注此問(wèn)題的市民年齡的平均數(shù).

(3)求出第一組和第二組分層抽樣的人數(shù)，再列出從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查的所有可能方法，

得出第二組中恰好抽到2人的方法總數(shù)，即可求出從第二組中恰好抽到2人的概率.

【詳解】(])由題意及圖得，組距=10,

10x(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1,

解得：a=0.035.

(2)由題意，(1)及圖得，組距=10,a=0.035

平均數(shù)為：10x(20x0.01+30x0.015+40x0.035+50x0.030+60x0.01)=41.5,

???全市關(guān)注此問(wèn)題的市民年齡的平均數(shù)為41.5歲.

(3)由題意，(1)(2)及圖得，組距=10,a=0.035,

第一組人數(shù)：200x0.010x10=20,

第二組人數(shù)：200x0.015x10=30,

從第一組和第二組中用分層抽樣的方法抽取5人，

20

，第一組抽取：5x—.2,

30

第二組抽?。?、和獷3,

從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,

設(shè)這五人分別為：％,外，4也也，

則共有下列10種抽取方法：

（fl1M2），（可，4），（6也），（01也），（。2，4），（。2也），（。2也），（4也），（4也），02也），

其中從第二組中恰好抽到2人的為3種，倡也）,伍也）,但也），

3

二從第二組中恰好抽到2人的概率為：「=5，

.從第二組中恰好抽到2人的概率為：本3

23.（2021秋?吉林）一個(gè)盒子中裝有5支圓珠筆，其中3支為一等品（記為4，4，&），2支為二等品

（記為片，層），從中隨機(jī)抽取2支進(jìn)行檢測(cè).

⑴寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Q；

⑵求抽取的2支圓珠筆都是一等品的概率.

【答案】⑴（A,4）,（A，A）,（A'4）,（A'B?）,（4,A）,（4,旦）,（怎用）,（AW）,（綜與）.

⑵上

10

【分析】（1）直接寫出樣本空間即可；

（2）計(jì)算2支圓珠筆都是一等品的樣本數(shù)，得到概率.

【詳解】（1）試驗(yàn)的樣本空間。為：（A，4），（A，A），（A，4），（4也），（4，A），（4,4），（4，5），

（4,4），（4，名），（呂聞.

（2）抽取的2支圓珠筆都是一等品有（A，4），（A，A），（4,4）3種情況，故概率p=5.

24.（2021秋?青海）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)單位時(shí)間內(nèi)引體向上的次數(shù)，乙組記

錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以X表示.

甲乙

880X789

001

（1）如果X=7,求乙組同學(xué)單位時(shí)間內(nèi)引體向上次數(shù)的平均數(shù)；

（2）如果X=8,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)單位時(shí)間內(nèi)引體向上次數(shù)和為17的概

率.

【答案】（1）7.75

⑵；

【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)X=7時(shí)，乙組數(shù)據(jù)分別為7,7,8,9,由平均數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算可得答案;

（2）由列舉法列出全部基本事件，即可分析"從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)"和事件C包含的情況數(shù)目，

由古典概型公式計(jì)算可得答案.

【詳解】（1）根據(jù)題意，當(dāng)X=7時(shí)，乙組數(shù)據(jù)分別為7,7,8,9,

計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為了=%（7+7+8+9）=7.75,

（2）根據(jù)題意，記甲組四名同學(xué)為A，&,A，4，他們單位時(shí)間內(nèi)引體向上次數(shù)依次為8,8,10,10,

乙組四名同學(xué)為尾，B2,B3,B4,他們單位時(shí)間內(nèi)引體向上次數(shù)依次為8,7,8,9；

記"選出的兩名同學(xué)單位時(shí)間內(nèi)引體向上次數(shù)和為17"為事件C,

分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有4x4=16個(gè)，

B）,

依次為（A，4），（A，層），（A，4），（4，BJ,（4，4），（4，2（4,為），（兒,凡），（A3,4），

（A,

（4,B2）,（4,B3）,（A，約），44），（A4,B2）,（4,BJ,（4,s4）,

而C中的結(jié)果有4個(gè)，依次為（A，坊），（4，坊），（A，B2）,（A4,BJ,

411

故尸（0=；7=:，即要求事件的概率為：.

1644

考點(diǎn)二：概率基本性質(zhì)

1.（2023?江蘇）甲、乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，如果每人譯出密碼得概率均為0.3,則密碼被破譯的概率

為（）

A.0.09B.0.42C.0.51D.0.6

【答案】C

【分析】甲乙都不能譯出密碼得概率為A=0.49,密碼被破譯的概率為1-片，得到答案.

【詳解】甲乙都不能譯出密碼得概率為6=（l-0.3）x（l-0.3）=049,

故密碼被破譯的概率為1-片=0.51.

故選：C

2.（2023春?新疆）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，若甲中靶的概率為0.6,乙中靶的概率為0.3,甲、乙射擊

是否中靶相互獨(dú)立，則至少有一人中靶的概率為（）

A.0.9B.0.72

C.0.28D.0.18

【答案】B

【分析】利用相互獨(dú)立事件，以及對(duì)立事件概率公式，即可求解.

【詳解】至少有一人中靶的對(duì)立事件為沒(méi)有人中靶，

則兩人沒(méi)有人中靶的概率為尸=04x0.7=0.28,

所以至少有一人中靶的概率尸=1-0.28=0.72.

故選：B

3.（2021春?天津）某產(chǎn)品共有三個(gè)等級(jí)，分別為一等品、二等品和不合格品.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1

件進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)"抽到一等品"的概率為0.65,"抽到二等品”的概率為0.3,貝「抽到不合格品”的概率為（）

A.0.95B.0.7C.0.35D.0.05

【答案】D

【詳解】"抽到一等品"與"抽到二等品"是互斥事件，所以"抽到一等品或二等品”的概率為0.65+0.3=0.95,

"抽到不合格品"與"抽到一等品或二等品”是對(duì)立事件，故其概率為1-0.95-0.05.

故答案為D.

4.（多選）（2022春?浙江）從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是:，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是從

兩袋各摸出一個(gè)球，下列結(jié)論正確的是（）

A.2個(gè)球都是紅球的概率為4

0

B.2個(gè)球不都是紅球的概率為:

C.至少有1個(gè)紅球的概率為:

D.2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為g

【答案】ACD

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算2個(gè)球都是紅球的概率，判斷A;利用對(duì)立事件的概率計(jì)算方法求得2

個(gè)球不都是紅球的概率，判斷B;根據(jù)對(duì)立事件的概率計(jì)算判斷C;根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算可判斷D.

【詳解】設(shè)"從甲袋中摸出一個(gè)紅球"為事件4,從"乙袋中摸出一個(gè)紅球”為事件

則P（A）=；，尸（4）=；，

對(duì)于A選項(xiàng)，2個(gè)球都是紅球?yàn)?4,其概率為!xg=。，故A選項(xiàng)正確，

對(duì)于B選項(xiàng)，"2個(gè)球不都是紅球"是"2個(gè)球都是紅球”的對(duì)立事件，其概率為1-。=金，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，

66

對(duì)于C選項(xiàng)，2個(gè)