高中數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：二項式定理（解析版）

專題44二項式定理

【題型歸納目錄】

題型一：求二項展開式中的參數(shù)

題型二：求二項展開式中的常數(shù)項

題型三：求二項展開式中的有理項

題型四：求二項展開式中的特定項系數(shù)

題型五：求三項展開式中的指定項

題型六：求幾個二(多)項式的和(積)的展開式中條件項系數(shù)

題型七：求二項式系數(shù)最值

題型八：求項的系數(shù)最值

題型九：求二項展開式中的二項式系數(shù)和、各項系數(shù)和

題型十：求奇數(shù)項或偶數(shù)項系數(shù)和

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題

題型十二：近似計算問題

題型十三：證明組合恒等式

題型十四：二項式定理與數(shù)列求和

題型十五：楊輝三角

【考點(diǎn)預(yù)測】

知識點(diǎn)1、二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題

(1)二項式定理

一般地，對于任意正整數(shù)〃，都有：

(a+b/=C°a"+Cy-'b++C：a"++C：b"(neN*),

這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做(a+6)"的二項展開式.

式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第廠+1項：

其中的系數(shù)C；(r=0,1,2,n)叫做二項式系數(shù)，

(2)二項式(4+6)”的展開式的特點(diǎn)：

①項數(shù)：共有〃+1項，比二項式的次數(shù)大1；

②二項式系數(shù)：第廠+1項的二項式系數(shù)為C：,最大二項式系數(shù)項居中；

③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的幕指數(shù)〃.字母。降哥排列，次數(shù)由〃到0；字母人

升嘉排列，次

數(shù)從0到“，每一項中，a,。次數(shù)和均為〃;

④項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是G〉a，c3…，C〉…，C；,項的系數(shù)是a與6的系數(shù)

(包括二項式系

數(shù)).

(3)兩個常用的二項展開式：

ln{

①(a-by=C>"-Cna-b+.+(-1)‘?+…+(-1)"?C；7?"(〃eN*)

②(1+針=i+c%+ck++qy++xn

(4)二項展開式的通項公式

rr

二項展開式的通項：7].+1=Cy-b(r=0,1,2,3,

公式特點(diǎn)：①它表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數(shù)是⑥；

②字母匕的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

③。與。的次數(shù)之和為

注意：①二項式(a+b)”的二項展開式的第r+1項C：a"-7/和S+a)"的二項展開式的第

廠+1項.是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的a和6是不能隨便交換位置的.

②通項是針對在3+力"這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(a-b)"的二項展開式的通項是

小=(-l)'Cai〃(只需把-6看成。代入二項式定理).

2、二項式展開式中的最值問題

(1)二項式系數(shù)的性質(zhì)

①每一行兩端都是1,即C：=C：'；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即

c：+}=c：-'+c：.

②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C：=CT".

③二項式系數(shù)和令0=6=1,則二項式系數(shù)的和為C：+C：+C；++C：++C：=2",

變形式C：+C,；++C,；++C：=2"-1.

④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令

a=l9b=-l9

貝IJC°-c：+C；-C；++(-1)"C；=(l-l)-=o,

從而得到：C：+C；+C>-+C^+-=C：+C；++C；r+1+---=--2n=2'-'.

⑤最大值：

如果二項式的哥指數(shù)〃是偶數(shù)，則中間一項7；的二項式系數(shù)C：最大；

-+1

n-1n+\

如果二項式的累指數(shù)〃是奇數(shù)，則中間兩項Tn+l的二項式系數(shù)C；^，C3相

————+1

22

等且最大.

(2)系數(shù)的最大項

求3+法)〃展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為

[A>A

44,…，4…設(shè)第r+l項系數(shù)最大，應(yīng)有加一；，從而解出r來.

[A-+1-4+2

知識點(diǎn)3、二項式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題

常用賦值舉例：

(1)設(shè)(a+6)"=C>"+C：""%++C；,a"-rbr++C?",

二項式定理是一個恒等式，即對。，b的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要

靈活選取”，6的值.

①令。=》=1,可得：2"=C；+C：++C；

②令4=1,6=1,可得：o=C-c：+c；-c：.+(-1)"C，即：

c；+c；++c；=C+c；++c：T(假設(shè)〃為偶數(shù))，再結(jié)合①可得：

c；+c；++C：=c：+c：++C：T=2'I.

n2

(2)若/(x)=anx"+。小1+an_2x~++qx+CIQ,貝!!

①常數(shù)項：令x=0,得/=/(0).

②各項系數(shù)和：令x=l,得/⑴=%+q+g++an_x+an

③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和

/⑴+/(T)

(i)當(dāng)〃為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為4+%+%+

2

偶數(shù)項的系數(shù)和為q+4+%+=/(1)~/(-1)

(可簡記為：〃為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”,奇偶交錯搭配)

(花)當(dāng)〃為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為％+%+%+

2

Al)+f(T)

偶數(shù)項的系數(shù)和為q+/+%+

2

(可簡記為：〃為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯搭配)

12

若/(x)=a0+GjX+a2x+++anx",同理可得.

注意：常見的賦值為令x=0,x=l或x=T,然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果.

【典例例題】

題型一：求二項展開式中的參數(shù)

例1.(2022?湖南?模擬預(yù)測)已知+的展開式中的常數(shù)項為-160,則實數(shù)。=()

A.2B.-2C.8D.-8

【答案】B

【解析】1展開式的通項為：Tr+l=C"b［三j=G-尸，-a：

取/?=3得到常數(shù)項為Cl-a3=20/=-160,解得“=一2.

故選：B

例2.(2022?全國?高三專題練習(xí))［辦-展開式中的常數(shù)項為一160,則。=()

A.-1B.1C.±1D.2

【答案】B

【解析】(以一的展開式通項為4+i=C久依=(-2)ra6-rC'^-2'(0<r<6,reA^),

.?.令6-2r=0,解得r=3,

.??［依一的展開式的常數(shù)項為7；=(-2)3/3c*6-6=_160/=T60,

/=1

a=l

故選：B.

例3.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知二項式的展開式中，/項的系數(shù)為40,貝1］。=

()

A.2B.-2C.2或-2D.4

【答案】C

【解析】由&=C，g).|j］=/"吁令10-3r=4,解得r=2,所以一項的系數(shù)為

C^2=10a2=40,解得a=±2.

故選：C

例4.(2022?湖北?高三階段練習(xí))若(2x+l)"的展開式中d項的系數(shù)為160,則正整數(shù)〃的值

為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】由二項式定理知：含/項為C，2x)3.廣3=8x-A一-2).尤3,

3x2x1

由題意(〃-=160,1)(〃-2)=120,

解得〃=6;

故選：C.

例5.（2022?四川?樂山市教育科學(xué)研究所三模（理））1〃-同5展開式中丁的系數(shù)為-20,則

〃/=（）

A.2B.1C.3D.加

【答案】A

【解析】（時x）5的展開式通項公式為%=（-if4f,故（-1）3（2折2=-20,記得機(jī)=2,

故選：A

【方法技巧與總結(jié)】

在形如（依”+6砂十的展開式中求x'的系數(shù)，關(guān)鍵是利用通項求r,則r=也二.

m—n

題型二：求二項展開式中的常數(shù)項

例6.（2022?全國?高三階段練習(xí)（理））12尤+￡|展開式中的常數(shù)項為（）

A.160B.120C.90D.60

【答案】A

【解析】（2尤+展開式通項為卻=&-（2*6[：1=&-26-763,令6-2r=0,解得

廠=3,

因此，展開式中常數(shù)項為C〉23=160.

故選：A.

例7.（2022?浙江?慈溪中學(xué)高三開學(xué)考試）的展開式中的常數(shù)項為（）

A.-60B.60C.64D.120

【答案】B

【解析】，了-七]展開式的通項為卻1=&（2尤/[_1]=qx26-rx（-l）rxx6^,令

6-亍=0解得廠=4,所以常數(shù)項C：x22x（7）4=60.

故選：B.

例8.（2022.全國?高三專題練習(xí)（理））二項式|/-竽（weN*）的展開式中含有常數(shù)項,

則〃的最小值等于（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】二項式（"eN*）的展開式為

令5"一?廠=0/=0,1,2「一,〃,,

2

3

則n=-r

因為〃eN*

所以當(dāng)r=2時，”取得最小值3,

故選：B

例9.（2022?全國?模擬預(yù)測）二項式的展開式中的常數(shù)項為（

令第=o可得左=6,所以常數(shù)項為￡=（-1）6C；尸210,

故選：A

【方法技巧與總結(jié)】

寫出通項，令指數(shù)為零，確定，代入.

題型三：求二項展開式中的有理項

例10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在二項式（0+x）”的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項的

個數(shù)是.

【答案】6

【解析】二項展開式的通項公式為&1=小（應(yīng)「'/,廠=0』,2,,11,

第r+1項的系數(shù)為C］（忘『二

當(dāng)11-r=0,2,4,6,8,10即/?=1,3,5,7,9,11時，系數(shù)為有理數(shù),

這樣的項的個數(shù)為6,

故答案為：6

例11.（2022?湖南?長郡中學(xué)模擬預(yù)測）已知（6-展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展

開式中系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是.

【答案】4

【解析】依題意，知2"=64=26,n=6,

,,6-k

則展開式的第左+1項為?。?可為=（-1）七3〒尤*0=。，1，，6）,

當(dāng)無=0,2,4,6時，展開式中系數(shù)為有理數(shù)，所以展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)為4.

故答案為：4.

例12.（2022?湖南長沙?模擬預(yù)測）已知（3+缶）”（weN*,14,412）的展開式中有且僅有

兩項的系數(shù)為有理數(shù)，試寫出符合題意的一個〃的值_____.

【答案】〃取6,8,9,10,11中任意一個值均可.

【解析】圖+岳）”的展開式的通項為配產(chǎn)C：?便廠?（收）'/,r<n,reN.

vij—r

若系數(shù)為有理數(shù)，則7EZ,且一丁￡Z.當(dāng)〃=3時，r=0；

23

〃=4時r=4；

幾=5時r=2；

〃=6時r=0,6；

〃=7時廠無解；

%=8時r=2,8；

〃=9時廠=0,6；

“=10時/=4,10；

〃=11時/=2,8,

九=12時〃=0,6,12.

所以〃可取6,8,9,10,11中的任意一個值.

故答案為：〃取6,8,9,10,11中任意一個值均可.

例13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（后+次尸。的展開式中系數(shù)為有理數(shù)項的共有

項.

【答案】17

1。。一100-rr_

1

【解析】（屈+次嚴(yán)°的展開式的通項為：J=Coo（岳）'（次J=Ga3Mx2§，

即r既是3的倍數(shù)，又是2的倍數(shù)，則是6的倍數(shù)，-0,6,12,.……，96,共17項.

故答案為：17.

例14.（2022?上海?格致中學(xué)高三階段練習(xí)）在（志-出廣的展開式中有一項為有理數(shù).

【答案】9.

r25-

【解析】通項公式：Tr+i=C；o（及卜我'=（-l）C；OX22X3^.

當(dāng)!■與（都為整數(shù)且25-事為整數(shù)時，如為有理數(shù)，貝什=0,6,12,18,24,30,36,42,48.

展開式中有9項為有理數(shù).

故答案為：9.

【方法技巧與總結(jié)】

先寫出通項，再根據(jù)數(shù)的整除性確定有理項.

題型四：求二項展開式中的特定項系數(shù)

例15.（2022?北京海淀?一模）在的展開式中，/的系數(shù)為（）

A.-1B.1C.-4D.4

【答案】B

【解析】的展開式的通項公式為&=以?廣（-尤）’=（T）'C＞叼，

令2+^=2,則廠=0,故f的系數(shù)為（_1）。仁=1,

故選：B.

例16.（2022.云南.高三階段練習(xí)（理））在的二項展開式中，第4項的二項式系數(shù)

是（）

A.20B.-20C.15D.-15

【答案】A

【解析】第4項的二項式系數(shù)為屐==20.

3x2x1

故選:A

例17.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若（x-2y）"的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相

等,貝|]/=（）.

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】由題意，二項式（x-2y）"的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)分別為C；,C〉

可得C；=C：,解得〃=3+7=10.

故選：B.

例18.（2022?甘肅?武威第八中學(xué)高三階段練習(xí)）在的展開式中，x的系數(shù)為（）

A.-10B.-5C.5D.10

【答案】D

【解析】卜一的通項為=仁.產(chǎn)’?（一：=（-i）r?產(chǎn)”，

令5-2廠=1,即r=2,￡=C］（-l）2?尤=10x,

故選：D.

【方法技巧與總結(jié)】

寫出通項，確定廠，代入.

題型五：求三項展開式中的指定項

例19.（2022?廣東?高三階段練習(xí)）（3尤2+2尤+1廠的展開式中，/項的系數(shù)為

【答案】210

【解析】因為

=［3X2+（2%+1）］'0

1029

=C°o（3尤2）+C：o（3/J（2x+1）+C,（3尤2y（2x++...+C?（3x）'（2x+1）+C；°（2x+1）"°

2

所以含有V項的為C^03x?C：P+c；；黨（2不［8=2i0尤2.

所以（3Y+2X+1廠的展開式中，含f項的系數(shù)為210.

故答案為：210.

例20.（2022?廣東?仲元中學(xué)高三階段練習(xí)）（f+x+y）5的展開式中，x'y?的系數(shù)為.

【答案】30

【解析】（d+.x+yy表示5個因式Y(jié)+x+y的乘積，

在這5個因式中，有2個因式選y，其余的3個因式中有一個選x,剩下的兩個因式選/,

即可得到含丁產(chǎn)的項，

故含天5丁的項系數(shù)是C】C；.C；=30

故答案為：30

例21.（2022?山西大附中高三階段練習(xí)（理））一2；的展開式中常數(shù)項為.

【答案】88

【解析】卜+:-21中的常數(shù)項為C5-2）5=88,

故答案為:88

7

例22.（2022.廣東?廣州市慶豐實驗學(xué)校一模）（2尤+（-1）6的展開式中的常數(shù)項為

尤

.（用數(shù)字填寫正確答案）

【答案】481

【解析】（2X+彳-1）6的通項公式為加=晨.（2%+W）6，（T）r,（W6,

XX

對于（2x+彳尸，它的通項公式為a=C>2~.產(chǎn)f6-r,

X

fr=0fr=3fr=6

令6--3后=0,可得〈，或｛,或

［左=2［左=1［左=0

故（2無+下-1）6的展開式中的常數(shù)項為建?.26+或（-DC"+1=481,

故答案為：481.

例23.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（尤1+X2+無3+匕尸的展開式合并前的項數(shù)為（）

A.C*B.A；C.心4D.415

【答案】D

【解析】從15個因式（X1+X2+X3+X4）中，每一次都要選一個毛、X、、鼻、無4相乘，

；.（尤］+尤2+%+匕尸展開式中共有45項.

故選：D.

例24.（2022?河北邢臺?高三期末（理））（x+y-'-L），的展開式的常數(shù)項為

xy

A.36B.-36C.48D.-48

【答案】A

［解析】vfx+j---—=（x+y）4（i—,

IX”l孫Jl取J

41

???x+y」」I的展開式中的常數(shù)項為?xH）x?可）=36.

I%y

故選：A.

例25.（2022?四川綿陽三模（理））在11+：一、|的展開式中，/項的系數(shù)為（）

A.-50B.-30C.30D.50

【答案】B

【解析】卜+j-x］表示5個因式11+5-X）的乘積，在這5個因式中，

有2個因式都選-x,其余的3個因式都選1,相乘可得含/的項;

或者有3個因式選r,有1個因式選上，1個因式選1,相乘可得含V的項，

X

故X2項的系數(shù)為。；+(-或9>2)=-30,

故選B.

例26.(2022?全國?高三專題練習(xí))(x+y-2z)s的展開式中，孫的系數(shù)是()

A.120B.-120C.60D.30

【答案】A

【解析】(x+y-2z)5=[(x+y)-2ZT，展開式的

第廠+1項為C；(x+y廣'(_2z)’，

令/'=2,可得第3項為(-2)2C；(X+"Z2,

(x+y)3的展開式的第m+l項為C；1Fmy"，令相=2,

可得第3項為C；^2，

所以(x+y-2z)5的展開式中，

的系數(shù)是(-2)2C；C；=120.

故選：A.

【方法技巧與總結(jié)】

三項式(a+b+c)"(〃eN)的展開式：

(a+b+c)n=[(a+b)+c]n=+C^a+b/~rcr+

=???+￡(+0/"+附+y+

=..+C；C"Fc，+

若令n—r—q=p,便得到三項式(a+b+c)"(〃eN)展開式通項公

式：

pqr

C^C^_rabc(p,q,r^N,p+q+r=ri),

其中C：c。=----------5-r)!=上一叫三項式系數(shù).

r!(n—r)!q\(n—r—q)\p\q\r\

題型六：求幾個二(多)項式的和(積)的展開式中條件項系數(shù)

例27.(2022?江蘇江蘇?高三階段練習(xí))的展開式中xb2的系數(shù)為()

A.6B.-9C.-6D.9

【答案】D

【解析】1-1](尤+y)6=(x+y)6-2(x+y)6；

kxJx

-（x+y）6展開式中犬產(chǎn)的系數(shù)為C；=15；：（x+y）6展開式中丁丁的系數(shù)為C；=6；

.?1l-5}x+y）6展開式中公產(chǎn)的系數(shù)為15一6=9.

故選：D.

例28.（2022?四川?高三開學(xué)考試（理））（尤3+i）.（2A：j的展開式中的常數(shù)項為（）

A.240B.-240C.400D.80

【答案】D

【解析】-塔：的展開式的通項為小=C：（2xfrf--^J=（-l）r晨.2，，尸，，

令6-3r=0,得r=2,

則的展開式中的常數(shù)項為（-I?C326-2=15x16=240,

令6-3廠=-3,得r=3,

則（2尤-的展開式中含婷的項的系數(shù)為（-1）3篌.26-3=-20x8=-160,

所以（丁+1）12尤-的展開式中的常數(shù)項為240x1+（-160）x1=80.

故選：D.

例29.（2022?云南師大附中高三階段練習(xí)）+2）6的展開式中/的系數(shù)為（）

A.160B.-160C.148D.-148

【答案】C

【解析】的展開式中V的系數(shù)為c>23-爆-2=160-12=148.

故選：C.

例30.（2022?新疆克拉瑪依三模（理））已知上+-5的展開式中常數(shù)項為40,則機(jī)=

（）

A.-3B.3

D-4

【答案】A

【解析】（X」）5展開式中第廠+1項*==（-1）匕產(chǎn)"

X1

當(dāng)r=2時，T=Clx=10x,r=3時，7；=-Cfx=--,

3X

所以（尤+曰卜一1的展開式中常數(shù)項為:xlOx-?xx=1010,

所以10%—10=T0,得加=一3.

故選：A

例31.（2022.江蘇南京?三模）（1+無）4（l+2y）a（aGN*）的展開式中，記wiy"項的系

數(shù)為于（m,n）.若/（0,1）+/（1,0）=8,則a的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】展開式中含》的項為C>14C,-2y=2分，含x的項為C〉xC-l“=4x,

.?.〃0,l）+〃l,0）=2a+4=8,

:?a=2,

故選：C

例32.（2022.全國?高三專題練習(xí)）在［+1）卜2-的展開式中，含Vy2的項的系數(shù)是

（）

A.10B.12C.15D.20

【答案】A

【解析】因為卜的展開式為C；（X2廣］一J=C；（-1/,

1+［j卜一的展開式為勺㈠）。爐>-3,和?仁（一1）‘x'°-3r的和,

W（-l）r貯3,=Q（_4；q（-l）r產(chǎn)3/2,

所以在C；（T）’產(chǎn)392中令廠=2,即可得到尤于的項的系數(shù)，是c；（-l）2=10,

故選：A.

【方法技巧與總結(jié)】

分配系數(shù)法

題型七：求二項式系數(shù)最值

例33.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在（〃EN*）的展開式中，若第5項為二項式系

數(shù)最大的項，則〃的值不可能是（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【解析】當(dāng)〃=7時，（。+?的展開式有8項，（。+6）7的展開式中二項式系數(shù)C；，C；,最大，

即第四項和第五項的二項式系數(shù)最大；

當(dāng)”=8時，（。+6）8的展開式有9項，5+6）8的展開式中二項式系數(shù)C；最大，

即第五項的二項式系數(shù)最大；

當(dāng)"=9時，（”+加9的展開式有10項，（4+09的展開式中二項式系數(shù)c；,C：最大，

即第五項和第六項的二項式系數(shù)最大.

當(dāng)〃=10時，（。+6嚴(yán)的展開式有11項，（。+匕嚴(yán)的展開式中二項式系數(shù)C；。最大，

即第六項的二項式系數(shù)最大.

故選：D.

例34.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（l+2x）7展開式中二項式系數(shù)最大的項是（）

A.280x3B.560/C.280尤3和560/D.672爐和560/

【答案】C

【解析】（1+2x）7展開式的通項公式為C；（2xY=C；?

因為（1+2x）7展開式共有8項，

所以第4項和第5項的二項式系數(shù)最大，

44

所以（1+2x）7展開式中二項式系數(shù)最大的項為仁-23尤3和仁.2%,

即為280/和560/,

故選：C

例35.（2022.湖南.高三階段練習(xí)）設(shè)機(jī)為正整數(shù)，（x+y尸"的展開式中二項式系數(shù)的最大

值為。，（x+y）2"H的展開式中的二項式系數(shù)的最大值為從若15。=助，則，〃的值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】（x+y）""的展開式中二項式系數(shù)的最大值為CM，故〃=C￡,（x+yf，川的展開式

中的二項式系數(shù)的最大值為。黑+1或《：：，兩者相等，不妨令6=4?則有156：?=86：1+「

解得：加=7.

故選：C

例36.（2022?全國?高三專題練習(xí)）［6+幺丫的展開式中龍的系數(shù)等于其二項式系數(shù)的最大

值，則〃的值為（）

A.2B.3C.4D.-2

【答案】A

【解析】因為的展開式的通項公式為七=G（岡=芋，令心=1,

即廠=1時，x的系數(shù)為5a,而二項式系數(shù)最大值為仁=10,所以5a=10,即a=2.

故選：A.

例37.（2022.安徽.高三階段練習(xí)（理））在x）"的展開式中，只有第五項的二項式系

數(shù)最大，則展開式中/的系數(shù)為（）

,4535-35-

A.—B.-----C.—D.7

488

【答案】c

【解析】依題意，第五項二項式系數(shù)最大，一共是9項，所以見=8,

二項式展開項的通項公式為:

4+—=6,r=4,

2

二f的系數(shù)為c；［￡|4=m

故選：C.

【方法技巧與總結(jié)】

利用二項式系數(shù)性質(zhì)中的最大值求解即可.

題型八：求項的系數(shù)最值

例38.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知的展開式中各項系數(shù)之和為64,則該展開式

中系數(shù)最大的項為.

【答案】1215/

【解析】令x=l,貝iJ（l-3x）"的展開式各項系數(shù)之和為（一2）"=64=26,貝?！?6；

由（1-3尤）”的展開式通項公式&|=C久-3丫/知二項展開式的系數(shù)最大項在奇數(shù)項,

設(shè)二項展開式中第廠+1項的系數(shù)最大,

q(-3)r>C；+2(-3)r+2(r+2)(r+l)>(6-r)(5-r)x9

化簡可得:

Q(-3)r>Cr2(-3)r-2(8-r)(7-r)x9>r(r-l)

經(jīng)驗證可得r=4,

則該展開式中系數(shù)最大的項為與=C；（-3）4/=1215/.

故答案為：1215尤1

例39.（2022.重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）（x-l『的展開式中系數(shù)最小項為第項.

【答案】6

【解析】（X-碟的展開式的通項公式為力包=&尤9-，（_1丫，其中系數(shù)與二項式系數(shù)只有符號

差異，

又第5項與第6項的二項式系數(shù)最大，第6項系數(shù)為負(fù)，則第6項系數(shù)最小.

故答案為：5.

例40.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若（4+荻）〃展開式中前三項的系數(shù)和為163,則展開

式中系數(shù)最大的項為.

【答案】5376

2n-3k八八,cc

【解析】展開式的通項公式為北產(chǎn)2（*丁，由題意可得，2°d+2C：+22d=163,解

得打=9,

設(shè)展開式中心=等項的系數(shù)最大，則:::［I,

解得-

又.."eN,：.k=6,

故展開式中系數(shù)最大的項為U=2。C；=5376.

故答案為：5376.

例41.（2022?江蘇?姜堰中學(xué)高三階段練習(xí)）［石（〃eN*）展開式中只有第6項系數(shù)

最大，則其常數(shù)項為.

【答案】210

【解析】由己知［?+5］（〃eN*）展開式中只有第6項系數(shù)為C；,最大，所以展開式有11

項，

所以2〃=10,即〃=5,又展開式的通項為4+1=C；o（6產(chǎn),.

令5-3r=0,解得r=6,所以展開式的常數(shù)項為C*=第,=210.

O

故答案為：210.

例42.（2022?上海?高三開學(xué)考試）假如（尤一的二項展開式中d項的系數(shù)是-84,則

（尤-：］二項展開式中系數(shù)最小的項是.

【答案】-嘵

【解析】由二項式知：&|=&城-，（一3'=（-1）,禺尤）2，,而d項的系數(shù)是一84,

R919x8x...xl

???〃一2尸=3時，有Cj+3=84且r為奇數(shù)”>0）,又由=?十=84

(3x2xl)x(6x...xl)

“二3

可得\n-2r+3—9

??.（+]=（-1丫。"9-力，要使系數(shù)最小，〃為奇數(shù)，由對稱性知：r=5,

126

???？；=(-1*產(chǎn)

x

故答案為：----.

X

【方法技巧與總結(jié)】

有兩種類型問題，一是找是否與二項式系數(shù)有關(guān)，如有關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為二項式系數(shù)最值

問題；如無關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為解不等式組：F-^1,注意：系數(shù)比較大小.

心如

題型九：求二項展開式中的二項式系數(shù)和、各項系數(shù)和

例43.（2022.全國?高三專題練習(xí)）若（l-x）7=4+4為+4苫2++%『，則

國+同+同++|%|=.（用數(shù)字作答）

【答案】127

27

【解析1因為（1-尤）7=4+0Vx+a2x++a7x,

所以X奇次方系數(shù)為負(fù)，X偶次方系數(shù)為正，

JiFf以同|+1ci]|+1%|++1%|=-q+6t2—q+a4—%+%—%，

對*于"(1—%)7=CLQ+++%%7,

令X=—1,得/_4]+%_%+%―%+4一%=27,

令X=0,得%=1,

兩式相減，得—%+出一。3+“4—“5+a6—%=2’-1=127,

即|力+|蜀+|蜀++|%]=127.

故答案為：127

例44.（2022?廣東?高三階段練習(xí)）已知（2+x）〃=%+qx+&/++",若

%+6+。2++%=81,則自然數(shù)幾等于

【答案】4

【解析】令%=1,則(2+1)"=3"=%+%+%++a〃=81,

所以〃=4.

故答案為：4

例45.(2022?廣東?廣州大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)(理))若(天+才(2天-丁+〃)5的展開式

中各項系數(shù)的和為256,則該展開式中含字母x且x的次數(shù)為1的項的系數(shù)為.

【答案】0

【解析】取》=尸1，則(x+y)3(2x-y+a)5的展開式中各項系數(shù)的和為：23x(a+l)5=256.

故a=l,則(x+y)“2x_y+q)5=(x+城(2x-y+17,

3mm

(x+?的展開式：Tm+l=C^x-y；(2x-y+l)s的展開式：小=Cf(2x『(-y+1)"

取m=2,〃=5得到：C；xy2.Cj(-y+l)5,取＞=1得到系數(shù)為0；

取〃?=3,〃=4得到：C^3-C/-2x(-y+l)4,?。?1得到系數(shù)為0；

綜上所述：該展開式中含字母x且x的次數(shù)為1的項的系數(shù)為0。

故答案為：0。

例46.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)?！?。^.二%+^^+出/+…+^^鏟⑶，若

4+2%+3。3+—+2。20%020=2。20。貝!)非零實數(shù)(1的值為()

A.2B.0C.1D.-1

【答案】A

【解析】?.?(1-改戶2°=4+4尤+出尤2+-+%3y°20,對其兩邊求導(dǎo)數(shù)，

192019

2020x(—a)(1—axy°=%+2a2xH----1-2020a2020x,

令x=l,得2020x(—a)(l—a)-"。=4+2@H----F2020a2020,①

又4+2a2+3o3H----P2020a2020=2020a(aw0),②

2O2Ox(-a)(l-a)2019=2020a(a^0),l-a=-l,解得a=2,

故選：A.

1

例47.(2022?全國?局二專題練習(xí))已知(1+=a。+qx+的廠+tZjX，++a202i^"°",貝U

"20，。+2a?o19+3"，O]8+4^2017++2020%+20214=()

A.2021x22021B.2021x22020

C.2020x22021D.2020x22020

【答案】B

【解析】依題意，%=Chi，keN,kM2021,

2021?

當(dāng)H1時，(2021-^=(2021-左)熱必=2021%?-卜,=2021C垢一

(2021-化)!?左！

2020*

2021-------------------------------=2021(C*-C歌))，

[2020-(4-1)]!-(4-1)!2002211-020

2021

是得。202。+2。2。19+3〃2018+4。2。17++2020。1+2021%—)：(2021—%)%+2°21。°

_k=l_

2021(20212021>

=[￡2021(C^021-C^)]+2021C°021=2021￡4021-￡c^0

k=lIk=0k=T7

=2021(22021-22020)=2021x22020.

故選：B

例48.(多選題)(2022?全國?高三專題練習(xí))若

222

(1+%)+(1+無J++(1+x廣'=%+%%++6Z2022X°,貝1J()

A.2022B.a2=Cf023

20222022

C.工(-1)'4=-1D.X(T)%a，T

i=\i=l

【答案】ABD

【解析】當(dāng)x=0時，2022=%,故A對；

。2=C；+C；+C；++C；022=C3+c|+C4++C；022=《023,B對；

令X=一]，貝|0=〃0_4+〃2_〃3+〃4_〃2021+々2022，

2022

JX(-1)4=—旬=-2022,故C錯；

Z=1

對等式(l+x)+(l+x)2+.+(1+X)2022=%+4無+.+〃2022%2022兩邊求導(dǎo)，

2021

即1+2(1+%)+3(1+力2+一+2022(1+%產(chǎn)1=%+2a2%++2O22^2O22x

令"x——1,貝!J1=Q]—2a2+3。3—4%++2021。2()21—2022。2。22，

2022

Z(T)'%a,=l，故D對，

i=l

故選：ABD.

例49.(2022?全國?!§)二專題練習(xí))設(shè)(2x-1)~°°=%+qx+出爐+,+，求

(1)展開式中各二項式系數(shù)的和；

⑵聞+聞++|%oo|的值.

【解析］(1)由題意，200200200+。200=2

即展開式中各二項式系數(shù)的和為220°.

⑵由1+1=C；oo?(2x嚴(yán)，(-1丫可知，

1%|+1421++|42001=_q+%—%+包—45++”200，

故令％=-1得：％+同+同++Woo|=(—3戶°=3200,

再令％=0得：%=(—1產(chǎn)=1,

所以同+同++|%oo|=3一0°—1.

例50.(2022?全國?高三專題練習(xí))在①只有第5項的二項式系數(shù)最大；②第4項與第6項

的二項式系數(shù)相等；③奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128；這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下

面(橫線處)問題中，解決下面兩個問題.

已知(2x-l)"=/+。］尤+電工2+anx"(nEN*),

⑴求］+%?++(的值:

(2)求4+2%+3a3+nan的值.

【解析】(1)若選①：

因為只有第5項的二項式系數(shù)最大，

所以展開式中共有9項，即〃+1=9,得〃=8,

若選②：

因為第4項與第6項的二項式系數(shù)相等，

所以C：=C：nw=8,

若選③：

因為奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128,

所以2“T=128,解得〃=8.

s

因為(2x-l)8=%+4了+的X2+a&x,

令尤二，則有(2x［-琰=&+多+粵++*,

22222

即有為+^+是+…+雋=。，

222

令％=0,得%=1,

所以及+1H+$_/=_!；

綜