配套課件-常微分方程

第1章基本概念

1.1微分方程及其解的定義1.2微分方程及其解的幾何解釋 1.1微分方程及其解的定義

微分方程是一門十分活躍的數(shù)學分支.利用數(shù)學手段研究自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，或解決工程技術(shù)問題，一般需要對問題建立數(shù)學模型，再對它進行分析求解或近似計算，然后按實際的要求對所得的結(jié)果做出分析和探討.數(shù)學模型最常見的表達方式是包含自變量和未知函數(shù)的函數(shù)方程.在很多情形下，這類方程還包含未知函數(shù)的導數(shù)，它們就是微分方程.例如，人口定量分析、生物種群的發(fā)展變化以及在交通環(huán)境下用牛頓第二運動定律列出的質(zhì)點運動方程等都是微分方程，其中質(zhì)點運動方程中的未知函數(shù)代表質(zhì)點的坐標，它們對自變量(時間)的一階導數(shù)和二階導數(shù)分別表示質(zhì)點的運動速度和加速度.

現(xiàn)在，我們給出如下的定義.

定義1.1

凡是聯(lián)系自變量x，與這個自變量的未知函數(shù)y=y(x)和它的導數(shù)y′=y′(x)以及直到n階導數(shù)y(n)=y(n)(x)在內(nèi)的方程F(x,y,y′,…,y(n))=0（1.1）叫做常微分方程，其中導數(shù)實際出現(xiàn)的最高階數(shù)n叫做常微分方程（1.1）的階.注1.1

這里F是一個關(guān)于變元x,y,y′,…,y(n)的給定的已知函數(shù)。因此，諸如y′(x)=y(y(x))和y′(x)=y(x-1)之類的方程就不是常微分方程.

例如，下面的方程都是常微分方程：(1.2a)(1.2b)(1.2c)(1.2d)在前三個方程中，x是自變量，y是未知函數(shù)；在最后一個方程中，t是自變量，θ是未知函數(shù)（而a是大于零的常數(shù)）.前兩個方程都是一階的,后兩個方程都是二階的.

在常微分方程（1.1）中，如果左端函數(shù)F對未知函數(shù)y和它的各階導數(shù)y′,…,y(n)的全體而言是一次的，則稱它是線性常微分方程,否則稱它是非線性常微分方程.例如，常微分方程(1.2a)、(1.2b)和(1.2d)是線性的,而(1.2c)是非線性的.

我們在定義1.1中給微分方程（1.1）冠以“?！弊?，指的是未知函數(shù)是一元函數(shù).如果未知函數(shù)是多元函數(shù)，那么在微分方程中將出現(xiàn)偏導數(shù)，這種方程自然叫做[HT5H]偏微分方程.例如，方程是一階線性偏微分方程，其中x、y和z為自變量，而f=f(x,y,z)為未知函數(shù)；方程為二階線性偏微分方程，其中x和y為自變量，而u=u(x,y)為未知函數(shù).

本書主要介紹常微分方程，因此，有時將后面出現(xiàn)的常微分方程簡稱為方程.定義1.2

設(shè)函數(shù)y=φ(x)在區(qū)間J上連續(xù)，且有直到n階的導數(shù).如果把y=φ(x)及其相應的各階導數(shù)代入方程(1.1),得到關(guān)于x的恒等式，即對一切x∈J都成立，則稱y=φ(x)為微分方程(1.1)在區(qū)間J上的一個解.

（2） 是微分方程(1.2b)在區(qū)間(-∞,∞)上的一個解；而 也是這個方程在區(qū)間(-∞,∞)上的一個解，其中C為任意常數(shù).但 不是這個方程的解.

（3)函數(shù)θ=3sinat和θ=7cosat都是方程(1.2d)在區(qū)間(-∞,∞)上的解，而且對任意的常數(shù)C1和C2，有也是這個方程在區(qū)間(-∞,∞)上的解.

從上面的討論中可見，微分方程的解可以包含一個或幾個任意常數(shù)（與方程的階數(shù)有關(guān)），而有的解不包含任意常數(shù).為了確切表達任意常數(shù)的個數(shù)，我們需要下面的定義.

定義1.3

設(shè)n階微分方程(1.1)的解（1.3）其中圖1.1注意，落體B作垂直于地面的運動.因此，我們?nèi)∽鴺嗽c在地面上而且垂直向上為y軸，使落體B的位置為y=y(t).這樣，問題就歸結(jié)為尋求滿足自由落體規(guī)律的函數(shù)y=y(t).

因為y=y(t)表示B的位置坐標，所以它對t的一階導數(shù)y′=y′(t)表示B的瞬時速度v=v(t),而二階導數(shù)y″=y″(t)則表示B的瞬時加速度a=a(t).假設(shè)落體B的質(zhì)量為m，重力加速度為g（在地面附近它近似于常數(shù)，通常取g=9.80m/s2），則由牛頓第二運動定律得出：上式右端出現(xiàn)負號，是由于B所受的重力與軸的正方向相反.這樣我們得到一個微分方程（1.4）因此，為了得到落體的運動，需要求解這個微分方程.

事實上，只要在微分方程（1.4）的兩側(cè)對積分一次，就有（1.5）其中,C1是一個任意常數(shù).對式（1.5）可以再進行積分，即得（1.6）其中,C2是另一個任意常數(shù).易知式(1.6)是微分方程（1.4）的通解.通解式（1.6）所表示的是自由落體的一般運動.在通解式（1.6）中包含兩個任意常數(shù)，這說明微分方程（1.4）有無窮多個解.對這種求解結(jié)果的不確定性該如何解釋呢？如果檢查一下我們最初對問題的提法，就會發(fā)現(xiàn)我們所作的唯一假定是物體作自由落體運動，既沒有指明下落物體在初始時刻t0的位置，又沒有給出它在初始時刻的速度.而方程（1.4）所表達的只是自由落體在瞬時時刻t的運動規(guī)律.然而，在同一初始時刻從不同的高度或初始速度自由下落的物體將表現(xiàn)為不同的運動.因此，為了確定相應的運動，我們需要考慮落體B在初始時刻（不妨設(shè)t0=0）的位置和速度，即下面的初值條件：（1.7）其中,y0和v0是已知的數(shù)據(jù)（通常由測量得到）.

現(xiàn)在，把初值條件式（1.7）分別代入式（1.6）和式（1.5），我們可以得到C2=y0和C1=v0.這樣，在初值條件式（1.7）下，微分方程（1.4）有唯一確定的解:（1.8）因此它描述了具有初始高度y0和初始速度v0的自由落體運動.

我們稱式(1.8)是初值問題式(1.4)與(1.7)的解，亦即初值問題:（1.9）的解.初值問題又叫柯西問題.

再看一例，一曲線通過點(1,2)，且在該曲線上任意點M(x,y)處的切線斜率為2x，求該曲線的方程.

解設(shè)所求曲線方程為y=y(x)，按題意，未知函數(shù)y(x)應滿足關(guān)系式:

此外，y(x)還應滿足下列條件：當x=1時，y=2.利用微積分知識易得其解為

從上面簡單的實例分析中，可以得到下面的啟示：

第一,微分方程的求解與一定的積分運算相聯(lián)系.因此常把求解微分方程的過程稱為積分一個微分方程，而把微分方程的解叫做積分.由于每進行一次不定積分運算，就會產(chǎn)生一個任意常數(shù)，因此就微分方程本身的積分（不顧及定解條件）而言，n階微分方程的解應該包含n個任意常數(shù).第二,微分方程所描述的是物體運動的瞬時（局部）規(guī)律.求解微分方程，就是從這種瞬時(局部)規(guī)律出發(fā)，去獲得運動的全過程.為此，需要給定運動的初始狀態(tài)（即如上面所說的初值條件），借以確定運動的全過程（它的未來，甚至它的過去）.對于n階微分方程(1.1)，初值條件的一般提法是：(1.10)其中,x0是自變量所取定的某個初值，而y0,y0′,…,y(n-1)0是未知函數(shù)及其相應導數(shù)所取定的初值.不失一般性，n階微分方程的初值問題可以寫成如下形式：(1.11)那么當函數(shù)F滿足什么條件時，初值問題式(1.11)的解是存在的，或者更進一步，是存在而且唯一的.這是常微分方程理論中的一個基本問題.在第5章中我們將就n=1的情形證明如下的結(jié)果：只要F是連續(xù)的，初值問題式(1.11)的解就是(局部)存在的，而且將在某些附加條件下證明解的存在和唯一性.再把這些結(jié)果進一步推廣到n≥2的情形.

除了初值條件外，另外一種常見的定解條件是邊值條件.

最后，我們對n階微分方程的通解關(guān)于n個任意常數(shù)的獨立性作一點說明.

一個n階微分方程的通解包含n個獨立的任意常數(shù).反之，設(shè)y=g(x,C1,C2,…,Cn)是充分光滑的函數(shù)族，其中x是自變量，而C1,C2,…,Cn是n個獨立的參數(shù)(任意常數(shù)),則存在一個形如式(1.1)的n階微分方程，使得它的通解恰好是上面的函數(shù)族y=g(x,C1,C2,…,Cn).

我們把這個一般結(jié)論的證明留給讀者(習題1.1的第4題)，它的證明方法與例1.8的討論是類似的.例1.1

對于x≥a(a>0),f(x)連續(xù)可微且恒有f(x)>0,設(shè)y=f(x),x=a,x=b(b>a)及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成體積為試建立的微分方程.

解事實上，，由題設(shè)又有上式對于每點b(b>a)都成立，兩邊對b求導得改用慣用的符號:這就是所要建立的微分方程.例1.2

試求在(x,y)平面上過坐標原點的一切圓所滿足的微分方程.

解平面上經(jīng)過原點的圓族具有方程：(1.12)其中,a和b是兩個任意常數(shù).在式(1.12)中，把y看成x的函數(shù)，再對x接連求導兩次，并且把求導結(jié)果與式(1.12)聯(lián)立，得到：(1.13)從式(1.13)中消去a和b，就得到所求的微分方程：例1.3

求曲率處處為正數(shù)a的曲線方程.

解設(shè)此曲線方程為y=y(x).由微分學的知識知道，y=y(x)在點x處的曲率為|y″(x)(1+y′2(x))-3/2|.由此知此曲線應滿足:它是一個微分方程.下面我們證明：設(shè)y=φ(x,C1,C2,…,Cn)是方程(1.1)的通解，則利用初值條件式(1.10)可以確定其中的任意常數(shù):使得y=φ(x,C01,C02,…,C0n)是初值問題式(1.1)與(1.10)的解.

事實上，由于分析方法的限制（這里是由于隱函數(shù)存在定理），一般只能在局部范圍內(nèi)討論通解.例如，我們假定在點的某個鄰域N(P)內(nèi)考慮通解y=φ(x,C1,C2,…,Cn).這樣，在N(P)內(nèi)有(1.14)令因為在P點Jacobi行列式所以利用隱函數(shù)存在定理，我們可以在P點近旁從式(1.14)反解出而且滿足條件:這樣，對(ξ,η,η′,…,η(n-1))近旁的初值(x0,y0,y0′,…,y

(n-1)0可以確定常數(shù):使得 是初值問題(1.1)+(1.10)的解.

由此可見，從微分方程的通解（在局部范圍內(nèi)）可以確定所有的解.這是對通解的一個名副其實的解釋.例1.4

在一個市場經(jīng)濟體系中，基本的要素之一是要求市場價格能夠促進商品的供給和需求關(guān)系相互協(xié)調(diào)一致，這樣的價格就稱為均衡價格.然而，通常情形是實際的市場價格與均衡價格并不相同，有一定的偏差，并且，市場價格也不是靜態(tài)的，而是隨著時間發(fā)生波動，即所謂隨行就市.因此，我們應當視商品價格x為時間t的函數(shù)，并且假定價格的變化是正比于需求與供給之差.設(shè)f(x,α)和g(x)分別表示需求函數(shù)和供給函數(shù)，其中α是參數(shù)，它表示消費者的收入.那么，其中,r是比例系數(shù).例1.5(復利息)

設(shè)A(t)代表存單在時刻t(年)的錢數(shù).假設(shè)利息是以每年利率為r連續(xù)計息(注意年利率10%是指r=0.10).連續(xù)計息是指在較短的時間間隔Δt內(nèi)，增加到存單中的利息總量,該利息總量近似為ΔA≈rA(t)Δt，因此例1.6

一個質(zhì)量為m的質(zhì)點在水中由靜止開始下沉，設(shè)下沉時水的阻力與速度成正比，試求質(zhì)點運動規(guī)律所滿足的微分方程及初始條件.

解設(shè)質(zhì)點的運動規(guī)律為x=x(t)，其中t表示時間，x表示下沉距離.質(zhì)點在水中受到重力mg及水的阻力 (k>0是比例常數(shù))作用，由牛頓第二定律有t=0時，下沉距離x=0，下沉速度為0，因而x=x(t)滿足下列微分方程的初值問題:例1.7

由物理學知道，物體冷卻的速率與當時的物體溫度和周圍環(huán)境溫度之差成正比.今把100℃的沸水注入杯中，放在室溫為20℃的環(huán)境中自然冷卻，5min后測得水溫為60℃.求水溫u(℃)與時間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系所滿足的微分方程.

解設(shè)經(jīng)tmin后水溫為u℃，那么水溫變化的速率為

根據(jù)冷卻速度與溫差成正比，設(shè)比例系數(shù)為k(k>0),那么有(1.15)且t=0時u=100,t=5時u=60，式(1.15)右端k的前面置負號是由于當t增加時u減少，即 .初始條件為u|t=0=100,u|t=5=60.

例1.8

求雙參數(shù)函數(shù)族(1.16)所滿足的微分方程.

解在式(1.16)中對x先后求導兩次，得出(1.17)(1.18)從(1.17)和(1.18)兩式可知Jacobi行列式這說明式(1.16)中包含的兩個任意常數(shù)C1和C2是獨立的.據(jù)此，可從式(1.16)和式(1.17)中解出C1和C2(作為x、y和y′的函數(shù))，即然后把它們帶入式(1.18)，就得到一個二階微分方程:(1.19)它就是函數(shù)族式(1.16)所滿足的微分方程；而且函數(shù)族式(1.16)是微分方程(1.19)的通解.

1.2微分方程及其解的幾何解釋

1.1節(jié)給出了微分方程及其解的定義，本節(jié)將對這些定義就一階方程的情形給出幾何解釋.依據(jù)這些解釋，我們可以從微分方程本身直接獲取解的某些性質(zhì).

現(xiàn)在，考慮一階微分方程:(1.20)其中,f(x,y)是平面區(qū)域G內(nèi)的連續(xù)函數(shù).假設(shè)(1.21)是方程的解（其中I是解的存在區(qū)間）,則y=φ(x)在(x,y)平面上的圖形是一條光滑的曲線Γ，稱它為微分方程(1.20)的積分曲線.

任取一點P0∈Γ，設(shè)它的坐標為(x0,y0)，則y0=φ(x0).由于y=φ(x)滿足方程(1.20)，因此由微商的幾何意義可知，積分曲線Γ在P0點的切線斜率為這個簡單的關(guān)系式告訴了我們一條重要的信息：積分曲線Γ在P0點的切線方程為即使我們并不知道積分曲線Γ:y=φ(x)是什么.

這樣，在區(qū)域G內(nèi)每一點P(x,y)，我們可以作一個以f(P)為斜率的（短小）直線段l(P)，以標明積分曲線（如果存在的話）在該點的切線方向.稱l(P)為微分方程(1.20)在P點的線素,而稱區(qū)域G連同上述全體線素為微分方程(1.20)的線素場或方向場.

由此可見，方程(1.20)的任何積分曲線Γ與它的線素場是吻合的（亦即，在任一點P∈Γ，線素場的線素l(P)與Γ在該點的切線是吻合的）.

反之，若在區(qū)域G內(nèi)有一條光滑（連續(xù)可微）的曲線(1.22)它蘊含曲線是微分方程(1.20)的積分曲線.在構(gòu)造方程(1.20)的線素場時，通常利用由關(guān)系式f(x,y)=k確定的曲線Lk,稱它為線素場的等斜線.顯然，在等斜線Lk上各點線素的斜率都等于k.因此，等斜線簡化了線素場逐點構(gòu)造的方法，從而有助于積分曲線的近似作圖.

下面我們對微分方程(1.20)的初值問題進行幾何說明：

給定微分方程(1.20),就是在平面區(qū)域G上給定一個線素場.因此，求解初值問題:就是求經(jīng)過點(x0,y0)并與線素場吻合的一條光滑曲線.

盡管人們難以從線素場精確得到這樣的光滑曲線，但只要這些小線素取得足夠細密，線素場就會非常清晰地顯露出積分曲線的草圖，從而可以近似地描繪出初值問題式(1.23)的積分曲線.當在無法（或無必要）求得精確解時，線素場可以使問題獲得近似的解決.即使在已知微分方程的精確解時，我們也可以從線素場獲取解的某些性質(zhì)，它有時甚至比精確解的作用更有效.

這里須指出，一階微分方程(1.20)在許多情況下取如下形式：(1.24)其中,P(x,y)和Q(x,y)是區(qū)域G內(nèi)的連續(xù)函數(shù).

當Q(x0,y0)≠0時，方程(1.24)的右端函數(shù)P(x,y)/Q(x,y)在(x0,y0)點的近旁是連續(xù)的.因此，方程的線素場在(x0,y0)點附近是完全確定的.如果Q(x0,y0)=0，那么線素場在(x0,y0)點就失去意義.

但是，只要P(x0,y0)≠0，我們就可以把方程(1.24)改寫為(1.25)這里需要把x=x(y)看做未知函數(shù).此時，微分方程(1.25)的右端函數(shù)Q(x,y)/P(x,y)在(x0,y0)點近旁是連續(xù)的.因此它所在的線素場也是確定的.

當P(x0,y0)和Q(x0,y0)不同時等于零時，我們可以在(x0,y0)點近旁考慮微分方程(1.24)或者微分方程(1.25)，雖然它們的未知函數(shù)略有不同,但在這種情況下，我們可以把它們統(tǒng)一寫成下面（關(guān)于x和y）的對稱形式：(1.26)也就是說，當Q（x0,y0)≠0時，方程(1.26)（在(x0,y0)點近旁）等價于方程(1.24)，而當P(x0,y0)≠0時，方程(1.26)（在(x0,y0)點近旁）等價于方程(1.25).

當P(x0,y0)=Q(x0,y0)=0時，方程(1.24)或方程(1.25)或方程(1.26)在(x0,y0)點是不定式，因此線素場在(x0,y0)點沒有意義.我們稱這樣的點(x0,y0)為相應微分方程的奇異點.

例1.9作出微分方程(1.27)的線素場.

解顯然，原點O是方程的奇異點，而且線素場的等斜線為 ，即y=kx.這說明線素斜率為k的所有點都在直線y=kx上.另一方面，直線y=kx的斜率也是k.由此可見，直線y=kx與微分方程(1.27)的線素場相吻合（見圖1.2）.不難看出，以原點O為中心的射線 是微分方程(1.27)或相應的對稱微分方程圖1.2例1.10

作出微分方程(1.28)的線素場.的積分曲線.（其實，容易驗證x2+y2=C2是上述微分方程的通積分，其中C>0是任意常數(shù).）

例1.11

求二次曲線族(為參數(shù))(1.29)的微分方程，并從微分方程本身證明該曲線族是自正交軌線族，即該曲線族中的任何兩條曲線如果相交，則必為正交.

解對式(1.29)兩端的x求導得(1.30)從式(1.29)與式(1.30)中消去C，得即所以，曲線族滿足的微分方程為如果用代替上述微分方程中的y′，則有整理得所得的微分方程與原方程一致，這說明曲線族是自正交軌線族.例1.12

一單位質(zhì)量的質(zhì)點沿x軸運動，所受之力為f(x)=-sinx，若質(zhì)點的最初位置為原點，初速v(0)=2，證明：時間t→+∞時質(zhì)點趨近于一個極限位置，并求出此極限位置.

例1.13

條形磁鐵的磁場.

假設(shè)在平面上安放一個長度為2a的細磁棒，使它的兩個端點分別在點(-a,0)和(a,0)，則在平面上會產(chǎn)生一個磁場.若再放上一些短小的鐵針，它們將按磁場的方向排列，出現(xiàn)一個具體的線素場模型——磁場.

現(xiàn)在要推導該磁場所對應的微分方程.我們把細磁棒簡化為放置于點(-a,0)和(a,0)的兩個異性的點磁荷.它們在平面上任意一點(x,y)產(chǎn)生的磁場強度分別為H1和H2（見圖1.4）.圖1.4由物理學中的定律可知:注意:分別取磁場強度H沿x軸和y軸方向的分量:則描述磁場強度的微分方程為(1.31)亦即它的線素場如圖1.5所示（習題1.2的第3題）.由此大致可以看出它的積分曲線（即磁力線）的分布狀況.注1.2

微分方程(1.28)有奇異點為O，它是積分曲線族（即圓族）的中心.另外，微分方程(1.27)也有奇異點為O，從它發(fā)出的射線族是方程的積分曲線族.而微分方程(1.31)有兩個奇異點為(-a,0)和(a,0)，它們是磁力線（即積分曲線）的匯集點.

從這些例子我們看到，雖然在奇異點微分方程是不定式，但是在積分曲線的分布中奇異點是關(guān)鍵性的點.例1.14

長為6m，單位長度質(zhì)量為P的鏈自桌上滑下，運動開始時，鏈自桌上垂下部分有1m長，試求下滑的長度與時間t的關(guān)系(不計摩擦力).

解設(shè)鏈下滑的運動規(guī)律為s=s(t)，其中s為鏈下滑的長度.當鏈下滑長度為s時，作用在鏈條上的力為(1+s)Pg.由牛頓第二定律得即s=s(t)滿足微分方程:易知它滿足下列初始條件：例1.15

某物體含有3kg水分，現(xiàn)把它放置在容積為100m3的室內(nèi).假定開始時刻室內(nèi)濕度為飽和濕度的25%，且在同一溫度下，空氣的飽和濕度為0.12kg/m3.若經(jīng)過一天后該物體失掉所含水分的一半，求該物體在時刻t的含水量所滿足的微分方程及定解條件.

解我們知道疏松物體中所含水分揮發(fā)到周圍空氣中去的速度，與該物體的含水量成正比，與空氣的飽和濕度和周圍空氣濕度之差成正比.

令W(t)為該物體在t時刻的含水量(單位：kg)，則是在t時刻的揮發(fā)速度.第一個正比關(guān)系很明確，要寫出第二個正比關(guān)系，就要找出t時刻時室內(nèi)空氣的飽和濕度與周圍空氣濕度之差的表達式.

假設(shè)空氣的飽和濕度是0.12kg/m3，開始時室內(nèi)濕度是它的25%，即為0.03kg/m3.因此，t時刻時空氣飽和濕度與周圍空氣的濕度差為我們把兩個正比關(guān)系用一個式子表示出來就得到微分方程(k>0,為比例常數(shù))及邊值條件W(0)=3,W(1)=1.5.

例1.16

要建造高h米、水平截面為圓形的橋墩，橋墩承受的載荷為P噸，建筑材料的密度為ρ噸每立方米，允許的壓強為k噸每立方米，希望建筑材料的用量最省.這需要求橋墩上底S0與下底S1的面積以及軸截面的形狀(即通過橋墩中心軸的平面與橋墩相截所得的外形曲面).

首先求上底面積S0.為了使建筑材料的用量最省，就應要求上底的面積S0(平方米)剛好能承受載荷P，于是S0滿足kS0=P，即

再求下底的面積S1.注意到隨著水平位置的下移，水平截面的面積必須不斷增大.這是因為截面除了承受載荷P外，還要承受它以上那段橋墩的重量.下面來討論在建筑材料用量最省的條件下，水平截面應按什么樣的規(guī)律增大.現(xiàn)以上底的圓心為原點，以垂直向下為x軸正方向及任意一條水平線為y軸建立平面直角坐標系.以S=S(x)表示距離上底x米處水平截面的面積(平方米).當Δx>0時，為了使建筑材料的用量最省，就應該使S(x+Δx)比S(x)大的面積剛好能承受從x到x+Δx這一段橋墩的重量，即滿足:于是其中,m=ρk-1.令Δx→0，就得到函數(shù)S=S(x)所應滿足的方程：它也是一個微分方程.S(x)還應滿足初值條件S(0)=S0.利用解S(x)即可求得S1的面積以及軸截面的形狀.第2章初等積分法2.1變量分離的方程2.2恰當方程2.3一階線性方程2.4初等變換法2.5積分因子法2.6應用舉例

2.1變量分離的方程

1.變量（可）分離的方程

形如的方程稱為變量（可）分離的方程.這種方程的特點是：右端是只含x的函數(shù)和只含y的函數(shù)的乘積.

假設(shè)：h(x)在區(qū)間a<x<b上連續(xù)，g(y)在區(qū)間c<y<d上連續(xù)，且g(y)≠0.

用dx乘而用g(y)除式(2.1)兩端，得(2.2)這叫做分離變量.如果y作為x的函數(shù)是方程(2.1)的解，則式(2.2)兩端是彼此恒等的.對上述微分方程的兩端同時積分就得到y(tǒng)所滿足的隱函數(shù)方程:(2.3)或(2.4)(2.5)其中,G-1表示G的反函數(shù).

式(2.4)或式(2.5)便是方程(2.1)含任意常數(shù)C的解的表達式.設(shè)(x0,y0)是域內(nèi)的任意一點.為了求方程(2.1)所滿足的初值條件y(x0)=y0的解，可按以確定常數(shù)C，即代入式(2.5)便得(2.6)這就說明，對域R內(nèi)任意點(x0,y0)，均能選取表達式(2.5)中的任意常數(shù)C，使得對應的解滿足初值條件y(x0)=y0.可見表達式(2.5)是方程(2.1)的通解，從而表達式(2.4)或(2.3)是方程(2.1)的隱式通解.例2.1

一質(zhì)量為m的質(zhì)點，以初速v0垂直上拋，且空氣的阻力與質(zhì)點運動速度的平方成正比(比例系數(shù)為k>0)，求該質(zhì)點從拋出至達到最高點的時間.

解設(shè)質(zhì)點在t時刻的速度為v，v(0)=v0，且有解得因為v(0)=v0，所以解出c=arctanav0.質(zhì)點達到最高點，即v=0，亦即解得

例2.2

解方程(2.7)解對式(2.7)分離變量，得對上式兩端積分后便得隱式通解：為得出顯式通解可從上式解出y

：(2.8)其中,常數(shù)C1=sinC.容易看出，y=±1也是方程(2.7)的解，但它們不包含在通解式(2.8)中.注意，這是由于y=±1時式(2.7)的分子等于零的緣故.

在前面說明的表達式(2.5)是方程(2.1)的通解的推理中，其實同時指出了在g(y)≠0(c<y<d)的條件下，方程(2.1)的初值問題的解恒存在而且唯一，即對于域R:a<x<b,c<y<d內(nèi)任意點(x0,y0)，方程(2.1)恒有解滿足初值條件y(x0)=y0，并且也只有一解滿足該條件.

現(xiàn)在來分析方程(2.1)的積分曲線，即解在(x,y)平面上的圖像的分布情況.如果g(y)≠0(c<y<d)，則由于初值問題的解存在而且唯一，經(jīng)過域R內(nèi)每一點都恰有方程(2.1)的一條積分曲線，積分曲線在R內(nèi)彼此不相交.這時，積分曲線的分布情況很簡單.但是，如果g(y)為c<y<d上的某些點，比如g(y)=g(y1)=0，在這種情況下，方程(2.1)經(jīng)過直線y=y1上的點的積分曲線就很可能不止一條

作為例子，我們來考察h(x)≡1的方程(2.1)，即方程(2.9)為簡單計，假設(shè)g(y)只在y=y1處等于零.

首先，經(jīng)過域和域內(nèi)任一點(x0,y0)恰有方程(2.9)的一條積分曲線，它由下式確定：(2.10)這些積分曲線彼此不相交.其次，域R1(R2)內(nèi)的所有積分曲線都可由其中一條，比如經(jīng)坐標變換η=y,ξ=x-C-C0，即沿著x軸的方向平移而得到.因此我們只需詳細考察經(jīng)過R1或R2內(nèi)某點(x0,y0)的一條積分曲線，它由式(2.10)確定.

設(shè)(x0,y0)∈R1，即c<y0<y1.只有下列兩種情形：圖2.1圖2.2圖2.3

例2.3

解方程解該方程是變量(可)分離方程.當y≠0時，分離變量得兩邊積分，得隱式通解:其中,C1是任意實數(shù).上式可以改寫為其中,C2=±eC1.注意到y(tǒng)=0也是原方程的解，因此方程通解最終可表示為其中,C是可取正、負和零的任意實數(shù).

2.可化為變量分離方程的某些方程

有些微分方程看上去并不是變量（可）分離的，但是通過一次或一次以上的變量變換就可化為變量分離的方程.下面將介紹一些典型的這類方程.讀者應該從中學習利用變量變換解微分方程的技巧.

1)齊次方程

方程(2.11)稱為齊次方程，如果右端函數(shù)f(x,y)是x,y的零次齊次函數(shù)，即(2.12)在恒等式(2.12)中令，則得(2.13)為了解方程(2.13)，自然想到作變換 ，即y=ux.于是，將其代入方程(2.13)便得到u所適合的方程：亦即這就是一個變量分離的方程.若g(u)-u≠0,即，則用分離變量法可求出它的（隱式）通解：或(2.15)例2.4

解方程(2.16)解令y=ux，代入方程(2.16)得分離變量，得對應于u=0(x≠0)得到的函數(shù)y=0(x≠0)也是方程(2.16)的解.例2.5

解方程解該方程可以改寫為(2.17)分離變量，得兩邊積分，得即(2.18)其中,C1和C2都是任意常數(shù)，C2≠0.注意到(2.19)將式(2.18)和式(2.19)相加除以2，并記C=C2，得

2)可化為齊次方程的方程

如下形式的方程可化為齊次方程：(2.20)

第一種情形:行列式引進新的變量ξ,η：其中，α、β是待定常數(shù)，代入方程(2.20)，得(2.21)為使方程(2.21)是齊次的，自然應選α、β使因為Δ≠0，所以這樣的α、β可以找到.于是方程(2.21)變成這便是一個齊次方程.

第二種情況:Δ=0,亦即這時方程(2.20)的形式變?yōu)?2.22)作未知函數(shù)的變換則由方程(2.22)得這顯然是變量分離的方程.例2.6

解方程(2.23)解令x=ξ+α,y=η+β,得由得出α=-3,β=-1.即方程(2.23)可化成這是齊次方程，解之得化回原來的變量x、y，便得到方程(2.23)的（隱式）通解:例2.7

人工繁殖細菌，其增長速度和當時的細菌數(shù)成正比.

(1)如果過4小時細菌數(shù)即為原來的2倍，那么經(jīng)過12小時應有多少？

(2)如果在3小時的時候有細菌104個，在5小時的時候有細菌4×104個，那么在開始時細菌有多少個？

解設(shè)時刻t單位體積的細菌數(shù)為x(t)，增長速度為，則由題意得x(t)滿足的方程為(k為一正的常數(shù))所以x(t)的方程為(C為常數(shù))再設(shè)初始時刻即t=0時，細菌數(shù)為x0，則

(1)由題意知：所以e4k=2，經(jīng)過12小時后，x=x0e12k=8x0，即經(jīng)過12小時，細菌數(shù)為原來的8倍.(2)由題意知:解得x0=1.25×103(個/單位體積).(3)當時，求.時，求.f(x).

解(1)由題意知：兩邊微分，得(2)z的微分方程為(3)解關(guān)于的微分方程得：即得由初值條件得

下面舉幾個通過建立數(shù)學模型來解決實際問題的例子.

隨著科學技術(shù)的發(fā)展，越來越多的人認識到了“高新技術(shù)離不開數(shù)學學科的支持”這一精辟的觀點。近半個世紀以來，數(shù)學與電子計算機技術(shù)相結(jié)合，在解決自然科學、工程技術(shù)乃至社會科學等各個領(lǐng)域的實際問題中大顯身手，取得了令人矚目的成績.

要用數(shù)學技術(shù)去解決實際問題，首先必須將所考慮的現(xiàn)實問題通過“去蕪存菁，去偽存真”的深入分析和研究，用數(shù)學工具將它歸結(jié)為一個相應的數(shù)學問題，這個過程稱為數(shù)學建模，所得到的數(shù)學問題稱為數(shù)學模型.

數(shù)學建模可以使用多種數(shù)學方法，甚至對同一現(xiàn)實問題可以建立不同形式的數(shù)學模型，而其中最重要、最常用的數(shù)學工具是微分.作為數(shù)學建模過程的示例，這里我們利用已學過的微分知識，來導出一些簡單的微分方程數(shù)學模型，為讀者今后系統(tǒng)地學習數(shù)學模型奠定基礎(chǔ).例2.9(Malthus人口模型）最簡單的人口增長模型是：記今年人口為x0,k年后人口為xk，年增長率為r，則(2.24)顯然，這個公式的基本條件是年增長率r保持不變.

200多年前英國人口學家馬爾薩斯(Malthus，1766-1834)調(diào)查了英國100多年的人口統(tǒng)計資料，得出了人口增長率不變的假設(shè)，并據(jù)此建立了著名的人口指數(shù)增長模型.

記時刻t的人口為x(t)，當考察一個國家或一個地區(qū)的人口時，x(t)是一個很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學工具，將x(t)視為連續(xù)、可微函數(shù).記初始時刻(t=0)的人口為x0.假設(shè)人口增長率為常數(shù)r，即單位時間內(nèi)x(t)的增量等于r乘以x(t).考慮t到t+Δt時間內(nèi)人口的增量，顯然有令Δt→0，得到x(t)滿足微分方程:(2.25)由這個方程很容易解出(2.26)當r>0時,式(2.26)表示人口將按指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長，稱為指數(shù)增長模型.我們常用的預報公式(2.24)就是指數(shù)增長模型式(2.26)的離散近似形式.

但是長期來看，任何地區(qū)的人口都不可能無限增長，即指數(shù)模型不能描述，也不能預測較長時期的人口演變過程，人口增長到一定數(shù)量后增長率會下降.人們注意到，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口的增長起著阻滯作用，并且隨著人口的增加，阻滯作用越來越大.所謂阻滯增長模型,就是考慮到這個因素后對指數(shù)增長模型的基本假設(shè)進行修改后得到的.

阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率r的影響上，使得r隨著人口數(shù)量x的增加而下降.若將r表示為x的函數(shù)，則它應是減函數(shù).于是方程(2.25)可寫作(2.27)對r(x)的一個最簡單的假設(shè)是，設(shè)r(x)為x的線性函數(shù)，即(2.28)(2.29)式(2.29)的另一種解釋是，增長率r(x)與人口尚未實現(xiàn)部分的比例(xm-x)/xm成正比，比例系數(shù)為固有增長率r.

將式(2.29)代入方程(2.27)得(2.30) 2.2恰當方程

考慮對稱形式的一階微分方程：如果存在一個可微函數(shù)Φ(x,y)，使得它的全微分為亦即它的偏導數(shù)為(2.31)(2.32)則稱方程(2.31)為恰當方程或全微分方程.因此，當方程(2.31)為恰當方程時，可將它改寫為全微分的形式:從而(2.33)就是方程(2.31)的一個通積分.

事實上，將任意常數(shù)C取定后，利用逆推法容易驗證：由式(2.33)所確定的隱函數(shù)y=u(x)（或x=v(y)）就是方程(2.31)的一個解.反之，若y=u(x)（或x=v(y)）是微分方程(2.31)的一個解，則有例2.10

求解微分方程

觀察這個微分方程，我們看到它的左端恰好是函數(shù)Φ=x2y3的全微分dΦ因此，上述方程可以寫成d(x2y3)=0,從而它的通積分為

上面利用觀察法求解微分方程只是一個簡單的特例.在一般情況下，我們需要解決的問題是：

(1)如何判斷一個給定的微分方程是或不是恰當方程？

(2)當它是恰當方程時，如何求出相應全微分的原函數(shù)？

(3)當它不是恰當方程時，能否將它的求解問題轉(zhuǎn)化為一個與之相關(guān)的恰當方程的求解問題？

定理2.1

設(shè)函數(shù)P(x,y)和Q（x,y)在區(qū)域上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導數(shù) 與，則微分方程(2.31)是恰當方程的充要條件為恒等式(2.34)在R內(nèi)成立.而且當式(2.34)成立時，方程(2.31)的通積分為(2.35)或者(2.36)其中,(x0,y0)是R中任意取定的一點.

證明先證必要性.設(shè)方程(2.31)是恰當?shù)模瑒t存在函數(shù)Φ(x,y)，滿足(2.37)然后，我們在上面的第一式和第二式中，分別對y和x求偏導數(shù)，就可得到(2.38)(2.39)其中函數(shù)ψ(y)待定，以使函數(shù)Φ(x,y)適合式(2.37)中的第二式.因此，由式(2.39)得到再利用條件式(2.34)得到由此可見，為了使式(2.37)中的第二式成立，只要令ψ′(y)=Q(x0,y),亦即只要取即可.這樣，就找到了滿足式(2.37)的一個函數(shù)：(2.40)

如果在構(gòu)造時，先考慮使(2.37)的第二式成立，則可用同樣的方法，得到滿足(2.37)的另一函數(shù)(2.41)例2.11

求解微分方程(2.42)解因為所以方程(2.42)是恰當方程.因此，可以利用公式(2.35)或(2.36)直接求得通積分.但是為了進行基本訓練，我們?nèi)圆捎枚ɡ碓诔浞中宰C明中的方法計算通積分.令函數(shù)Φ(x,y)滿足則對x積分第一式，得到再將它代入上面第二式，即得(2.43)為方程(2.42)的通積分，其中C為任意常數(shù).注2.1

對于某些恰當方程，可以采用更簡便的分組湊全微分的方法求解.例如，對于方程(2.42)的左端，可用如下分組求積分的方法：由此可直接得到通積分式(2.43).注2.2

求解恰當方程的關(guān)鍵是構(gòu)造相應全微分的原函數(shù)Φ(x,y).這實際上就是場論中的位勢問題.在單連通區(qū)域R上，條件式(2.34)保證了曲線積分(2.44)與積分的路徑無關(guān).因此，式(2.44)確定了一個單值函數(shù)Φ(x,y).注意，公式(2.40)與公式(2.41)所取的積分路徑僅僅是便于計算的兩種特殊的路徑.如果區(qū)域不是單連通的，那么一般而言Φ(x,y)也許是多值的.例如，對于方程容易驗證條件(2.34)在非單連通的環(huán)域R0:0<x2+y2<1上成立.根據(jù)我們得到例2.12

流言蜚語(或小道消息)傳播問題.假設(shè)某地區(qū)的人口總數(shù)為N，在短期內(nèi)不變，x(t)表示知道某消息的人數(shù)所占的百分比，初始時刻的百分比為x0<1，傳播率為h，則可以建立數(shù)學模型為求解得于是有此式表明隨著時間的增長，消息慢慢地會淡化，逐步被人遺忘，這是符合實際情況的。 2.3一階線性方程

本節(jié)討論一階線性方程:(2.45)其中函數(shù)p(x)和q(x)在區(qū)間I=(a,b)上連續(xù).當q(x)≡0時，方程(2.45)成為(2.46)當q(x)不恒等于零時，稱方程(2.45)為非齊次線性方程,而稱方程(2.46)為（相應的）齊次線性方程.

我們首先討論齊次線性方程(2.46)的解法.為此，將方程(2.46)改寫為對稱形式：這是一個變量分離的方程.當y≠0時，將方程兩側(cè)同除以y，得到由此積分后，我們得到方程(2.46)的解:(2.47)因為在上面的解法中假定了y≠0，所以這里的任意常數(shù)C≠0.然而，當C=0時，式(2.47)對應于方程(2.46)的特解y=0.因此，當C是任意常數(shù)（包括C=0）時，式(2.47)表示齊次線性方程(2.46)的通解.

現(xiàn)在要求解非齊次線性方程(2.45).我們可把它改寫為如下的對稱形式：(2.48)它是全微分的形式:由此可直接積分，得到通積分:這樣，就求出了方程(2.48)的通解:(2.49)其中，C是一個任意常數(shù).上述方法叫做積分因子法.這是因為我們用因子μ(x)乘微分方程(2.48)的兩側(cè)后，它就轉(zhuǎn)化為一個全微分方程，從而獲得它的積分.

例2.13

一容器內(nèi)盛鹽水100L，含鹽50g.現(xiàn)以濃度為c1=2g/L的鹽水注入容器內(nèi)，其流量為Φ1=3L/min.設(shè)注入的鹽水與原有鹽水被攪拌而迅速成為均勻的混合液，同時，此混合液又以流量為Φ2=2L/min流出.試求容器內(nèi)的含鹽量與時間t的函數(shù)關(guān)系.

解設(shè)在時刻t時容器內(nèi)含鹽量為x克.在時刻t，容器內(nèi)鹽水體積為

100+(3-2)t=100+t

(L)

故流出的混合液在時刻t的濃度為

下面我們用定積分中的元素法來建立微分方程.在t到t+dt這段時間內(nèi)，或?qū)? 代入上式，即得或(2.50)初始條件為(2.51)

方程(2.50)是一階非齊次線性微分方程.在該方程中，故所以有以條件式(2.51)代入，得C=-1.5×106，于是所求函數(shù)關(guān)系為例2.14

求解微分方程解我們可以直接用公式(2.49)求得通解.但應用積分因子法比記憶一個公式更具有靈活性，在這里積分因子是然后用它乘方程兩側(cè)，推出:再由積分可得通解:其中，C為任意常數(shù).

為確定起見，通常把通解式(2.49)中的不定積分寫成變上限的定積分，即或(2.52)利用這種形式，容易得到初值問題(2.53)的解為(2.54)其中,p(x)和q(x)在區(qū)間I上連續(xù).

性質(zhì)1

齊次線性方程(2.46)的解或者恒等于零，或者恒不等于零.

易知y=φ(x)≡0為齊次方程(2.46)的一個解；再利用習題2.3中第5題的結(jié)果可知，任何其他的解與y=φ(x)沒有公共點.故性質(zhì)1成立.

性質(zhì)2

線性方程的解是整體存在的，即方程(2.45)或(2.46)的任一解都在p(x)和q(x)有定義且在連續(xù)的整個區(qū)間I上存在.

性質(zhì)3齊次線性方程(2.46)的任何解的線性組合仍是它的解，齊次線性方程(2.46)的任一解與非齊次線性方程(2.45)的任一解之和是非齊次線性方程(2.45)的解；非齊次線性方程(2.45)的任意兩解之差必是相應齊次線性方程(2.46)的解.

性質(zhì)4

非齊次線性方程(2.45)的任一解與相應齊次線性方程(2.46)的通解之和構(gòu)成非齊次線性方程(2.45)的通解.

性質(zhì)5線性方程的初值問題(2.53)的解存在且唯一.

性質(zhì)5的存在性部分是顯然的，因為公式(2.54)就提供了一個解.現(xiàn)在來證明解的唯一性.假設(shè)初值問題式(2.53)有兩個解y=φ1(x)和y=φ2(x)，則由性質(zhì)3知是相應齊次線性方程(2.46)的一個解；另一方面，φ1(x)和φ2(x)滿足同一個初值條件，即有ψ(x0)=φ1(x0)-φ2(x0)=0.再由性質(zhì)1可知ψ(x)≡0，即當x∈I時，φ1(x)≡φ2(x).例2.15

設(shè)微分方程(2.55)其中a>0為常數(shù)，而f(x)是以2π為周期的連續(xù)函數(shù).試求方程(2.55)的2π周期解.

解利用式(2.54)，容易寫出方程(2.55)的通解為(2.56)現(xiàn)在選擇常數(shù)C，使y(x)成為2π周期函數(shù)，即(2.57)成立.我們先來證明，要使式(2.57)對所有x成立，其實只需對某一特定的x（例如x=0）成立，即只要求(2.58)事實上，因為y(x)是方程(2.55)的解，而且f(x+2π)≡f(x)，所以y(x+2π)也是方程(2.55)的解.令 ，則y=u(x)是相應齊次方程的解.如果式(2.58)成立，則u(x)滿足初值條件u(0)=0.因此，由性質(zhì)1可知u(x)≡0,從而式(2.57)成立.現(xiàn)將公式(2.56)代入(2.58)，得到把它代回式(2.56)，就得到所求的2π周期解y=y(x)；再利用f(x)的2π周期性，就可以把它簡化為(2.59)例2.16

RL串聯(lián)電路如圖2.4所示，電感L、電阻R及電源電壓E均為正的常數(shù).求電鍵閉合后電路中的電流強度i=i(t).

解事實上，利用電學中的基爾霍夫定律就可得到微分方程：(2.60)這是一階線性方程，它顯然有特解i=E/R.而相應齊次線性方程的通解為，其中C為任意常數(shù).因此，利用上述線性方程的性質(zhì)4，可知方程(2.60)的通解為由此可以確定初值條件i(0)=0的解為它的圖形見圖2.5.圖2.4圖2.5例2.17

解方程其中,f(x)、f′(x)為已知的連續(xù)函數(shù).

解這是線性方程，先求齊次方程的通解.分離變量，得兩邊積分得設(shè)原方程通解為代入原方程，得兩邊積分得于是，所求方程的通解為例2.18

設(shè)y(x)是x的一個連續(xù)可微函數(shù)，且滿足求y(x).

解等式兩邊關(guān)于x求導兩次得故例2.19(室內(nèi)溫度的擺動)

下面我們研究線性微分方程解的一個有趣問題，即受室外溫度(2.61)的影響，室內(nèi)溫度擺動的問題.如果ω＝π/12，那么溫度的擺動為24h一個周期.例如在雅典,正常情況下，7月份上午4:00時溫度最低70，下午4:00時溫度最高90.根據(jù)三角公式有（2.62）所以式(2.60)中的如果把在時刻t的室內(nèi)溫度u(t)寫成牛頓冷卻定律 （其中T表示物體溫度，A表示周圍介質(zhì)的溫度，k為正常數(shù)）形式，用式(2.61)給出的室外溫度A(t)代表周圍（介質(zhì)）不變溫度A，那么得到一階線性微分方程,即(2.63)常數(shù)k的取值范圍為0.2~0.5（開窗戶時會導致k可能比0.5大一些，或窗戶封閉得好會導致k可能比0.2小一些）.

假設(shè)有一天晚上（在時刻t0=0時），某人的空調(diào)壞了，而且該人可能在月末發(fā)薪水時才能修理.因此我們要研究以后幾天室內(nèi)溫度的變化情況.

首先，求解具有初始條件u(0)=u0（空調(diào)壞了時室內(nèi)的溫度）的方程（2.63）.可能需要用到積分公式.可以得到解（2.64）其中若取可得近似解(2.65)

注意到，當t→+∞時，式（2.65）中的衰減指數(shù)項趨于零，所以保留“穩(wěn)定周期”解（2.66）從而室內(nèi)溫度每24h圍繞室外平均溫度擺動.

2.4初等變換法

例2.20

對于形如的方程，如果引進變換u=x+y，其中u為新的未知函數(shù)，則方程立即化為它是一個變量分離的方程，因此不難求得通解.例2.21

對于微分方程如果引進變換v=y2，則方程變?yōu)樗且粋€對v的一階線性微分方程，它的解法在2.3節(jié)中討論過.

下面介紹幾個標準類型的微分方程，它們可以通過適當?shù)某醯茸儞Q化為變量分離的方程或一階線性方程.

1.齊次方程

如果微分方程(2.67)中的函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)都是x和y的同次（例如m次）齊次函數(shù)，即(2.68)則稱方程(2.67)為齊次方程（注意這與2.3節(jié)中定義的齊次線性方程是不同的）.

對于齊次方程(2.67)，標準的變量替換是(2.69)其中:u為新的未知函數(shù);x為自變量.注意，從關(guān)系式(2.68)易知(2.70)因此，把變換(2.69)代入方程(2.67)，就得(2.71)這是一個變量分離的方程.注2.3

易知方程(2.67)為齊次方程的一個等價定義式，它可以化為如下的形式：注2.4

容易看出，x=0是方程(2.71)的一個特解.但它未必是原方程(2.67)的解.出現(xiàn)這種情況的原因在于，當x=0時，變換(2.69)不是可逆的.例2.22

求解微分方程解這是一個齊次方程.因此，令y=ux，得到亦即積分此式，可得（C為任意常數(shù)，且C>0）.從而將代入上式，可得通積分:如果采用極坐標x=rcosθ與y=rsinθ，則得簡單的形式:它是以原點O為焦點的螺線族（焦點的定義以后介紹）.例2.23

討論形如的方程的求解法，這里設(shè)a、b、c、m、n和l為常數(shù).

解當c=l=0時，它是齊次方程.因此可用變換求解.當c和l不全為零時，可分如下兩種情形討論：(1)Δ=an-bm≠0.此時可選常數(shù)和，使得然后取自變量和未知函數(shù)的（平移）變換：則原方程就化為ξ與η的方程:這已是齊次方程.因此令 ，即可把它化為變量分離的方程.

(2)Δ=an-bm=0.

此時有因此，原方程化為再令v=ax+by為新的未知函數(shù)，x為自變量，則上述方程可化為它是一個變量分離的方程.

2.伯努利方程

形如(2.72)的方程稱為伯努利方程，其中n為常數(shù)，而且n≠0和1.給方程兩邊同乘以(1-n)y-n，即得然后令z=y1-n，就有這是關(guān)于未知函數(shù)z的一階線性方程.例2.24

設(shè)可微函數(shù)f(x)滿足方程：求f(x).

解對方程兩邊求導得此為伯努利方程，解得由f(1)=1，得C=1.則f(x)為

3.里卡蒂方程

假如一階微分方程的右端函數(shù)f(x,y)是一個關(guān)于y的二次多項式，則稱此方程為二次方程；它可寫成如下形式：(2.73)其中,函數(shù)p(x)、q(x)和r(x)在區(qū)間I上連續(xù)，而且p(x)不恒等于零.方程(2.73)通常又叫做里卡蒂（Riccati，1676-1754）方程.這是形式上最簡單的非線性方程.但是，一般而言，它已不能用初等積分法求解.在下述兩個定理的證明中，請讀者體會初等變換的技巧.定理2.2

設(shè)已知里卡蒂方程(2.73)的一個特解y=φ1(x)，則可用積分法求得它的通解.

證明對方程(2.73)作變換y=u+φ1(x)，其中u是新的未知函數(shù).代入方程(2.73)，得到由于y=φ1(x)是方程(2.73)的解，從上式消去相關(guān)項后，就有這是一個伯努利方程.因此，由前面對方程(2.72)的討論可知，此方程可以用積分法求出通解.定理2.3

設(shè)里卡蒂方程(2.74)其中,a≠0,b、m是常數(shù).又設(shè)x≠0和y≠0.則當(2.75)時，方程(2.74)可通過適當?shù)淖儞Q化為變量分離的方程.

證明不妨設(shè)a=1（否則作自變量變換 即可）,將其代入方程(2.74)即得(2.76)當m=0時，式(2.76)是一個變量分離的方程，即當m=-2時，作變換z=xy，其中z是新未知函數(shù).然后代入方程(2.76)，得到這也是一個變量分離的方程.當 時，作變換其中,ξ和η分別為新的未知函數(shù)，則方程(2.76)變?yōu)?2.77)其中 .再作變換其中t和z分別是新的自變量和未知函數(shù)，則方程(2.77)變?yōu)?2.78)其中， .

方程(2.78)與方程(2.76)在形式上一樣，只是右端自變量的指數(shù)從m變?yōu)閘.比較m與l對k的依賴關(guān)系不難看出，只要將上述變換的過程重復k次，就能把方程(2.76)化為m=0的情形.

當 時，微分方程(2.74)就是方程(2.77)的類型，因此可以把它化為微分方程(2.78)的形式，從而可以化歸到m=0的情形.至此定理證完.

注2.5

定理2.3是由JohannBernoulli之子DanielBernoulli(1700-1784)在1725年得到的.這個定理指出，對于里卡蒂方程(2.74)能用初等積分法求解，條件式(2.75)是充分的.實際上，時隔一百多年之后劉維爾在1841年進而證明了條件式(2.75)還是一個必要條件.有興趣的讀者可以參閱參考文獻［2］.劉維爾的這一工作，在微分方程的發(fā)展史上具有重要意義.在此之前，人們把主要注意力放在微分方程的（初等積分）求解上，而劉維爾的研究結(jié)果說明，即使形式上很簡單的里卡蒂方程（例如y′=x2+y2），一般也不能用初等積分法求解.這就迫使人們另辟新徑，例如：從理論上研究一般微分方程初值問題的解是否存在，是否唯一？怎樣從微分方程本身的特點去推斷其解的屬性（周期性、有界性、穩(wěn)定性等）？在什么條件下微分方程的解可以用收斂的冪級數(shù)表示?怎樣求出微分方程的近似解？等等.這就促使微分方程的研究進入一個新的發(fā)展時期.在隨后的章節(jié)中將或多或少地涉及上述的一些論題.注2.6

里卡蒂方程在歷史上和近代都有重要應用.例如，它曾用于證明貝塞爾方程的解不是初等函數(shù)，另外它也出現(xiàn)在現(xiàn)代控制論和向量場分支理論的一些問題中.

例2.25

解方程解這是里卡蒂方程，觀察出 是它的一個解.于是作變換代入原方程，得到這是伯努利方程，再作變換代入方程，即得解此線性方程得化簡得帶回原變量，得原方程的解為及例2.26

經(jīng)濟增長模型.發(fā)展經(jīng)濟、提高生產(chǎn)力主要有以下手段：增加投資、增加勞動力、技術(shù)革新。這里暫不考慮技術(shù)革新的作用，一是因為在經(jīng)濟發(fā)展的初期(如資本主義早期社會)或者在不太長的時期內(nèi)，技術(shù)相對穩(wěn)定，二是由于技術(shù)革新量化比較困難。

1)道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)

用Q(t)、K(t)、L(t)分別表示某一地區(qū)或部門在時刻t的產(chǎn)量、資金和勞動力，它們的關(guān)系可以一般地記作Q(t)=F［K(t),L(t)］(2.79)其中,F為待定函數(shù).對于固定的時刻t，上述關(guān)系可寫作Q=F(K,L)(2.80)為尋求F的函數(shù)形式，引入記號(2.81)z是每個勞動力的產(chǎn)值，y是每個勞動力的投資.如下的假設(shè)是合理的：z隨著y的增加而增加，但增長速度遞減.進而簡化地把這個假設(shè)表示為(2.82)顯然函數(shù)g(y)滿足上面的假設(shè)，常數(shù)c>0可看做技術(shù)的作用.由式(2.81)和(2.82)即可得到式(2.80)中F的具體形式為(2.83)由式(2.83)容易知道Q有如下性質(zhì):(2.84)請讀者解釋式(2.84)的含義.記表示單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值；表示單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值，則從(2.83)式可得(2.85)(2.85)式可解釋為：是資金在產(chǎn)值中占有的份額，是勞動力在產(chǎn)值中占有的份額.于是的大小直接反映了資金、勞動力二者對于創(chuàng)造產(chǎn)值的輕重關(guān)系.

(2.83)式是經(jīng)濟學中著名的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)，它經(jīng)受了資本主義社會一些實際數(shù)據(jù)的檢驗.更一般形式的生產(chǎn)函數(shù)表為(2.86)

2)資金與勞動力的最佳分配

這里將根據(jù)生產(chǎn)函數(shù)式(2.83)討論，怎樣分配資金和勞動力，使生產(chǎn)創(chuàng)造的效益最大.

假設(shè)資金來自貸款，利率為γ，每個勞動力需付工資ω，于是當資金K、勞動力L產(chǎn)生產(chǎn)值Q時，得到的效益為(2.87)問題化為求資金與勞動力的分配比例K/L(即每個勞動力占有的資金)，使效益S最大.

這個模型用微分法即可解得(2.88)再利用式(2.85)，有(2.89)這就是資金與勞動力的最佳分配.從式(2.89)可以看出，當α、ω變大,γ變小時，分配比例K/L變大，這是符合常識的.

3)勞動生產(chǎn)率增長的條件

常用的衡量經(jīng)濟增長的指標包括總產(chǎn)值Q(t)和每個勞動力的產(chǎn)值 .這個模型討論K(t)、L(t)滿足什么條件才能使Q（t)、z(t)保持增長.

首先需要對資金和勞動力的增加作出合理的簡化假設(shè)：

(1)投資增長率與產(chǎn)值成正比，比例系數(shù)λ>0，即用一定比例擴大再生產(chǎn)；

(2)勞動力的相對增長率為常數(shù)μ,μ可以是負數(shù)，表示勞動力減少.這兩個條件的數(shù)學表達式分別為(2.90)(2.91)方程(2.91)的解為(2.92)將式(2.82)和式(2.83)代入式(2.90)