角的平分線（解析版）

19.5角的平分線

@?Jfejjn

1.會(huì)作一個(gè)角的平分線，能區(qū)別角的平分線與三角形的角平分線的異同點(diǎn).

2.掌握角的平分線的性質(zhì)和判定，會(huì)應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決相關(guān)問題.

3.通過作三角形的角平分線，了解三條角平分線交于一點(diǎn)的事實(shí).

鄙如世棒＜8

知識(shí)點(diǎn)一作已知角的平分線

1.用尺規(guī)作已知角的平分線

已知：NAOB.求:ZAOB的平分線.

作法：如圖所示

(1)以點(diǎn)0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交0A于點(diǎn)M,交0B于點(diǎn)N

(2)分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩狐NAOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C

2

⑶畫射線0C,射線0C即為所求.

2.作圖依據(jù)

構(gòu)造△OMC名△ONC(SSS),根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，找到角的平分線.

注意;

(1)畫“射線0C”不能敘述為“連接0C”因?yàn)榻堑钠椒志€是一條射線，而不是線及

(2)兩弧的交點(diǎn)應(yīng)在角的內(nèi)部找，因?yàn)橐鞯氖墙堑钠椒志€

即學(xué)即練閱讀并填空.

已知：Z.AOB.

求作：乙/1。8的平分線.

作法：如圖所示，

A

①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交04于點(diǎn)M,交08于點(diǎn)N；

②分別以點(diǎn),為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在乙40B內(nèi)

部交于點(diǎn)C；

③畫射線.

射線0C即為所求.上述作圖用到了全等三角形的判定方法，這個(gè)方法是.

【答案】①0:②MN：MN0C：③SSS

【分析】根據(jù)角的平分線基本作圖步驟完成填空即可.

【詳解】解：①以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交0A于點(diǎn)M,交0B于點(diǎn)N;

②分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于：MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在NA0B內(nèi)部交于點(diǎn)C;

③畫射線0C.

射線0C即為所求.上述作圖用到了全等三角形的判定方法，這個(gè)方法是SSS,

故答案為：0;M,N,-MN,0C;SSS.

2

【點(diǎn)暗】本題考查了角的平分線的基本作圖，熟練掌握角的平分娛的基本作圖是解題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)二角的平分線的性質(zhì)

1.角的平分線的性質(zhì)

角的平分線上的點(diǎn)到住的兩邊的距離相等

（這里的正再是法"點(diǎn)馴直儲(chǔ)的蹌離”，不是"兩點(diǎn)湎的蹌備”）

2.書寫格式

OEB

???OC平分ZAOB,PD±OA,PE1OB

：.PD=PE

提示■

(1)該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再通過證全等三角形得到相

等線段；

(2)已失;角的平分線及其上一點(diǎn)到角一邊的垂線段，常添加輔助線由角平分線上的已知

點(diǎn)向另一邊作垂線段，即構(gòu)造“角的平分線性質(zhì)”的基本圖形，得到相等的兩條垂線段.

即學(xué)即練1如圖，在△4BC中，AD1BC,AD=BD,BF=AC,有下列結(jié)論；?△ADC三

△BDF；②BE14C；③連接。E,則4AED=135，其中正確的結(jié)論有.

【答案】①②③

【分析】①根據(jù)HL證明△ADCdBDF;②由△ADCBDF,得到角相等，從而推出BE1AC;

③連接DE,過點(diǎn)D作DG1BE,過點(diǎn)D作DH_LAC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可判斷.

【詳解】解：???在RtaADC與Rtz^BDF中，AD=BD,BF=AC,

???內(nèi)△ADCgRtaBDF(HL)故①正確：

/.NDAC=ZCRE,

VZDAC+ZACD=90°,

，，ZCBE+ZACD=90°,

/.ZBEC=90°,

ABE1AC故②正確；

如圖，連接DE,過點(diǎn)D作DG_LBE,過點(diǎn)D作DH_LAC,

RtAADC^RtABDF(HL),

??SAADC=S^BDF，

VSAADC=|ACDH,SABDF=|BF-DG,BF=AC,

ADG=DH,

VDG1BE,DH1AC,DG=DH,

???DE是NBEC的角平分線,

VZBEC=90°,

1?NBED=45°,

AZAED=900+45°=135°故③正確；

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何問題，涉及到角平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等,

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵.

即學(xué)即練2如圖.AARC^J-ihAR,RC,C4長(zhǎng)分別是20,加,40,其二條角平分線將AARC

分為三個(gè)三角形，則5"8。：5"。。：§立，。等于（）?

A.1:1:1B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5

【答案】C

【分析】過點(diǎn)0分別作AB,BC,CA的垂線，可得OD=OE=OF,從而可證S“BO：S^BCO：S/AO

=AB:BC:CA,即可求解.

【詳解】解：如圖,過點(diǎn)0分別作AB,BC,CA的垂線,垂足分別為點(diǎn)F,D,E,

由角平分線的性質(zhì)定理得：OD=OE=OF,

???△ABC的三邊AB,BC,CA長(zhǎng)分另I是20,30,40,

:

**,S&ABO：SABCOSACAO

111

=-乙AB-OF:-乙BC-OD:-乙CA-OE

=AB:BC:CA

=20:30:40

=2:3:4.

故選：C.

【點(diǎn)暗】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)三角平分線性質(zhì)定理的逆定理

1.逆定理

在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上

佝的平分我的判定的前提是:離應(yīng)用的內(nèi)部，且焦到佝兩邊的劣溝相拿

2.書寫格式

如圖所示，

■:PD1QA于點(diǎn)。,PE108于點(diǎn)、E,PD=PE

???點(diǎn)P在NAQB的角平分線上

即學(xué)即練1如圖，點(diǎn)8、C分別在〃的兩邊上，點(diǎn)。是〃內(nèi)一點(diǎn)，DELAB.DFLAC,

垂足分別為E、F,且BE=C",8D=CD.求證：點(diǎn)。在48AC的平分線上.

【答案】見解析

【分析】證明RtZ\CDF紇RtZ\BDE(HL),得DE=DF,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解決.

【詳解】證明：VDE1AB,DF1AC,

NDEB=ZDFC=90°,

VBE=CF,BD=CD,

???RtACDF^RtABDE(HL),

ADE=DF,

VDE1AB,DF1AC,

???點(diǎn)D在NBAC的平分線上：

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分發(fā)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是得到

RtACDF^RtABDE(HL).

知識(shí)點(diǎn)四三角形角平分線的性質(zhì)

三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等

即學(xué)即練(2018秋?上海浦東新?八年級(jí)校聯(lián)考期末)已知：如圖，BP、CP分另U是AABC的

外角平分線，PM13AB于點(diǎn)M,PN0AC于點(diǎn)N.求證：PA平分(3MAN.

【答案】證明見解析.

【分析】作PD加C于點(diǎn)D,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PM=PD,PN=PD,得到PM=PN,根據(jù)

角平分線的判定定理證明即可.

團(tuán)BP是團(tuán)ABC的夕卜角平分線，PM0AB,PD0BC,

團(tuán)PM=PD,

同理，PN=PD,

0PM=PN,又PM0AB,PN0AC,

團(tuán)PA平分OMAN.

【點(diǎn)睛】考查的是角平分線的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是

解題的關(guān)鍵.

典甑分析

題型一利用角平分線的性質(zhì)解決線段問題

例1如圖，A/IBC中，ZC=90°,AC=BC,4D是NB4c的平分線，DELABfE,若AB=

12cm,則△OBE的周長(zhǎng)等于.

【答案】12cm

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DC,AC=AE,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【詳解】解：AD平分NBAC,ZC=90°,DEIAB,

???DE=DC,

VAD=AD

△ACD=△AED

AAC=AE

,:AC=BC,

???BC=AE,

???△DEB的周長(zhǎng)=BD4-DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=12cm,

故答案為：12cm.

【點(diǎn)暗】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解

題的關(guān)鍵.

舉一反三1在△ABC中，點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線上，的平分線與NC8D的平分線交于點(diǎn)

F,4E與BC交于點(diǎn)H.

⑴如圖1,當(dāng)/C=80。時(shí)，求ZE的度數(shù).

⑵如圖2,連接CE,延長(zhǎng)AC至點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EF_L4),垂足為凡過點(diǎn)E作EMJ.HG,垂足

為M,求證：BC=CM+BF；

【答案】(1)40°

(2)見詳解

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角形的外角定理即可；

(2)過點(diǎn)E作EI1BC于點(diǎn)I,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)與羽定，三角形的全等的判定與性質(zhì)即

可.

【詳解】(1)解：???NBAC的平分線與NCBD的平分線交于點(diǎn)E,

:.ZCAB=2ZEAB,ZCBD=2ZEBD,

???ZCBD=ZCAB+NC①,ZEBD=ZEAB+NE②

②X2-①得，ZE=1zC=1x80°=40°,

故NE的度數(shù)為40°：

(2)證明：過點(diǎn)E作EI1BC于點(diǎn)I,

???NBAC的平分線與NCBD的平分線交千點(diǎn)E,EF1AD.EM1AG,

/.EF=EI,EF=EM,

???EI=EM,

???EI1BC,EM1AG,

.??CE平分NBCM,ZEIC=ZEMC=90°,

vCE=CE,

:.RtACIE三RtACME(HL),

CI=CM,

同理可證：BI=BF,

BC=CI+BI=CM+BF.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定、三角形的外角定理、三角形的全等的判定與性

質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線得出全等三角形是解題的關(guān)健.

舉一反三2（2023春?上海浦東新區(qū)?？计谀┤鐖D1,40是的角平分線，尸為4。上

任意一點(diǎn)，2”148于時(shí)：PN1AC^N.

圖1圖3

⑴垂線段PM、PN是否相等？請(qǐng)說明理由;

（2）如圖2,在△力中，40是的角平分線，DElAB^EtDFlACfFf若48=5,

AC=3,求震的值;

⑶如圖3,在△4BC中，力。是的外角平分線,AD交BC的延長(zhǎng)于點(diǎn)當(dāng)AB=5,AC=3

時(shí)，求BC與的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）PM=PN;

(2)1:

⑶*

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可知NMAP=NNAP,再證AAMP三△ANP（AAS）,由

全等三角形的性質(zhì)即可；

⑵由⑴得：DE=DF,利用等面積即可求出洋駁=嗎=鈴吧，則可求出,=翌="

SAACD-CDh-ACDFCDAC3

（3）同（2）理可以求出黑='=*4噴號(hào).

【詳解】（1）垂線段PM、PN相等，理由：

???AD是NBAC的角平分線，

，NMAP=ZNAP,

VPM1AB,PN1AC,

ZAMP=ZANP=90°,

VAP=AP,

???△AMP三△ANP(AAS),

APM=PN：

(2)VDE1AB,DF1AC,

???由(1)得：DE=DF,

設(shè)點(diǎn)A到BC得距離為h,

,SAABD二扣＞h=：ABDE

**SAACD-1CDh-iACDF*

則有皿=任=工

CDAC3'

（3）也口圖，過DEIAB交AB的延長(zhǎng)線于E,DF1AC交AC的延長(zhǎng)線于F,過A作AH1BC于H,

由（1）得：DE=DF

SAARD：

SAACD

則有黑若即BC+CD

CD

.BC2

?*CD-3*

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角照的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，角平分線的性質(zhì)，正確

地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

題型二利用角平分線的性質(zhì)證明角之間的關(guān)系

例2(2023秋?北京海淀,八年級(jí)北京市師達(dá)中學(xué)?？奸_學(xué)考試)點(diǎn)。在△月8。內(nèi)，且到三邊

的距離相等，若/力=56。，則48。。=.

【答案】118°/118度

【分析】根據(jù)到三邊的距離相等得到點(diǎn)0是角平分線的交點(diǎn)，即可得到N0BC+/0CB=

!(ZABC+ZACB),再利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行角度計(jì)算即可.

【詳解】ZA=56°,

???ZACB+ZABC=180°-ZA=124°,

???點(diǎn)0到三邊的距離相等，

點(diǎn)0是角平分線的交點(diǎn)，

:.ZOBC+ZOCB=1(ZABC+ZACB)=62°,

:.ZB0C=180°-(ZOBC+ZOCB)=118°.

故答-案為：118°.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定以及角平分線性質(zhì)的運(yùn)用；得到點(diǎn)0是三角形角平分線的

交點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

舉一反三1如圖，已知DB1AE于點(diǎn)B,DC1AF于點(diǎn)C,且DR=DC/BAC=40°,^ADG=

130°,則.

【答案】150°/150度

【分析】先根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上得到AD是NBAC的平分線，求出

NCAD的應(yīng)裁，再根據(jù)三用形的一個(gè)外角等干與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可求解.

【詳解】解：?.?BD1AE于B,DC1AF于C,且DC=DB,

，AD是NBAC的平分線，

VZBAC=40°,

,ZCAD=20,

AZDGF=ZCAD+ZADG=2004-130°=150°.

故答案為：150°.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定與三角形的一個(gè)外優(yōu)等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的

性質(zhì)，仔細(xì)分析圖形是解題的關(guān)鍵.

舉一反三2在“圖形與幾何〃的學(xué)習(xí)中，我們遇到這樣一個(gè)題FI：“如圖，在四邊形力BCD中，

4c平分/BAO,=求證：/8+匕力。C=180。.”結(jié)合學(xué)過的知識(shí)，可以分析如下：

首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造相等線段，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后結(jié)合補(bǔ)角的知以

使問題得到解決.請(qǐng)根據(jù)上述的思路，完成題目的證明

【答案】見解析

【分析】分別過點(diǎn)C作CM1AB于點(diǎn)M,CN1AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得

到CM=CN,利用HL證明RtZiBCMgRtZkDCN,可得NB=ZCDN,再根據(jù)NCDN+ZADC=

180°,等量代換可得結(jié)吳.

【詳解】解：證明：分別過點(diǎn)C作CM1AB于點(diǎn)M,CNJ.AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

ACM=CN.

VBC=CD,

RtABCM且RtADCN(HL),

???NB=ZCDN,

ZCDN+ZADC=1809,

AZB+ZADC=180°.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)

合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了全等三角形的判定

與性質(zhì)和角平分線的性質(zhì).

題型三角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用

例3如圖，三條公路兩兩交叉，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)油庫，若要求油庫到三條公路的距離都相

等，則滿足條件的油庫的位置有()

A.1處B.2處C.3處D.4處

【答案】D

【分析】根據(jù)角平分的性質(zhì)，即可得出油庫的位置在角二分線的交點(diǎn)處，依此畫出圖形，由

此即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???三條公路對(duì)兩相交，要求油庫到這三條公路的距離都相等，

???油庫在角平分線的交點(diǎn)處，畫出油庫位置如圖所示.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是解題的

關(guān)鍵.

舉一反三1（2023春?四川成都?八年級(jí)校考期中）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一

個(gè)涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）

A.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)B.三角形三條角平分線的交點(diǎn)

C.三角形三條高所在直線的交點(diǎn)D.三角形三條中線的交點(diǎn)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點(diǎn)，

據(jù)此即可求解.

【詳解】解：???涼亭到草坪三邊的距離相等，

???涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點(diǎn)，

故選：B.

【點(diǎn)睹】本題考在了三角形角平分線的性殖，熟練掌握審平分線的性質(zhì)爰解題的關(guān)鍵.

舉一反三2如圖，三條公路把4,B,C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，現(xiàn)決定在這個(gè)三

角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建

在（）

A.三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

C.三角形三條高的交點(diǎn)D.三角形三條中線的交點(diǎn)

【答案】A

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答即可.

【詳解】解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)處.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

題型四角平分線的判定的應(yīng)用

例4已知在△48c中，和N4CB的平分線交于點(diǎn)0,41=a.

⑴如圖①，若乙力=50。，求的度數(shù).

A

8/\c

圖①

(2)如圖②，連接。4,求證：。力平分484c.

[J

圖②

⑶如圖③，若射線8。與Z4CB的外角平分線交于點(diǎn)P,求證：0C1PC.

圖③

【答案】⑴115。

⑵見解析

⑶見解析

【分析】(1)利用三角形的內(nèi)角和先求出NABC與NACB的和，再根據(jù)角平分的定義求出

NOBC與NOCB的和即可解答：

(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，想到過點(diǎn)0作ODJ.BC,0E1AB,OF1AC,垂足分別為D,

E,F,證出0E=OF即可解答：

(3)根據(jù)角平分的定義求出NOCP=90°即可解答.

【詳解】(1)解：???NA=50°,

ZABC+ZACB=180°-NA=130°,

???NABC和NACB的平分線交于點(diǎn)0,

NOBC-NABC,NOCB-NACB,

22

???NOBC+NOCB=：/ABC+：NACB=65°,

22

ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=115°;

(2)證明：過點(diǎn)。作OD_LBC,OE1AB,0F1AC,垂足分別為D,E,F,

???NABC和NACB的平分線交于點(diǎn)0,ODJ.BC,OE1AB,OF1AC,

:.OD=OE,OD=OF,

:.OE=OF,

???OA平分NBAC;

（3）證明：?.?（）（：平分NACB,CP平分NACD,

???NACO=\NACB,NACP=\NACD,

???ZOCP=ZAC0+ZACP

11

=-ZACB+-ZACD

乙乙

1

=2/BCD

1

=-x180°

=90°,

:.OC1CP.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義和角平分線的性質(zhì)定理是解

題的關(guān)鍵.

舉一反三1如圖，△力BC中，點(diǎn)。在邊8c延長(zhǎng)線上，乙48=100°,4A8C的平分線交30

于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EH_L8D,垂足為〃，且/CEH=50。.

E

BCHD

⑴求乙4CE的度數(shù);

⑵求證：4E平分乙。4尸；

⑶若AC+G9=14,AB=10,且S”。=21,求△48E的面積.

【答案】⑴40°

(2)見解析

⑶15

【分析】(1)根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和垂直的定義可得NACD=80°、ZCHE=90°,進(jìn)而得

到NECH=40°,然后根據(jù)NACE=NACD-NECH即可解答；

(2)如圖：過E點(diǎn)分別作EM_LBF于M,EN1AC與N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及角平

分線的定義可得EM=EH、CE平分NACD、EN=EH,最后根據(jù)角平分線的判定定理即可解

答；

(3)根據(jù)SAACD=S“CE+SKED結(jié)合巳知條件可得EM=3,最后運(yùn)用三角形的面積公式印

可解答.

【詳解】(1)解：???NACB=100°,

/.ZACD=180°-100°=80°,

VEH1BD,

AZCHE=90°,

VZCEH=50°,

AZECH=90°-50°=40°,

/.ZACE=ZACD-ZECH=80°-40°=40°.

(2)證明：如圖：過E點(diǎn)分別作EM1BF于M,EN1AC與N,

tBE平分NABC,

AEM=EH,

ZACE=ZECH=40°,

???CE平分NACD,

AEN=EH,

AEM=EN,

???AE平分NCAF.

解：

(3)VAC+CD=14,SAACD=21,EM=EN=EH,

ASAACD=S"CE+SACED=^AC-EN+|CD-EH=1(AC+CD)-EM=21,

即：x14?EM=21,解得EM=3,

VAB=10,

.,?SAABE=|ABEM=15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)與判定定理、三角形的面積等知識(shí)

點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵.

舉——反三2如圖，已知的角平分線8P、AP相交于點(diǎn)P,PM1BE,PN1BF,

垂足分別為M、N.現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：

①8平分416；

②乙BPC=^BACi

③4Ape=90。一

④SMPM+S&CPN>SMPC?

其中結(jié)論正確的是(填寫結(jié)論的編號(hào))()

A.①②③B.①②③④C.②③④D.①③④

【答案】A

【分析】作PD_LAC于點(diǎn)D,根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，即可判斷①結(jié)論：根據(jù)

角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，即可判斷②結(jié)論：先根據(jù)四邊形內(nèi)角和，得出

ZMPN=180°-ZABC,再證明Rt△AMP三Rt△ADP(HL),Rt△CDPRt△CNP(HL),

得到NAPD=gNMPD,ZCPD=|ZNPD,即可判斷③結(jié)論；根據(jù)全等三角形面積相等，

即可判斷④結(jié)論.

【詳解】解：①作PD1AC于點(diǎn)D,

???BP平分NABC,PM1BE,PN1BF,

???PM=PN

???AP平分NEAC,PM1BE,PD1AC

PM=PD,

:.PN=PD,

.?.點(diǎn)P在NACF的角平分線上，

.?.CP平分NACF,①結(jié)論正確：

②???BP平分NABC,CP平分NACF,

ZABC=2ZPBC,ZACF=2ZPCF,

vZACF=ZABC+ZBAC,ZPCF=NPBC+ZBPC,

:.ZABC+ZBAC=2(ZPBC+ZBPC),

???2ZPBC+ZBAC=2ZPBC+2ZBPC,

:，ZBAC=2ZBPC,

AZBPC=|ZBAC,②結(jié)論正確；

③???PM1AB,PN1BC,

???NAMP=ZCNP=90°,

???ZABC+ZCNP+ZMPN+NAMP=360°,

/.ZMPN=360°—90°-900-ZABC=180°一/ABC,

???PM=PN=PD,

在AMP和RtZkADP中,

(AP=AP

tPM=PD'

:.RtAAMP三RtAADP(HL),

同理可證，RtACDP^RtACNP(HL),

???ZAPD=ZAPM=\ZMPD,ZCPD=ZCPN=|NNPD,

???ZAPC=ZAPD+ZCPD=1(ZMPD+ZNPD)=|ZMPN=|(180°-ZABC)=90。

ZABC,故③結(jié)論正確：

④：Rt△AMP三Rt△ADP,Rt△CDP三Rt△CNP

二SAAMP=S^ADP，SACDP=S“NP，

,0,S"MP+SACNP=S.ADP+S^CDP=S.APC，故④結(jié)論不正確；

綜上所述，正確的結(jié)論是①②③，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，三角形外角的定義，四邊形內(nèi)角和,

全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

題型五角平分線的性質(zhì)在開放探究題型中的應(yīng)用

例5J知中，BE工分■乙ABC,BE交AC于點(diǎn)E,CD平分匕ACB,交AB于點(diǎn)、D,BE與CD

交于點(diǎn)0.

⑴如圖1,求證：480c=900+3484c.

A

B

Ml

⑵如圖2,連接0月，求證：04平分4871c.

圖2

⑶如圖3,若乙8AC=60。，BD=4,CE=2,求段的值.

【答案】(1)見解析

⑵詳見解析

【分析】(1)由角平分線的性質(zhì)得出NOBC=^NABC,ZOCB=-ZACB,由三角形的內(nèi)

22

角和定理得出NABC+NACB=180°-ZBAC,ZB0C+Z0BC+Z0CB=180°,代入

即可得出結(jié)論；

(2)過點(diǎn)。作0N1BC于N,0乂1八8于乂，OK1ACTK,證明0M=0K,則點(diǎn)。在NBAC的

平分線上，即可得出結(jié)論；

(3)過點(diǎn)B作BH1CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,過點(diǎn)0作0F平分NB0C交BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)0作

ONJ.BC于N,OMJ.AB于M,證明NB0F=NB0D,ZCOF=ZC0E,由角平分線的性質(zhì)得

出N0BF=N0BD,ZOCF=Z0CE,由ASA證得△BOF三△BOD,BF=BD=4,由ASA證

得ACOF三aCOE,CF=CE=2,求出BC=6,由S^OD：S^BOC=gOD?BH^OC?BH二

OD:OC,SABOD：SABOC=^BD-OM:|BC-ON=BD:BC,進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：TBE平分/ABC,CD平分NACB,

ZOBC=|NABC,ZOCB=|ZACB,

???NABC+NACB+NBAC=180°,

???ZABC+ZACB=1800-ZBAC,

???ZBOC+ZOBC+ZOCB=180°,

ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)

=180°-G/ABC+^/ACB)

=180°-1(ZABC+ZACB)

=180°-1(180°-ZBAC)

1

=180°-900+-ZBAC

乙

=90°+1ZBAC:

(2)證明：如圖，過點(diǎn)。作ON_LBC于N,OMLAB'fM,OK1AC于K,

???BE平分NABC,CD平分NACB,

??.OM=ON,ON=OK,

:.OM=OK,

???點(diǎn)O在NBAC的平分線上，

???OA平分NBAC：

(3)解：如圖，過點(diǎn)B作BH_LCD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,過點(diǎn)。作OF平分NBOC交BC于點(diǎn)F,

過點(diǎn)0作ON1BC于N,01\11人8于乂，

A

VZBAC=60°,

ZBOC=90°+1ZBAC=120°,

NBOD=NCOE=180,-ZBOC=180°-120°=60°,

???OF平分NBOC,

???ZBOF=ZCOF=ZBOC=60°,

AZBOF=ZBOD,ZCOF=ZCOE,

???BE平分NABC,CD平分NACB,

ZOBF=ZOBD,ZOCF=ZOCE,

在^BOF^ABOD中，

(ZOBF=ZOBD

<BO=BO,

(NBOF=ZBOD

BOF*BOD(ASA),

???BF=BD=4,

在ACOF和ACOE中，

(ZOCF=ZOCE

jCO=CO,

(ZCOF=ZCOE

COF=△COE(ASA),

CF=CE=2,

???BC=BF+CF=4+2=6,

V

SABOD-SABOC=：OD-BH:|OC-BH=OD:OC,SAB0D:SAB0C=1BD-OM:|BC-ON=

BD:BC,

:.-O-D-.B.D=—4=2—.

OCBC63

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性

質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)與判定以及全

等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

舉一反三1如圖（1）,點(diǎn)。、點(diǎn)。在直線匕上，點(diǎn)A、點(diǎn)8在直線％上，且川上，連接4C、

⑴請(qǐng)?jiān)趫D（1）中，找出三對(duì)面積相等的三角形：；

（2）利用（1）中的結(jié)論解決下面兩個(gè)問題：

①將圖（1）中的△ABC、△4進(jìn)行以下操作：

第一步,分別復(fù)制△ABC、hABD,粘貼,如圖（2）所示的A/liBiC、hA2B2D.

第二步，先將圖（2）中的△4BiC、AG%。的頂點(diǎn)。、。重合，再將△4多。繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)

到如圖（3）所示位置.

若直線42々與41為相交于點(diǎn)E，連接CE.求證：CE平分匕&氏的.

②如圖（4）,折線型小路P-M-Q,將四邊形/18CD苗圃分成甲、乙兩塊，為了方便管理，

要將折線型小路尸-M-。改為經(jīng)過點(diǎn)P的直線型小路，使得甲、乙的面積前后不發(fā)生改

變.請(qǐng)你在圖（4）中畫出直線型小路PN（不需要尺規(guī)作圖，但要規(guī)范，并簡(jiǎn)單說明作圖的

關(guān)鍵步驟）.

【答案】0）△ABD和△ABC;△ACD^ABCD：△AOD和△BOC

⑵①見解析：②見解析

【分析】（1）根據(jù)兩條平行線之間的距離相等，即可可得出答案；

（2）①過點(diǎn)D分別作DG_LAiBi于G,DF1A2B2TF,根據(jù)題意可知A$i=A2B2，△AJBJC

的面積=△A2B2D的面積，根據(jù)面積公式可得DG=DF,即可得出結(jié)論；

②連接PQ,過點(diǎn)M做PQ的平行線交BC于點(diǎn)N,則PN為所求的直路，根據(jù)兩條平行線之間的

距離相等，可得S^PMQ=S^PNQ.

【詳解】(1)解：??1〃12，

?Fl、％間的距離相等，

設(shè)11、I2間的距離為，

1111

===

?,S.ABCaAB,h,S.ABDaAB,h,S“CD=3CD,h,SABCDaCD,h,

?'△ABC=S^ABD，S^ACD=SABCD，

?，?SAABC-SAAOB=S^ABD-SAAOB，

**SAAOD=SABOC，

故答案為：△ABD和△ABC;△ACD^ABCD：△AOD^ABOC.

(2)①證明：過點(diǎn)D分別作DGJ.AiBi于G,DF1A2B2i-F,如圖：

根據(jù)題意可知A]Bi=A2B2,△A1B1C的面積=△A2B2D的面積，

*.*△A1BiC的面積=1AiBi?DG,△A2B2D的面積=1A2B2?DF,

.,.1A1B1-DG=^A2B2-DF,

ADG=DF,

VDG1AjBi,DF1A2B2,

ACE^^ZAiEAz；

②解：步盜：連接PQ,過點(diǎn)M做PQ的平行線交BC于點(diǎn)N,則PN為所求的直路.

如圖：

證明：VPQ||MN,

△

?—PMQ=SAPNQ,

，S甲J四邊形ABQP—S^PMQ=0eg邊形ABQP一SAPNQ，S乙=S四邊形PQCD+SAPMQ

S曰邊取ABQP+S^PNQ，

，甲、乙的面積前后不發(fā)生改變.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的面積公式，角平分線的判定，四邊形的面積,

解題的關(guān)鍵是掌握兩條平行線之間的距離相等，利用面織法求解.

舉一反三2在△A8C和&DEC中，AC=BC,DC=EC,LACB=zDCF=90°.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)A,C,。在同一條直線上時(shí)，求證：AE=BD,AE1.BD；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)A、C、。不在同一條直線上時(shí),(1)中結(jié)論是否仍然成立，為什么;

⑶如圖3,在(2)的條件下，連接C尸并延長(zhǎng)C尸交4D于點(diǎn)G,N4尸G的大小固定嗎？若是,

求出N4FG的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析

⑵成立，理由見解析

⑶是，ZAFG=45°

【分析】(1)證明AACE三ZkBCD,得到N1=N2,由對(duì)頂角相等得到N3=N4,所以

ZBFE=ZACE=90°,即可解答：

(2)證明△ACEw^BCD,得到N1=N2,又由N3=N4,得到NBFA=NBCA=90°,

即可解答；

(3)ZAFG=45°，如圖3,過點(diǎn)C作CM1BD,CN_LAE,垂足分別為M、N,由△ACEBCD,

得到S.ACE=S&BCD，AE=BD,證明得到CM=CN,得到CF平分NBFE,由AF_LBD,得到

ZBFE=90°,所以NEFC=45°,根據(jù)對(duì)頂角相等得到NAFG=45°.

【詳解】（1）解：證明：如圖1,

圖1

ACE^ABCD中，

AC=BC

???ZACB=ZECD=90°,

EC=DC

.*.△ACEBCD(SAS),

:.Z1=Z2,AE=BD,

???N3=N4,

ZBFE=/ACE=90°,

AE1BD;

(2)成立，證明：如圖2,

圖2

???ZACB=ZECD,

ZACB+ZACD=ZECD+ZACD,

???ZBCD=NACE,

在△ACE和△BCD中，

(AC=BC

ZACE=ZBCD,

(EC=DC

ACE=△BCD,

???Z1=N2,AE=BD,

vN3=N4,

???NBFA=ZBCA=90°,

???AF1BD.

(3)ZAFG=45°,

如圖3,過點(diǎn)C作CM1BD,CN1AE,垂足分別為M、N,

圖3

???△ACE=△BCD,

S“CE=SABCD，AE=BD,

???SAACE=|AE-CN,

SABCD=|BD-CM,

???CM=CN,

vCM1BD,CN1AE,

???CF平分NBFE,

???AF1BD,

???ZBFE=90°,

???NEFC=45°,

:.ZAFG=45°.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵

是證明4ACE三ZkBCD,得到三角形的面積相等，對(duì)應(yīng)邊相等.

一、單選題

1.（2022秋?上海?八年級(jí)上海市民辦上寶中學(xué)?？计谥校俚浇堑膬蛇吘嚯x相等的點(diǎn)在這

個(gè)角的平分線上；

②有兩條邊和第三條邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

③有兩條邊和第三條邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

④線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線的判定定理，垂直平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判斷定理逐項(xiàng)判

斷即可.

【詳解】解：①角的內(nèi)部到角的兩邊龍離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，故該項(xiàng)錯(cuò)誤；

②有兩條邊和第三條邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故該說法正確；

③有兩條邊和第三條邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故該項(xiàng)錯(cuò)誤；

④線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等，故該項(xiàng)正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線的判定定理，垂直平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定定

理，正確理解判定定理是解題關(guān)鍵.

2.（2022秋?上海?八年級(jí)上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)〃是。內(nèi)

一點(diǎn)，要使點(diǎn)”到AB、AC的距離相等，且53“=5研修，點(diǎn)〃是（）

A.18AC的角平分線與AC邊上中線的交點(diǎn)

B.N84C的角平分線與A8邊上中線的交點(diǎn)

C.NA8C的角平分線與AC邊上中線的交點(diǎn)

D.NABC的角平分線與AC邊上中線的交點(diǎn)

【答案】A

【分析】根據(jù)點(diǎn)〃到AB、AC的距離相等可得點(diǎn)H在ZBAC的角平分線上，由S^ARH=5A8CH

可得AC邊上的中線上，即可求解.

【詳解】解：由點(diǎn)”到A8、AC的距離相等可得點(diǎn)〃在/84C的角平分線上，

由SAABH=S&BCH可得AC邊上的中線上，

則點(diǎn)H是ZBAC的南平分線與AC邊上中線的交點(diǎn),

故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的判定以及三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基

礎(chǔ)性質(zhì).

3.（2022秋?上海長(zhǎng)寧?八年級(jí)上海市西延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知Z4OB,按照以下

步驟作圖：

①以點(diǎn)。為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交NA03的兩邊于C、。兩點(diǎn)，連接CD；

②分別以點(diǎn)C、。為圓心，以大于線段OC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NA04內(nèi)交于點(diǎn)E,

連接CE、DE；

③連接OE交CD于點(diǎn)M.

下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.ZCEO=ZDEOB.CM=MD

C.OEA.CDD.ZOCD=ZECD.

【答案】D

【分析】利用基本作圖可知，OE為NAOB的平分線,義OC=OD,OE=OE,可得出

,從而可得出ZCEO=/DEO?，由OC=OD,EC=ED,得出OE垂直平分CD,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出CM=MD：根據(jù)已知條件不能判斷ZOCD=AECD.

【詳解】解：由作圖步驟可得：OE是NAO8的角平分戰(zhàn)，則NCOE=/DOE,

又OC=OD,OE=OE,

AOCE^ODHSAS）,

AZCEO=ZDEOtEC=DE,故A正確；

OC=OD,EC=EDf

JOE垂直平分CD,則0EJLC7）,CM=MD,

故B,C選項(xiàng)正確，

沒有條件能得出4OCD=4ECD,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖-作已知角的角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三

角形的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖的步驟是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

4.（2021秋?上海青浦?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，在RtzXABC中，ZC=90,AO是NBAC

的角平分線，若3c=8cm,BD=5cm,則。點(diǎn)到A8的距離為cm.

【答案】3

【分析】過點(diǎn)D作。后工初于點(diǎn)E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，。七=。。，根據(jù)AC=8cm,

BD=5cm,求得CD即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作。E_ZAB于點(diǎn)E,

,ZC=90°,A。是N8AC的角平分線，

/.DE=DC,

QBC=8cm,BD=5cm,

.?./>C=8C-CQ=8-5=3（cm）,

/.DE=3cm,

」Z）點(diǎn)到AB的距離為3cm,

故答案為：3.

【點(diǎn)晴】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

5.（2022秋?上海?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，己知：A8C中，ZC=90°,AC=40,8。平分

/A8C交AC于。，AD:DC=5:3,則。點(diǎn)到AB的距離是________.

A

【分析】先求出。。的長(zhǎng)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：VAC=40,AD:DC=5:3,

：.DC=40x3=15.

8

,/30平分NA8C交AC于D,

AD點(diǎn)到AB的距離是15.

故答案為：15.

【點(diǎn)暗】本邈考查的是免十分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解

答此題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?上海?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在R&8C中，N84C=90,A8=3,M為邊BC

上的點(diǎn)，連接4M,如果將沿直線4M翻折后，點(diǎn)8恰好落在邊4c的中點(diǎn)處，那么

點(diǎn)M到AC的距離是_.

【答案】2

【分析】過點(diǎn)M作ME_LAC亍E,MF_LAB于F,先求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證ME二MF,

然后利用面積法求解即可.

【詳解】解：設(shè)AC的中點(diǎn)為B',過點(diǎn)M作ME_LAC于E,MF_LAB于F,

???將△ABM沿直線AM翻折后，點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)B'處,

AZBAM=ZCAM=45°,AB=AB'=3,

???點(diǎn)zr恰好落在邊AC的中點(diǎn)處，

，AC二6,

VZBAM=ZCAM=45°,ME±AC,MF±AB,

，ME二MF,

ASAABC^^AB.AC=y?(AB+AC)?ME,

?'ME-2,

所以點(diǎn)M到AC的距離是2,

故答案為為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，角平分線的性質(zhì)，三角影的面積公式，利用面積法求ME的

長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵.

7.(2022秋?上海閔行?八年級(jí)上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校西校校考期中)如圖，已知用ABC,NAC8的

平分線6交48十點(diǎn)。，DE"BC,且AC=8,如果點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，那么DE的長(zhǎng)

為.

【答案】4

【分析】先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得出NEDC=NACD,從而有DE=EC,

再利用線段中點(diǎn)即可得出答案.

【詳解】???CD平分NAC6,

:.ZACD=ZBCD.

DE//BC,

/./EDC=/BCD,

ZEDC=ZACD,

：.DE=EC.

??,點(diǎn)E為AC中點(diǎn),AC=8,

:.EC=-AC=4,

2

.\DE=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握角平分線

的定義，平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

8.（2022秋?上海?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，回8=0090。，E是8C的中點(diǎn)，DE平分（MOC.求

證：AE是由D4B的平分線.

【答案】證明過程見詳解

【分析】依據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)構(gòu)造EFJ_AD,從而得出EC二EF.再

通過E是BC的中點(diǎn)，得出EF二EB,最終得出結(jié)論.

【詳解】證明：過點(diǎn)E作EF_LAD,垂足為F.

DC

VZB=ZC=90°,

.\BC±CD,CB±AB.

VDE平分NADC,

.\EC=EF.

VE為BC的中點(diǎn).

/.EC=EB,

AEF=EB,

VEF±AD,CB±AB,

AAE平分NDAB.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)及判定方法，能熟記并運(yùn)用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距

離相等，并以此判定角平分線是解題關(guān)鍵.

9.（2022秋?上海閔行?八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，在RtAAAC中，/BAC=90。，NABC

的平分線交4）于點(diǎn)石，交AC于點(diǎn)F,ADJ.BC,垂足為點(diǎn)。.

⑴求證：AE=AF；

⑵過點(diǎn)E作EG〃C。交AC于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作尸”J.8C,垂足為點(diǎn)”.

①請(qǐng)判斷"'與CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)AE=8E時(shí)，設(shè)即=x,試用含有x的式子表示GC的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

（2）①A尸=CG,理由見解析：②CG=1x.

2

【分析】（。根據(jù)ZAEF=/BED=90。-NCBF,ZAFB=90°-ZAI3F,得么FE=ZAEF,

從而

（2）①由角平分線的性質(zhì)知4尸="7,由（1）^AF=AE,則AE=F"，再利用AAS證明

AAEGRAFHC,將AG=C尸,即可證明：

②由等腰三角形的性質(zhì)可得/明石二乙該，可證AE=EF=4/=可得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：???加?平分/A8C,

Z.ZABF=NCBF,

ADJ.BC,

ZA￡>￡?=90°,

ZAb?=乙BED=90u-ZCW,

,?ZAFB=90"ZABF,

，ZAFE=ZAEF,

AE=AF;

(2)解：?AF=CGt理由如下：

,；BF平分NABC,FAIAB,FHVBC,

/.AF=FH,

由(1)知A〃=AE,

/.AE=FH,

〈EG//CD,

：.ZAEG=ZFHC=90°,ZAGE=NC,

△AEG0△”C(AAS),

???AG=CF,

：.AF=CG\

②:AE=BE,

/.ZBAE=ZABE,

,/N8AC=90。，

JAEAF=ZEFA,

，AE=EF,

；?AE=EF=AF=BE,

，BF=2AF,

：,CG=AF=-x.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，

得到AAEG且NHC是解題的關(guān)鍵.

10.（2022秋?上海?八年級(jí)上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知乂BC,AO是一條角

平分線.

⑴【探究發(fā)現(xiàn)】如