滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)：解直角三角形知識(shí)歸納與題型突破（12類題型清單）

第二十三章解直角三角形知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

困

*定義.段

正切

「銳角三角函數(shù)?

由概念求三角函數(shù)值

-計(jì)算V由角的度數(shù)求三角函數(shù)值

由三角函數(shù)值求角的度數(shù)

r三邊之間的關(guān)系

依據(jù)-銳角之間的關(guān)系

I質(zhì)之間的關(guān)系

解直角三角形y

r已知斜邊和一直角邊

已知兩直角邊

基本類型

已知斜邊和一銳角

?已知一直角邊和一銳角

仰俯角問題

方位角問題

坡度問題

（與生活有關(guān)的其他問題

02知識(shí)速記

1、在RSZCB中，“=90°,

乙的對(duì)邊4A的鄰邊4A的對(duì)邊

sinA=4cos4=tan4=

斜邊斜邊jA的鄰邊

1

2、特殊三角函數(shù)值

_數(shù)值=?

30°45°60°

三贏8—

1.

sina叵

TT2

721

cosa旦

2TT

73

tana173

3

3、直角三角形的邊角關(guān)系(a、b為直角邊，c為斜邊)

⑴銳角之間的關(guān)系:/A=90°—ZB,ZB=90°-ZA;

(2)三邊之間的關(guān)系:a=7c2-b?b-Vc2—a2c=Va2+b2；

(3)邊角之間的關(guān)系：a=csinA,a=ccosB,a=btanA,b=csinB,b=ccosA,b=atanB.

4、用解直角三角形解決實(shí)際問題的步驟

⑴審題，弄清方向角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念，將實(shí)際問題抽象為

數(shù)學(xué)問題.

(2)認(rèn)真分析題意，畫出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，對(duì)于較復(fù)雜的問題，往往要通過作輔助線

構(gòu)造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形.

⑶根據(jù)條件，結(jié)合圖形，選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)解直角三角形.

⑷按照題目中的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，檢驗(yàn)得到符合實(shí)際要求的解，并按題目要求的精確度確定答

案，并標(biāo)注單位

03題型歸納

題型一求角的三角函數(shù)值

例1.(24-25九年級(jí)上?云南?階段練習(xí))在Rt△力BC中，ZC=90°,AB=3,AC=1,貝Us譏4=()

「屈

A.誓BVz.-----D.叵

-I310

2

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）正方形網(wǎng)格中，N40B如圖所示放置（點(diǎn)4O,C均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，且點(diǎn)C在

OB上），貝!Jsin/AOB的值為（）

2.（22-23九年級(jí)下?浙江金華?開學(xué)考試）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長都相等，AB、

C、。都在格點(diǎn)處，48與CD相交于點(diǎn)P,貝IJcos//PC的值為（）

3.（24-25九年級(jí)上?吉林長春?階段練習(xí)）在RtA4BC中，ZC=90°,AC=15,BC=8,下列三角函數(shù)值

正確的是（）

一，4

AA.si.nA4=一15B.cosA=——C.tanA=—15D.sinB—

17

題型二已知三角函數(shù)值求長度

例2.（24-25九年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，在矩形2BCD中，DE，AC,垂足為點(diǎn)及若sin/ADE=:

AD=4,則力C的長為.

3

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?全國?單元測(cè)試）在△ABC中，ZC=90°,AC=6,cosB=則=

2.（24-25九年級(jí)上?全國?課后作業(yè)）如圖，在矩形A8CD中，48=8,AD=6,點(diǎn)￡在2B上，BE=2,點(diǎn)、

廠在BD上，tan//￡尸=3,貝UEF=__________

3.（2023?湖南婁底?中考真題）如圖，點(diǎn)E在矩形4BCD的邊CD上，將△力DE沿力E折疊，點(diǎn)D恰好落在邊BC

上的點(diǎn)尸處，若BC=10.sin/LAFB=^,則DE=

題型三特殊三角形的三角函數(shù)

例3.（24-25九年級(jí)上?山東泰安?階段練習(xí)）在R3A8C中，NC=9（T,cos/=：,則cos曰=_________.

22

鞏固訓(xùn)練

1.（2024九年級(jí)上?上海?專題練習(xí)）RtZVlBC中，4c=90。，乙4:48=1:2,則加九，2的值（）

4

A.|B.—C.—D.百

223

2.（22-23八年級(jí)下?吉林長春?期末）小明利用如圖所示的量角器量出"0B的度數(shù)，cos?力。B的值為（）

D.V3

3

3.（2024九年級(jí)下?浙江?專題練習(xí)）在△ABC中，若三個(gè)內(nèi)角乙4；乙B：NC=1：2；3,則sinAsinB等于

（）

A.1：2B.1：V3C.1：3D.2；V3

題型四特殊三角函數(shù)值的混合運(yùn)算

例4.（24-25九年級(jí)上?河北石家莊?開學(xué)考試）sin245°+3tan30°sin60°=.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?重慶?階段練習(xí)）計(jì)算：tan60。-cos60。+cos30。=.

2.（24-25九年級(jí)上?全國?單元測(cè)試）cos230°-3tan45°+2sin245O+sin30°=_.

3.（2023?湖北黃岡?模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：V2sin45°-2cos30°+V（l-tan6O0）2=.

題型五三角函數(shù)的綜合

例5.（2023?上海普陀?三模）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)5、C、D、￡在同一直線上，且CG=CD,

DF=DE,則tcmE=.

5

A

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）如圖，在RtA4BC中，NC4B=90。,48=4C,點(diǎn)D為斜邊BC上一點(diǎn),

S.BD=3CD,將△4BD沿直線4D翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B',則sin/CB,D=一.

2.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，AB=4C=6,t即=*點(diǎn)D是"邊上任意一點(diǎn),

連接8D,將△BCD沿著B。翻折得△BC'D,且C,D_L力B且交于點(diǎn)E,貝“DE=.

3.（2023?上海長寧?一模）如圖，點(diǎn)E在正方形力BCD的邊CD上，乙48E的平分線交力。邊于點(diǎn)凡連接EF,如

果正方形4BCD的面積為12,且CE=2,那么cot（/BEF-/DFE）的值為.

6

題型六解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

例6.（24-25九年級(jí)上?上海虹口?階段練習(xí)）已知△力BC中，4B=4,sinA=g,BC=a,如果解這個(gè)三角

形有2解，貝南的取值范圍是.

鞏固訓(xùn)練

3

1.（24-25九年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）等腰△力BC中，力B=AC,tan/48c=—，。為48的中點(diǎn)，BE1

4

BC交射線CD于￡,若BC=8,則線段BE的長為.

2.（23-24九年級(jí)下?全國?期末）在△4BC中，a、b、c分別是乙4、乙B、NC的對(duì)邊，若sin力?cos力=0且。=

2ccosB,則△4BC的形狀是.

3.（2024?湖北荊門?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形A8CD中，點(diǎn)E在邊上，△BEC與△FEC關(guān)于直線EC對(duì)稱，

點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在邊力。上，G為CD中點(diǎn)，連結(jié)BG分別與CE,CF交于M,N兩點(diǎn).若BM=BE,MG=1,則BN

的長為，s譏/力FE的值為.

7

題型七解非直角三角形

例7.（2024?四川資陽?中考真題）在△ABC中，乙4=60。，AC=4.若△ABC是銳角三角形，則邊4B長的

取值范圍是.

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?江蘇南通?期末）如圖,在△.中，〃=3。。，AC=2V3,tanB則力B的長為

（）

A.2+2V3B.3+V3C.4D.5

2.（22-23九年級(jí)上?山東淄博?期中）如圖，在△ABC中，ABAC=60°,ZB=45°,BC=646,4D平分ABAC

交BC于點(diǎn)D,則線段4。的長為（）

C.6V3D.6

3.（2024?安徽合肥?一模）如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)N、B、C、。都在這些小正方形的頂點(diǎn)

上，4B與CD相交于點(diǎn)P,則//尸。的余弦值為（）

8

A"B-fC-TD.W

題型八構(gòu)造直角三角形求邊長或面積

例8.（2022?四川綿陽?三模）如圖，四邊形/BCD的對(duì)角線/C、AD相交于。，ZAOD=60°,AC=BD=2,

A-TB-TC.遍D.2V3

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?安徽宣城?階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，N力=30。，ZB=45°,BC=3a,求△ABC

的面積.

2.（23-24九年級(jí)上?山東青島?期末）為全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，促進(jìn)農(nóng)業(yè)全面升級(jí)、農(nóng)村全面進(jìn)步、農(nóng)民

全面發(fā)展.如圖，四邊形N3CD是某蔬菜大棚的側(cè)面示意圖，已知墻2c與地面垂直，且長度為5米，現(xiàn)測(cè)

得N/8C=112。，/。=67。，/8=4米，求此蔬菜大棚的寬CD的長度.（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin22%|,

O

1c212c12

cos22°~—，tan22°^-,sin67°^—,cos67°-—，tan67°^r）

16513135

9

A

3.（20-21八年級(jí)下?安徽淮南?期末）已學(xué)校操場(chǎng)邊有一塊不規(guī)則的四邊形。八年級(jí)（1）班的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組

想要求出它的面積，經(jīng)過測(cè)量知：/B=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,AD=13m,請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量

結(jié)果求出不規(guī)則四邊形的面積？

題型九仰俯角問題

例9.（2024?山東日照?中考真題）潮汐塔是萬平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌.某數(shù)

學(xué)興趣小組用無人機(jī)測(cè)量潮汐塔的高度，測(cè)量方案如圖所示：無人機(jī)在距水平地面119nl的點(diǎn)M處測(cè)得

潮汐塔頂端/的俯角為22。，再將無人機(jī)沿水平方向飛行74爪到達(dá)點(diǎn)N,測(cè)得潮汐塔底端8的俯角為45。

（點(diǎn)4,B在同一平面內(nèi)），則潮汐塔力B的高度為（）

（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin22°?0.37,cos220?0.93,tan22°=0.40）

A.41mB.42mC.48mD.51m

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?全國?單元測(cè)試）某班的同學(xué)想測(cè)量一教樓力B的高度，如圖，大樓前有一段斜坡BC,已

知的長為8米，它的坡度i=l：g,在離C點(diǎn)30米的。處，測(cè)得以教樓頂端/的仰角為37。，則一教

10

樓4B的高度約為（）米.（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,V3?

1.73）

2工c82

A.24.

B.D.20.

2.（23-24九年級(jí)上?山東濟(jì)南?期末）如圖，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組要測(cè)量學(xué)校附近樓房CD的高度，在水平地面

A處安置測(cè)角儀測(cè)得樓房CD頂部點(diǎn)。的仰角為45。，向前走20米到達(dá)4處，測(cè)得點(diǎn)。的仰角為67.5。，已知

測(cè)角儀4B的高度為1米，則樓房CD的高度為（）（tan67.5°=l+V2）

A.572+21B.5V3+21c.10V2+21D.20V3+1

3.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，為了測(cè)量某電子廠的高度，小明用高1.8m的測(cè)量儀EF測(cè)得的仰角為45。,

小軍在小明的前面5nl處用高1.5m的測(cè)量儀CD測(cè)得的仰角為53。，則電子廠4B的高度為（）（參考數(shù)據(jù):

424

sin53°?cos53°?tan53°?-）

553

Ed"___r.M

\c\-------

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

11

題型十方位角問題

例10.（23-24九年級(jí)上?重慶?階段練習(xí)）讓運(yùn)動(dòng)揮灑汗水，讓青春閃耀光芒.重慶某中學(xué)倡議全校師生“每

天運(yùn)動(dòng)一小時(shí)，快樂學(xué)習(xí)每一天”，響應(yīng)學(xué)校號(hào)召，小明決定早睡早起，每天步行上學(xué).如圖，小明家在N

處，學(xué)校在C處，從家到學(xué)校有兩條線路，他可以從點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)B到點(diǎn)C,也可以從點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)D到點(diǎn)C.經(jīng)

測(cè)量，點(diǎn)3在點(diǎn)/的正北方向，48=300米.點(diǎn)C在點(diǎn)8的北偏東45。；點(diǎn)。在點(diǎn)N的正東方向，點(diǎn)C

在點(diǎn)。的北偏東30。方向，CD=2900米.

（1）求BC的長度（精確到個(gè)位）;

（2）小明每天步行上學(xué)都要從點(diǎn)/到點(diǎn)C,路線一；從點(diǎn)/經(jīng)過點(diǎn)2到點(diǎn)C,路線二；從點(diǎn)/經(jīng)過點(diǎn)。到點(diǎn)

C,請(qǐng)計(jì)算說明他走哪一條路線較近？（參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,1.732,逐=2.449）

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?重慶九龍坡?開學(xué)考試）小明和小玲游覽一處景點(diǎn)，如圖，兩人同時(shí)從景區(qū)大門A出發(fā),

小明沿正東方向步行60米到一處小山B處，再沿著BC前往寺廟C處，在B處測(cè)得亭臺(tái)。在北偏東15。方向上,

而寺廟C在B的北偏東30。方向上，小玲沿著A的東北方向上步行一段時(shí)間到達(dá)亭臺(tái)。處，再步行至正東方向

的寺廟C處.

（1）求小山B與亭臺(tái)。之間的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）若兩人步行速度一樣，則誰先到達(dá)寺廟C處.（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：收°1.41，1.73,乃=2.45）

12

2.（23-24九年級(jí)上?重慶榮昌?期末）今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬，如圖，媽媽位于游客中心/的

正北方向的3處，其中/3=2km,明明位于游客中心N的西北方向的C處.烈日當(dāng)空，媽媽準(zhǔn)備把包里的

太陽帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時(shí)明明騎馬向南偏東60。方向緩慢前進(jìn).15分鐘

后，他們?cè)儆慰椭行?的北偏西37。方向的點(diǎn)D處相遇.

（1）求媽媽步行的速度；

（2）求明明從C處到D處的距離.

3.（22-23九年級(jí)上?重慶沙坪壩?期中）隨著南海局勢(shì)的升級(jí)，中國政府決定在黃巖島填海造陸，修建機(jī)場(chǎng),

設(shè)立雷達(dá)塔.某日，在雷達(dá)塔A處偵測(cè)到東北方向上的點(diǎn)B處有一艘菲律賓漁船進(jìn)入我方偵測(cè)區(qū)域，且

以30海里/時(shí)的速度往正南方向航行，我方與其進(jìn)行多次無線電溝通無果后，這艘漁船行駛了1小時(shí)10

分到達(dá)點(diǎn)A南偏東53。方向的C處，與此同時(shí)我方立即通知（通知時(shí)間忽略不計(jì)）與N、C在一條直

線上的中國海警船往正西方向?qū)υ摑O船進(jìn)行偵測(cè)攔截，其中海警船位于與A相距100海里的D處.

⑴求力C的距離和點(diǎn)D到直線BC的距離；

（2）若海警船航行速度為40海里/時(shí)，可偵測(cè)半徑為25海里，當(dāng)海警船航行1小時(shí)時(shí)，是否可以偵測(cè)到

菲律賓漁船，為什么？（參考數(shù)據(jù)：sin53°~|,cos53°?|,tan53°）

題型十一坡度坡比問題

13

例11.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）和平路中學(xué)一年一度的校運(yùn)會(huì)正在如火如荼的進(jìn)行中，負(fù)責(zé)通訊報(bào)道的

小明和小亮使用無人機(jī)采集一組航拍畫面.在航拍時(shí)，小明在C處測(cè)得無人機(jī)N的仰角為45。，同時(shí)小亮

登上看臺(tái)CF上的。處測(cè)得無人機(jī)/的仰角為31。.若小亮所在看臺(tái)CF的坡比為1:3,鉛垂高度DG=3米

（點(diǎn)￡,G,C,8在同一水平線上），求此時(shí)無人機(jī)的高度2B.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin31。=

0.52,cos31°=0.86,tan31°~0.60）

鞏固訓(xùn)練

1.（21-22九年級(jí)上?安徽亳州?階段練習(xí)）為測(cè)量底部不能到達(dá)的建筑物A8的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在山坡

的頂端C處測(cè)得建筑物頂部N的仰角為20。，在山腳。處測(cè)得建筑物頂部/的仰角為60。，若山坡CD的坡

度i=1:皮,坡長CD=20米，求建筑物4B的高度.（精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：s譏50。=0.77,cos50。=0.64,

2.（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）某小區(qū)開展了“行車安全，方便居民”的活動(dòng)，對(duì)地下車庫作了改進(jìn)，如圖，AB1BC

測(cè)得力B=5米，BC=12米，為了居民行車安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改為13。，即4DC=13。（此時(shí)點(diǎn)2、

C、。在同一直線上）.

地面

（1）求這個(gè)車庫的斜坡4C的長；

（2）求斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)。與原起點(diǎn)C的距離（結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin13°?0.22,cos13°?0.97,

14

tan13°=0.23).

3.（23-24九年級(jí)下?重慶?階段練習(xí)）如圖，斜坡力B長130米，坡度i=1:2.4,BC1AC,現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中

點(diǎn)D處挖去部分坡體修建一個(gè)平行于水平線C4的平臺(tái)DE和一條新的斜坡3E.

（1）若修建的斜坡8E的坡角為30。，求平臺(tái)DE的長；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上懸掛了一幅巨型廣告MN,小明在。點(diǎn)測(cè)得廣告頂部M的仰角為26.5。，

他沿坡面ZM走到坡腳/處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來到P處，測(cè)得廣告底部N的仰角為53。，此

時(shí)小明距大樓底端。處30米.已知3、C、/、M、。在同一平面內(nèi)，C、A.P、。在同一條直線上，求廣

告MN的長度.（參考數(shù)據(jù)：sin26.5°~0.45,tan26.5°20.50,sin53°q0.80,cos53°?0.60,tan53°?1.33）

題型十二其他問題

例12.（24-25九年級(jí)上?山東泰安?階段練習(xí)）拉桿箱是外出旅行常用工具.某種拉桿箱示意圖如圖所示（滾

輪忽略不計(jì)），箱體截面是矩形BCDE,BC的長度為60cm,兩節(jié)可調(diào)節(jié)的拉桿長度相等，且與BC在同一條

直線上.如圖1,當(dāng)拉桿伸出一節(jié)Q1B）時(shí)，力C與地面夾角乙4CG=53。；如圖2,當(dāng)拉桿伸出兩節(jié)（AM、MB）

時(shí)，AC與地面夾角N4CG=37。，兩種情況下拉桿把手力點(diǎn)距離地面高度相同.求每節(jié)拉桿的長度.（參考數(shù)

據(jù)：sin53°?-,sin37°?-,tan53°--,tan37°?—）

5534

鞏固訓(xùn)練

15

1.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，在徐州云龍湖旅游景區(qū)，點(diǎn)A為“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地，點(diǎn)8為“水族展

覽館”，點(diǎn)C為“徐州漢畫像石藝術(shù)館”.已知NBAC=60。，N8C4=45。，AC=1640m.求“彭城風(fēng)華”觀演

場(chǎng)地與“水族展覽館”之間的距離力B（精確到1TH）.（參考數(shù)據(jù)：V2?1.4bV3?1.73）

2.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）【綜合與實(shí)踐】

如圖1,光線從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象，其中a代表入射角，夕代表折射角.學(xué)習(xí)小組查閱資料了解

到，若n=舞，則把n稱為折射率.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?icos53°?1,tan530~J）

sinp55o

【實(shí)踐操作】如圖2,為了進(jìn)一步研究光的折射現(xiàn)象，學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)：將激光筆固定在MN處，

光線可沿尸。照射到空容器底部B處，將水加至。處，且8F=12cm時(shí)，光點(diǎn)移動(dòng)到C處，此時(shí)測(cè)得。尸=

16cm,BC=7cm,四邊形A8FE是矩形，GH是法線.

圖1圖2

【問題解決】

（1）求入射角NPDG的度數(shù);

（2）請(qǐng)求出光線從空氣射入水中的折射率n.

3.（2023?山東濟(jì)南?中考真題）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段4BC表示車后蓋，已知48=lm,BC=

0.6m,^ABC=123°,該車的高度力。=1.7租.如圖2,打開后備箱，車后蓋力BC落在力B,C'處，AB’與水平

面的夾角NB'AD=27°.

16

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)B'到地面Z的距離；

(2)若小琳爸爸的身高為1.8m,他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險(xiǎn)?請(qǐng)說明理由.

(結(jié)果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù)：s譏27。=0.454,cos27°?0.891,tan27°?0.510,73?1.732)

17

第二十三章解直角三角形知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

困

*定義.段

正切

「銳角三角函數(shù)?

由概念求三角函數(shù)值

-計(jì)算V由角的度數(shù)求三角函數(shù)值

由三角函數(shù)值求角的度數(shù)

r三邊之間的關(guān)系

依據(jù)-銳角之間的關(guān)系

I質(zhì)之間的關(guān)系

解直角三角形y

r已知斜邊和一直角邊

已知兩直角邊

基本類型

已知斜邊和一銳角

?已知一直角邊和一銳角

仰俯角問題

方位角問題

坡度問題

（與生活有關(guān)的其他問題

02知識(shí)速記

1、在RSZCB中，“=90°,

乙的對(duì)邊4A的鄰邊4A的對(duì)邊

sinA=4cos4=tan4=

斜邊斜邊jA的鄰邊

18

2、特殊三角函數(shù)值

一數(shù)直、a

三贏?----二30°45°60°

1

sina叵

TT2

73J21

cosa

2~TT

tana叵173

3

3、直角三角形的邊角關(guān)系(a、b為直角邊，c為斜邊)

⑴銳角之間的關(guān)系:/A=90°—ZB,ZB=90°-ZA;

(2)三邊之間的關(guān)系:a=7c2-b?b-Vc2—a2c=Va2+b2；

(3)邊角之間的關(guān)系：a=csinA,a=ccosB,a=btanA,b=csinB,b=ccosA,b=atanB.

4、用解直角三角形解決實(shí)際問題的步驟

⑴審題，弄清方向角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念，將實(shí)際問題抽象為

數(shù)學(xué)問題.

(2)認(rèn)真分析題意，畫出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，對(duì)于較復(fù)雜的問題，往往要通過作輔助線

構(gòu)造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形.

⑶根據(jù)條件，結(jié)合圖形，選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)解直角三角形.

⑷按照題目中的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，檢驗(yàn)得到符合實(shí)際要求的解，并按題目要求的精確度確定答

案，并標(biāo)注單位

03題型歸納

題型一求角的三角函數(shù)值

例1.(24-25九年級(jí)上?云南?階段練習(xí))在Rt△力BC中，ZC=90°,AB=3,AC=1,貝Us譏4=()

A.誓BD.叵

-I亍10

【答案】A

19

【分析】根據(jù)正弦：我們把銳角4的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做N力的正弦，記作s譏力進(jìn)行計(jì)算即可.此題主要

考查了銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是掌握正弦定義.

【詳解】解：?.?NC=90。，AB=3,AC=1,

二BC=7AB2一4C2=V9^T=2VL

..BC2V2

???sinA=-=——

AB3

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）正方形網(wǎng)格中，乙4OB如圖所示放置（點(diǎn)/,O,C均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，且點(diǎn)C在

OB上），貝！Isin/AOB的值為（）

A.-B.—C.—D.1

223

【答案】B

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，勾股定理逆定理，找出。B邊上的格點(diǎn)C,連接AC,

利用勾股定理求出4。、AC.CO的長度，再利用勾股定理逆定理證明△力。C是直角三角形，然后根據(jù)正弦

的定義計(jì)算即可得解.

【詳解】如圖，C為OB邊上的格點(diǎn)，連接4C,

根據(jù)勾股定理，AO—V22+42=2V5>

AC="2+32=V10,

oc=V12+32=VTo,

所以，AO2=AC2+OC2=20,

20

所以，△aoc是直角三角形,

，也4。8=券=湊=苧

故選：B.

2.（22-23九年級(jí)下?浙江金華?開學(xué)考試）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長都相等，AB、

C、。都在格點(diǎn)處，48與CD相交于點(diǎn)P,則cosN/PC的值為（）

【答案】B

【分析】本題考查網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)

鍵.連接DE,CE,根據(jù)題意可得：AB||DE,從而利用平行線的性質(zhì)可得乙4PC=NEOC,然后利用勾股定

理的逆定理證明△DCE是直角三角形，從而可得NDCE=90。，再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算可得

cos/CDE的值，即可解答.

【詳解】解：如圖：連接DE,CE,

由題意得：

AB||DE,

,ZAPC=/EDC,

在中，0)2=22+42=20,

CE2=12+22=5,

DE2=32+42=25,

CD1+CE1=DE2,

二△￡）（7￡是直角三角形,

21

???^DCE=90。,

AcosZCDE=—之石

DE5

2-J5

???cosZAPC=cos/CDE=

5

故選：B.

3.（24-25九年級(jí)上?吉林長春?階段練習(xí)）在RtA/BC中，4c=90。，AC=15,BC=8,下列三角函數(shù)值

正確的是（）

ACA-A15c,c8

AA.si,nA=一15B.cosA=—15C.tanA=—D.sinB=—

1717815

【答案】B

【分析】本題考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意作出圖形,

進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求解即可.

【詳解】解：如圖，在RtzXZBC中，zf=90°,AC=15,BC=8f

/.AB=ylAC2+BC2=17,

AC15ABC.AC15

一=一,tanA=—=8sinB=—二一

AB17AC15AB17

「?A、C、。錯(cuò)誤，8正確,

故選B.

題型二已知三角函數(shù)值求長度

例2.（24-25九年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，在矩形4BCD中，DE1AC,垂足為點(diǎn)E.若sinNADE=/

AD=4,則力C的長為.

【答案】5

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、正弦的定義、同角的余角相等.根據(jù)同角的余角相等，得至Us譏=

sin^ACD,再根據(jù)正弦定義即可解得AC的長.

【詳解】解：在矩形力BCD中，ZADC=90°,

22

DE1AC,

??.ZADE+NEDC=NEDC+ZACD=90。,

ZADE=ZACD

AHA.

???sinZADE=sinZACD

AC5

AD—4,

AC=5,

故答案為：5.

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23九年級(jí)上?全國?單元測(cè)試）在△ABC中，ZC=90°,4C=6,cosB=則BC=

【答案】8

【分析】本題考查了解直角三角形，熟練掌握正弦、余弦的定義是解題關(guān)鍵.

根據(jù)題意得出s譏8確定84=10,然后再利用余弦求解即可.

【詳解】解：AC=6,cosB-I，

3

；?sinB=（,

AC3

—=）

AB5

：.BA=10,

:?BC—ABxcosB=8,

故答案為：8.

2.（24-25九年級(jí)上?全國?課后作業(yè)）如圖，在矩形A8CD中，AB=8,AD=6,點(diǎn)￡在4B上，BE=2,點(diǎn)、

F在BD上,tanZAEF=3,貝!JEF=

C

B

【答案】巫

3

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義得出4M=2,利用勾股定理求出OM的長，過點(diǎn)。作EF的平行線構(gòu)造相似三

角形，利用相似三角形的性質(zhì)即可得答案.

23

本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)，熟練掌握判定，正切函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，作DM||EF交48于點(diǎn)

貝ljAAMD=AAEF，

???四邊形ABCD是矩形，

AD=6,tanAAMD==tanAAEF=3,

AD

AM=2,

???由勾股定理得DM=yjAD2+AM2=2屈.

AM=2,AB=8,

BM=6,

???EF||DM,

???△BEFMBMD,

.EF_BE_1

??DM-BM~3’

3.（2023?湖南婁底?中考真題）如圖，點(diǎn)￡在矩形ABCD的邊CD上，將△力DE沿4E折疊，點(diǎn)。恰好落在邊8c

上的點(diǎn)尸處，若BC=10.sin/力FB=（,貝.

【答案】5

【分析】利用矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得=4F=10,EF=ED,可得力B=AF-sin^AFB=10x(=8,

BF=VXF2-AB2=6,設(shè)DE=%,貝i]CE=CD-DE=8-x,利用勾股定理可得EF?=CF2+CE2,進(jìn)而

24

可得結(jié)果.

【詳解】解：：四邊形力BCD是矩形，

：.4B=NC==90°,AB=CD,AD=BC=10,

根據(jù)折疊可知，可知力D=4F=10,EF=ED,

貝ij,在RtZ\4BF中，AB^AF-sin^AFB=10x|=8,貝iJCD=8,

:.BF=\AF2-4B2=6,貝1JC尸=8C-2尸=4，

設(shè)DE=x,貝l|CE=CD—DE=8—x,

在RtACEF中，EF2=CF2+CE2,即：%2=（8-x）2+42,

解得：x=5,

即：DE=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形，靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)得到相等線段是解決問

題的關(guān)鍵.

題型三特殊三角形的三角函數(shù)

例3.（24-25九年級(jí)上?山東泰安?階段練習(xí)）在RtAABC中，ZC=90°,cosJ=^,則cos；=_________.

22

【答案】昱

2

【分析】本題考查特殊三角函數(shù)值，利用cos4=:求出乙4=60。，則cos^=cos30。即可求解.

【詳解】解：在中，ZC=90°,cosA=~,

2

???ZA=60°,

???cos-=cos30°=—，

22

故答案為：&.

2

鞏固訓(xùn)練

1.（2024九年級(jí)上?上海?專題練習(xí)）RtA4BC中，ZC=90°,NANB=1:2,則tcm—4的值（）

A.-B.—C.省D.V3

223

【答案】C

25

【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理和特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)

鍵.

根據(jù)NC=90。，乙4:NB=1:2,求出的值，即可求解.

【詳解】解：如下圖:

4:瓜=1:2

1

..?々=90。廣30。,

tanNN—tan30°=—

3

故選：C.

2.（22-23八年級(jí)下?吉林長春?期末）小明利用如圖所示的量角器量出N40B的度數(shù)，cosZ40B的值