廣東省部分2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024—2025年度高二上學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊(cè)第一章至第三章.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.直線氐+y=0繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后所對(duì)應(yīng)的直線的斜率為()

CGD百

A.-yfiB.y/3

33

22

2.橢圓。：二+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,點(diǎn)尸在橢圓C上，則△尸片用的周長(zhǎng)為

9m

()

A.16B.18C.IO+2V34D.20

3.已知拋物線/=12x的焦點(diǎn)為廠，點(diǎn)尸在拋物線上，定點(diǎn)。(5,2),貝11尸。|+|尸7口的最小值為

()

A.6B.7C.8D.9

22

4.已知雙曲線C:、—?dú)狻?：!的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,雙曲線C上有一點(diǎn)尸，若附|=5,則

|叫=()

A.9B.1C.1或9D.11或9

______k1______kkk

5.在正方體—481GA中，AE=-AB,BF=-BD[,則麗=()

1—?2—?3——?1—?3—?3—?

A.——AB+-AD+-AA.B.—AB——AD+-AA

1234112441

1—?1—?2—?1—?3—?3—?

C.——AB——AD+-AA.D.——AB+-AD+-AA

1243112441

6.過(guò)拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)作圓尸：(x—3)2+「=1的切線，該切線交拋物線C于48兩點(diǎn)，則

|45|=()

A.12V3B.14C.15D.16

TT

7.如圖，在四棱錐尸—45C。中，尸2，平面48。。，P5與底面4BC。所成的角為底面4BC。為

4

7T

直角梯形，ZABC=ABAD=-,AD=2,PA=BC=1,三棱錐尸―ZCD的外接球?yàn)榍?,則平面

2

P8C截球。所得截面圓的面積為（）

8.圓哥是指平面上任意一點(diǎn)到圓心的距離與半徑的平方差.在平面上任給兩個(gè)不同圓心的圓，則兩圓圓哥相

等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線被稱為這兩個(gè)圓的根軸.已知圓4+2x+/=o與圓

2

C2:X+/-6X-8J+16=0,尸是這兩個(gè)圓根軸上一點(diǎn)，則|尸。2|—|尸弓|的最大值為（）

A.V2B.2V2C.3V2D.4V2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線4:ax+（a+l）y—5=0,直線4：3x—4y+5=0,圓C:（x+3>+（y—4>=9,則下列選

項(xiàng)正確的是（）

3

A.右/J%,則Q=—亍

B.若4J_/2,則a=—4

C.若/］與圓。相交于4,3兩點(diǎn)，貝/4B|min=2

D.過(guò)乙上一點(diǎn)尸向圓。作切線，切點(diǎn)為0,則IP。1mm=近

10.在菱形48CD中，48=2,ZBAD=60°,E為N2的中點(diǎn)，將△ZOE沿直線DE翻折至△&￡）￡

的位置，使得二面角4-DE-C為直二面角，若尸為線段4。的中點(diǎn)，則（）

A.8P〃平面

B.DP1EC

TT

C.異面直線尸8,4。所成的角為生

13

V42

D.4臺(tái)與平面PBD所成角的余弦值為--

17

22

11.已知橢圓C:二+二=1(。〉6〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為片，工，尸是C上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正

ab

確的是()

A.若存在點(diǎn)尸，使得/大尸6=5,則橢圓C的離心率的取值范圍為0,^-

B.若存在點(diǎn)尸，使得|。尸|=q，則橢圓c的離心率的取值范圍為—,i

2

2L>

C.若存在點(diǎn)尸，使得歸胤=2|尸周，且/片尸鳥(niǎo)=],則橢圓c的離心率為當(dāng)

D.若存在點(diǎn)尸，使得|。尸|=”，且/片尸鳥(niǎo)=事，則橢圓C的離心率為半

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量1=(5,9,1),6=(2,1,1),則向量]在向量B上的投影向量的模為.

22

13.雙曲線C以橢圓二+二=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2036

，漸近線方程為.

14.已知圓C:(x+iy+(y—3)2=4,直線/:x—2y—8=0,M為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線/上一動(dòng)

點(diǎn)，定點(diǎn)尸(—7,—4),貝/|+|PN|的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)

22

已知橢圓C:二+與=1(。〉b〉0)上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最大值為16,最小值為4.

ab

(1)求橢圓。的方程；

(2)直線/與橢圓。相交于43兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-4),求直線/的方程.

16.（15分）

已知△4BC的頂點(diǎn)4-2,0）,8（3,0）,頂點(diǎn)。滿足31czl=2|C8|,記頂點(diǎn)C的軌跡為少.

（1）求曲線印的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)/的直線/（斜率不為0）與曲線少交于不同的兩點(diǎn)尸，Q,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線。尸，

。。的斜率之積是否為定值.若為定值，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.

17.（15分）

如圖，在幾何體48QC—44cl中，平面44G〃平面4BOC,四邊形//CC；和4BOC是全等的菱

形，且平面4ZCG，平面4BDC，△44G是正三角形，48=2,AAXAC=ABAC=60°.

（1）求該幾何體的體積；

（2）求平面4465]與平面夾角的余弦值.

18.（17分）

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線y+3=0的距離小|,記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.

（1）求軌跡。的方程.

（2）已知直線/:y=自+3與軌跡C交于48兩點(diǎn)，以48為切點(diǎn)作兩條切線，分別為小%，且

/一，2相交于點(diǎn)尸?若14sl=|4P|,求k.

19.（17分）

在平面內(nèi)，若直線/將多邊形分為兩部分，且多邊形在/兩側(cè)的頂點(diǎn)到/的距離之和相等，則稱/為多邊形

22

的一條“等線”.已知雙曲線G:二一與=1（。〉0,6〉0）與雙曲線。2：3x2-/=1有相同的離心率，

ab

F],巴分別為雙曲線G的左、右焦點(diǎn)，。為雙曲線q右支上一動(dòng)點(diǎn)，雙曲線G在點(diǎn)尸處的切線4與雙

曲線G的漸近線交于/,2兩點(diǎn)（/在2上方），當(dāng)尸與上》軸時(shí)，直線y=g為△尸片鳥(niǎo)的等線.

（1）求雙曲線G的方程；

（2）若y=0x是四邊形/片8鳥(niǎo)的等線，求四邊形/片8鳥(niǎo)的面積；

（3）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP與雙曲線G的右支交于點(diǎn)0,試判斷雙曲線G在點(diǎn)。處的切線4是

否為△幺公片的等線，請(qǐng)說(shuō)明理由.

［注］雙曲線C:二—與=1（?！?力〉0）在其上一點(diǎn)尸國(guó)Jo）處的切線方程為誓—浮=1.

abab

2024—2025年度高二上學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)參考答案

1.D直線后+.v=0的斜率為-百，傾斜角為120。，所以繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所對(duì)應(yīng)的直線的傾

斜角為30°,斜率為tan30°=

3

2.B因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,所以長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=5,短半軸長(zhǎng)6=3,半焦距c=J/一/=4,故△助鳥(niǎo)的周

長(zhǎng)為2〃+2。=18.

3.C因?yàn)閨夕尸|等于點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離，所以當(dāng)P0垂直于準(zhǔn)線時(shí)，|00|十|尸尸|有最小值，最小值為

4.A因?yàn)閨尸用=5<a+c=6,所以|尸周一|尸用=2a=4,故歸用=9.

5.D因?yàn)榇?—益，BF=-Ba,所以麗=麗+麗=—益+―西.

341341

因?yàn)槲?麗+西=彳萬(wàn)一刀+碗，所以

——?2—?3/——?—?——1—.3——?3——?

EF=-AB+-\AD-AB+AA]=——AB+-AD+-AA,.

34、^]12441

6.D記拋物線C的焦點(diǎn)為歹，則尸(1,0).記切點(diǎn)為0,因?yàn)閳A尸的圓心為尸(3,0),所以|尸尸|=2,

巧

|Pg|=1,所以NP7?=30。，所以直線N8的方程為^="(x—1).設(shè)幺(石,必)，B(x2,y2),聯(lián)立方

程組35為得——14x+l=0,所以再+/=14,所以|么5|=%+/+P=16.

/=4x,

7.A如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則尸(0,0,1),5(1,0,0),C(l,l,0).易知三棱錐尸―NC。的外接球球心

。為尸。的中點(diǎn)，所以設(shè)平面P8C的法向量為萬(wàn)=(x/,z),因?yàn)辂?(—1,0,1),

——.fn-BP=-x+z=0,

=(0,1,0),所以＜_令x=l,得亢=(1,0,1).

n-BC=y=Q,

1

因?yàn)槎?((),—1,工〕，所以點(diǎn)。到平面PBC的距離d=\0P'n\=與=叵.

I2j\n\V24

510OTT

設(shè)截面圓的半徑為r,則/=|。尸『一］2一一所以截面圓的面積為把.

4888

8.A由題知，圓G的圓心為G(—L0)，半徑q=1；圓。2的圓心為02(3,4)，半徑弓=3.

設(shè)點(diǎn)尸(xj)為圓G與圓。2的根軸/上的任意一點(diǎn)，

22222

則|尸。1「_1=|PC2|-r,,所以(x+lp+jZ—y=(X-3)+(J-4)-3,

整理得x+y—2=0,即圓G與圓&的根軸/為直線x+y—2=0.

取G關(guān)于/對(duì)稱的點(diǎn)C：,則歸Cj=|尸&［.因?yàn)镃C4，所以C：在G02上，

所以當(dāng)尸，c；,G三點(diǎn)共線時(shí)，I尸=l尸Gl-pG'l取得最大值|℃|?

因?yàn)镚到/的距離為半，。2到/的距離為孚，所以|qG|=/，即|尸。2HpeJ的最大值為血?

9.ABD若/J%,則］=上屋得。=—］，故A正確.若.，小則%—4伍+1)=0,得

67=-4,故B正確.因?yàn)?過(guò)定點(diǎn)/(—5,5),所以|4S|min=2而二而"=2乒？=4,故C不正確.

因?yàn)閨P0「=|尸c「_|Cg|2=|pC|2-9,所以當(dāng)尸CL/2時(shí)，I尸。I取得最小值?因?yàn)閳A心。到直線4的

距離d=^^3)4>4+5］=4,所以J~2_9=J7,故D正確.

心+(-4)2

(6］、

10.AC如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則4(0,0/)，5(1,0,0),C(2,V3,0),￡>(0,V3,0),PI,-,-

—fV30一

對(duì)于A,因?yàn)镽P=0,—,平面的一個(gè)法向量為行=(1,0,0)，所以AP?應(yīng)=0,所以8尸〃

、22J

平面故A正確.

C_V31,比=(2,6,0),所以麗?瓦;二；/。，所以。P,EC不垂直，故

對(duì)于B,因?yàn)?。?/p>

I22)

B錯(cuò)誤.

一廠/_______\PB-AD

一(也AX

對(duì)于C,因?yàn)楸?0,-—-，4。=(0,6,—1),所以cos(尸民4。)=—t—―所以異

22'/\PBMD2

TT

面直線P8,4。所成的角為故C正確.

對(duì)于D,設(shè)平面尸8。的法向量為五=(x,y,z),因?yàn)辂?0,—,麗=(—1,8,0),所以

(22J

-~DD—61_(\

"八寸于=0,令x=6得萬(wàn)=(G,1「G).

n-BD=-％+V3y=0,

設(shè)43與平面尸所成的角為。，因?yàn)?百=(1,0,-1),所以

,可273V42八V7

sin。=cos(AB,n故D錯(cuò)誤.

{45MlV7xV277

11.BCD對(duì)于A,只需bWc,因?yàn)椤ǘ?一。？，所以〃=/c2<c2,所以e='e——,1,故A

a2

錯(cuò)誤.

對(duì)于B,若存在|。產(chǎn)局，則只需■!*所以e=jl—[eg,l,故B正確.

對(duì)于C因?yàn)闅w用=2|尸用，|尸用+|尸用=2a,所以|「用=?，|尸用=4.

因?yàn)?月心=巴，所以4c2+±。2一2x丑x?x^,3c2=/,所以e=9=Yl,故c正

12399332a3

確.

對(duì)于D,因?yàn)楸?A月=2而，所以|「用2+|尸用2+2歸用戶巴k052片尸鳥(niǎo)=4|尸O'.

因?yàn)橄輡+|尸用=2a,所以附『+歸閭2_閥便閭=（戶用+歸用卜3閥歸用=14,所以

附歸閭=齊

22

因?yàn)閨尸7淚+\PF21-2\PFX|\PF21cosZF^PF,=|^^|,

所以（附|+|尸用丫-歸修尸周=",所以附||尸周=4/_402.

由，。2=4/一402,得e=、Y2,所以D正確.

…10V6心目一?七日/的.口/心已小中、，\b-a\10v6

12.----向重〃在向重b上r的投影向重的模為~--=-----.

3\b\3

22I2222

13X--=1；y=+^x設(shè)雙曲線C的方程為為一1=1伍〉0力〉0）,因?yàn)闄E圓上+匕=1

1620-5ab22036

的焦點(diǎn)為（0,±4）,長(zhǎng)軸頂點(diǎn)為（0,土6）,所以a=4,c=6,所以6=J02一）2=2右.故雙曲線C的標(biāo)

準(zhǔn)方程為匕一二=1,漸近線方程為_(kāi)）；=±巴》=±2叵X.

1620b5

14.11設(shè)圓心C（—1,3）關(guān)于/對(duì)稱的點(diǎn)為品（飛,典），貝人

Jo=一9,

C0（5,-9）,連接C0N,C0P（圖略）,所以|CN|+|PN|=|CON|+|PN|2|COP|=13,故即v|+|/w|的

最小值為13—2=11.

Q+C=16,{a=10,

15.解：（1）由題意，可知4解得4

因?yàn)椤?a1-c1=64,

22

所以橢圓C的方程為工+±=1.

10064

石,K

-----1----

10064

（2）設(shè)/（再,％）,B（x2,y2）,則＜

L10064

2_22_2

兩式相減得上二三+五二三=0,

10064

整理可得且二匹=一竺X生士三

西-x225%+必

因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-4),所以西+》2=—6，%+為=-8,.

~，，+，，、人，》,y16x.+x,16-612

所以直線/的斜率左~~—=——X」———=——X——=——，

$—x225%+y225-825

12

故直線/的方程為y+4=(x+3),即12x+25y+136=0.

16.解：(1)設(shè)C(x,y),因?yàn)?|G4|=2|C8|,所以9(x+2)2+9/=4(x—3>+4/,

所以V+/+12x=0,所以少的方程為/+/+12x=0(y^0).

(2)設(shè)/:x=打了一2,尸(西,必)，Q(x2,y2).

x=my-2,

聯(lián)立方程組4得(一+l)j?+8/ny-20-0,

x2+y2+12x=0,

8m20

所以必+%=—

-20m216m24

2m1

因?yàn)樵亳R=(町-2)(mj2-2)=/-(yi+了2)+4=?----------------------0----------+4=

加+1m+1m2+1

所以eP?kO0=里2=-5,故直線OP,OQ的斜率之積為定值，且定值為-5.

XjX2

17.解：取/C的中點(diǎn)0,連接4。，BO,則4(9_LZC,BOLAC.

因?yàn)槠矫鎆/CGJL平面Z8OC,且交于/C,所以4。，平面28。。,

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,西的方向分別為無(wú)，y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則

2(0,—1,0),5(V3,0,0),,C(0,l,0),D(瓜2,0),4(0,0,V3),B[(51,5,G(0,2,百).

12X2X—=V3,C>4=V3,

(1)連接BC.因?yàn)?X

221

所以〃B[G-XBC=S4ABe.O&=3.

因?yàn)榍?(一6,1,0),函=(0,l,G),所以cos(灰，函)=一;一|二一

\'\BC\\BBA4

上一五，BC=-V3x+y=0,A/

設(shè)平面4BCG的法向量為五=(X//),貝時(shí)—.「令、=1,得力=L

n-BB、=y+J3z=0,

一.\DB-nI2x/3

因?yàn)?。B=(0,-2,0),所以點(diǎn)。到平面BMC1的距離d=-------=*，

\n\V5

所以%BBCC=-SWBBCC^=2,所以該幾何體的體積％=%BCABC+VDBBCC=5-

(2)設(shè)平面448片的法向量為萬(wàn)=(xi，%,zj,因?yàn)榉?(G,l,0),14=(0,l,V3),

p-AB=V3x+y=0,人r-

所以匕—.121令X]=l,則/=(1,—g,1).

p-AAX=必+J3Z]=0,

設(shè)平面與G。的法向量為/=(%,%,Z2),因?yàn)槎?(—百,i,o),后萬(wàn)=(o,i,—G),

q,BC、——A/3X+%=0,-i—

所以？27"，所以q=(i,6i).

q-B、D=y2-A/3Z2=0,

設(shè)平面MABB]與平面B￡D的夾角為6,則cos3=|cos?))\=叵以=

阿@5

所以平面A{ABBX與平面B￡D夾角的余弦值為1.

18.解：(1)由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)"的軌跡是以[。,|]為焦點(diǎn)，y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，

所以軌跡C的方程為/=6y.

(2)設(shè)/xjx"B[X.,-XI\,聯(lián)立方程組尸=6y，得f—6fcc—18=0,

I61JI262J[y=kx+3,

則再+%=6左，xrx2=-18.

易知4，42的斜率存在，設(shè)4的方程為y—=機(jī)(》—xj,

12

=m（X—X）,

聯(lián)立方程組《99

',得%—6mx+6mxx-xx=0.

X2=6y

由A=36機(jī)2-4（6機(jī)*-x；）=0,解得加=/■,所以4的方程為y=.

同理可得，4的方程為y=

36

112x+x

y=-xx--x,9

1l%_2'再+XXX

由<；:解得＜2即點(diǎn)尸212

xx2,-r

y=jxx--%2，y=--}--?-,

26

因?yàn)榉?1馬—芭，^^［，Q=西）、

且

、6JI267

|AB|=|AP|,所以（方+方）?麗=0,即

45P5+AP-P5=（“2—石）_|_》2（西+》2）（》2—西）+（》2―。1）+芭》2（》2一芭）=Q

-'236436

,,[X=-6,[x,=6,1

化簡(jiǎn)得27+2XR+x；=x；—9=0,因此41或11故左=±—.