2024年1月黑龍江省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題（真題）

第1頁/共1頁2024年1月普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試第一部分（選擇題共72分）一?選擇題：本題共24小題，每小題3分，共72分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則它的虛部是（）A. B. C.3 D.7【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)虛部定義即可得.【詳解】由，故它的虛部是.故選：A.2.下列量中是向量的為（）A長度 B.寬度 C.頻數(shù) D.摩擦力【答案】D【解析】【分析】利用向量的定義判斷即可．【詳解】向量是既有大小，又有方向的量，因長度，寬度，頻數(shù)只有大小，沒有方向，摩擦力既有大小，又有方向，所以摩擦力是向量.故選：D3.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義直接求得答案.【詳解】集合，集合，則.故選：B4.已知向量，化簡（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算計(jì)算即得.【詳解】.故選：C5.已知角的終邊過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義計(jì)算得解.【詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以.故選：D6.下列函數(shù)中的與函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用相同函數(shù)的定義，逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對于A，函數(shù)與函數(shù)對應(yīng)法則不同，A不是；對于B，函數(shù)與函數(shù)的定義域都為，而，即對應(yīng)法則相同，B是；對于A，函數(shù)與函數(shù)對應(yīng)法則不同，C不是；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，而函?shù)的定義域?yàn)椋珼不是.故選：B7.樹人中學(xué)七年級有500人?八年級有600人?九年級400人，為了解該校“雙減”政策落實(shí)情況?按年級進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為150的樣本.則八年級應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.30 B.40 C.50 D.60【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義求出抽樣比，按此比例求出八年級的人數(shù)即可.【詳解】依題意，抽樣比為，故八年級應(yīng)抽取的人數(shù)為人.故選：D8.已知，，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解?故選：A9.在中，，則（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】借助余弦定理計(jì)算即可得.【詳解】由余弦定理可得.故選：A.10.下圖是某班學(xué)生的一次數(shù)學(xué)測試成績的頻率分布直方圖，則該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績平均數(shù)的估計(jì)值為（）A.80 B.85 C.97 D.110【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可.【詳解】由頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式，可得該班數(shù)學(xué)測試的平均成績：.故選：C.11.（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】∵，∴.故選：C.12.如圖，在三棱柱中，與平面平行的直線為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可得出答案.【詳解】由題意，平面，與平面都相交，因?yàn)?，平面，平面，所以平?故選：B.13.把弧度化成角度是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)弧度制化為角度制的方法求解即可.【詳解】.故選：A.14.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求函數(shù)定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再計(jì)算，并判斷其與的關(guān)系.【詳解】：該函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；：該函數(shù)定義域?yàn)?，其定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，即該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；：該函數(shù)定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，即該函數(shù)為偶函數(shù)，故正確；：該函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，故錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義域、函數(shù)的奇偶性的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.用鐵絲圍一個(gè)面積為的矩形，至少需要鐵絲的長度為（）A.30 B.40 C.50 D.60【答案】B【解析】【分析】設(shè)出鐵絲圍成的矩形長和寬，利用基本不等式求解即得.【詳解】設(shè)鐵絲圍成的矩形長和寬分別為，依題意，，鐵絲長度，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以需要鐵絲的長度至少為40.故選：B16.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“米谷粒分”問題.現(xiàn)有米鋪收米，一農(nóng)民來賣米1000石，驗(yàn)收發(fā)現(xiàn)米內(nèi)夾谷，隨機(jī)取出一杯，數(shù)得杯里200粒米內(nèi)夾谷13粒，估計(jì)這批米內(nèi)夾谷約為（）A.55石 B.65石 C.75石 D.85石【答案】B【解析】【分析】根據(jù)抽取樣本中米夾谷的比例，得到整體米夾谷的頻率，從而可得結(jié)果.【詳解】由杯里200粒米內(nèi)夾谷13粒，得米內(nèi)夾谷的頻率為，所以1000石米內(nèi)夾谷約（石）.故選：B17.化簡（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系即可得出答案.【詳解】由可得：.故選：C18.已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為（）A.3 B.4 C.5 D.7【答案】D【解析】【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值即可.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以最大值與最小值之和為7.故選：D19.如圖，在正方體中，與平面垂直的直線是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，，即可證明平面，從而得到，同理可證，即可得到平面.【詳解】連接，，由正方體性質(zhì)可知，平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可證平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，故D正確；顯然與不垂直，平面，所以不垂直平面，故A錯(cuò)誤；顯然與不垂直，平面，所以不垂直平面，故B錯(cuò)誤；顯然與不垂直，平面，所以不垂直平面，故C錯(cuò)誤；故選：D20.“”是“函數(shù)為增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及函數(shù)的單調(diào)性求出參數(shù)的取值范圍，即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然函數(shù)為增函數(shù)，故充分性成立；若函數(shù)為增函數(shù)，則，所以必要性不成立；所以“”是“函數(shù)為增函數(shù)”充分不必要條件.故選：A21.如圖，在三棱錐中，平面，則這個(gè)三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用錐體的體積公式直接計(jì)算即得.【詳解】在三棱錐中，平面，則是三棱錐的高，由，得，所以該三棱錐的體積為.故選：B22.天氣預(yù)報(bào)預(yù)測國慶期間甲地的降雨概率是0.4，乙地的降雨概率是0.3，假定在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則甲?乙兩地都降雨的概率是（）A.0.10 B.0.11 C.0.12 D.0.13【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】由題意甲?乙兩地都降雨的概率為.故選：C23.對數(shù)函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義直接寫出定義域.【詳解】函數(shù)的定義域是.故選：B24.在日常生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，兩個(gè)拉力夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力.假設(shè)作用在旅行包上的兩個(gè)拉力分別為，且，設(shè)的夾角為，旅行包所受的重力為，由相關(guān)知識可以知道，當(dāng)時(shí)，等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出即可得解.【詳解】由，，得，而，解得，所以.故選：A第二部分（非選擇題共28分）二?填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分.25.寫出集合中的一個(gè)元素__________.（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）.【答案】1（答案不唯一，滿足的任意一個(gè)數(shù)均可）【解析】【分析】解不等式化簡集合，進(jìn)而寫出其中一個(gè)元素.【詳解】集合，所以集合的一個(gè)元素為1.故答案為：126.若，則中最大的數(shù)是__________.【答案】【解析】【分析】借助指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即有，故中最大的數(shù)是.故答案為：.27.如圖陰影部分為圓柱的側(cè)面展開圖，已知圓柱的底面半徑為1，母線長為3，則它的側(cè)面積為__________.【答案】【解析】【分析】利用圓柱側(cè)面積公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，該圓柱的側(cè)面積.故答案為：28.某物流公司由甲地到乙地郵寄貨物實(shí)行分段計(jì)費(fèi)方式：貨物稱重計(jì)費(fèi)方式貨物重量不超過10郵費(fèi)5元貨物重量超過10但不超過100首重10，郵費(fèi)5元，超出10以上的部分，郵費(fèi)4元貨物重量超過100郵費(fèi)3.5元?jiǎng)t30貨物由甲地郵寄到乙地的郵費(fèi)為______元.【答案】130【解析】【分析】根據(jù)題意列出分段函數(shù)，代入計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)貨物重量時(shí)，郵費(fèi)為元，則由題意所以（元）．故答案為：130三?解答題：本題共2小題，每小題8分，共16分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.29.某商場隨機(jī)抽取了10名消費(fèi)者的消費(fèi)金額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其消費(fèi)金額（單位：元）分別為，并給這10名消費(fèi)者每人一次抽獎(jiǎng)機(jī)會.抽獎(jiǎng)規(guī)則為：在不透明的抽獎(jiǎng)箱內(nèi)放有4個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，編號分別為，抽獎(jiǎng)?wù)邚闹幸淮涡噪S機(jī)摸出兩個(gè)小球，若號碼之積大于10則抽獎(jiǎng)?wù)呖梢垣@得一份精美獎(jiǎng)品，否則不獲獎(jiǎng).（1）寫出這10名消費(fèi)者的消費(fèi)金額的眾數(shù)；（2）消費(fèi)者小鵬獲得了一次抽獎(jiǎng)機(jī)會，計(jì)算他獲獎(jiǎng)的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助眾數(shù)定義即可得；（2）借助列舉法，求出所有可能情況及符合要求的情況即可得.【小問1詳解】由這10名消費(fèi)者中消費(fèi)金額出現(xiàn)最多的為，故眾數(shù)為；【小問2詳解】由抽獎(jiǎng)?wù)邚闹幸淮涡噪S機(jī)摸出