廣東省廣州市廣雅中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

第1頁(yè)/共1頁(yè)廣東廣雅中學(xué)2024-2025學(xué)年（上）高二級(jí)期中考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號(hào)填寫(xiě)在答題卷上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷收回.第一部分選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知命題，是無(wú)理數(shù)．則的否定是（）A.，是有理數(shù) B.，是有理數(shù)C.，是有理數(shù) D.，是有理數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定可直接得到結(jié)果.【詳解】由全稱(chēng)命題的否定知，命題，是無(wú)理數(shù)的否定是：，是有理數(shù).故選：D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在性命題的否定求解.【詳解】根據(jù)存在性命題的否定可知，命題“，”的否定是：，，故選：D3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】對(duì)可得，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，則，即，即，解得得，則不能推出，能推出，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用輔助角公式求出，再利用二倍角公式求解即可【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：B5.經(jīng)過(guò)第一、二、三象限的直線：與圓：相交于，兩點(diǎn)，若，則的最大值是（）A.8 B.4 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線經(jīng)過(guò)圓心，則可得，再由基本不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A：，即，圓心為，半徑為3，且，則直線經(jīng)過(guò)圓心，即，所以，又直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是4.故選：B6.《算數(shù)書(shū)》是我國(guó)現(xiàn)存最早的系統(tǒng)性數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式，用該術(shù)可求得圓周率的近似值.現(xiàn)用該術(shù)求得的近似值，并計(jì)算得一個(gè)底面直徑和母線長(zhǎng)相等的圓錐的表面積的近似值為9，則該圓錐體積的近似值為（）A B.2 C.3 D.3【答案】A【解析】【分析】利用圓錐體積公式以及體積的近似公式估算出的近似值為3，結(jié)合一個(gè)底面直徑和母線長(zhǎng)相等的圓錐的表面積的近似值為9，求出這個(gè)圓錐的底面半徑和母線，求出高，則可得到圓錐體積的近似值.【詳解】解：圓錐的體積，解得，則設(shè)所求圓錐的底面直徑與母線長(zhǎng)為，則底面半徑為，則，解得，設(shè)高為，則.故選：A7.圖，正方體中的棱長(zhǎng)為2，分別為所在棱的中點(diǎn)，則四棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體，建立空間直角坐標(biāo)系，借助兩點(diǎn)間距離公式建立方程求出球半徑得解.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)球心為，外接球半徑為R，于是，解得，即球心，球半徑，顯然，符合題意，所以四棱錐的外接球半徑，表面積.故選：D8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過(guò)作差法結(jié)合函數(shù)確定差的正負(fù)從而來(lái)確定的大??；通過(guò)作商法然后結(jié)合函數(shù)確定商的大小從而來(lái)確定的大小，最終確定三者大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以．令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即有成立，所以，得，所以因?yàn)?，所以令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即有成立，所以，即，所以，即.綜上：.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若且，則【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)及取特殊值逐項(xiàng)分析即可.【詳解】選項(xiàng)A，由，若，則，故A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B，在不等式兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)改變，所以若，，則，故B正確，取，，則，故C錯(cuò)誤，因?yàn)?，若，則，所以，故D正確，故選：BD10.下列不等式一定成立的是（）A. B.若，則C. D.【答案】BC【解析】【分析】通過(guò)不等式的性質(zhì)和基本不等式判斷各選項(xiàng)的結(jié)論.【詳解】時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)有，有，所以，B選項(xiàng)正確；，所以，C選項(xiàng)正確；當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，不成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC11.下列說(shuō)法正確的有（）A.若，那么 B.若，則C.若，則有最小值2 D.若，則有最大值1【答案】BD【解析】【分析】舉出反例，可得判定A不正確；利用不等式的性質(zhì)，可判定B正確；利用基本不等式可判定C正確，D不正確.【詳解】對(duì)于A中，例如，此時(shí)，所以A不正確；對(duì)于B中，由，則，所以，所以B正確；對(duì)于C中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以等?hào)不成立，所以C不正確；對(duì)于D中，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，此時(shí)的最大值為1；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為，此時(shí)，所以D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其滿(mǎn)足的三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)變量滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)____________.【答案】3.【解析】【詳解】分析：首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫(huà)出其對(duì)應(yīng)的可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z的幾何意義，求得其最優(yōu)解，代入求得函數(shù)的最大值.詳解：變量滿(mǎn)足約束條件的可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)可行域的A點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由可得A（0,3），所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為：3.故答案為3.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，可以斷定目標(biāo)函數(shù)在哪個(gè)點(diǎn)處取得最大值，解方程組，求得最優(yōu)解，代入求得最大值.13.已知，若不等式恒成立，則的最大值是________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)，，得到，利用“1”的代換轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求解即可【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以的最大值是.故答案為：.14.已知函數(shù)，則它的極小值為_(kāi)______；若函數(shù)，對(duì)于任意的，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的極小值；（2）由題意可得出，分、、三種情況討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可求得的取值范圍.【詳解】（1）由，得，令，得，列表如下：?∞,00,+∞極小值所以，函數(shù)的極小值為；（2），，使得，即，.①當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，，即；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，，即；③當(dāng)時(shí)，，不符合題意.綜上：.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，同時(shí)也考查了存在性問(wèn)題與恒成立問(wèn)題綜合，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知：四邊形是空間四邊形，，分別是邊，的中點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，求證：直線、、交于一點(diǎn).【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】【詳解】試題分析：利用三角形的中位線平行于第三邊，平行線分線段成比例定理，得、都平行，利用平行線的傳遞性得到且，所以，相交，再利用為兩個(gè)面的公共點(diǎn)，結(jié)合公理得結(jié)果．試題解析：連接，∵，分別是邊，的中點(diǎn)，∴.又∵，∴.因此且.故四邊形是梯形；所以，相交，設(shè)，∵，平面,∴平面．同理平面，又平面平面，∴，故直線、、交于一點(diǎn).考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì).16.如圖，在三棱柱中，平面平面.（1）若分別為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)條件可得四邊形是平行四邊形，得出，再利用線面平行的判定定理，即可得出結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出面的法向量及平面的法向量為，再利用面面角的向量法即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，平面平面，平面平面平面，所以平面，所以直線與平面所成的角為，則，在中，不妨設(shè)，則，連接，因?yàn)椋?又平面平面，所以平面平面，且平面平面平面，故平面.設(shè)的中點(diǎn)為，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，即，不妨取，則有，易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.判斷下列各組直線是否平行，并說(shuō)明理由．（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（2）的斜率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn).【答案】（1）不平行，理由見(jiàn)解析（2）不平行，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）分別計(jì)算出和的斜率，再比較兩斜率是否相等即可；（2）求出的斜率，再與的斜率比較即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)直線，的斜率分別為，，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，，所以，所以與不平行；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線，的斜率分別為，，則，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以與不平行.18.已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）求的單調(diào)增區(qū)間．【答案】（1）；（2）的單調(diào)增區(qū)間為．【解析】【詳解】先通過(guò)降冪公式和三角恒等變換公式把f(x)轉(zhuǎn)化成.(1)再根據(jù),建立關(guān)于的三角方程，求出的值.（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出f(x)的單調(diào)增區(qū)間.（1）；（2）單調(diào)遞增，故，即，從而的單調(diào)增區(qū)間為．19.設(shè)，函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求值域；（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）令