廣東省清遠(yuǎn)市清新區(qū)第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

第1頁/共1頁清新三中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二年級數(shù)學(xué)科試卷考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫年級、班級、姓名、試室號、座位號；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】【分析】由題可得其斜率，即可得傾斜角.【詳解】.設(shè)其傾斜角為，則，又，則，即傾斜角為150°.故選：D2.已知圓：，則圓心的坐標(biāo)和半徑分別為（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化即可求解.【詳解】由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以圓心坐標(biāo)為，半徑.故選：C3.已知直線在x軸和y軸上的截距之和為1，則實數(shù)m的值是（）.A.－2 B.－ C. D.2【答案】D【解析】【分析】分別求出直線在x軸和y軸上的截距，由題意列式求解，即得答案.【詳解】對于直線，令，則，令，則，故，則，故選：D4.空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，，點N為BC的中點，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運算法則計算可得結(jié)果.【詳解】易知故選：D5.若直線與圓O：相切，則圓與圓O（）A.相離 B.相交 C.內(nèi)切 D.外切【答案】A【解析】【分析】若直線與圓O：相切，得，由兩圓圓心距與兩圓半徑之和與半徑之差作比較，進(jìn)而得到兩圓的位置關(guān)系.【詳解】若直線與圓O：相切，則圓心O0,0到直線的距離等于圓O的半徑，即，得，圓圓心，半徑為，兩圓圓心距，大于兩圓半徑之和，所以兩圓相離.故選：A6.（周測二4)已知，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量定義利用已知條件求得數(shù)量積和模長可得結(jié)果.【詳解】由可得；所以，即可得；因此在上的投影向量的坐標(biāo)為.故選：B7.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】充分必要條件的判斷：把兩個命題分別作為條件和結(jié)論，判定由條件能否推出結(jié)論即可.【詳解】當(dāng)時，，，顯然，兩直線平行，滿足充分條件；當(dāng)與直線平行時，，則∴或，當(dāng)時顯然成立，當(dāng)時，，，整理后與重合，故舍去，∴，滿足必要條件；∴“”是“直線與直線平行”的充要條件故選：C8.已知點，且點在直線上，則下列命題中錯誤的是（）A.存在點，使得B.存在點，使得C.的最小值為D.的最大值為3【答案】A【解析】【分析】判斷以為直徑的圓與直線線的位置關(guān)系即可判斷A是否正確；求出滿足的點的軌跡方程，在判斷與直線關(guān)系是否有公共點即可；求出點關(guān)于直線的對稱點為，利用三角形不等式可求出的最小值；利用三角形不等式即可判斷.【詳解】對于A：構(gòu)造以為直徑的圓，其方程為.因為圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，所以在直線不存在點，使得，故A錯誤;對于B：設(shè)，由可得，，化簡得，即，所以圓心為，半徑為，可判斷圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交所以存在點，使得，故B正確；對于C項：設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，由可解得，即，則，所以，故C正確；對于D項：當(dāng)點與不共線時當(dāng)點與共線時，此時點，故D正確.故選:A.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的或不選的得0分.9.在同一直角坐標(biāo)系中，直線與圓的位置不可能是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】直線經(jīng)過圓的圓心，且斜率為，判斷得到答案.【詳解】直線經(jīng)過圓的圓心，且斜率為.故選項滿足題意.故選：.【點睛】本題考查了直線和圓位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對于圖像的識別能力.10.已知圓，直線，則以下命題正確的有（）A.直線l恒過定點B.直線l與圓恒相交C.y軸被圓C截得的弦長為D.直線l被圓C截得的弦長最短時，的方程為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，整理直線方程，分離出參數(shù)，建立方程組，可得答案；對于B，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心與半徑，計算定點與圓心的距離，并與半徑比較，可得答案；對于C，由圓的方程，求得與軸的交點縱坐標(biāo)，可得答案；對于D，由題意可得直線與直線垂直，利用兩點求斜率，結(jié)合點斜式公式，可得答案.【詳解】對于A，由，則，令，解得，所以直線恒過定點，故A錯誤；對于B，由，則圓心，半徑，，故B正確；對于C，令，整理圓的方程為，解得，軸被圓截得的弦長為，故C正確；對于D，當(dāng)時，直線被圓截得的弦長最短，由直線的斜率，直線的斜率，且，則，所以直線的方程為，化簡可得，故D正確.故選：BCD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，為面的中心，、分別為和的中點，則（）A.平面B.若為上的動點，則的最小值為C.點到直線的距離為D.平面與平面相交【答案】BD【解析】【分析】A選項，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，得到，故故與平面不平行，A錯誤；B選項，將兩平面展開到一個平面內(nèi)，利用勾股定理求出最小值；C選項，利用點到直線距離向量公式求出答案；D選項，求出平面的法向量，與平面的法向量不平行，得到兩平行相交.【詳解】A選項，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令得，故，所以，故與平面不平行，A錯誤；B選項，把平面與平面以為公共邊展開到同一平面內(nèi)，如圖，連接與相交于點，此時最小，最小值為，B正確；C選項，，，，，點到直線的距離為，C錯誤；D選項，，所以，設(shè)平面的法向量為n=a,b,c則，令，則，故，顯然與不平行，故平面與平面不平行，又兩平面不重合，故兩平面相交，D正確.故選：BD.三、填空題：本大題共3小題.每小題5分.共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.若空間非零向量不共線，則使與共線的k的值為______.【答案】－##【解析】【分析】根據(jù)空間共線向量可得，建立方程組，解之即可求解.【詳解】由題意知，存在實數(shù)λ使得，即，解得.故答案為：13.若點在圓（為常數(shù)）外，則實數(shù)的可能取值為____________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由點A在圓外代入圓的方程可得，再由圓的一般方程中可得，最后求交集即可.【詳解】因為點在圓外，則，解得，又由圓的一般方程，可得，即，即或，所以實數(shù)范圍為，例如符合題意.故答案為：（答案不唯一）.14.已知實數(shù)滿足，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】依題意可得，從而得到點在圓上，再由表示點與點連線的斜率，結(jié)合圖象及直線與圓的位置關(guān)系求出的最值，即可得解.【詳解】因為，所以，所以點在圓上，其中圓心為，半徑為，又，其中表示點與點連線的斜率，又，所以點在圓外，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時，取得最值，設(shè)過點的直線的方程為，即，則，解得或，即的最大值為，最小值為，所以的最大值為.故答案：四、解答題：本大題共5小題.共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的三個頂點分別為.（1）求邊所在直線的方程；（2）若的中點為，求邊的垂直平分線的方程；（3）求的外接圓的方程.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用兩直線垂直的斜率關(guān)系可求邊所在直線的方程；（2）求得的中點坐標(biāo)與直線的斜率，可求邊的垂直平分線的方程；（3）設(shè)的外接圓的方程為，代入點的坐標(biāo)，解方程組可求的外接圓的方程.【小問1詳解】由，由兩點式可得邊所在直線的方程為，即邊所在直線的方程；【小問2詳解】由，可得的中點為，又，所以邊的垂直平分線的斜率為，所以由點斜式可得邊的垂直平分線的方程為，即.【小問3詳解】設(shè)的外接圓的方程為，則，解得，所以的外接圓的方程為.16.如圖所示，在直三棱柱中，，，棱，M，N分別為的中點．（1）求BN的長；（2）求與所成角的余弦值；（3）求證：平面.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的幾何體，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量模的坐標(biāo)表示計算即得.（2）利用（1）中信息，利用線線角的向量方法求解即得.（3）利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.【小問1詳解】在直三棱柱中，，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，M，N分別為的中點，得，，所以BN的長為.【小問2詳解】由（1）得，，因此，所以與所成角的余弦值是.【小問3詳解】由（1）得，，，即，因此，而平面，所以平面.17.已知空間中三點，，，設(shè)，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量與互相垂直，求的值；（3）求ΔABC的面積.【答案】（1）或；（2）；（3）【解析】【分析】（1）首先求出的坐標(biāo)，由，可設(shè)，利用，求出參數(shù)的值，即可求出結(jié)果．（2）首先表示出的坐標(biāo)，由向量與互相垂直，得到，即可求出的值．（3）求出，，，，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后由面積公式求出ΔABC的面積．【詳解】解：（1）空間中三點，，，設(shè)，，所以，，，，且，設(shè)，，，或．（2），且向量與互相垂直，，解得．的值是．（3）因為，，，，，，．【點睛】本題考查向量的求法，考查實數(shù)值、三角形的面積的求法，考查向量坐標(biāo)運算法則、向量垂直、三角形面積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．18.如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，在梯形中，，為的中點，，，，線段交于點.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；（2）由題意，如圖以為原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面及平面的法向量和，計算二面角的余弦值，繼而求出二面角的正弦值即可求解.（3）設(shè)存在點滿足條件，設(shè)，從而求得，由題意根據(jù)線面角的正弦值為，可求出，即可求解.【小問1詳解】因為四邊形為矩形，所以為的中點，連接，在中，，分別為，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因，，，所以，，又且，平面，又，如圖以為原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得，令，得，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，則平面的一個法向量為，則，于是.故二面角的正弦值為.【小問3詳解】存在一點，使得與平面所成角的大小為.設(shè)存在點滿足條件，由，，則，,設(shè)，則,因為直線與平面所成角的大小為，所以，解得，由，知，且即點與重合，故在線段上存在一點，則.19.已知點E是圓C：上的動點，點，M是線段EF的中點，P（m，0）（）是x軸上的一個動點．（1）求點M的軌跡方程；（2）當(dāng)點M的軌跡上存在點Q，使，求實數(shù)m的取值范圍；（3）當(dāng)時，過P作直線PA，PB與點M的軌跡分別交于異于點P的A，B兩點，且．求證：直線AB恒過定點．（其中，分別為直線PA與直線PB的斜率）．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用相關(guān)點法求解，即找到點E與點M的關(guān)系，再帶回圓C中；（2）將角度問題轉(zhuǎn)化成直線的斜率問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成直線與圓位置關(guān)系的問題，利用點到直線距離求解；（3）聯(lián)立直線PA與圓，因為直線與圓一側(cè)交點是已知的，所以可以用斜率表達(dá)另外一個交點，再通過，得到直線PB的交點，利用兩點式化簡，得到定點.【小問1詳解】設(shè)M（x，y），，則①，又因為M是EF的中點